PRODUCTO ESCALAR (PRODUCTO PUNTO) La operación en la que se multiplicarán dos vectores, denominada producto punto, tiene como resultado un escalar y no un vector.
El producto punto de dos vectores A y B , denotado por A i B , se define como sigue:
i) Si A = a1 , a2 y B = b1 , b2 son dos vectores de V 2 , entonces A i B = a1b1 + a2 b2
ii) Si A =
y B = b1 , b2 , b3
a1 , a2 , a3
A i B = a1b1 + a2b2
son dos vectores de
V 3 ,
entonces
+ a3b3
En ocasiones el producto punto recibe el nombre de producto interior o producto escalar escalar,, no debe confundirse con la multiplicación escalar (multiplicación por un escalar) la cual es el producto de un escalar y un vector. Ejemplo.
Si A = 2, −3 y B = A i B = 2, −3 i
−
1 2
−
,4
1 2
, 4 , entonces
1 = ( 2) ⎛⎜ − ⎞⎟ + ( −3) ( 4) = − 13 ⎝ 2⎠
Ejemplo.
Si A = 4, 2, −6 y B = A i B
=
4, 2, −6 i
−5, 3, −2 , entonces
−5, 3, −2 = 4 ( −5) + 2 ( 3) + ( −6) ( −2) = −2
Los productos puntos que contienen los vectores unitarios i, j y k son útiles y pueden verificarse fácilmente i ii = 1 ii j
=0
=1 i ik = 0 ji j
k ik = 1 j ik = 0
El producto punto es conmutativo y que se distribuye con respecto a la adición vectorial.
A i B = B i A (Ley conmutativa) A i B + C = A i B + A iC (Ley distributiva)
(
)
Como A i B es un escalar, la expresión A i B i C carece de significado. En consecuencia,
(
)
no se considera la asociatividad del producto punto. Otras propiedades: ci( A AB B ) = ( cA ) i B 0 i A = 0 A i A = A
2
DEFINICIÓN DEL ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
Sean A y B dos vectores diferentes del vector cero. Si A no es un múltiplo escalar de B y si OP es la representación de posición de A y OQ es la representación de posición de B , entonces el ángulo entre los vectores A y B es el ángulo de medida positiva entre OP y OQ e interior al triángulo determinado por O, P y
Q.
Si A = cB , donde c es un escalar, entonces si c > 0 , el ángulo entre los vectores mide 0 radianes; y si c < 0 , entonces el ángulo entre los vectores mide π radianes. El símbolo empleado para denotar el ángulo entre dos vectores también se utiliza para representar la medida del ángulo. De la definición, si θ es la medida en radianes del ángulo entre dos vectores, entonces 0 ≤ θ ≤ π . La figura 1 muestra el ángulo θ entre los vectores A y B (donde A no es un múltiplo escalar de B ) de V 2 , y la figura 2 muestra el ángulo cuando los vectores pertenecen a V 3 .
Si θ es el ángulo entre los vectores A y B , diferentes del vector cero, entonces A i B = A B cosθ
Ejemplo
Dados los vectores A = 6i − 3 j + 2k y B = 2i + j − 3k . Determine el ángulo entre A y B . Solución: Primero se calcula A i B, A y B A i B = 6, −3, 2 i 2,1, −3 A
=
36 + 9 + 4 A i B
cosθ =
A B
=
=
49
= 12 − 3 − 6 = 3
= 7;
B
=
4 +1+ 9
=
14
3 7 14
VECTORES PARALELOS Se dice que dos vectores son paralelos si y sólo si uno de los vectores es múltiplo escalar del otro. Ejemplo. Los vectores 3, −4, 8 y
3 4
, −1, 2 son paralelos debido a que 3, −4, 8
=4
3 4
, − 1, 2 .
Si A es cualquier vector, entonces 0 = 0 A ; de modo que el vector cero es paralelo a cualquier vector. Nota: dos vectores diferentes del vector cero son paralelos si y sólo si la medida en radianes del ángulo entre ellos es 0 o π .
Si A y B son dos vectores diferentes del vector cero, entonces, cos θ = 0 si y sólo si A i B = 0
Como 0 ≤ θ
≤ π , se infiere de esta proposición que θ = 1 π si y sólo si A i B = 0 . 2
Ejemplo. Los vectores
−4, 5, 0
−4,5,0 y
i 10, 8, 3
10,8,3 son ortogonales ya que
= ( −4) (10) + ( 5) ( 8) + ( 0) ( 3) = 0
Nota: Si A es cualquier vector 0 i A = 0 , y por tanto, el vector cero es ortogonal a cualquier vector. Ejemplo.
Dados A = 3i + 2 j y B = 2i + kj , donde k es un escalar, determine (a) k tal que A y B sean ortogonales; (b) k tal que A y B sean paralelos.
Solución: A son ortogonales si y sólo sí A i B = 0 ; es decir, ( 3) ( 2 ) + 2 ( k ) = 0 ⇒ k = −3 A y B A y B son paralelos si y sólo si existe algún escalar c tal que 3, 2 = c 2, k ; esto
es,
3 = 2c y 2 = ck
Al resolver estas dos ecuaciones simultáneamente se obtiene k =
4 3
.
Ejemplo.
Demuestre, empleando vectores, que los puntos A ( 4, 9,1) , B ( −2, 6, 3) y C ( 6, 3, −2 ) son vértices de un triángulo rectángulo. Solución:
El triángulo CAB se muestra en la figura 4. De la figura se observa que el ángulo en A
puede ser un ángulo recto. Se obtienen V ( AB ) y V ( AC ) y si el producto punto de estos dos vectores es cero, entonces el ángulo en A es un ángulo recto.
( ) −2 − 4, 6 − 9, 3 − 1 = −6, −3, 2 ( ) 6 − 4, 3 − 9, −2 − 1 = 2, −6, −3 ( ) ( AC ) = −6, −3, 2 i 2, −6, −3 = −12 + 18 − 6 = 0
V AB = V AC = V AB iV
Conclusión: V AB y V AC son ortogonales; de modo que el ángulo en A es un ángulo recto, y por
( )
( )
tanto, el triángulo CAB es un triángulo rectángulo. Una interpretación geométrica del producto punto se obtiene a partir de la proyección
escalar de un vector sobre otro. Observe la figura 5, donde OP y OQ son las
representaciones de posición de los vectores A y B , respectivamente. El punto R es el
pie de la perpendicular de Q a la recta que contiene a OP . La proyección escalar de B
sobre A es el módulo del vector que tiene a OR como su representación de posición.
PROYECCIÓN ESCALAR DE UN VECTOR SOBRE OTRO
Si A y B son dos vectores diferentes del vector cero, entonces la proyección escalar de B sobre A se define como B cosθ , donde θ es el ángulo entre A y B .
A i B La proyección escalar del vector B sobre el vector A es A
El vector proyección del vector B sobre el vector A
⎛ ⎞ A i B es ⎜ 2 ⎟ A ⎜⎜ A ⎟⎟ ⎝ ⎠
A i B A
=
3 7
⎛ ⎞ 3 18 9 6 A i B j+ k es ⎜ 2 ⎟ A = ( 6i − 3 j + 2k ) = i − ⎜⎜ A ⎟⎟ 49 49 49 49 49 ⎝ ⎠
El vector proyección de B sobre A
Ejemplo
Sean los vectores A = −5i + j y B = 4i + 2 j Determine: a) la proyección escalar de B
sobre A ; b) el vector proyección de B sobre A ; c) muestre en una figura las representaciones de posición de A, B y el vector proyección de B sobre A . Solución
Primero se calcula A i B y A A i B = A =
−5,1
i 4, 2
( −5 ) + 12 = 2
= − 20 + 2 = − 18 26
A i B La proyección escalar de B sobre A es A
=−
18 26
El vector proyección de B sobre A es
⎛ ⎞ ⎜ Ai B ⎟ A = − ⎜⎜ A 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠
18 26
( −5i + j ) = −
9 13
( −5i + j ) =
45 13
i−
9 13
j
Las representaciones de posición de A, B y C , donde C es el vector proyección de B sobre A .
Ejemplo.
La figura 8 muestra el punto P y la recta que pasa por A y B . El punto M es el pie de la perpendicular a la recta que pasa por A y B trazada desde P . Sean d unidades la distancia PM . Así, por el teorema de Pitágoras, d
=
AP
2
−
2
(4)
AM
A fin de aplicar (4) se necesita calcular AP , la cual es el módulo de V ( AP ) y AM , que
es la proyección escalar de V ( AP ) sobre V ( AB ) . Primero se determinan V ( AP ) y V AB .
( )
V AP
(
)=
4, − 8,1 − 3, 6, −2
= −4, −2, 4
( )=
; V AB
2 − 8, − 3 − 3, 5 − 2
= (− 6,− 6, 3)
Se obtiene AP al calcular V ( AP ) , y se calcula AM con A = V ( AB ) y B = V ( AP ) . 2 2 V AP = ( −4 ) + ( −2) + 42 = 36 = 6 V AB iV AP −6, −6, 3 i −4, −2, 4 24 + 12 + 12 AM = = = 2 2 2 81 V AB ( −6 ) + ( −6) + 3
AP
=
( ) ( ) ( ) ( )
Si se sustituyen estos valores de AP y AM en (4) resulta
=
48 9
Si un objeto se mueve de un punto A a un punto B , se denomina vector de
desplazamiento, el cual se denota por V ( AB ) , al vector que tiene a AB como una representación. De modo que, si el módulo de un vector F de fuerza constante se expresa en libras y la distancia de A a B se expresa en pies, y θ es el ángulo entre los
vectores F y V ( AB ) , entonces si W es el número de libras por pie del trabajo realizado por la fuerza F que mueve un cuerpo de A a B , W
F cos θ ) V AB
( )
=(
=
F V AB cos θ = F i V AB
( )
( )
Ejemplo. Suponga que una fuerza F tiene una intensidad de 6 lb y la medida del ángulo que indica
su dirección es
1 6
π rad . Calcule el trabajo realizado por F al mover un objeto a lo largo
de una recta desde el origen al punto P ( 7,1) , donde la distancia se mide en pies.
En la figura se muestra las representaciones de posición de F y V ( OP ) . Como 1 1 6 cos π , 6 sen π y V OP 6 6
F
=
W
= F iV (OP ) =
( )=
7,1 , entonces si W lb − pie es el trabajo realizado,
1 1 6 cos π , 6 sen π i 7,1 6 6
=
3 3, 3 i 7,1
= 21
3 + 3 ≈ 39.37
Ejemplo. Demuestre mediante análisis vectorial que las alturas de un triángulo coinciden en un punto.
Sean AB, BC , AC, AS , BS y CS representaciones de vectores. Considere que el vector V AB tiene al segmento dirigido AB como una representación. Se manera semejante sean V BC B C ,V AC ,V AS ,V BS BS y V CS los vectores que tienen al segmento
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
dirigido entre paréntesis como una representación. Como AP es una altura del triángulo, V AS iV BC BC
( ) ( )=0
(1)
También, como BQ es una altura del triángulo,
( ) ( )=0
(2)
V BS BS iV AC
Con el propósito de probar que RC es perpendicular a AB se demostrará que V CS CS iV AB
( ) ( ) = 0.
V CS iV AB
) = V (CS ) i ⎡⎣V ( AC ) +V (CB ) ⎤⎦ ⇒ V (CS ) iV ( AC ) +V (CS ) iV (CB ) ⇒
( ) ( ⎡V ( CB ) + V ( BS ) ⎤ iV ( AC ) + ⎡V (CA ) +V ( AS ) ⎤ iV (CB ) ⇒ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ V ( CB ) iV ( AC AC ) + V ( BS BS ) iV ( AC AC ) + V (CA ) iV (CB ) +V ( AS AS ) iV (CB )
Al sustituir V ( CA ) por −V ( CA ) y al utilizar (1) y (2) se obtiene
EJERCICIOS RESUELTOS.
En los ejercicios siguientes Calcule Ai B
1.(a ) A = 〈 −1, 2〉 , B = 〈 − 4, 3〉 ⇒ (− 1, 2) ⋅ (− 4, 3) = (− 1)(− 4) + 2( 2(3) = 10
(b) A = 2i − j , B = i + 3 j ⇒ ( 2i − j ) ⋅ (i + 3 j ) = 2(1) + (− 1)3 = − 1
5 4 1 1 5 4 1 5 1 4 2.(a ) A = ( , − ); B = ( , ) ⇒ ( , − )i ( , ) = ( ) + (− ) 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2
1
1
=
1 6
0(2) = 2 (b) A = −2i; B = −i + j ⇒ (−2i )i(−i + j ) = (− 2)(−1) + 0( 2 1 3 1 3 1 2 1 3 1 3 1 2 1 1 3 3 1 3.(a ) A = ( , − ); B = ( , , ) ⇒ ( , − )i ( , , ) = ( ) + ( ) + (− ) 5 4 2 2 5 2 5 4 2 2 5 2 5 2 4 5 2 2
(b) A = 3 j − 2k ; B = i + j − 3k
=−
2 5
⇒ (3 j − 2k )i(i + j − 3k ) = 0(1) + 3(1) + (−2)(− 3) = 9
4.( a ) A = ( 4, 0, 2); B = (5, 2, − 1) ⇒ ( 4, 0, 2)i (5, 2, − 1) = 4(5) + 0(2) + 2(− 1) = 18
(b) A = 3i − 2 j + k ; B = 6i + 7 j + 2k ⇒ (3i − 2 j + k )i(6i + 7 j + 2k ) = 3(6) + (− 2)7 + 1( 1( 2) = 6
Demuestre que: 5. (a ) i ii = 1 ⇒ i ii
(1, 0, 0) = 1(1) + 0 (0) + 0(0) = 1 = (1, 0, 0)i(1 (b) i ik = 0 ⇒ i ik = (1, 0, 0)i (0 (0, 0,1) = 1(0) + 0(0) − 0(1) = 0 (c ) j ik = 0 ⇒ j ik = (0,1, 0)i (0 (0, 0,1) = 0(0) + 1(0) + 0(1) = 0
= 1 ⇒ j i j = (0,1, 0)i (0 (0,1, 0) = 0(0) + 1(1) + 0(0) = 1 (b) k ik = 1 ⇒ k ik = (0, 0,1)i (0 (0, 0,1) = 0(0) + 0(0) + 1(1) = 1 (c )i i j = 0 ⇒ i i j = (1, 0, 0)i (0 (0,1, 0) = 1(0) + 0(1) + 0(0) = 0
6.(a ) j i j
Demuestre lo indicado en cada caso para vectores de V 3 .
A = (a1, a2 , a3 ); B = (b1, b2, b3 );C = (c1, c 2, c3 ) 7) AiB = Bi A ⇒ (a1 , a2 , a 3 )i(b1,b2 ,b3 ) = a1b1 + a 2b 2 + a 3b 3 = b1a 1 +b 2a 2 +b 3a 3 = B iA 8) Ai(B + C ) = AiB + AiC ⇒ (a1, a2 , a3 ) • (b1 + c1,b2 + c 2 ,b3 + c 3 )
= a1 (b1 + c1 ) + a2 (b2 + c2 ) + a3 (b3 + c3 )
9) e( AiB) = (eA)iBe ( (a1 , a2 , a3 )i(b1, b2 , b3 ) ) = e(a1b1 + a2b2 + a3b3 ) = e( a1b1 ) + e(a2b2 ) + e(a3b3 ) = (ea1)b1 + (ea2 )b2 + (ea3 )b3 = (ea1, ea2, ea3)i(b1 , b2 , b3 ) = (eA) iB
10)(a)0i A = 0 ⇒ (0, 0, 0)i(a1, a2 , a3 ) = 0a1 + 0a2 + 0a3 = 0 2 (b) Ai A = A ⇒ (a1 , a2 , a3 )i(a1 , a2 , a3 ) = a12 + a2 2 + a32
=
2 A
cosθ . Si θ es el ángulo entre A y B , calcule cosθ
11)(a ) A = ( 4, 3); B = (−1, −1) (a ) Ai B = 4 − 3 = 1; ⇒ A = 16 + 9 1 1 Ai B cos θ = = 2 = 5 2 10 A B
= 5;
(b) A = 5i − 12 j; B = 4i + 3 j 3 6 = −16 ⇒ A = 25 + 14 144 Ai B = 20 − 36 16 Ai B −16 cos θ = = =− (13)(5) 65 A B
B
=
= 13;
12)(a)A = (−2, −3); B = (3, 2) (a)AiB = (−2, −3)i(3, 2) = (−2)3+ (−3)2= −6⇒ A AiB −16 6 cosθ = = =− 13 13 ⋅ 13 A B
=
(b)A = 2i + 4 j, B = −5 j (b)AiB = (2i + 4 j)i(−5 j) = 2(0) + 4( 4(−5) = −20⇒ A Ai B 2 −20 =− 5 cosθ = =
=
1+ 1 =
2
=
16 + 9
B
=5
22 + 32 = 13; B
=
32 + 22 = 13
22 + 42 = 20 = 2 5; B
=
02 + 52 = 5
13) Determine el valor de k tal que la medida en radianes del ángulo entre los vectores 1 A = 3i + 2 j; B = 2i + kj sea π 4 A = 3i + 2 j; B = 2i + kj Ai B = A B cos( π 4 )
6 + 2k
=
13 4 + k 2
⎛ ⎜⎜ ⎝
2⎞ 2
⎟⎟ ⇒ 78 + 48k + 8k 2 = 52 + 3k 2 ⎠
5k 2 − 48k − 20 = 0 ⇒ (5k + 2)(k − 10) = 0 ⇒ k
2
= − ∨ k = 10 3
14) Sean A = ki − 2 j y B = ki + 6 j , donde k es un escalar. Obtener el valor de k tal que
A y B sean ortogonales.
2 A y B son ortogona ortogonales les :⇔ A i B = 0 ⇒ (ki − 2 j )i(ki + 6 j ) = k − 12 ⇒ k = ±2 3
15) Sean A = 5i − kj y B = ki + 6 j , donde k es un escalar. Obtenga el valor de k tal que
(a) A y B sean ortogonales, y (b) A y B sean paralelos. (a ) A y B so sonortogonales ⇔ Ai B = 0 ⇔ 5k − 6k − 0 ⇔ k = 0
(b) A y B son parale paralelas las solo solo si existe existe un escala escalarr difere diferente nte de cero cerotal tal que :
aA = B ⇒ a (5i − kj ) = ki ki + 6 j ⇒ 5a = k ∧ − ak
= 6 ⇒ − 5 a 2 = 6.
Esta ecuación no tiene solución en los números reales.
16) Determine el valor de k tal que los vectores del ejercicio 14, tengan direcciones opuestas. A = ki − 2 j y B
= ki + 6 j Entonces A y B tienen direcciones opuestas si A = c B
Es negativa para algunos escalares c. 1
17) Si A = −8i + 4 j y B = 7i − 6 j , calcule: (a) la proyección escalar de A sobre B , y (b) El
vector proyección de A sobre B
A = −8i + 4 j; B = 7i − 6 j. ⇒ AiB = (−8)(7) + 4(−6) = −80; Α = 82 + 42 AiB AiB 80 80 112 90 A B = = − i+ j. , AB = 2 B = − (7i − 6 j) = − 85 17 17 85 B B
=4
5; B
=
72 + 62 = 85.
18) Para los vectores del ejercicio 17, (a) obtenga la proyección escalar de B sobre A , y (b) el Vector proyección de B sobre A .
Ai B B A = A
=
−80 = −4 5 , B A
4 5
=
Ai B −80 ( −8i + 4 j ) = 8i − 4 j 2 A= 80 A
19) Determine la componente del vector A = 5i − 6 j en la dirección del vector B = 7i + j Ai B B
=
35 − 6 49 + 1
=
29 50
=
29
2.
10
20) Para los vectores A y B A = 5i − 6 j B = 7i + j , calcule la componente de B en la
dirección de A .
La componente del vector B en la dirección de B es B A La proyección escalar es
Bi A
B A = A
=
(5i − 6 j)i(7i + j) 5i − 6 j
Ejercicios 21 a 26. A =
=
5(7) − (−6)1
−4, −2, 4
52 + 62
=
29 61
; B = 2, 7, −1 ; C
=
6, − 3, 0 y D = 5, 4, − 3
21) Obtenga:
(a) Ai( B + C )
−4, −2, 4 i(
2, 7, −1
+
6, −3, 0
) = −4, −2, 4 i 8, 4, −1 = −32 − 8 − 4 = − 44
(b)( Ai B)(Ci D)
(
)(
)
(c) Ai D − BiC
( −4, −2, 4 i 5, 4, 3 ) − ( 2, 7, −1 i 6, −3, 0 ) = ( −20 −8 −12) −(12 −21 +0) = −40 −( −9) = −31
(d )(BiD) A − (Di A)B
(
2, 7, −1 i 5, 4, 3
) −4, −2, 4 − ( 5, 4, 3 i −4, −2, 4 ) 2, 7, −1 =
(10 + 28 + 3)
−4, −2, 4 − (−20 − 8 −12) 2, 7, −1 = 41 −4, −2, 4 + 40 (−164, −82,164) + (80,28 ,280, −40) = ( −84,198,124)
2, 7, −1
=
22) Obtenga:
(a ) Ai B + AiC
−4, −2, 4 i
2, 7, −1
+ −4, −2, 4 i 6, − 3, 0 = − 8 − 14 − 4 − 24 + 6 + 0 = − 44
(b)( Ai B )(B iC )
( −4, −2, 4 i 2, 7, −1 ) (
2, 7, −1 i 6, − 3, 0
) = (− 8 − 14 − 4)(12 − 21+ 0) = (− 26)(− 9) = 234
(c)( AiB)C + (BiC)D
( −4, −2, 4 i 2,7, −1 ) 6, −3, 0 +( 2,7, −1 i 6, −3,0 ) 5, 4, −3 = −26 6, −3,0 −9 5, 4,−3 = −201, 42, 27 (d )( )(2A+ 3B)i(4C − D)
( −8, −4,8 + 6, 21, −3 )i( 24, −12,0 − 5, 4,−3 ) = −2,17,5 i 19,−16,3 = 295 23) Calcule:
( a ) co cos θ si θ es el ángulo entre A y C . AiC =
−4, −2, 2, 4 i 6, −3, 3, 0 = −24 + 6 + 0 = −18;
(a) co cosθ =
AiC A C
=
−18 6(3 5) 5)
=−
A
=
16 + 4 + 16 = 6; C = 36+ 9+ 0 = 3 5
1 5
(b) La componente de C en la dirección de A
C
θ
⎛
3 5⎜
1
⎞ ⎟
3
24) Determine:
( a ) co cos θ si θ es el ángulo entre B y D . (c) B = 2, 7, −1 = 22 + 72 + (−1)2 = 54 ; D = 5, 4, −3 BiD = 2, 7, −1 i 5, 4, −3 = 2(5) + 7(4) + (−1)(−3) = 41 41 41 Bi D cos θ = = 3 = 54 50 90 B D (b) La componente de B en la dirección de D . B D
Bi D = D
=
=
52 + 42 + (−3)2
41
=
50
41 10
2
(c ) El vector proyección de B sobre D . B i D 41 5, 4, −3 B D = 2 D = 5 0 D
=
41 82 123 , ,− . 10 25 50
25) Obtenga:
(a ) La proyección escalar de A sobre B .
Ai B = −4, −2, 2, 4 i 2, 7, −1 Ai B −26 13 =− 6 (a ) = 9 3 6 B
= −8 −14 − 4 = −26;
B
=
4 + 49 + 1 = 54 = 3 6
(b) El vector proyección de A sobre B
Ai B −26 (b) 2 B = 2, 7, −1
B
54
= −
26 27
,−
91 13 , 27 27
26) Calcule: (a ) La proyección escalar de D sobre C .
2
2
2
=
50
C i D 18 6, −3, 0 (b) El vector proyección de D sobre C DC = 2 C =
45
C
=
12
6 ,− ,0 5 5
27) Calcule la distancia del punto ( 2, −1, −4) a la recta que pasa por los puntos (3, −2, 2) y (−9, − 6, 6) .
( )=
V AP
−1,1, −6 ⇒
( )
2
V AP
= 1 + 1 + 36 = 38; 2
( ) = −12, −4,4, 4 ⇒ V ( AB ) = 144 + 16 + 16 = 176 V ( AP )iV ( AB ) = −1, 1, −6 i −12, −4, 4 = 12 − 4 − 24 = − 16.
V AB
2
2 ⎡V ( AP )iV ( AB ) ⎤ ⎣ ⎦ = d = V ( AP ) − 2
38 −
( )
V AB
256 176
=
402 11
=
1 11
4422
28) Determine la distancia del punto (3,2,1 (3, 2,1)) a la recta que pasa por los puntos (1, 2, 9) y (−3, −6, − 3) Sea “D” el pie de la perpendicular de p. en AP
AP AB
=
3, 2, 1
−
1, 2, 9
= −3, −6, −3 −
=
2 , 0, − 8
1, 2, 9
=
AD
=
A P AB
=
=
c2
− a2 =
68 −
484
d
14
=
=
22
+ 0 2 + 82 ⇒ c =
= − 4, − 8, − 12
AP i AB AB
s ea a
Sea c
AP
=
234 7
− 8 + 0 + 96 88 = = 2 2 2 4 14 14 4 + 8 + 12
= =
1 2
16 38
22 14
⇒
68 .
29) Pruebe, empleando vectores, que los puntos dados son los vértices de un 2, 2) 2); B ( 2, 0, 0,1); C ( 4, 1, − 1) y D (4, 3, 0) 0) rectángulo A(2, 2,
Sean: A = 2, 2, 2 ; B = 2, 0,1 ; C
=
4,1, − 1 y D = 4, 3, 0
V BC = 2,1, −2 = V AD asi ABCD es un paralelogramo. V AB iV AD = 0, −2, −1 i 2,1, −2 = 0 asi se se demuestra que tiene ángulo en en A.
( ) ( ) ( )
( )
Por lo que es un ángulo recto en A. Por lo que el paralelogramo es un rectangulo.
30) Demuestre paralelogramo.
utilizando vectores que los puntos dados, son los vértices de un
A = 2, 2, 2 ; B = 0,1, 2 ; C = − 1, 3, 3 y D = 3, 0,1 AD = 1, −2, −1 = CB ⇒ ADCB es un paralelogramo.
31) Determine el área del triángulo cuyos vértices son: A(−2, 3,1), B (1, 2, 2, 3) y P (3, − 1, 2) 2)
2
2
( ) V ( AP)iV ( AB) =15+ 4+ 2 = 21. V AB
=
3, −1, 1, 2
= 9+1+ 4 =14; V ( AP) =
A =
1 2
32)
bh 1
2
=
2
5, −4, 4,1
( )
V AB
( )
V AB
=
7 2
(2)(6) − 9 =
7 2
2
16+1= 42 = 25+16
2
2 ⎡V ( AP)iV ( AB) ⎤ ⎦ =1 V ( AP) − ⎣ 2
(14)(42) − (21)2
2
2
2
( ) V ( AB)
V AP
2
2
− ⎡⎣V ( AP)iV( AB)⎤⎦ =
3
Demuestre,
empleando vectores, que los puntos de un triángulo rectángulo, y A( −2,1, 6), B ( 2, 4, 5) y C (−1, − 2,1) Son los vértices
determine el área del triángulo. Tenemos : AB = 2, 4, 5
− −2,1, 6 =
4, 3, −1 y AC =
−1, −2,1 − −2,1, 6 = 1, −3, −5
33) Determine dos vectores unitarios que tengan una representación cuyo punto inicial sea el punto (2,4) , y que sean tangentes a la parábola y = x 2 en ese punto.
⇒ y′ = 2 x ⇒ y′(2) = 4. así ± 1, 4 ± 1, 4 U= U = ⇒ 17 12 + 42
y = x
2
1, 4 es un vector tangente.
34) Determine dos vectores unitarios que tengan una representación cuyo punto inicial sea el punto (2,4) , y que sean normales a la parábola y = x 2 en ese punto. De la para parabo bola la y = x 2 , y = 2 x. Por Por lo tant tanto, o, una una para parabo bola la norm normal al en el punt punto o (2,4 (2,4)) tiene tiene 1 −1 una una pend pendie ient ntee de . Por Por lo tant tanto o tan tan θ = − . Los vectore toress unit unitaarios rios requ requeerido ridoss son son 4 4
± (cosθi + sinθ j), que son : −
4 17
i+
1 17
j
∧
4 17
i−
1 17
j es equivalente:
4 17
17i +
1 17
17 j ∧
4 17
17i −
1 17
17 j.
35) Si A = 3i + 5 j − 3k ; B = −i − 2 j + 3k y C = 2i − j + 4k , obtenga la componente de B en la direccion de A − 2C .
A − 2C = (3i + 5 j −3k) −2(2i − j +4k) = −i +7 j −11k. la componentede tede B enladire nladireccciónde iónde A −2C es Bi( A− 2C ) −46 46 19 1−14 −33 33 = =− = 57 1+ 49 +121 171 A − 2C
36) Calcule los cosenos
de los ángulos del triángulo que tiene vértices en 0, 0) 0), B ( 4, −1, 3) y C (1, 2, 2, 3) . A(0, 0, Encontr Encontrar ar los los cose cosenos nos de de los los ángul ángulos os del del triá triángul ngulo o con vér vérti tice cess en A (0,0, 0 ) ,
B ( 4 , − 1, 3 ) y C (1, 2, 2, 3 ) .
b = AC
c = AB
=
1, 2, 3
=
4,1, −3
= =
12 + 22 + 32
=
42 + 12 + 32
=
14 26
Se aplica la ley del coseno, para determinar los cosenos de los ángulos respectivos co s A co s B
b2
=
+ c2 − a2 2b c
a2
=
+ c2 − b2 2 ac
co s C =
a2
=
14 +
26 − 18
2 14
26
=
=
18 + 26 − 14
(
2 3 2
+ b2 − c2 2ab
=
)
26
18 + 14 − 2 6
(
2 3 2
)
=
14
=
11 14
26
5
=
2 13 1 2 7
=
11 91
=
182
5 13 26 7 14
37) Un vector F representa una fuerza que tiene una intensidad de 8 lb y su dirección
está determinada por el ángulo cuya medida en radianes es
1 3
π . Determine el trabajo
realizado por la fuerza al desplazar un objeto. (a ) A lo largo del eje x desde el origen hasta el punto ( 6,0 6, 0 ) , y (b) A lo largo del eje y desde el origen hasta el punto ( 0,6 0, 6 ) . La distancia se mide en pies. F
= 8(cos( π3 )i + s en( π 3 ) j) = 4i + 4
3j
a) Si W1 (ft‐ (ft‐ lb) es el trabajo realizado por la fuerza F al mover un objeto a lo largo del eje x, desde el origen hasta el punto (6, 0), entonces: ( a)W1 = F i 6, 0
=
4, 4 3 i 6, 0
= 24
b) Si W2 (ft‐ (ft‐ lb) es el trabajo realizado por la fuerza F al mover un objeto a lo largo del eje y, desde el origen hasta el punto (0, 6), entonces: (b)W2
= F i
0, 6
=
4, 4 3 i 0, 6
= 24
3. 3.
38) Un vector F representa una fuerza que tiene una intensidad de 10 lb y su dirección está determinada por el ángulo cuya medida en radianes es
1 4
π . Determine el trabajo
realizado por la fuerza al desplazar un objeto desde el punto (0, −2) hasta el punto
39) Un vector F representa una fuerza que tiene una intensidad de 9 lb y su dirección 2
está determinada por el ángulo cuya medida en radianes es
3
π . Determine el trabajo
realizado por la fuerza el desplazar un objeto desde el origen hasta el punto ( −4, −2) . La distancia es medida en pies.
F
W
= 9(cos ( 23π ) i + sen ( 23π ) j ) = −
= F i −4, −2 = −
9 9 , 3 i 2 2
9 2
i+
9 2
3j
−4, −2 = 18 − 9
3 ≈ 2.41
40) Dos fuerzas representadas por los vectores F1 y F 2 actúan sobre una partícula ocasionando que se desplace a lo largo de una recta desde el punto (2,5) hasta el punto (7,3) . Si
F1 = 3i − j y F2
= −4i + 5 j , y si las intensidades de las fuerzas se miden en
libras y la distancia en pies, calcule el trabajo realizado por las dos fuerzas al actuar juntas.
Dos fuerzas representadas por los vectores F1 = 3i − j y F2 = −4i + 5 j actúan sobre la partícula y es la causa que la mueva a lo largo de una línea recta del punto A(2,5) al punto B (7,3)
El vector de desplazamiento está dado por D = B − A = 7, 3 El trabajo realizado por las fuerzas está dado por: W = ( F1 + F2 )i D = [ (3i − j ) + ( −4i + 5 j) ]i(5i − 2 j)
−
2, 5
= 5i − 2 j
= ( −1)5 + 4( −2) = −13
El trabajo realizado es de ‐13 lb‐ lb‐ft
41) Si una fuerza tiene la representación vectorial F
= 3i − 2 j + k , calcule el trabajo
realizado por la fuerza al desplazar un objeto a lo largo de una recta desde el punto 3, 4) 4) hasta el punto P2 = (1, −3,5) ,5) . La intensidad de la fuerza se mide en libras y la P1 (−2, 3,
42) Si una fuerza tiene la representación vectorial F
= 5i − 3k , calcule el trabajo
realizado por la fuerza al desplazar un objeto a lo largo de una recta desde el punto 6, 2) 2) . La intensidad de la fuerza se mide en libras y la P1 (4,1,3) hasta el punto P2 ( −5, 6, distancia en pies.
W
=
F i D = (5i − 3k )i ( ( −5, 6, 3) − (4,1, 3)
)=
5, 0, −3 i
−9, 5, −1 = −42.
43) El vector F representa una fuerza que tiene una intensidad de 10 lb , y los cosenos
directores de F son
cos α
=
1 6
6 y cos β =
1 3
6 . Si la fuerza desplaza un cuerpo a lo
largo de una recta desde el origen hasta el punto (7, −4, 2) 2) , calcule el trabajo realizado. La distancia se mide en pies.
Para la fuerza F, cosα
⎛ ⎜⎜ ⎝
2
6⎞
⎛ + ⎟ ⎜ 6 ⎟⎠ ⎜⎝
6
=
6
6⎞
y cosβ =
6 3
. Por lo tanto
1 2
1
⎟⎟ + cos2 γ =1⇒ + + cos2 γ =1 ⇒cos2 γ = ⇒cosγ = 3⎠ 6 3 6
6 6
⎛ F = 10⎜ ⇒ ⎜ ⎝
6 6
i+
6 3
j+
6 6
⎞ ⎟ ⎠
k⎟
Si ft-l ft-lb b W es el el traba trabajo jo real realiza izado do por F al mover mover un objet objeto o desde desde el origen origen hasta hasta ( 7, − 4, 2 )
W
⎛ 5 6 10 6 5 6 ⎞ 35 6 40 40 6 1 0 6 5 6 i+ j+ k ⎟i ( 7 i − 2 j + 2 κ ) = = F iV ( O P ) = ⎜⎜ + + = ⎟ 3 3 3 3 3 3 3 ⎝ ⎠
44) Si A y B son vectores diferentes del vector cero, demuestre que el vector A − cB es
Ai B ortogonal a B si c = 2 B
(
)
Los vectores A − cB y B son ortogonales si A − cB i B = 0 (1)
La ecuación es verdadera si y solo si Ai B − cB i B Ya que: B
= 0 ⇒ Ai B − c
B
2
=0
( 2)
≠ 0 podemos resolver la ecuación (2), que contiene todos los escalares, por c,
45) Si A = 12i + 9 j − 5k y B = 4i + 3 j − 5k , emplee el resultado del ejercicio 44 Para
determinar el valor del escalar c de modo que el valor B − cA sea ortogonal a A . A = 12i + 9 j − 5k , B = 4 + 3 j − 5k . del ejercicio 44, B − cA es ortogonal a A si B i A ( 4i + 3 j − 5k )i(12i + 9 j − 5k ) 48 + 27 + 25 100 2 c= 2 = = = = 144 + 81 81 + 25 250 250 5 A
46) Para los vectores del ejercicio 45 Utilice el resultado del ejercicio 44 a fin de calcular el valor del escalar d de modo que el vector A − dB sea ortogonal a B .
A = 12i + 9 j − 5k ; B = 4i + 3 j − 5k ⇒ A − dB es ortogonal a B si Ai B ( 4i + 3 j − 5k )i(12i + 9 j − 5k ) 48 + 27 + 25 100 c= 2 = = = =2 1 6 9 2 5 5 0 5 0 + + B
47) Demuestre que si B A + A B y B A −
A y B son dos vectores cualesquiera, entonces los vectores A B . Son ortogonales.
B A + A B i B A − A B = B Ai B A − A Bi A B = B ∴ los vectores B A + A B y B A − A B son ortogonales.
(
)(
)
2
2 2 A − A B
2
=0
48) Demuestre que si, A y B son dos vectores cualesquiera diferente del vector cero y C
=
B A + A B entonces el ángulo entre A y C tiene la misma medida en radianes que
el ángulo entre B y C . Demostrar que A y B son dos vectores distintos de cero y C = B A + A B, ⇒ el ang angul ulo o θ1 entre ntre A y C tien tienee la misma isma medida dida que que el ángul ngulo o θ 2 entr entree B y C .
Sea U
=
A yV A
=
B son las directrices de A y B . Luego B
U ⋅ U + V cos θ 1 = = U D 1 D V ⋅ U + V V ⋅D cos θ 2 = = 1 D V D U ⋅D
(
(
) = 1 + U ⋅V
)
D 1 + U ⋅V = D
Porq Porque ue cos cosθ1 = cos cos θ 2 , el ángul ngulo o ent entre re A y C tie tiene ne la mism isma med medid idaa que que el ang angul ulo o ent entre re B y C.
49) Demuestre que dos vectores diferentes del vector cero son paralelos si y solo si la medida en radianes del ángulo entre ellos es 0 o π . distintos de cero , enton Si A y B son dos vectores paralel lelos distintos tonces B = kA. Si α es la medida ida
en radianes del ángulo entre ellos ⇒ A ⋅ kA k A⋅ A Ai B = = cos α = A B A kA ⏐k A 2
2 k A = 2 = ±1, asi α = 0 o π ⏐k A AiB = 1∴ Por Por el contra contrario rio, si α = 0 ⇒ cos α = A B
( )
(
)
2
⎛ A − B ⎞ = A ⋅ A − 2 A ⋅ B + B ⋅ B = 1 − 2 + 1 = 0; ⎜ A B ⎟ A 2 A B B 2 ⎝ ⎠ Por lo tanto existe un escalar k =
B A
tal que B = kA y de modo que A y B son paralelos
B Del mismo modo si α = π ⇒ cos α = −1 y B = − A y otra vez A y B son paralelos A
50) Demuestre, mediante análisis vectorial, que las medianas de un triángulo son concurrentes, es decir coinciden en un punto. Las medianas del triángulo abc se encuentran en un punto. Sea g el punto desde el punto a hasta el punto medio de bc entonces
g
2 2 1 1 1 1 1 = ⎛⎜1 − ⎞⎟ a + ⎛⎜ b + c ⎞⎟ = a + b + c ⎝ 3⎠ 3⎝2 2 ⎠ 3 3 3
2 3
del camino
51) Demuestre, mediante análisis vectorial, que el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y su longitud es la mitad de la longitud del tercer lado. El El seg segmento de la líne línea que que une los los pun puntos tos me medios ios de dos lado lados de un triá trián ngulo es para parale lela la al al terc terceer lado lado y su longitu longitud d es la mitad mitad de la longit longitud ud del del terce tercerr lado lado. Si P es eell pun punto medio de AB y Q el punt punto o medio edio de AC ⇒ 1 1 1 1 PQ = q − p = ( a + c ) − ( a + b) = ( c − b ) = BC 2 2 2 2 PQ es paral paraleela a AB y la mitad itad de su longi longitu tud d .
52) Demuestre, mediante análisis vectorial, que el segmento de la recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo a los lados paralelos del trapecio y su longitud es la mitad de la suma de las longitudes de los lados paralelos. La recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paralela a los lados paralelos y que su longitud es la mitad de la suma de las longitudes de los lados paralelos. ABCD es un trapecio con los lados paralelos AB y DC, sea E el punto medio del lado AD y F el punto medio del lado BC. ver la figura. Para simplificar la notacion, que el vect vector or AB te indic indican an que la dirigio dirigio el segment segmento o AB como una represent representació ación n, y de modo modo similar similar a otros otros segmento segmentoss de linea linea que se dirige dirige. El origen origen 0 no se muest muestra ra.
Debido a que E es el punto medio del segmento AD y F el punto medio de BC,a continuacion,
OE =
OB
2
+
OD
2
y OF =
OB
2
+
OC
2
⇒
⎛ OB OC ⎞ ⎛ OB OD ⎞ 1 1 + ⎟−⎜ + EF = OF − OE = ⎜ ⎟ = ( OB − OA) + ( OC − OD) = 2 2 2 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
AB
Debido a AB y DC son paralelos y los vectores vectores tienen la misma direccion , existe
2
+
DC
2
EF
=
AB
2
+
k AB AB
2
=
(1 + k ) AB 2
Por EF es un un múlti múltipl plo o esca escala larr de AB , enton entonce cess EF es paralela paralela a AB. Por otra otra parte parte 1 1 EF = (1 + k ) AB = (1 + k ) AB ; (1 + k > 0 ) 2 2 1 1 = AB + k AB = AB + k A B ; ( k > 0 ) 2 2 1 = AB + D C 2
(
)
(
(
)
)
53) Observe la figura adjunta donde θ 1 es el ángulo de incidencia y θ 2 es el ángulo de refacción, de la ley de Snell, sin θ1 = μ sin θ 2 .Donde μ es el índice de refacción del medio más denso. Demuestre que si A es un vector unitario a lo largo del rayo incidente, B es un vector unitario a lo largo del rayo refractado, F es un vector unitario en la interface y N es el vector normal unitario en la interface como se muestra en la figura, entonces Ai F + μ Bi F = 0
Sea Sea F un vector uni unitario en la interfaz hac hacia la izqui quierda , y α 1 el compl mplemen mento de θ 1 y α 2 sea el complem com plem ento ent o de θ 2 . A contin con tinuac uación ión : A i F+ μ B ⋅ F = co s α 1 + μ cos α 2 = s en θ1 − μ sen θ 2 = 0
54) Demuestre la desigualdad de CAUCHY‐ CAUCHY‐SCHWARS: si A y B son dos vectores
cualesquiera, entonces Ai B
≤
A B , donde la igualdad se cumple si y solo si existe un
escalar c tal que A = cB , es decir, A y B son paralelos. Hemo Hemoss xA− B > 0,
(
)(
)
Debido Debido a que la cuadrática cuadrática no tiene raíces raíces , su discriinante discriinante es negativo negativo , es decir , 2 2 2 2 2 2 2 A ⋅ B − 4 A B < 0 ⇔ A ⋅ B < A B ⇔⏐Α ⋅ Β⏐< Α Β
(
)
(
)
55) Demuestre el siguiente teorema: Si A y B son dos vectores cualesquiera, entonces Ai B Ai B
2
=
2
= ( A + B )i( A + B ) = Ai A + 2 AiB + B iB =
A
2
+ 2 Ai B +
2
B .
A
56) Demuestre el teorema de Pitágoras: A + B
2
+ 2A iB + 2
=
A
2
+
B
2
2
B si y solo si A y B son
ortogonales. A y B son ortogo ortogona nales les
Ai B
⇔
= 0 ⇔ A 2 +2 AB+ B 2 = A 2 + B 2 ⇔ A + B 2= A 2 + B 2
57) Demuestre la ley del paralelogramo: Si A y B son dos vectores cualesquiera,
entonces A + B
2
+
A− B
2
=2
A
2
+2
B
2
¿Cuál es la interpretación geométrica de
esta identidad?. Observe la figura adjunta que muestra el paralelogramo determinado
por las representaciones de los vectores A y B . Sugerencia : Observe la figura adjunta que muestra el paralelogr paralelogramo amo determinado determinado p or las representaciones de los vectore s A y B.
A+B A
A‐B B
Demostrar la ley del paralelogramo
A + B
2
+
A− B
2
=(
Ai A + 2 Ai B + B iB
=(
A+B i A+B
)+(
)(
)+(
A −B i A −B
Ai A − 2 Ai B + B iB
)(
)
)
= 2 Ai A + 2Bi B
=2 A
2
+2 B
2
La interpretación geométrica es que el perímetro de un paralelogramo es igual a la suma de las longitudes de sus diagonales,Lo contrario, también es cierto: si un cuadrilátero Q en Q en
