producto punto y producto cruz

Universidad de Santiago de Chile

Producto Punto – Producto Cruz

PRODUCTO PUNTO Hasta aquí se han sumado y restado dos vectores, y ponderado un vector por un escalar. Nos preguntamos ¿es posible multiplicar dos vectores, de modo que su producto sea una cantidad útil? Uno de esos productos es el producto punto, cuya definición damos a continuación. Otro producto es el producto cruz que se definirá posteriormente. Ambos son muy útiles en algunas aplicaciones físicas y tienen interesantes interpretaciones geométricas

Definición:

Si a = a1 , a 2 , a3 punto de

a

y b = b1 , b2 , b3 y

b

son dos vectores, entonces el producto

que se anota

a• b

es el número real dado por

a • b = a1· b1 + a2 · b2 + a3 · b3 . El producto punto de vectores en dos dimensiones se define en forma semejante

a1 , a2 • b1 , b2

= a1· b1 + a2 · b2

Entonces para hallar el producto punto de los vectores a y b multiplicamos las componentes correspondientes y sumamos dichos productos. El resultado no es un vector, es un número real, es decir es un escalar. Por esta razón, el producto punto se le llama a veces producto escalar( o producto interior). interior). Ejemplo 1.

Si a = 2, − 1, 3 a•b =

Ejemplo 2.

Ejemplo 3.

2, − 1, 3 • 1, 2, − 3 = 2· 1 + (−1)·2 + 3·(−3) = −9

Si a = 3, − 2 a•b =

y b = 1, 2, − 3 , entonces el producto punto de a y b es:

y b = 2, − 3 , entonces el producto punto de a y b será:

3, − 2

• 2, − 3 = 3· 2 + (−2)·(−3) = 12

Si a = 4·i − 3· j + 4·k y b = 2·i − 4· j + 5·k , entonces a • b esta dado por: a • b = ( 4·i − 3· j + 4·k ) • ( 2·i − 4· j + 5·k ) = 4· 2 + ( −3)·( −4) + 4·5 = 40

Algunas propiedades del producto escalar se deducen directamente de la definición. Propiedades: Si a , b y c

son vectores y α y β son escalares, entonces

1.

a•a ≥ 0;

a•a = 0

2.

a • (b + c) = a • b + a • c ;

3.

α a • b = α (a • b)

⇔

a=0

( a + b) • c = a • c + b • c

a • β b = β (a • b)

a•b = b•a

Si a = a1 , a 2 , a3 , entonces a • a = a12 + a22 + a32 , con lo cual a =

Profesor Sr. Héctor Carreño G.

a •a

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Al producto punto a • b se le puede dar una interpretación geométrica en términos del ángulo de medida θ determinado por los vectores a

y b ,

que se define como el ángulo entre las representaciones de a y b que tienen su origen en el origen de coordenadas, donde 0 ≤ θ ≤ π . En otras palabras, θ es la medida del ángulo determinado entre los segmentos de recta OA y OB . En particular si a

y b

son vectores paralelos, entonces e ntonces

θ = 0 , o θ = π .

Teorema 1:

Si θ es el ángulo entre los vectores a

y b , entonces se verifica que

a • b = a · b · cos θ .

Ejemplo

Si los vectores

a

y b tiene longitudes 2 y 3, y el ángulo que forman entre

ellos mide 30º, encuentre a • b . Desarrollo: Usando el teorema anterior, tendremos a • b = a · b · cos θ = 2 · 3 · cos(30 º ) = 2 · 3 · cos( π 6 ) = 6 ·

Corolario:

Si θ es el ángulo entre los vectores a cosθ =

3 2

=3 3

y b no nulos, entonces a •b

a · b Se deduce de la ecuación dada anteriormente que si a y b son vectores no nulos, podemos expresar que la medida del ángulo θ que forman es

⎛ ⎜ a •b θ = Arc cos⎜ ⎜ a ·b ⎝


⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

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Ejemplo:


Hallar el ángulo entre los vectores a = i + j + k y b = i + j − k . Desarrollo: Usando el teorema 1, o bien la consecuencia del corolario, tenemos: (i + j + k ) • (i + j − k )

cos θ =

cosθ = cosθ =

(i + j + k ) · (i + j − k )

1+ 1−1

=

3· 3

1 3

1 3

θ = Arc cos(13 )

θ ≈ 71º

Ejercicio:

Hallar el ángulo entre los vectores a = 2, − 1, 3

y b = 1, 2, − 3 .

Desarrollo: a =

Como además

2 + (−1) + 3 2

2

a •b =

= 14

2

y

b =

1 + 2 + (−3) 2

2

2

=

14 , y

2, − 1, 3 • 1, 2, − 3 = 2· 1 + ( −1)·2 + 3·(−3) = −9 , entonces,

tendremos cosθ =

9

−9

=

14

14 · 14

9 ) ≈ 130º , por tanto θ = Arc cos(− 14

Dos vectores a y b no nulos se llaman perpendiculares u ortogonales si el ángulo entre ellos es θ =

π 2

, es decir θ = 90º . Entonces, por el teorema

anterior se tendrá: a • b = a · b · cos( π 2 ) = a · b · 0 = 0 Por el contrario, si a • b = 0 , entonces cos(θ ) = 0 , de modo que θ = pues

a ≠0 y

π 2

,

b ≠ 0 , ya que a y b no nulos. El vector 0 se considera

perpendicular a todos los vectores. Por tanto tenemos el siguiente método para determinar si dos vectores son ortogonales o perpendiculares: Teorema 2:

Los vectores a y b son ortogonales si y sólo si a • b = 0

Ejemplo:

Pruebe que los vectores a = 2, − 1, 3

y b = 7, 5, − 3

son ortogonales.

Desarrollo: Como

a •b =

2, − 1, 3 • 7, 5, − 3 = 2· 7 + (−1)·5 + 3·(−3) = 0 ,

estos dos

vectores son perpendiculares. perpendiculares.


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Podemos considerar que a • b mide la magnitud si a

y b

misma dirección. El producto punto a • b es positivo si a

apuntan en la y b

apuntan

en la misma dirección; el producto punto a • b es nulo o cero si a son perpendiculares, y el producto punto apuntan en direcciones opuestas.

a• b

es negativo si a

y b y b

En el caso extremo, cuando a y b tienen exactamente la misma dirección y sentido, tenemos que θ = 0 , el ángulo que forman es nulo, por lo que cos(θ ) = cos(0) = 1 , de donde a • b = a · b ·cos(0) = a · b ·1 = a · b .

Si a

y b

tienen la misma dirección, pero sentido contrario, entonces

θ = π , el ángulo que forman es extendido, por lo que cos(θ ) = cos(π ) = −1 , de donde a • b = a · b ·cos(θ ) = a · b ·(−1) = − a · b . Resumen:

El producto escalar proporciona un buen método para determinar determina r si dos vectores son perpendiculares. Con frecuencia diremos que los vectores perpendiculares son ortogonales. Los vectores de la base canónica { i, j , k } son ortogonales entre si y tienen longitud igual a 1; dichos sistemas de vectores se llaman ortonormales . Adoptamos la convención de que el vector cero es ortogonal ortogonal a todos los vectores.


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II.


Angulo y Cósenos de dirección Los ángulos directores de un vector a = a1 , a 2 , a3

no nulo, son los ángulos

α , β y δ del intervalo [0, π ] que forma el vector a con los semi ejes positivos. Los cosenos de estos ángulos, cos(α ), cos( β ) y cos(δ ) se llaman cosenos directores del vector a .

cos(α ) =

a1 a

cos( β ) =

a2 a

cos(δ ) =

a3 a

Para justificar estos resultado usando el corolario del teorema 1, con

b

sustituido por el vector unitario i = 1, 0, 0 , obtenemos por ejemplo cos θ =

a •b a · b


=

a •i a · i

=

a1 a ·1

=

a1 a

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a1

Si se elevan al cuadrado las expresiones cos(α ) =

a a2

cos( β ) =

a a3

cos(δ ) =

a y las sumamos, obtenemos que a 12

cos (α ) + cos ( β ) + cos (δ ) = 2

2

2

2

a 22

+

2

a

2

a

a

a1 + a 2 + a3 2

=

2

a3

+

2

2

2

a 2

a

=

2

=1

a 2 2 2 Por tanto cos (α ) + cos ( β ) + cos (δ ) = 1

También las ecuaciones de los cosenos directores se pueden expresar como a1 = a ·cos(α )

a2 = a ·cos(β ) a3 = a ·cos(δ ) a = a1 , a 2 , a3 , puede ser expresado en forma

Por tanto todo vector

ponderado de la siguiente manera modo que

cos(α ), cos( β ), cos(δ ) =

a = a · cos(α ), cos( β ), cos(δ ) , de 1

·a =

a cosenos directores del vector a

a

, que establece que los

a

son las componentes del vector unitario

en la dirección del vector a . Ejemplo:

Encuentre las medidas de los cosenos directores del vector a = 1, 3, 2 Desarrollo: Como a = cos( β ) =

1 +3 +2 2

3 14

β = Arc cos(


2

y 3 ) 14

2

=

cos(δ ) =

14 , las ecuaciones pedidas dan cos(α ) = 2 14

,

≈ 37º y δ = Arc cos(

de 2 ) 14

donde

α = Arc cos(

1 ) 14

1 14

,

≈ 74º ,

≈ 58º

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PRODUCTO CRUZ El producto cruz a × b de dos vectores a y b , a diferencia del producto punto, es un vector. Por esta razón, también recibe el nombre de producto vectorial. Note que a × b esta definido sólo cuando los vectores a y b , son tridimensionales . Definición:

Si a = a1 , a2 , a3

y b = b1 , b2 , b3 , entonces el producto cruz de a y b que

se anota por a × b determinante:

es el vector que se determina por el siguiente i

j

k

a × b = a1

a2

a3

b1

b2

b3

Aun cuando la primera fila del determinante simbólico de la fórmula anterior está formado por vectores, los vectores de la base canónica { i, j , k } , si la expandimos como si fuera un determinante ordinario usando la regla de expansión de los determinantes en términos de la primera fila, obtendremos el vector resultante del producto cruz de a y b , de la siguiente forma i

j

k

a × b = a1

a2

a3 = i ⋅

b1

b2

b3

a2

a3

b2

b3

− j ⋅

a1

a3

b1

b3

+ k ⋅

a1

a2

b1

b2

La fórmula simbólica de la ecuación anterior es probablemente la forma más fácil de recordar y calcular el producto cruz entre dos vectores, en la cual se usa la notación de determinantes. Un determinante de orden 2 esta dado por:

Ejemplo 1.

Si a = 2, − 1, 3

a

b

c

d

= a·d − b·c

y b = 1, 2, − 3 , entonces el producto cruz de a y b será i

a ×b = 2 1

=i⋅

j

k

−1

3

2

−3

−1

3

2

−3

− j ⋅

2

3

1

−3

+ k ⋅

2

−1

1

2

= (3 − 6)·i − (−6 − 3)· j + (4 + 1)·k = −3·i + 9· j + 5·k


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Ejercicio 1.


Demuestre que a × a = 0 , para cualquier vector a en V 3 . Desarrollo: Si a = a1 , a2 , a3 , entonces i

j

k

a × a = a1

a2

a3 = i ⋅

a1

a2

a3

a2

a3

a2

a3

− j ⋅

a1

a3

a1

a3

+ k ⋅

a1

a2

a1

a2

= ( a2 ·a3 − a2 ·a3 )·i − ( a1 ·a3 − a1 ·a3 )· j + ( a1 ·a2 − a1 ·a2 )·k = 0·i + 0· j + 0·k

=0 Una de las propiedades más importantes del producto cruz está dada por el siguiente teorema. Teorema 1:

El vector a × b es octogonal a los vectores a y b .

Si a y b están representados por segmentos de recta dirigidos con el mismo punto inicial, entonces el teorema 1 establece que el producto cruz a × b

apunta en una dirección

perpendicular al plano que pasa por a y b . Resulta entonces que la dirección de a × b está dada por la regla de la mano derecha: si los dedos de la mano derecha se doblan en al dirección de una rotación (en un ángulo menor que 180º) de a y b , entonces el pulgar apunta en la dirección de a × b .


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Ahora que conocemos la dirección del vector a × b , lo que resta para completar su descripción geométrica es su longitud longitud

Teorema 2:

Si θ es el ángulo entre los vectores a

a×b

y b (de modo que 0 ≤ θ ≤ π ),

entonces la longitud del vector a × b esta dada por a × b = a · b ·senθ

Corolario:

Dos vectores no nulos a y b son paralelos si y solo si a × b = 0 La interpretación geométrica del teorema de la longitud del vector a × b se puede visualizar de la siguiente forma: Si a y b están representados por segmentos de recta dirigidos y con el mismo origen, entonces determinan un paralelogramo con base

⎞ a , altura h = b ·senθ y área A = a ·⎛ ⎜ b ·senθ ⎟ ⎝

⎠

es decir A = a × b . Así, tenemos la siguiente forma de interpretar la longitud de un producto cruz. La longitud del producto cruz a × b es igual al área del paralelogramo determinado por los vectores a y b .

Ejemplo 1.

Encuentre el área del paralelogramo determinado por los siguientes vectores a = 2, − 1, 3

y b = 1, 2, − 3 .

Desarrollo: Como el producto cruz de a y b es a × b =

por tanto, el área será A = a × b =


i

j

k

2

−1

3

1

2

−3

( −3) + 9 + 5 2

2

2

=

= −3·i + 9· j + 5·k ,

115 .

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El producto vectorial verifica la siguiente propiedad: Si a , b y c son tres vectores a • (b × c) = (a × b) • c El producto a • (b × c) se llama producto escalar triple de los vectores a , b y c , su nombre se debe al hecho de que se obtiene un escalar; y el producto escalar triple lo podemos escribir como el siguiente determinante:

a • (b × c) =

a1

a2

a3

b1

b2

b3

c1

c2

c3

La importancia geométrica del producto escalar triple se puede ver si consideramos el paralelepípedo determinado por los vectores a , b y c (ver figura siguiente). El área del paralelogramo base es A = a × b . Si ϕ es el ángulo entre los vectores

c

y

a × b , entonces la altura

h

del

paralelepípedo es h = c · cos ϕ . (Debemos de usar cos ϕ en lugar de cos ϕ , ya que estamos calculando una altura). Por tanto, el volumen del sólido será V = A·h = a × b · c · cos ϕ = (a × b) • c

De lo anterior, hemos probado el siguiente resultado. El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores a , b y c es igual a la magnitud de su producto escalar triple, es decir V =

a • (b × c)

Si empleamos la fórmula anterior y descubrimos que el volumen del paralelepípedo determinado determinado por los vectores a , b y c es nulo, entonces los vectores deben hallarse en el mismo plano, es decir son coplanares.


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Ejemplo:


Hallar el volumen de paralelepípedo paralelepípedo determinado por los tres vectores v=

1, 0, 6 , u =

2, 3, − 8

y w = 8, − 5, 6

Desarrollo: El volumen es el valor absoluto del siguiente determinante

1

0

6

2

3

−8

8

−5

6

Si desarrollamos esta determinante por menores con respecto de la primera fila tendremos 1 0 6 3 −8 2 −8 2 3 2 3 − 8 = 1⋅ −0⋅ +6· 8 6 8 −5 −5 6 8 −5 6

= (18 − 40) + 6·(−10 − 24) = −226 de modo que el volumen pedido será V = 226 Ejemplo:

Utilizando el producto escalar triple, pruebe que los vectores v = 2i + 3 j + k , u = i − j y v = 7i + 3 j + 2k son coplanares. Desarrollo: Usando la formula del producto escalar triple dada por determinante 2 1 7

3

1

−1 0 3

2

Si desarrollamos esta determinante por menores con respecto de la tercera columna tendremos 2 3 1 1 −1 2 3 2 3 1 − 1 0 = 1⋅ −0⋅ +2· 7 3 7 3 1 −1 7 3 2

= (3 + 7) + 2·( −2 − 3) = 10 + (−10) = 0 Como el valor resultante del determinante es 0, es decir el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores dados es 0, ello significa que los tres vectores dados son coplanares Ejercicio:

Determine el área del triangulo con vértice en los puntos P = (1,4,6) , Q = (−2,5,−1) y R = (1,−1,1) , Solución: Los vectores que corresponden a los segmentos de rectas dirigidos PQ y PR son a =

− 3, 1, − 7

y b = 0, − 5, − 5 . El producto cruz asociado a

dichos vectores es a × b = −40·i − 15· j + 15·k . El área del triangulo PQR es la mitad del área del paralelogramo con lados adyacentes PQ y PR , entonces: A =

1 2


a×b

= 12 · ( −40) 2 + ( −15) 2 + 15 2 = 12 · 2050

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producto punto y producto cruz

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