SYLLABUS
1. Información general
CÓDIGO ASIGNATURA CRÉDITOS REQUISITOS FACULTAD DE ORIGEN LICENCIATURA SEDE DISTRIBUCIÓN HORARIA
MAT- 108 Cálculo I 4,5 Ingreso Ingeniería y Ciencias Ciencias Sociales
AÑO Y SEMESTRE
Primer Semestre de 2015
PROFESOR CORREO AYUDANTE CORREO ATENCIÓN A ALUMNOS
Pablo Carrasco Romero
[email protected] Por definir Por definir Por definir
3 horas 30 min. clases/semana hora hora 10 min. ejercicios/semana
2. Presentación del curso
El Cálculo ha sido fundamental para el progreso de la ciencia y la tecnología durante el último siglo, justificando diferentes resultados, abriendo nuevas disciplinas y generando nuevas preguntas. El área de las matemáticas conocida como Cálculo nos entrega herramientas poderosas para resolver una variedad de problemas de otras disciplinas como la Economía, la Física o la Ingeniería, entre otras. Cálculo I es el primer curso en esta área de las Matemáticas, en el cual se comenzará a utilizar el cálculo como una herramienta en la solución de problemas de economía e ingeniería. El estudiante se enfrentará a problemas pr oblemas que deberá modelar utilizando utili zando dichos recursos. Se pretende que el estudiante logre desarrollar sus habilidades matemáticas y la capacidad de integrar los diversos tópicos tópi cos que trata el curso. Hay ciertas interrogantes que pueden mostrar el tipo de problemas que se estudian en el curso y que el alumno debiera ser capaz de responderlas a su término. Por ejemplo: si una población crece a una tasa proporcional al tamaño de la población existente y si la población se duplicó en una década, ¿cuánto se incrementará la población al término de dos décadas?, ¿cómo modelar el comportamiento de la demanda por cierto producto en el mercado?, ¿cómo describir la variación de los precios de un bien? Las funciones son un objeto matemático de gran potencia para la modelación de fenómenos. Su estudio es una de las principales componentes del curso. Se pondrán p ondrán en juego la visión geométrica, la componente algebraica y las propiedades analíticas de estos objetos para lograr una mejor comprensión de sus propiedades. Asociadas a este objeto aparecen las nociones de límite continuidad y derivada que son esenciales en la modelación de fenómenos dinámicos.
Habrá una permanente interacción entre el curso de Cálculo I y el de Álgebra I, puesto que ambas asignaturas tratan algunos temas comunes, una desde un punto de vista analítico y la otra desde un punto de vista algebraico. Se pretende que el estudiante logre relacionar ambos puntos de vista frente a la resolución de un determinado problema matemático. El trabajo que realice el alumno fuera de clase será de gran importancia ya que le ayudará a comprender de mejor forma los temas de cada clase, por eso es fundamental que realice las lecturas asignadas; en la clase consulte sus dudas y participe activamente; después de clase haga los ejercicios de la sección asignada, revise sus respuestas y pida ayuda si es necesario, es decir asista a las horas de atención a estudiantes. Este curso debe ser más que una colección de herramientas técnicas, debe dar cabida a la discusión de un grupo de maravillosas y fascinantes ideas que han interesado a la Humanidad por siglos. Ideas relacionadas con el cambio, la velocidad, lo continuo, lo cercano, lo lejano y sus aplicaciones a otros campos del conocimiento. 3. Objetivos Generales
Comprender y aplicar los objetos y conceptos del Cálculo que serán abordados durante el curso. Dominar las técnicas y los principales tratamientos que se utilizan en Cálculo para la resolución de problemas. Modelar situaciones reales utilizando los objetos y propiedades del Cálculo.
4. Contenidos Unidad 1: Funciones y gráficas -
Dominio, imagen. Funciones y gráficos: valor absoluto-raíz-cuadráticas-por ramas, etc … Álgebra de funciones. Composición. Inyectividad. Funciones inversas. Simetría, monotonía y acotamiento. Gráficos de funciones exponencial, logaritmo. Propiedades básicas. Gráficos de funciones trigonométricas y sus inversas. Identidades y resolución de ecuaciones. Modelar funciones (aplicaciones a la economía).
Unidad 2: Límite y continuidad -
Límites por definición. Álgebra de límites. Teorema de acotamiento. Cálculo de límites. Límites laterales. Continuidad. Teoremas sobre continuidad en un cerrado. Límites al infinito.
Unidad 3: Derivada - Definición. Interpretaciones geométrica, - Álgebra de derivadas. - Regla de la cadena. Regla de la inversa. - Cálculo de derivadas. - Derivadas de orden superior. - Derivación implícita. - Diferenciales y aproximaciones lineales. - Razones de cambio relacionadas. Unidad 4: Aplicaciones de la derivada -
física y económica.
Máximos y mínimos locales y absolutos. Criterios de clasificación de extremos locales. Teoremas de Rolle y del valor medio para derivadas. Monotonía y concavidad. Máximos y mínimos en intervalos cerrados. Problemas de máximos y mínimos. asíntotas Gráficas de curvas. Regla de ′̂ . Aplicaciones a la Economía.
5. Metodología docente
Las actividades docentes se desarrollan en tres ámbitos: la cátedra, la ayudantía y el estudio individual. En la cátedra las clases estarán orientadas a discutir las diferentes ideas y conceptos del curso a través de la participación de los alumnos, propiciando interacciones en clase conducentes a una comprensión efectiva. Se utilizarán ejemplos ilustrativos de los temas y se discutirán las ideas involucradas en la demostración de las propiedades fundamentales. La ayudantía se centra en el desarrollo de habilidades para el tratamiento de los problemas del curso y en sus aplicaciones concretas. Los alumnos deberán trabajar individualmente en ejercicios seleccionados del texto guía con dificultad gradual y se enfatizará en las técnicas de resolución de problemas, aclarando las dudas que surjan. Se espera que el alumno dedique el tiempo suficiente de estudio individual según sus requerimientos para comprender los conceptos y dominar las herramientas estudiadas en el curso. Para facilitar este trabajo dispondrá de un texto guía, ejercicios adicionales y la ayuda personalizada del profesor en sus horarios de atención.
6. Evaluación de aprendizaje y reglamento
El curso contempla dos tipos de evaluaciones: Pruebas de Cátedra y Controles de Ayudantía. Se realizarán tres pruebas de cátedra y tres controles de ayudantía. Cada prueba de cátedra (P1, P2, P3) tiene una ponderación del 25% y el promedio de los tres controles de ayudantía (C) tiene una ponderación del 25%. Esto da origen a una nota de presentación (NP) para examen que se calcula por:
El equipo de profesores de la asignatura determinará una nota de eximición (NE ). Esta nota debe ser mayor o igual a 5,0 y sujeta a la condición de que se exime solo el 10% de los alumnos de la asignatura. El examen es de carácter global y tiene como objetivo evaluar una síntesis de los principales contenidos cubiertos por el curso. Si la nota de presentación (NP) es mayor o igual a la nota de eximición (NE), entonces el alumno quedará eximido del examen y su nota final (NF) será su nota de presentación (NP). En caso contrario el alumno deberá rendir el examen (EX) con ponderación 30%, lo que dará origen a la nota final calculada de la manera siguiente:
Aprobarán el curso todos los alumnos con nota final (NF) mayor o igual a 4,0. Los alumnos eximidos que así lo deseen podrán rendir el examen debiendo asumir la calificación que obtengan en él, cualquiera que ésta sea. Todos los alumnos que rindieron el examen y su nota final (NF) es mayor o igual a 3,5 y menor o igual a 3,9, tienen derecho a rendir un segundo examen, con la posibilidad de aprobar con nota 4,0 o reprobar con nota final (NF). Si el alumno faltó a un control de ayudantía, la nota del control será reemplazada por la nota de la prueba correspondiente, siempre y cuando haya justificado ante pregrado y la justificación sea aceptada. En caso contrario la nota del control será 1,0. Si el alumno faltó a una prueba de cátedra, la ausencia debe ser justificada ante pregrado, quienes autorizarán a que la nota de la prueba sea reemplazada por la nota del examen (NE). Todos los alumnos que rindieron las tres pruebas de cátedra podrán reemplazar la nota de una de ella por la nota del examen (NE) siempre que ésta sea al menos 4,0. Si un alumno tiene un 1,0 por copia, esta nota no se reemplaza por la nota del examen.
Una vez hecho esto, se procederá a recalcular las notas como está descrito en los párrafos anteriores, manteniendo el promedio de controles (C) antes calculado. En caso de ausencia justificada y aceptada por pregrado al examen, el alumno deberá presentar el segundo examen. Este examen cumple para el alumno la función del primer examen. Cualquier situación especial que no esté contenida en este reglamento deberá ser conocida y resuelta por la Secretaría de Pregrado. Si un alumno excede las ausencias a evaluaciones (pruebas de cátedra, controles de ayudantía o examen) previstas en este reglamento, deberá presentar su situación debidamente justificada ante la Secretaría de Pregrado, donde se decidirá el procedimiento extraordinario a seguir. Las fechas de las evaluaciones a realizar durante el semestre son las siguientes: Controles: Control 1 Control 2 Control 3
: Semana del 30 de Marzo. : Semana del 27 de Abril. : Semana del 8 de Junio.
Los controles se tomarán en la ayudantía.
Pruebas de Cátedra: Prueba 1 Prueba 2 Prueba 3
: Sábado 18 de Abril. : Sábado 16 de Mayo. : Sábado 27 de Junio.
Las evaluaciones corregidas se entregarán en un máximo de 2 semanas después de rendida la prueba en la fecha que indique el profesor. Las pautas de corrección de las evaluaciones serán publicadas en webcursos antes de esta fecha. El profesor fijará el momento y el plazo para revisión de la corrección de cada evaluación. Los resultados de estas re correcciones se publicarán en webcursos. El profesor estará disponible para responder preguntas de sus alumnos durante sus clases o en el día y horarios indicados al inicio de este Syllabus. La copia en controles, pruebas o examen se considera una falta grave y será sancionada drásticamente. Conforme al código de honor de la UAI: “El alumno que sea sorprendido usando o intentando utilizar procedimientos ilícitos
durante el desarrollo de interrogaciones o en la realización de trabajos, será calificado con la nota mínima uno (1,0) en dicha interrogación o trabajo. En caso de reincidencia en el transcurso de sus estudios, se aplicarán sanciones adicionales, las que podrán llegar hasta su elimin ación de la Universidad”.
7. Bibliografía Purcell E., Varveg D., Rigdon S., Cálculo, novena edición, Prentice Hall, 2007. Hoffmann L., Bradley G., Cálculo, Octava edición, MC-Graw Hill, 2001.
Edwards C. H. Jr. y Penney D. E., Cálculo con geometría Analítica, 4ta. Edición, Prentice Hall Hispanoamericana, 1996. Stewart J., Pre cálculo y Cálculo, Grupo Editorial Latinoamericano, 1994. Zill, Pre cálculo, MC-Graw Hill, 5° edición.
Clases
Contenidos
Preguntas fundamentales
Ejercicios
Unidad 1: Funciones y gráficas
1
2y3
4y5 6y7 8y9 10 y 11
12 - 14
Presentación Dominio – recorrido. Funciones: valor absoluto-raíz-linealcuadrática-polinómicas y parte entera. Respectivos gráficos – trasladar gráficos. Suma, producto y cociente. Composición de funciones . Funciones inyectivas. Función inversa. Propiedades. Funciones pares e impares. Funciones crecientes y decrecientes. Gráficos funciones exponenciales, logarítmicas. (Analizar dominios monotonía – inyectividad, etc) Identidades básicas (Identidad pitagórica – seno y coseno de la suma de ángulos). Gráficos de funciones Trigonométricas. Resolver sólo ecuaciones de la forma sen(a)=b y cos(a)=b.
15
Problemas de modelación.
¿Qué es una función? ¿Cómo se grafican las funciones?
Guía + Bibliografía
¿Cuál es la composición de dos funciones? ¿Cuándo una función tiene función inversa y cómo la encuentro? ¿Cuáles son las propiedades de las funciones?
Guía + bibliografía Guía + bibliografía Guía + bibliografía
¿Cuáles son los modelos funcionales más utilizados?
Guía + bibliografía
¿Cuál es el gráfico de las funciones trigonométricas ( seno-coseno tangente ). ¿Tienen inversas? ¿Dónde se intersectan las gráficas de dos funciones? ¿Dónde la función toma el valor 1/2?
Guía + bibliografía
¿Cómo encuentro un modelo matemático que represente una situación particular de la vida real?
Guía + bibliografía
Unidad 2: Límite y continuidad
16
Definición y de límite. Álgebra de límites.
17 y 18
Teorema de acotamiento. Limites laterales.
19
Continuidad de funciones. Tipos de discontinuidades.
20 y 21
Límites en dominios no acotados. Límites infinitos.
21
Teorema de Bolzano.
¿Cómo demuestro la existencia de un límite? ¿Qué operaciones puedo hacer con límites? ¿Cómo se calcula un límite? ¿Cuándo se aplica el teorema de acotamiento? ¿Qué es una función continua? ¿Cómo son las discontinuidades de una función? ¿Cómo se calcula el límite al infinito? ¿Cómo se demuestra que un límite no existe? ¿Cómo se aplica el Teorema de Bolzano? ¿Es posible determinar el número de soluciones de una ecuación en el intervalo [a,b] ?
Guía + bibliografía Guía + bibliografía
Guía + bibliografía
Guía + bibliografía
Guía + bibliografía
Unidad 3: Derivadas
22 y 23 24 y 25 26
Definición de Derivada. Interpretaciones geométrica (recta tangente) Álgebra de derivadas. Regla de la Cadena. Derivadas de funciones polinómicas, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.
¿Qué es la derivada de una función? ¿Cómo se interpreta este concepto?
Guía +
¿Cuáles son las operaciones con la derivada?
Guía +
¿Cómo se derivan las funciones más conocidas?
Guía +
bibliografía bibliografía bibliografía
27
Derivadas de orden superior.
¿Cuáles son las derivadas de mayor orden y sus propiedades?
Guía +
28 y 29
Derivada de una función inversa. Derivada de una función trigonométrica inversa.
¿Cómo se derivan las funciones más conocidas?
Guía +
30 y 31
Derivadas de funciones implícitas.
Guía +
32
Interpretación física de la derivada (razón de cambio)
33 y 34
Diferenciales y aproximaciones.
¿Qué es una función definida en forma implícita y cómo se deriva? ¿Cómo se aplican los diferenciales a problemas? ¿Cómo se aplican los diferenciales a problemas?
¿Qué información nos dan las derivadas sobre el comportamiento de una función?
Guías +
bibliografía
bibliografía bibliografía Guía + bibliografía Guía + bibliografía
Unidad 4: Aplicaciones de la derivada
35
Máximos y mínimos locales y absolutos.
36
Criterios de clasificación de extremos locales.
37
Teorema de Rolle y TVM - Monotonía y concavidad.
38
Máximos y mínimos en intervalos cerrados.
39
Problemas de optimización.
bibliografía
Guías+ ¿Qué es un extremo de una función?
bibliografía
¿Qué podemos decir de una función conociendo sus derivadas? ¿Cómo aplicar e interpretar el TVM ? ¿Cómo cambian los procedimientos de optimización si los intervalos son cerrados?
Guías +
¿En qué contextos y cómo se optimiza?
bibliografía
Guías + bibliografía
Guías + 40
Asíntotas
¿Cómo graficar una función?
41
Gráficas de curvas.
¿Cómo graficar una función?
42
̂ para formas Regla de ′ indeterminadas.
¿Cómo se utilizan las derivadas para calcular límites indeterminados?
43 y 44
Producción, utilidad y costos marginales.
¿Cuáles son los conceptos económicos asociados a las derivadas?
45
Ley de rendimientos marginales decrecientes.
¿Cuáles son los conceptos económicos asociados a las derivadas?
bibliografía
Guías + bibliografía
Guías + bibliografía
Guías + bibliografía
Guías+ bibliografía