REVIEW PROGRAMA LINIER (LINEAR ( LINEAR PROGRAMMING)
Adalah suatu metode untuk meyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sum sumber-sumber ber yang terbatas terbatas diantara beberapa aktifi aktifitas tas yang yang bersai bersaing ng secara secara optima optimall (terbai (terbaik); k); menggu menggunak nakan an model matematis linier. Model Programa Linier Bentuk Bentuk standa standarr formul formulasi asi persoal persoalan an Progra Programa ma Linier Linier adalah adalah sebagai berikut: Sumber
1 2 3 .. .. m ∆Z / Unit Tingkat
Aktifitas penggunaan sumber /unit 1 2 … n a11 a21 a31 .. .. am1 c1 x1
a12 a22 a32 .. .. am2 c2 x2
.. .. … …
a1n a2n a3n .. .. amn cn xn
Banyaknya sumber yang digunakan b1 b2 b3 .. .. bm
Formulasi matematis umum model programa linier seperti tersebut adalah: Maksimum Maksimum z = c1 x1 x1 + c2 x2 + ……. + cn xn Pembatas : a11 x 1+ a12 x2 + …….. + a1n xn ≤ b1 a21 x 1+ a22 x2 + …….. + a2n xn ≤ b2 .. .. am1 x 1+ am2 x2 + …….. + amn xn ≤ bm dan x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, …….. , xn ≥ 0
1
Istilah umum model programa linier tsb adalah sebagai berikut: a. Fungsi yang dimaksimumkan, yaitu c1 x1 + c2 x2 + . + cn xn, disebut sebagai fungsi tujuan (objective function) b. Fungsi-fungsi pembatas disebut juga konstrain (constraint ) Sebanyak m buah konstrain pertama sering disebut sebagai konstrain fungsional atau pembatas teknologis Konstrain xj ≥ 0 disebut sebagai konstrain nonnegatif c. Variabel xj adalah variabel keputusan d. Konstanta aij, bi, dan cj adalah parameter-parameter model Variasi (bentuk lain) dari model programa linier : Fungsi tujuan bukan memaksimumkan, tetapi meminimumkan Beberapa konstrain fungsionalnya berupa ketidaksamaan lebih besar ( ≥ ) atau persamaan ( = ) Konstrain nonnegatif tidak ada untuk bbrp variabel keputusan Asumsi yang harus dipenuhi dlm menggunakan program linier: 1. Asumsi kesebandingan (proportionality) Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan Konstribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu. 2. Asumsi penambahan (additionality) Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan bersifat tidak tergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain Konstribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas bersifat tidak tergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain. 3. Asumsi pembagian (divisibility) Variabel keputusan boleh diasumsikan pecahan
berupa
bilangan
4. Asumsi kepastian (certainty) Setiap parameter; yaitu koefisien fungsi tujuan, koefisien teknologis dan ruas kanan diasumsikan dapat diketahui secara pasti
2
TEKNIK PEMECAHAN MODEL PROGRAMA LINIER Ada dua cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan program linier; yaitu Metode Grafis dan Metode Simplek. A. Metode Grafis Metode grafis dapat digunakan apabila persoalan programa linier yang akan diselesaikan hanya mempunyai dua buah variabel. Cara penyelesaiannya adalah dengan memplotkan formulasii matematis (fungsi) pembatas pada sumbu absis-ordinat untuk menemukan daerah feasible; kemudian menemukan titik pada daerah feasible tersebut yang menghasilkan nilai fungsi tujuan maksimum. Contoh penyelesaian dengan metode grafis adalah sebagai berikut: a. Persoalan Maksimasi (memaksimumkan fungsi tujuan) Maksimum z = 3 x1 + 5 x2 Pembatas ≤ 4 x1 2 x2 ≤ 12 3 x1 + 2 x2 ≤ 18 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 b. Persoalan (kasus) khusus Solusi optimal banyak fisibel Maksimum z = 3 x1 + 2 x2 Pembatas (1/40) x1 + (1/60) x2 ≤ 1 (1/50) x1 + (1/50) x2 ≤ 1 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
b. Persoalan Minimasi (Meminimumkan fng tujuan) Minimum z = 5 x1 + 10 x2 Pembatas 7 x1 + 2 x2 ≤ 28 2 x1 + 12 x2 ≤ 24 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
Persoalan
tanpa
solusi
Maksimum z = 3 x1 + 2 x2 Pembatas (1/40) x1 + (1/60) x2 ≤ 1 (1/50) x1 + (1/50) x2 ≤ 1 x1 ≥ 30 x2 ≥ 20 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
Persoalan dengan ruang solusi tidak terbatas Maksimum z = 2 x1 - x2 Pembatas x1 - x2 ≤ 1 2 x1 + x2 ≤ 6 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
3
B. Metode Simplek Didalam menyelesaikan persoalan program linier dengan menggunakan metode simplek, bentuk dasar yang digunakan harus dalam bentuk stantar; yaitu bentuk formulasi yang mempunyai sifatsifat sebagai berikut: 1. Seluruh pembatas harus berbentuk persamaan dengan ruas kanan yang nonnegatif 2. Seluruh variabel harus merupakan variabel nonnegatif 3. Fungsi tujuannya dapat berupa maksimasi atau minimasi Untuk mengubah bentuk formasi yang belum standar kedalam bentuk standar dapat dilakukan cara-cara sebagai berikut: 1. Pembatas (konstrain) Pembatas yang bertanda ≤ atau ≥ dapat dijadikan suatu persamaan dengan menambahkan atau mengurangkan variabel slack pada ruas kiri pembatas itu X1 + 2 x2 ≤ 26 X1 + 2 x2 + S1 = 26; S1 ≥ 0 X1 + 2 x2 ≥ 26 X1 + 2 x2 - S1 = 26; S1 ≥ 0 Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan nonnegatif dengan cara mengalikan kedua ruas dengan –1 X1 + 2 x2 = - 26 - X1 - 2 x2 = 26 Arah ketidaksamaan dapat dirubah dengan mengalikan kedua ruas dengan –1 - X1 - 2 x2 ≥ 26 X1 + 2 x2 ≤ - 26 Pembatas dengan ketidaksamaan yang ruas kirinya berada dalam tanda mutlak dapat diubah menjadi ketidaksamaan X1 + 2 x2 ≤ 26 X1 + 2 x2 ≤ 26 dan X1 + 2 x2 ≥ - 26 2. Variabel Suatu variabel yi yang tidak terbatas dalam tanda dapat dinyatakan sebagai dua variabel non negatif dengan menggunakan subtitusi Yi = yi’ – yi” dimana yi’ dan yi” ≥ 0 Substitusi tersebut harus dilakukan pada seluruh pembatas dan fungsi tujuan 3. Fungsi Tujuan 4
Fungsi tujuan dapat diubah dari maksimasi menjadi minimasi, atau sebaliknya. Dalam hal ini, maksimasi suatu fungsi tujuan sama dengan minimasi dari negatif fungsi tersebut.
Beberapa definisi dalam metode simplek Pembatas dari model programa linier dapat dituliskan kedalam bentuk sistem persamaan AX = b; apabila didefinisikan bahwa:
a11 a21 A = ... ... am1
a12 a22 … … am2
… … … … …
a1n a1n … … amn
x1 x2 X = … … xn
b=
b1 b2 … … bm
Solusi Basis Solusi basis untuk AX = b adalah solusi dimana ada sebanyakbanyaknya m variabel berharga bukan nol. Untuk mendapatkan solusi basis tersebut maka sebanyak (n-m) variabel harus dinolkan (disebut variabel nonbasis; NBV). Selanjutnya dapatkan harga variabel lainnya (variabel basis, BV) yang memenuhi AX = b.
Solusi Basis Fisibel Jika seluruh variabel pada solusi basis berharga nonnegatif, maka solusi tersebut disebut solusi basis fisibel (BFS).
Solusi Fisibel Titik Ekstrem (Titik Sudut) Adalah solusi fisibel yang tidak terletak pada suatu segmen garis yang menghubungkan dua solusi fisibel. Apabila hanya ada n (n< 3) variabel keputusan maka definisi tersebut tidak cocok lagi untuk mengidentifikasi solusi fisibel titik ekstrem; sehingga harus dilakukan secara aljabar.
Sifat Pokok Titik Ekstrem Sifat 1 : Jika hanya ada satu solusi optimum, maka pasti ada satu titik ekstrem. Jika solusi optimumnya banyak, maka paling sedikit ada dua titik ekstrem yang berdekatan. Sifat 2 : Jumlah titik ekstrem pada setiap persoalan terbatas. Sifat 3 : Jika suatu titik ekstrem memberikan harga z yang lebih baik dari yang lainnya, maka itu pasti merupakan solusi optimum. Prosedur (Langkah) Metode Simplek 1. Langkah inisialisasi : mulai dari suatu titik ekstrem (0,0). 5
2. Langkah iteratif: bergerak menuju titik ekstrem berdekatan yang lebih baik. Lakukan langkah sesuai keperluan 3. Langkah penghentian: menghentikan langkah 2 apabila telah sampai pada titik ekstrem terbaik (optimum) Algorithma Simplek untuk Persoalan Maksimasi Langkah 1: Konversi formulasi persoalan ke bentuk standar Langkah 2: Cari solusi basis fisibel (BFS) Langkah 3: Jika seluruh NBV mempunyai koefisien nonnegatif (berharga positif atau nol) pada baris fungsi tujuan (baris persamaan z), maka BFS sudah optimal. Jika pada baris persamaan z masih ada variabel dengan koefisien negatif, pilih salah satu variabel pada persamaan z tersebut yang mempunyai koefisien paling negatif. Variabel ini disebut yang memasuki basis (entering variabel, EV) Langkah 4: Hitung rasio dari (ruas kanan) / (koefisien EV) pada setiap baris pembatas dimana EV-nya mempunyai koefisien positif. Variabel basis pada baris pembatas dengan rasio positif terkecil akan berubah status menjadi variabel nonbasis. Variabel ini disebut dengan variabel yang meninggalkan basis (leaving basis, LV). Langkah 5: lakukan operasi baris elementer (ERO) untuk membuat koefisien EV pada baris dengan rasio positif terkecil menjadi berharga 1 dan baris-baris lainnya berharga 0 . Contoh: Maksimumkan z = 60 x1 + 30 x2 + 20 x3 Berdasarkan 8 x1 + 6 x2 + x3 ≤ 48 4 x1 + 2 x2 + 1,5 x3 ≤ 20 2 x1 + 1,5 x2 + 0,5 x3 ≤ 8 ≤ 5 x2 x1, x2, x3 ≥ 0 Formulasi dalam bentuk standar persoalan tersebut adalah: Baris 0 z – 60 X1 – 30 X2 – 20 X3 = 0 Baris 1 8 X1 + 6 X2 + X3 + S1 = 48 Baris 2 4 X1 + 2 X2 + 1,5 X3 + S2 = 20 Baris 3 2 X1 + 1,5 X2 + 0,5 X3 + S3 = 8 Baris 4 X2 + S4 = 5 Bentuk tabel simplek formulasi tersebut adalah: BV z X1 X2 X3 S1 S2
S3
S4
Solusi 6
Z S1 S2 S3 S4
1 - 60 - 30 - 20 0 0 0 0 0 8 6 1 1 0 0 0 0 4 2 1,5 0 1 0 0 0 2 1,5 0,5 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 PROGRAM BILANGAN BULAT (PROGRAM INTEGER)
0 48 20 8 5
Adalah bentuk lain program linier (LP) dimana asumsi divisibilitasnya melemah atau hilang sama sekali. Melemahnya asumsi divisibilitas terlihat dari adanya sebagian atau seluruh nilai variabel keputusan yang diharuskan berupan bilangan bulat. Apabila hanya sebagian variabel yang harus berupa bilangan bulat maka disebut Program Intereger Campuran (IP campuran), sedangkan apabila seluruh variabelnya harus berupa bulangan maka disebut Program Integer Asli (IP asli atau IP).
Model Formulasi Programa Integer Bentuk standar formulasi persoalan Programa Linier adalah sebagai berikut: Sumber
1 2 3 .. .. m ∆Z / Unit Tingkat
Aktifitas penggunaan sumber /unit 1 2 … n a11 a21 a31 .. .. am1 c1 x1
a12 a22 a32 .. .. am2 c2 x2
.. .. … …
a1n a2n a3n .. .. amn cn xn
Banyaknya sumber yang digunakan b1 b2 b3 .. .. bm
Formulasi matematis umum model programa linier seperti tersebut adalah: Maksimum z = c1 x1 + c2 x2 + ……. + cn xn Pembatas : a11 x 1+ a12 x2 + …….. + a1n xn a21 x 1+ a22 x2 + …….. + a2n xn ..
≤ b1 ≤ b2 7
.. am1 x 1+ am2 x2 + …….. + amn xn
≤ bm
dan x1, x2, …….. , xn bilangan bulat (integer) Contoh masalah Programa Integer 1 : CV Kayu Indah yang memproduksi meja dan kursi, menjula produknya dengan keuntungan Rp 8.000 / unit meja dan Rp 5.000/unit kursi. Mengingat perusahaan tsb baru dalam taraf permulaan, saat ini perusahaan tsb hanya mampu menyediaakan 45 m3 kayu setiap harinya, sedangkan tenaga kerja tersedia adalah 2 orang dengan jam kerja yang tersedia masing-masing hanya 6 jamorang per hari. Jika satu unit meja membutuhkan 2 jam-orang dan 9 m3 kayu, sedangkan satu unit kursi membutuhkan 1 jam-orang dan 5 m3 kayu, bagaimana formulasi persoalan diatas agar diperoleh keuntungan maksimum. Jawab: Misalkan X1 = jumlah unit meja yang diproduksi /hari X2 = jumlah unit kursi yang diproduksi /hari X1 dan X2 harus bilangan utuh (integer) Keuntungan per hari dari membuat meja adalah Rp 8000 X1 dan dari membuat kursi adalah Rp 5000 X2, sehingga total keuntungannya adalah 8000 X1 + 5000 X2. Pembatas untuk memproduksi meja dan kursi adalah kayu yang tersedia, yaitu 45 m3 per hari dan jam kerja tersedia, yaitu 2 x 6 jamorang per hari. Kayu yang diperlikan untuk membuat meja adalah 9 X1 m3 dan untuk membuat kursi adalah 5 X2 m3; sehingga total kayu yang diperlukan adalah (9 X1 + 5 X2) m3 . Tenaga untuk membuat meja adalah 2 X1 jam-orang, sedangkan untuk membuat kursi adalah 1 X2 jam-orang; sehingga total tenaga yang diperlukan adalah 2 X1 + 1 X2. Jadi formulasi IP masalah diatas adalah sbb: Maksimum: Z = 8000 X1 + 5000 X2 Berdasarkan: 9 X1 + 5 X2 ≤ 45 2 X1 + 1 X2 ≤ 12 8
X1 dan X2 ≥ 0; X1 dan X2 integer
Contoh masalah Programa Integer 2 : Tuan Sugih, yang saat ini memiliki uang tunai 14 milyar rupiah, bermaksud menginvestasikan uangnya itu dalam beberapa jenis usaha. Setelah memperoleh informasi yang lengkap, ia mendapatkan bahwa ada 4 macam investasi yang patut dipertimbangkan. Investasi 1 menghasilkan NPV 16 miliar, sedangkan investasi 2, 3 dan 4 masing-masing manghasilkan NPV sebesar 22 miliar, 12 miliar, dan 8 miliar rupiah. Masing-masing investasi memerlukan pengeluaran awal 5, 7, 4, dan 3 miliar untuk investasi 1, 2, 3 dan 4. Formulasikan persoalan diatas dalam bentuk IP sehingga Tuan Sugih dapat mengetahui bagaimana NPV maksimum dapat diperoleh dari keempat investasi itu. Jawab: Misal X1 adalah investasi jenis 1; X2 adalah investasi jenis 2; X3 adalah investasi jenis 3; X4 adalah investasi jenis 4, X1, X2, X3, dan X4 bernilai 1 jika investasi dilakukan dan bernilai 0 jika investasi tidak dilakukan. NPV yang akan didapat untuk masing-masing investasi adalah 16 X1, 22 X2, 12 X3 dan 8 X4; sehingga totalnya adalah 16 X1 + 22 X2 + 12 X3 + 8 X4. Pengeluaran awal yang diperlukan untuk masing-masing investasi adalah 5 X1, 7 X2, 4 X3 dan 3 X4; sehingga total investasi awal yang diperlukan adalan 5 X1 + 7 X2 + 4 X3 + 3 X4. Sehingga formulasi persoalan diatas adalah: Maksimum Z = 16 X1 + 22 X2 + 12 X3 + 8 X4 Berdasarkan 5 X1 + 7 X2 + 4 X3 + 3 X4 ≤ 14 X1 dan X2 = 0 atau 1 Catatan: IP yang hanya mempunyai 1 pembatas dikenal sebagai persoalan ransel atau knapsack problem. 9
10
Contoh masalah Programa Integer 3 : Sebuah kotamadya dengan 6 kecamatan bermaksud mendirikan pusat pemadam kebakaran (PKK) untuk melindungi masyarakatnya. Walikota bersangkutan menghendaki agar jumlah PPK yang dibangun adalah seminimum mungkin, tetapi sedikitnya harus ada satu PPK dalam setiap jarak tempuh 15 menit dari satu kecamatan ke kecamatan lainnya. Data waktu tempuh antar kecamatan adalah seperti terlihat dalam Tabel 1 berikut: Kec 1 Kec 2 Kec 3 Kec 4 Kec 5 Kec 6 Kec 1 0 10 20 30 30 20 Kec 2 10 0 25 35 20 10 Kec 3 20 25 0 15 30 20 Kec 4 30 35 15 0 15 25 Kec 5 30 20 30 15 0 14 Kec 6 20 10 20 25 14 0 Buatlah formulasi IP dari permasalahan diatas untuk menentukan berapa banyak PPK harus dibangun dan di kecamatan mana. Jawab: Misal X1 adalah PPK di Kec 1; X2 adalah PPK di Kec 2; X3 adalah PPK di Kec 3; X4 adalah PPK di Kec 4; X5 adalah PPK di Kec 5; X6 adalah PPK di Kec 6 X1, X2, X3, X4, X5, dan X6 bernilai 1 jika harus didirikan dan bernilai 0 jika tidak perlu didirikan. Total PPK yang didirikan adalah X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 Dari Tabel 1 dapat ditunjukkan lokasi Kec yang dapat ditempuh dalam waktu 15 menit atau kurang dari Kec lainnya, sbb:
Lokasi
Kec 1 1,2
Kec 2 1,2,6
Kec 3 3,4
Kec 4 3,4,5
Kec 5 4,5,6
Kec 6 2,5,6
Sehingga formulasi persoalan diatas adalah sbb: Minimum Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 Berdasarkan X1 + X2 ≥1 X1 + X2 + X6 ≥1 X3 + X4 ≥1 X3 + X4 + X5 ≥1 X4 + X5 + X6 ≥1 X2 + X5 + X6 ≥1 X1, X2, X3, X4, X5 atau X6 = 0 atau 1 11
MENYELESAIKAN PERSOALAN PROGRAM INTEGER (IP)
Penyelesaian masalah program integer pada umumnya/awalnya dilakukan dengan memecahkan program LP relaksasinya; apabila solusi integer sudah didaatkan, maka solusi LP relaksasi tersebut merupakan solusi program unteger; namun apabila solusi integer belum ditemukan, maka dilakukan pengolahan lebih lanjut dengan beberapa teknik berikut sehingga solusi integer didapatkan. Beberapa teknik pengolahan lanjut untuk mendapatkan solusi integer antara lain adalah sbb: 1. Teknik Cutting Plane Dilakukan dengan cara membuat pembatas tambahan yang memotong ruas feasible LP relaksasi sehingga dapat mengeliminasi solusi tidak integer (keberhasilannya sangat terbatas, tergantung pada struktur persoalan yang dihadapi). Contoh : Maksimum: Z = 8000 X1 + 5000 X2 Berdasarkan: 9 X1 + 5 X2 ≤ 45 1 X1 + 2 X2 ≤ 12 X1 dan X2 ≥ 0; X1 dan X2 integer Jawab: Didemonstrasikan di kelas 2. Branch and Bound a. IP murni Pemecahan masalah program integer dengan teknik branch and bound dilakukan dengan membuat percabangan (subpersoalan lebih lanjut) pada subpersoalan utama yang merupakan solusi akhir LP relaksasi yang variabelnya belum integer. Percabangan dilakukan pada variabel yang belum integer, dengan nilai varibel integer diatas dan dibawah nilai variabel tersebut. Contoh apabila solusi akhir dari LP relaksasi didapatkan nilai X1 = 3,7, nilai X2 = 4,1 dan nilai X3 = 5,2 maka dapat dibuat dibuat Subpersoalan2 dengan nilai X1 ≥ 4 (integer lebih besar dari 3,7) dan Subpersoalan3 dengan nilai X1 ≤ 3 (integer lebih kecil dari 3,7) dari Subpersoalan1 dengan nilai X1, X2, dan X3 tersebut.
12
Percabangan dibuat untuk mendapatkan solusi IP yang feasibel (solusi integer) pada cabang sehingga didapatkan solusi optimal. Oleh karena itu, setelah dibuat Subpersoalan yang merupakan cabang dari suatu Subpersoalan, selanjutnya pada Subpersoalan cabang dihitung nilai-nilai variabel lainnya yang memenuhi pembatas yang ada; apabila solusi variabel lain belum integer; dibuat percabangan lebih lanjut sampai percabangan tidak diperlukan lagi (fathomed). Percabangan dari subpersoalan tidak diperlukan (fathomed) jika - Subpersoalan yang dibuat tidak feasibel - Subpersoalan tsb memberi solusi optimal (seluruh variabel integer) - Z-optimal subpersoalan tsb tidak lebih baik (LB) dari z-optimal subpersoalan lainnya. Subpersoalan dpt diabaikan (dieliminasi dari percabangan lanjut) jika - Tidak feasibel - Batas bawah (LB) harus ≥ LB subpersoalan lainnya. Contoh : Maksimum: Z = 8000 X1 + 5000 X2 Berdasarkan: 9 X1 + 5 X2 ≤ 45 1 X1 + 2 X2 ≤ 12 X1 dan X2 ≥ 0; X1 dan X2 integer Jawab: Didemonstrasikan dikelas b. IP Campuran Dilakukan dengan cara yang sama dengan penyelesaian IP murni; hanya saja pencabangan dilakukan untuk variabel yang seharusnya integer; dan solusi dikatakan feasibel apabila variabel yang didapat semuanya bernilai integer untuk variabel yang harus integer. c. IP Ransul (Knapsack) Dilakukan dengan cara menghitung manfaat dari setiap variabel, sebagai langkah awal pemecahan masalah dan dasar pengalokasian sumberdaya pada variabel tersebut; dengan mendahulukan alokasi kepada variabel yang lebih bermanfaat. Manfaat dari setiap variabel dapat ditentukan dengan menghitung rasio koefisien variabel pada fungsi tujuan (ci) terhadap koefisien variabel pada fungsi pembatas (ai). 13
Apabila alokasi tsb telah menghasilkan semua variabel bernilai integer, maka alokasi tersebut merupakan solusi feasibel; namun apabila masih ada variabel yang bernilai pecahan, maka solusi lanjutan dengan branch and bound diperlukan untuk mendapatkan solusi yang feasibel. Contoh: Maksimum Z = 16 X1 + 22 X2 + 12 X3 + 8 X4 Berdasarkan 5 X1 + 7 X2 + 4 X3 + 3 X4 ≤ 14 X1 dan X2 = 0 atau 1 Manfaat masing-masing variabel adalah sebagai berikut: - c1/a1 = 16/5 = 3,20 - c2/a2 = 22/7 = 3,14 - c3/a3 = 12/4 = 3,00 - c4/a4 = 8/3 = 2,66 Berdasar hasil perhitungan manfaat diatas, maka urutan alokasi sumberdaya adalah X1, X2, X3 kemudian X4; sehingga nilai variabel tersebut (berdasar pembatas = 14) adalah X1=1, X2=1, X3=0,5 dan X4 = 0; dengan nilai Z = 1(16) + 1(22) + 2/4 (12) + 0 (8) = 44. Solusi diatas belum feasibel karena variabel X3 masih bernilai pecahan, sehingga perlu dilakukan pemecahan lanjutan dengan cara branch and bound sbb: Subpersoalan 1 Z = 44 X1=1 ; X2 = 1 X3= 2/4 ; X4= 0
Subpersoalan 2 Z = ??? X1=1 ; X2 = 1 X3= 1 ; X4= 0 Tak feasibel
Subpersoalan 3 Z = 44 X1=1 ; X2 = 1 X3= 0 ; X4= 2/3
Subpersoalan 1 Z = 38 X1=1 ; X2 = 1 X3= 0 ; X4= 0
Subpersoalan 1 Z = ??? X1=1 ; X2 = 1 X3= 0 ; X4= 1
Calon Solusi
Tak feasibel
14
3. Enumerasi Impliasit (IP 0-1) Dalam menyelesaikan IP 0-1 dengan metode enumesai implisit, ada tiga hal pokok yang akan dilakukan: - Melakukan penyempurnaan terbaik bagi suatu node - Mengeliminasi suatu node dari pertimbangan selanjutnya - Menguji ada-tidaknya penyempurnaan feasibel suatu node Pengujian feasibilitas berdasar kaidah berikut: Jenis pembatas ≤ ≤ ≥ ≥
Tanda koefisien variabel bebas pada pembatas + + -
Nilai diberikan pada variabel bebas 0 1 0 1
Maksimum Z = - 7 X1 - 3 X2 - 2 X3 - X4 – 2 x5 Berdasarkan - 4 X1 - 2 X2 + X3 – 2 X4 – X5 ≤ - 3 - 4 X1 - 2 X2 - 4 X3 + X4 + 2X5 ≤ - 7 X1, X2, X3, X4 dan X5 = 0 atau 1 Jawab: Didemonstrasikan dikelas
15
Soal Programa Integer 1 : PT. Sayang Anak memproduksi dua jenis mainan terbuat dari kayu, yang berupa boneka dan kereta api. Boneka dijual dengan harga Rp 27.000/lusin yang setiap lusinnya memerluakan biaya material Rp 10.000 serta biaya tenaga kerja Rp 14.000. Kereta api dijual dengan harga Rp 21.000/lusin memerlukan biaya material Rp 9.000 dan biaya tenaga kerja Rp 10.000. Untuk membuat boneka dan kereta api ini diperlukan dua kelompok tenaga kerja, yaitu tukang kayu dan tukang poles. Setiap lusin boneka memerlukan 2 jam pemolesan dan 1 jam pekerjaan tukang kayu; sedangkan kereta api memerlukan 1 jam pemolesan dan 1 jam pekerjaan kayu. Meskipun setiap minggunya perusahaan ini dapat memenuhi seluruh material yang diperlukan, namun jam kerja yang tersedia hanya 100 jam pemolesan dan 80 jam pekerjaan kayu. Dari pengamatan pasar selama ini dapat dikatakan bahwa kebutuhan akan kereta api tidak terbatas; tetapi boneka yang terjual tidak lebih dari 40 lusin setiap minggunya. Bagaimanakah formulasi dari persoalan diatas untuk mengetahui berapa lusin masing-masing mainan harus dibuat setiap minggunya agar diperoleh keuntungan maksimum.
Soal program integer 2: PT Beko bermaksud membuat 2 jenis kopi mix, yakni kopi mix sacet dan kopi mix botol. Untuk itu dibutuhkan kopi, gula dan cream. Jumlah kopi yang tersedia adalah 400 kg, gula 600 kg dan cream 500 kg. Untuk membuat 5 kg kopi mix sacet diperlukan 1 kg kopi, 2 kg gula dan 2 kg cream; sedangkan untuk membuat 5 kg kopi mix botol diperlukan 2 kg kopi, 1 kg gula dan 2 kg cream. Bila setiap kg kopi sacet menghasilkan 50 bungkus dan kopi mix botol menghasilkan 4 botol dan keuntungan yang akan diperoleh setiap membuat 1 bungkus kopi sacet adalah Rp 300, sedangkan setiap 1 botol kopi mix botol adalah Rp 2000, berapa sacet dan botol jumlah kopi mix yang sebaiknya dibuat?
16
