Programacao Linear

Fundamentos e Ensino da Álgebra

Programação linear

Faculdade de Ciência e Tecnologia Tecnologia da Universidade de Coimbra Departamento de Matemática

Programa ção Linear

2002/2003

1



Trabalho Trabalho realizado no âmbito da cadeira de Fundamentos e Ensino da Álgebra por:

Carla Soia Monteiro Freitas !enri"ues Dina #acinta $unes %opes Márcio $uno %oureiro #esus S&nia 'atr(cia )omes dos Santos

2



Trabalho Trabalho realizado no âmbito da cadeira de Fundamentos e Ensino da Álgebra por:

Carla Soia Monteiro Freitas !enri"ues Dina #acinta $unes %opes Márcio $uno %oureiro #esus S&nia 'atr(cia )omes dos Santos

2



*$D+C, -. Introdução  Programação !inear """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""# """"""""""""# -.- $rigens e e%olução"""""""""""""""""""""""""" e%olução""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""# """"# -.2 Introdução e primeiros conceitos""""""""""""""""""""""""""" conceitos"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""& """""& -.3 $ 'ue ( a Programação !inear )"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" )""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""* """"""""""""""* -. $nde se aplica a Programação !inear )"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" )""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""+ """""+ -. ,onceitos -undamentais da Programação !inear """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""". """"""". 2. Formulação de problemas de Programação !inear"""""""""""""""""""""""""" !inear""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""1/ """"1/ 2.- $ modelo""""""""""""""""""""""""""""""""" modelo"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""1/ """"""""""1/ 2.2 0ipteses do modelo de Programação !inear"""""""""""""""""""""""""" !inear""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""12 """""""12 2.3 Formulação dos %rios tipos de problemas de Programação !inear"""""""""""""" !inear""""""""""""""""""""""13 """"""""13 2. 4epresentação 4epresentação gr-ica de problemas de programação linear"""""""""""""""""""""""" linear""""""""""""""""""""""""""""""""""1# """"""""""1#

2..- 5oluç6es de um problema de P"!"""""""""""""""""""""" "!""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""1 """"""""""""""""""""""1## estudar"""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""1& """"""""""""""""1& 2. Introdução aos e7emplos a estudar"""""""""""

2..- E7emplo de ma7imização"""""""""""""""""""""""" ma7imização""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""1& """""""""1& 1 Formulação matemtica do problema""""""""""""""""""""""""""""""" problema"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""1+ """"""""""""""""""1+  4epresentação 4epresentação gr-ica do problema"""""""""""""""""""""""""""""" problema""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""1 """"""""""""""""""""""1++

2..2 E7emplo de minimização""""""" minimização""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""18 """"18 1 Formulação matemtica do problema""""""""""""""""""""""""""""""" problema"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""18 """"""""""""""""""18  4epresentação 4epresentação gr-ica do problema""""""""""""""""""""""""""""""""" problema"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""2/ """"""""""""""""""2/

2..3 ,asos particulares""""""""""""""""""""""""""""""""" particulares"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""21 """"""""""""21

3. $ 9(todo 5imple7""""""""""""""""""""""""""""""""" 5imple7"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""2& "2& 3.- Introdução""""""""""""""""""""""""""""""" Introdução"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""2& """""""""""2& 3.2 lguns conceitos -undamentais no 9(todo 5imple7"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""2 5imple7"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""2&& 3.3 lgoritmo do 9(todo 5imple7""""""""""""""""""""""""""""""""" 5imple7"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""2+ 2+ 3. E7emplos de aplicação do 9(todo 5imple7"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 5imple7"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""28 """""""""28 . ,onclusão"""""""""""""""""""""""""""" ,onclusão""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""3& """""""""""""""""""3& ;ibliogra-ia

3



-. +$T45DU675 8 '45)41M1675 %+$,14 -.- 54+),$S , ,95%U675 cil -azer a atribuição dos recursos dispon>%eis s di-erentes acti%idades ?en%ol%idas nessas organizaç6es e empreendimentos@ e tomar decis6es de âmbito mais geral" Este tipo de problemas e a necessidade de se encontrar um meio ade'uado para os resol%er criaram o ambiente 'ue %iria a proporcionar o aparecimento da In%estigação $peracional ?I"$"@" s origens da I"$" podem ser encontradas h muitas d(cadas= sendo o in>cio da acti%idade com esta designação atribu>da aos 5er%iços 9ilitares liados durante a 2A Buerra 9undial" ,ontudo= ( di->cil de-inir I"$" de -orma não contro%ersa= sendo no entanto poss>%el e7trair da maior parte das de-iniç6es as seguintes caracter>sticas bsicas: -

a aplicação de m(todos cient>-icos na gestão das organizaç6es= mediante uma abordagem 'uantitati%a e 'ualitati%a na tomada de decis6esC

-

orientação sistemtica= atra%(s da 'ual o problema ( analisado no conte7to dum sistema 'ue inclui di%ersas componentes interrelacionadas entre siC as soluç6es de%em satis-azer toda a organização= ou seDa= o sistema completoC

-

e7tensibilidade= 'ue pode ser aplicada a um largo nmero de organizaç6es= tais como: negcios= economia= indstria= indstria militar= go%ernos= agncias= hospitais= etc"

$s ramos mais importantes da I"$" são: Programação 9atemtica ?P"9"@= nlise Estat>stica= Teoria dos Gogos= Teoria das Filas= 5imulação= Bestão de 5tocHs= etc""  P"9" di%idese ainda em: Programação !inear ?P"!"@= Programação Jão !inear= Programação
#



Jeste conte7to= a P"!" tem por obDecto de estudo a acti%idade humana dirigida= na 'ual se pretende satis-azer da melhor -orma determinado obDecti%o= em 'ue e7istem limitaç6es ?restriç6es@ ao -uncionamento dessa acti%idade" Estse na presença de um problema de P"9" 'uando o obDecti%o das restriç6es podem ser traduzidas por relaç6es -uncionais" 5e estas -orem lineares constituem um problema de P"!"" Jeste trabalho= procedese  apresentação de uma subclasse especial de problemas de P"9" designada por P"!"" Esta designação ad%(m do -acto de 'ue= 'uer as condiç6es= 'uer o obDecti%o deste tipo de problemas= poderem ser descritos atra%(s de relaç6es lineares= nomeadamente e'uaç6es e ine'uaç6es lineares"

-.2 +$T45DU675 , '4+M,+45S C5$C,+T5S K semelhança de outros ramos da 9atemtica= a P"!" te%e a sua origem em aplicaç6es" pcios e babilnios ?estes ltimos D considera%am duas e'uaç6es lineares em duas %ari%eis@" ;abilnios= gregos e chineses conheciam a ideia de eliminação de %ari%eis para resol%er e'uaç6es lineares ?ou 'uadrticas@" o longo dos tempos= cientistas tais como Euclides= JeLton e !agrange -izeram a incursão  pes'uisa do MptimoN" G no s(culo passado destacamos as in%estigaç6es -eitas por Oon Jeumann na Teoria de Gogos= assilQ !eontie- no 9odelo MinputoutputN de Economia= entre outros" t( aos anos 3/#/ do s(culo passado -oi muito reduzido o interesse dos matemticos pelo estudo de sistemas de ine'uaç6es= ao contrrio do 'ue se %eri-icou com a resolução de sistemas de e'uaç6es= descurandose assim a procura de uma solução MptimaN" s aplicaç6es em problemas de transporte na d(cada de #/ ?em particular= pelas Forças rmadas durante a 2A Buerra 9undial@ -oi um primeiro passo na criação da P"!"" Entre os pioneiros 'ue -izeram o desen%ol%imento da rea estão !eonid O" Rantoro%ich em !enigrado ?actualmente= 5" Petersburg@ e Beorge ;"
&



Beorge %el a solução de problemas de optimização de %rios tipos : transporte= produção= alocação de recursos e problemas de escalonamento" m ano mais tarde= do para a e%olução acelerada desta cincia nas ltimas d(cadas"

-.3 5 'rograma:;o %inear

⇔ o

⇔

planeamento de acti%idades

problema ( representado matematicamente pelo modelo da P"9"=

onde todas as -unç6es -?7 1= """= 7n@ ?-unção obDecti%o@= g i?71= """= 7 n@ ?restriç6es@ são lineares e 71= """= 7n são as %ari%eis de decisão= com i Y 1= """= m

*



 P"!" ( uma t(cnica de planeamento 'ue se tem %indo a constituir como uma das mais poderosas em 'uase todo o ramo da acti%idade humana" Z um m(todo de ma7imizar ?ou minimizar@ uma -unção linear ?designada -unção obDecti%o@= de-inida num dado conDunto con%e7o= tendo em conta 'ue as %ari%eis estão suDeitas a restriç6es lineares" Estas restriç6es podem ser do tipo

≤=

Y ou ≥ e as %ari%eis são reais não

negati%as"

-. 5$D, S, 1'%+C1 1 '45)41M1675 %+$,14 > ma %ez 'ue os problemas de P"!" determinam o planeamento ptimo de acti%idades= ou seDa= um plano ptimo 'ue representa a melhor solução entre todas as soluç6es poss>%eis= as suas principais reas de aplicação são: -

Econmica e especialmente Economia de Empresas= onde se situam as aplicaç6es mais -(rteis e os est>mulos mais -ortes para os desen%ol%imentos tericos da P"!"C

-

9atemtica= onde a P"!" tem impulsionado a obtenção de importantes resultados tericos e o aper-eiçoamento das t(cnicas de nlise Jum(ricaC

-

9ilitar= onde as aplicaç6es são numerosas mas normalmente pouco di%ulgadas por raz6es de segurança"

Jestes dom>nios= podemos di%idir os problemas de P"!" em trs tipos:

- 'roblemas de Transporte ,onsideremos uma aplicação clssica deste tipo de problema: suponha 'ue um sistema de distribuição alimenta J armaz(ns a partir de 9 grandes unidades produtorasC conhecendo os custos de transporte= a procura pre%ista para cada armaz(m e as capacidades ?m7imas@ de produção de cada unidade= determinar o programa de distribuição com menor custo" $utras aplicaç6es:  rentabilização de aeroportosC  optimização de tr-ego interno ou de comunicação de %rios tiposC  plani-icação dos sem-oros de circulação numa cidade"

+



2 'roblemas de Composi:;o Jeste tipo de problema destacase o seguinte e7emplo gen(rico: conhecendo os contedos calricos e %itam>nicos de di%ersos alimentos= bem como os seus preços= pretendese optimizar a composição da dieta a adoptar= de modo a minimizar o seu custo e a satis-azer n>%eis m>nimos de calorias e %itaminas" $utras aplicaç6es:

 composição de medicamentosC  blindagem de ligas metlicas e combust>%eisC  raç6es de animais e adubosC  gelados e produtos alimentares"

3 'roblemas de Forma:;o e 'rodu:;o 5alientase a seguinte aplicação: suponha 'ue uma -brica ( capaz de produzir J produtos distintos utilizando 9 recursos limitados= os 'uais podem ser horas de trabalho ou tempos de operação de %rias m'uinas= mat(rias primas= ser%iços= etc"C conhecendose o lucro unitrio e as 'uantidades de recurso utilizadas para cada produto= e as 'uantidades de recursos dispon>%eis= determinar o plano ptimo de produção com maior lucro" $utras aplicaç6es:

 corte de barras e chapasC  designação de pessoas e tare-as ?composição de tabelas de horrios@C  planeamento da produção de uma empresa t7til"

-. C5$C,+T5S FU$D1M,$T1+S D1 '45)41M1675 %+$,14 Para uma melhor compreensão de um problema de P"!" enunciamos de seguida alguns conceitos e e7press6es 'ue %ão ser usados ao longo do trabalho: •

Fun:;o ob?ectivo ?-unção econmica ou -unção crit(rio@ [ ( uma -unção linear 'ue %amos optimizar= ma7imizando ou minimizandoC

.


•


9ariáveis de decis;o [ são os %alores de um nmero n de decis6es a serem tomadas e designamse por 7 1= """= 7n e 'ue estão interrelacionadas pela -unção obDecti%oC

•

9ariáveis de olga [ são as %ari%eis 'ue usamos para trans-ormar as ine'uaç6es em e'uaç6esC de salientar 'ue cada %ari%el de -olga est associada a uma restriçãoC

•

4estri:@es [ são condiç6es ?representadas por e'uaç6es ou ine'uaç6es lineares@ 'ue se imp6em ao modelo dadoC e7istem dois tipos de restriç6es: •

4estri:@es do problema [ são restriç6es do tipo ≤ = Y ou

≥

= 'ue

relacionam uma ou mais %ari%eis do problemaC •

4estri:@es de n;o negatividade [ são desigualdades do tipo 7 1 ≥ /= """= 7n ≥ /= em 'ue 7 1= """= 7n são as %ari%eis de decisãoC

•

Forma padr;o ?standard@ [ 'uando as restriç6es de um problema de P"!" são apresentadas na -orma de e'uaç6esC

•

Forma can&nica [ 'uando as restriç6es de um problema de P"!" são apresentadas na -orma de ine'uaç6esC

•

Solu:;o [ ( 'ual'uer conDunto de %alores para as %ari%eis 7 1= """= 7n 'ue satis-aça as restriç6esC

•

Solu:;o admiss(vel ?solução poss>%el@ [ ( 'ual'uer especi-icação de %alores para as %ari%eis 71= """= 7n 'ue satis-aça as restriç6es do problema e as condiç6es de não negati%idadeC

•

Solu:;o ilimitada ?unbounded@ [ ( a'uela em 'ue a -unção obDecti%o pode crescer ?no caso da ma7imização@ ou decrescer ?no caso da minimização@= inde-inidamente= tendo em conta todas as restriç6es do problemaC

•

Solu:;o &ptima [ ( a'uela 'ue ma7imiza ou minimiza a -unção obDecti%o sobre toda a região admiss>%elC

8

Fundamentos e Ensino da Álgebra •


4egi;o admiss(vel [ ( o conDunto de todas as soluç6es admiss>%eis"

2. F54MU%1675

D,

'45%,M1S

D,

'45)41M1675 %+$,14 2.- 5 M5D,%5 $s problemas de Programação !inear são problemas de ma7imização ou de minimização de -unç6es lineares ?-unção obDecti%o@= num determinado dom>nio= normalmente de-inido por um conDunto de restriç6es nas %ari%eis" Estes problemas são representados matematicamente por modelos 'ue podem ser apresentados na -orma padrão ou na -orma cannica ?D de-inidas anteriormente@" lgebricamente temse: ma7 ?min@ \ Y c171 ] ^ ] cn7n suDeito a a1171 ] a1272 ] ^ ] a1D7 D ] ^ ] a1n7n

_ ≤ = Y = ≥ `

b1

a2171 ] a2272 ] ^ ] a2D7 D ] ^ ] a2n7n

_ ≤ = Y = ≥ `

b2

_ ≤ = Y = ≥ `

bi

""" ai171 ] ai272 ] ^ ] ain7n ] ^ ] ain7n """ am171 ] am272 ] ^ ] amD7 D ] ^ ] amn7n

_ ≤ = Y = ≥ ` bm

com : 71 ≥ / = 72 ≥ / = """ = 7n ≥ / i Y 1 = """ = m D Y 1 = """ = n 7 D [ incgnitas= são as %ari%eis de decisão aiD [ coe-icientes bi [ termos independentes c D [ coe-icientes da -unção obDecti%o 1/



Z tamb(m -re'uente o modelo de Programação !inear ser apresentado utilizando as notaç6es cartesiana= matricial e %ectorial" s duas -ormas apresentadas ?padrão e cannica@ são e'ui%alentes" ,om e-eito= mediante as operaç6es a seguir indicadas= ( sempre poss>%el dar a 'ual'uer problema uma destas -ormas= sem 'ue o conDunto de soluç6es se altere"

-. ual'uer problema de ma7imização pode con%erterse num problema de minimização= pois: m7imo \ Y  m>nimo ? \@

2. ual'uer restrição de desigualdade do tipo M ≤ N pode ser con%ertida numa restrição do tipo M ≥ N multiplicando por ?1@ ambos os seus membros : ai171 ] ai272 ] """ ] a in7n

≤

bi

⇔

 ai171  ai272  """  a in7n ≥  bi

3. ual'uer restrição de igualdade pode ser con%ertida em duas restriç6es de desigualdades M ≤ N e'ui%alentes 'uela : ai171 ] """ ] ain7n ≤ bi

ai171 ] """ ] ain7n Y bi

⇔

{

ai171 ] """ ] ain7n ≥ bi

ai171 ] """ ] a in7n ≤ bi

⇔

{

ai171 ] """ ] a in7n ≤  bi

. ual'uer restrição de desigualdade pode ser con%ertida numa restrição de igualdade= atra%(s da introdução duma no%a %ari%el ?%ari%el de -olga@ 7 n]1= de %alor não negati%o: ai171 ] """ ] a in7n

⇔

≤

bi

⇔

bi  ai171  """  a in7n

7n]1 Y bi  ai171  """  ain7n

≥

≥

/

⇔

/

acrescentandose a %ari%el de -olga 7 n]1= obt(mse : ai171 ] """ ] a in7n ] 7n]1 Y bi com 7n]1

≥

/

11



. ual'uer %ari%el li%re ?não restringida pela condição de não negati%idade@ 7 D= pode ser substitu>da por um par de %ari%eis não negati%as 7 DW ≥ / e 7 DWW ≥ /= -azendo

7 D Y 7 DW

 7 DWW -ormulando= deste modo= de no%o o problema em -unção destas duas no%as %ari%eis"

2.2 !+'AT,S,S D5 M5D,%5 D, '45)41M1675 %+$,14 ual'uer modelo de P"!" de%e cumprir as seguintes hipteses 'ue garantam a linearidade da -unção obDecti%o e das restriç6es do problema" Estas hipteses são :

'45'54C+5$1%+D1D, : em cada acti%idade a 'uantidade de bens 'ue entram e saem são sempre proporcionais ao n>%el da mesma= estando assim na presença de um modelo linearC

1D+T+9+D1D, : o resultado do emprego conDunto de J acti%idades ( a sua adiçãoC D+9+S++%+D1D, , $75 $,)1T+9+D1D, : o n>%el de uma acti%idade pode assumir 'ual'uer %alor positi%o de um dado inter%alo= 'ue e'ui%ale a supor 'ue os bens são per-eitamente di%is>%eis= isto (= suscept>%eis de %ariar em 'uantidades in-initesimaisC

%+$,14+D1D, D1 FU$675 5#,CT+95 : cada acti%idade contribui para o obDecti%o global perseguido pelo sistema ? por e7emplo= cada acti%idade normalmente tem associado um certo lucro ou um certo custo @" Esta hiptese indica 'ue essa contribuição para a -unção econmica ( proporcional ao n>%el de acti%idade"  contribuição total ( a soma das contribuiç6es de todas as acti%idades"

12


2.3

F54MU%1675


D5S

9B4+5S

T+'5S

D,

'45%,M1S D, '45)41M1675 %+$,14 Formula:;o 1 Transporte miniDΣ ciD7iD com 7iD

D

i

≤

a i

7iD Y b D

unidades armaz(ns receptores

7iD ≥ / sendo i Y 1= """= mC D Y 1= """= nC ai a capacidade de -ornecimento na unidade i e b D a 'uantidade re'uerida no armaz(m ?= ciD o custo de transporte de uma unidade de produto da unidade i para o armaz(m D

 Composi:;o min

i

com

i

i

ci7i

ai7i

≥u

J>%el calrico

bi7i

≥%

J>%el calrico

7i ≥ / sendo ai e bi o contedo calrico e %itam>nico unitrio de cada alimento i= respecti%amente= c i o custo unitrio de i= e u e % os n>%eis m>nimos e7igidos"

13



C 'rodu:;o ma7

D

c D7 D

com D

aiD7 D ≤ bi

4ecursos

7 D ≥ / sendo i Y 1= """= mC D Y 1= """= nC c D o lucro obtido por cada unidade do produto ?= aiD a 'uantidade de recurso i gasta na produção de cada unidade do produto ?= bi a 'uantidade de recurso dispon>%el"

2. 4,'4,S,$T1675 )4BF+C1 D, '45%,M1S D, '45)41M1675 %+$,14 uando se inicia o estudo da Programação !inear re%elase de grande utilidade a representação gr-ica de problemas simples" pesar desta representação s ser poss>%el 'uando não estão en%ol%idas mais de trs %ari%eis= e particularmente simples 'uando se trata de duas %ari%eis= estas permitem pSr em e%idncia propriedades importantes dos problemas de P"!"= bem como a natureza das suas soluç6es"

2..- S5%U6E,S D, UM '45%,M1 D, '.%. ual'uer problema de P"!"= em geral= pode apresentar as di-erentes -ormas de soluç6es: uma única solução óptima ou múltiplas soluções óptimas ?uma infinidade@ ou não ter óptimo finito ou não ter nenhuma solução ?neste caso o problema é impossível @

1#



 regra prtica para a determinação das soluç6es de um problema de ma7imização ?minimização@ ( a seguinte: Trace-se uma qualquer recta de nível e desloque-se paralelamente a si própria , no sentido de crescimento (decrescimento) de Z, até ao(s) último(s) ponto(s) de contacto com a regio admissível "

2. +$T45DU675 15S ,,M'%5S 1 ,STUD14 $s e7emplos 'ue seguidamente iremos apresentar são problemas 'ue ilustram alguns dos dom>nios da aplicação da Programação !inear" $ Primeiro E7emplo ( um problema de planeamento da produção 'ue= dada a sua estrutura particular= constitui um problema t>pico pass>%el de indi%idualização" $ problema consiste em escalonar a produção ao longo de %rios per>odos de tempo= conhecida a procura nesses per>odos= conhecidas a capacidade de produção normal e e7traordinria e conhecidos ainda os custos de produção e de armazenagem ao longo do tempo" $ segundo e7emplo= ( um problema de misturas ?raç6es@" Esta classe de problemas caracterizase essencialmente por se pretender obter= com custo m>nimo ou lucro m7imo= um ou %rios produtos= a satis-azer certos re'uisitos t(cnicos= atra%(s de %rios ingredientes possuidores em grau di-erente dessas caracter>sticas t(cnicas"

2..- ,,M'%5 D, M1+M+G1675  empresa Jo%a !inha produz artigos de %idro de alta 'ualidade: Danelas e portas= em trs secç6es de produção: 1" 5ecção de 5erralharia: para produzir as estruturas de alum>nio" 2" 5ecção de ,arpintaria: para produzir as estruturas de madeira" 3" 5ecção de Oidro e 9ontagem: para produzir o %idro e montar as portas e Danelas"
1&



Estes produtos são: Produto 1: ma porta de %idro com estrutura de alum>nio" Produto 2 : ma Danela grande com estrutura de madeira" $ departamento de 9arHeting da empresa concluiu 'ue a empresa pode %ender tanto de 'ual'uer dos dois produtos= tendo em conta a capacidade de produção dispon>%el" ,omo ambos os produtos partilham a capacidade de produção da secção 3= o gerente solicitou ao
 capacidade de produção por minuto de cada secção a ser utilizada na produção destes produtos"

•

 capacidade de produção por minuto de cada secção= a ser utilizada para produzir uma unidade de cada produto"

•

$s lucros unitrios para cada produto em euros"

Estes dados estão resumidos na seguinte tabela:

,apacidade utilizada por unidade de produção 5ecção J"

Produto 1

Produto 2

,apacidade dispon>%el

1 2 3

1 / 3

/ 2 2

# 12 1.

!ucros unitrios ?em euros@

3

&

uadro 2"&"1

1*



1 Formula:;o Matemática do 'roblema $ problema= -ormulado como problema de Programação !inear= consiste em escolher 7 e Q por -orma a:

MaHimiIar \ Y 37 ] &Q= 5uDeito a 7 ≤ # 2Q ≤12 37 ] 2Q ≤1. 7 ≥/= Q ≥/ onde 7 = Q representam o nmero de unidades do produto 1 e 2= respecti%amente= produzidas por minuto \ representa o lucro total por minuto

 4epresenta:;o )ráica do 'roblema -J 'asso: ,onstruir um sistema de ei7os cartesianos 7= Q" 2J 'asso: Identi-icar os %alores de 7 e Q 'ue satis-açam todas as restriç6es" •

,ondiç6es de não negati%idade: 7 ≥ /= Q ≥ / ⇒os pontos ?7=Q@ estão situados no 1 uadranteC

•

4estriç6es: •

7 ≤ # ⇒ ?7=Q@ estão situados  es'uerda ou sobre a recta 7 Y #C

•

2Q

≤

12

⇒

Q

≤

*

⇒ ?7=Q@

estão situados abai7o ou sobre a

recta Q Y *C •

37 ] 2Q ≤ 1. ⇒ ?7=Q@ estão situados abai7o ou sobre a recta 37 ] 2Q Y 1."

1+



$ resultado -inal encontrase na Fig" 2"&"1"1= onde a região sombreada indica o

Fig" 2"&"1"1 ,onDunto de admissibilidade do e7emplode admissibilidade@" conDunto dos pontos 'ue satis-azem todas as restriç6es ?conDunto

3J 'asso: %el" $s pontos de tangncia obtidos ?um= nenhum= ou uma in-inidade@ correspondem aos pontos da região admiss>%el 'ue optimizam a -unção obDecti%o"  recta escolhida 3* Y 37 ] &Q= passa pelo ponto ?2=*@" Pelo 'ue a solução pretendida ( 7 Y 2= Q Y *"

1.



Fig" 2"&"1"2 5olução ptima do e7emplo

Esta solução corresponde ao seguinte plano de produção: ! empresa "ova #in$a deve %a&ricar duas portas (produto ') e seis anelas (produto ) por minuto o&tendo um lucro de *+ euros por minuto

2..2 ,,M'%5 D, M+$+M+G1675 m criador de ca%alos pretende determinar as 'uantidades de cada tipo de ração 'ue de%em ser dadas diariamente a cada animal por -orma a conseguir uma certa 'uantidade nutriti%a a um custo m>nimo" $s dados relati%os ao custo de cada tipo de ração= s 'uantidades m>nimas dirias de ingredientes nutriti%os bsicos a -ornecer a cada animal= bem como s 'uantidades destes e7istentes em cada tipo de ração ?gHg@ constam no seguinte 'uadro:

4ação

Branulado

Farinha

Ingredientes nutriti%os

uantidade m>nima re'uerida

,arbohidratos

2/

&/

2//

Oitaminas

&/

1/

1&/

Prote>nas

3/

3/

21/

,ustos ?eurosRg@

/"/&

/"/3

uadro 2"&"2
1 Formula:;o Matemática do 'roblema $ problema= -ormulado como problema de Programação !inear= consiste em escolher 7 e Q por -orma a:

MinimiIar

\ Y /"/&7 ] /"/3Q

5uDeito a

2/7 ] &/Q ≥ 2// &/7 ] 1/Q ≥1&/

18



3/7 ] 3/Q ≥ 21/ 7 ≥ /= Q ≥ / onde 7= Q representam as 'uantidades ?em Rg@= de granulado e -arinha= respecti%amente= a -ornecer diariamente a cada animal= e \ representa o custo total ?em euros@ a suportar diariamente com a alimentação de cada animal"

 4epresenta:;o )ráica do 'roblema -J 'asso: ,onstruir um sistema de ei7os cartesianos 7= Q" 2J 'asso: Identi-icar os %alores de 7 e Q 'ue satis-açam todas as restriç6es" •

,ondiç6es de não negati%idade:

7 ≥ /= Q ≥ / ⇒ os pontos ?7=Q@ estão situados no 1 uadranteC

•

4estriç6es: •

2/7 ] &/Q ≥ 2//

⇒ 27

] &Q

≥

2/

⇒

?7=Q@ estão

situados acima ou sobre a recta 27 ] &Q Y 2/C •

&/7 ] 1/Q ≥ 1&/

⇒

&7 ] Q

≥

1&

⇒

?7=Q@ estão

situados acima ou sobre a recta &7 ] Q Y 1&C •

3/7 ] 3/Q ≥ 21/ ⇒ 7 ] Q ≥ +

⇒ ?7=Q@

estão situados

acima ou sobre a recta 7 ] Q Y +C $ resultado -inal encontrase na Fig" 2"&"2"1 onde a região sombreado= tal como no e7emplo anterior= indica o conDunto dos pontos 'ue satis-azem todas as restriç6es"

2/



Fig" 2"&"2"1 ,onDunto de admissibilidade do e7emplo

3J 'asso: %el" o pontos de tangncia assim obtidos ?um= nenhum= ou uma in-inidade@ correspondem= mais uma %ez aos pontos 'ue optimizam a -unção obDecti%o"  recta escolhida= /=2& Y /=/&7 ] /=/3Q= passa pelo ponto ?2=&@" Pelo 'ue a solução pretendida ( 7 Y 2= Q Y &"

Fig" 2"&"2"2 5olução ptima do e7emplo

ssim= ( -cil de concluir 'ue a solução pretendida ( 7 Y 2 e Q Y &= %alores 'ue representam= respecti%amente= as 'uantidades ?em Hg@ de granulado e -arinha a -ornecer diariamente a cada animal"
2..3 C1S5S '14T+CU%14,S Em 'ual'uer dos problemas anteriores pode a-irmarse 'ue se est presente problemas de P"!" Mbem comportadosN= uma %ez 'ue ambos tm uma nica solução ptima" E7iste contudo a possibilidade de situaç6es ManmalasN 'ue de%em ser

21



consideradas 'uando= se pretende apresentar uma t(cnica capaz de resol%er 'ual'uer problema de P"!"" Essas situaç6es são: •

situações em que a solução não é limitada 1 [ uando a -unção

obDecti%o pode assumir %alores arbitrariamente grandes e= conse'uentemente= não e7iste um %alor m7imo -inito para \" ,onsideremos o enunciado do problema de ma7imização estudado anteriormente eliminando as restriç6es Q ≤ *= 37 ]2Q ≤ 1.= a região de admissibilidade -ica não limitada e o %alor da -unção obDecti%o pode crescer inde-inidamente nesta região" %eis ser não limitado não implica necessariamente 'ue a solução seDa não limitada ?isto (= com %ari%eis a poderem assumir %alores arbitrariamente grandes com \

→ ∞@"

OeDamos a -ormulação matemtica do problema ( agora:

MaHimiIar \ Y 37 ] 2Q= 5uDeito a 7 ≤ # 7 ≥/= Q ≥/

Fig" 2"&"3"1 5olução não limitada 1

Est asi t uaçãonãoocorr eem probl emasdemi ni mi zaçãodevi doàscondi çõesdenãonegat i vi dade.

22



Oeri-icamos 'ue = traçando uma 'ual'uer recta de n>%el do plano de-inido pela -"o" = a'uela pode ser deslocada paralelamente a si prpria= no sentido do crescimento de \= e conter ainda pontos do conDunto das soluç6es admiss>%eis" situações em que existem soluções óptimas alternativas

•

[ uando um

problema de P" !" possui mais do 'ue uma solução ptima dizse 'ue se est em presença de soluç6es ptimas alternati%asC isto signi-ica 'ue o lucro m7imo pode ser obtido atra%(s de %rias ?in-initas@ combinaç6es dos recursos"

Se um problema de '.%. tem ,onsideremos o enunciado do problema de ma7imização considerado= mudando o lucro unitrio do produto  de & euros para 2 euros= a -unção obDecti%o ( agora a recta \ Y 3 x ] 2Q ?a -"o" tem o mesmo gradiente da recta da 3A restrição 3 x] 2Q Y 1.@"  -ormulação matemtica do problema ( agora=

MaHimiIar \ Y 37 ] 2Q= 5uDeito a 7 ≤ # Q ≤ * 37 ] 2Q ≤1. 7 ≥/= Q ≥/ cuDa resolução gr-ica (:

Fig" 2"&"3"2 5oluç6es ptimas alternati%as

23



%el \ Y 1. assenta sobre a'uela arestaC e7iste pois uma in-inidade de soluç6es ptimas" • Situações em que o problema é impossível [ Isto pode acontecer por não

e7istirem %alores das %ari%eis a satis-azerem as restriç6es do problema ou as condiç6es de não negati%idade= ou ambas simultaneamente" Esta situação ManmalaN surge = normalmente= deri%ada de erros de -ormalização= ( a não e7istncia de 'ual'uer solução admiss>%el" Jo e7emplo de ma7imização= modi-icando a restrição 7 ≤ # para 7 ≥ + e mantendo todas as outras= não h nenhuma solução 'ue %eri-i'ue todas as restriç6es do problema" Esta situação ( obser%ada a partir da representação gr-ica deste problema assim -ormulado:

MaHimiIar \ Y 37 ] 2Q= 5uDeito a 7 ≥ + Q ≤ * 37 ] 2Q ≤1. 7 ≥/= Q ≥/

Fig" 2"&"3"3 Problema imposs>%el 2

'onto eHtremo de um conDunto con%e7o K ( um ponto 'ue não pertence ao segmento de recta a unir dois pontos 'uai'uer de K "

2#



3. 5 M=T5D5 S+M'%, 3.- +$T45DU675 ,omo D -oi re-erido= o 9(todo 5imple7 -oi proposto por %el ( o 'ue se chama um pol>topo ?poliedro con%e7o limitado@= e donde concluiu 'ue o ponto ptimo tem 'ue estar sobre algum dos %(rtices desse conDunto" l(m disso=

pensou

'ue

tal

procedimento

poderia

ser

irremedia%elmente ine-icaz= ou seDa = di%agar durante muito tempo ao longo das arestas= de %(rtice para %(rtice= antes de alcançar o %(rtice em 'ue a -unção obDecti%o atinge o %alor ptimo" 9as esta%a enganado= pois= na realidade %eio a descobrir 'ue= em 'uase todos os casos= encontrar a solução somente e7igia tantos mo%imentos 'uantas as restriç6es do problema"

3.2

1%)U$S

C5$C,+T5S

FU$D1M,$T1+S

$5

M=T5D5 S+M'%,  introdução destes conceitos ( -undamental para a apresentação do m(todo simple7" o considerarmos um problema de programação linear= ele ter sempre a seguinte -orma padrão: $ptimizar \ Y c 171 ] c272 ] """ ]c n7n

K-

5uDeito a a1171 ] a1272 ] """ ] a 1n7n Y b1 a2171 ] a2272 ] """ ] a2n7n Y b2 ^

K2

am171 ] am272 ] """ ] a mn7n Y bn 71= 72= ^= 7m= """= 7n  / ?m  n@

K3

2&



onde: m Y nmero de restriç6es -uncionaisC n Y nmero de %ari%eis de restrição" 5up6ese ainda 'ue os termos independentes são não negati%os: b i  / ?i Y 1= 2= """= m@" ,aso contrrio pode sempre multiplicarse por ?1@ toda a e'uação" $ problema pode ser escrito em notação matricial do seguinte modo: $pt \ Y ,Tf

K-L

5uD a f Y ;

K2L

f/

K3L

em 'ue: f ( o %ectorcoluna das incgnitasC ,T ( o %ectorlinha dos coe-icientes correspondentesC  ( a matriz dos coe-icientes das incgnitas das restriç6esC ; ( o %ectorcoluna dos membros direitos das restriç6es" 5uponhase 'ue a caracter>stica ?nmero m7imo de colunas linearmente independentes@ da matriz  ( igual a m= ou seDa= ,?@ Y m" Isto signi-ica 'ue e7iste uma submatriz de  'uadrada de ordem m ?; m

@ com determinante não nulo" Esta

7 m

submatriz permite e-ectuar uma classi-icação das %ari%eis em: bsicas ?as correspondentes s colunas da'uela submatriz@ e não bsicas ?as restantes nm %ari%eis@" m sistema nas condiç6es K2 ( um sistema indeterminado de grau nm= em 'ue m %ari%eis podem ser escritas em termos das restantes nm= e tem= por conse'uncia= uma in-inidade de soluç6es ?correspondente  in-inidade de %alores 'ue arbitrariamente podem ser atribu>dos s nm %ari%eis@" 5uponhase então 'ue f Y ?7 1= 72= ^= 7m= 7m]1= ^= 7n@ ( uma solução desse sistema" 5e uma submatriz ; m 7 m da matriz  do sistema considerado ( não singular= isto (= o seu determinante ( nulo= então a submatriz ; m 7 m designase por base" 5em perda de generalidade= suponhase 'ue a base ( composta pelas m ltimas colunas= isto (= ; Y _P1= P2= ^= Pm`"

2*



s m %ari%eis 7 1= 7 2= ^= 7m correspondentes s colunas de ; m 7 m designamse por

variáveis básicas " s restantes nm %ari%eis 7 m]1= 7m]2= ^= 7n designamse variáveis n;o básicas " ma solu:;o básica para o sistema obt(mse atribuindo o %alor zero a todas as %ari%eis não bsicas 7 m]1= 7m]2= ^= 7n e determinando depois uma solução para as m %ari%eis bsicas restantes 7 1= 72= ^= 7m " Isto (= f Y ?/= """= /= 7 1= 72= ^= 7m@= onde f; Y ?71= 72= ^= 7m@ ( a nica solução do sistema de e'uaç6es ;f ; Y b" 5e uma solução bsica f %eri-ica ainda as condiç6es de nãonegati%idade K3L= isto (= todas as %ari%eis da solução são não negati%as então= esta solução ( uma solu:;o

básica admiss(vel "
solu:@es básicas ad?acentes " ma solução bsica admiss>%el ( &ptima 'uando nenhuma das soluç6es bsicas admiss>%eis adDacentes ( MmelhorN= isto (= nenhuma melhora o %alor da -unção obDecti%o" 5e todas as %ari%eis bsicas 7 1= 7 2= ^= 7m são não nulas= a solução bsica designa se por solu:;o básica n;o degenerada " 5e alguma %ari%el bsica -or igual a zero a solução bsica designase por solu:;o básica degenerada " $s sim(tricos dos coe-icientes associados a cada %ari%el na -unção obDecti%o ?no caso da ma7imização@ designamse custos reduIidos "

3.3 1%)54+TM5 D5 M=T5D5 S+M'%, $ 'ue ( um algoritmo) m algoritmo ( um processo 'ue repete ?itera@ sucessi%as %ezes um procedimento sistemtico at( obter um resultado" l(m disso= tamb(m inclui um procedimento para iniciar e um crit(rio para terminar"

2+



$ algoritmo do m(todo simple7 pode ser sintetizado nos seguintes passos:

-J $bter uma primeira solução bsica admiss>%elC 2J Oeri-icar se a solução bsica admiss>%el ( ptima= isto (= se os coe-icientes da -unção obDecti%o= e7pressa em termos das %ari%eis não bsicas são todos positi%os" 5e a solução -or ptima= o algoritmo terminaC

3J 5e algum coe-iciente -or negati%o= considerar o negati%o com maior %alor absoluto como o correspondente  %ari%el 'ue de%e entrar na base e= portanto= correspondente  coluna do pi%otC

J %el da %ari%el 'ue %ai entrar na base= di%idindo os termos independentes pelos coe-icientes da %ari%el nas %rias restriç6es= para os casos em 'ue seDam positi%os= e considerando o menor dos 'uocientes positi%os"  linha a 'ue corresponde este menor 'uociente ( a linha do pi%ot" 5e todos os 'uocientes -orem negati%os= a %ari%el a entrar na base pode tomar um %alor in-initamente grande e o problema dizse sem solução limitada ?ou sem ptimo -inito@C

J 9anipular as linhas do 'uadro= de acordo com as operaç6es elementares realizadas com linhas de matrizes= de modo a obter um 'uociente unitrio no lugar do pi%ot e %alores nulos para os outros elementos da coluna pi%ot" $bt(mse assim uma no%a solução bsica" 4egressar ao 2 passo" Para tornar mais simples a aplicação deste algoritmo recorrese  construção de %rios 'uadros" ma %ez 'ue 'ual'uer problema de ma7imização pode ser -acilmente con%ertido num problema de minimização= consideraremos apenas o caso da minimização para -acilitar a e7posição" ssim= o problema na -orma cannica corresponde ao seguinte 'uadro:

2.

Fundamentos e Ensino da Álgebra 71 a11 """ am1 c1

\


72 a12

""" """

7m a1m

""" """

7n a1n

am2 c2

""" """

amm cm

""" """

amn cn

bi b1 """ bm /

uadro 3"3"1

Em 'ue o canto in-erior direito representa o sim(trico do %alor da -unção obDecti%o" 5eguese o algoritmo descrito= registandose as %rias -ases em di-erentes 'uadros" Jo -im do processo iterati%o:  a solução ptima ( obtida atribuindose a cada %ari%el não bsica o %alor zero e a cada %ari%el bsica o %alor da linha correspondente ao nmero 1= da sua coluna= na ltima colunaC  o %alor ptimo da -unção obDecti%o ( o sim(trico do nmero resultante na ltima linha e na ltima coluna" ,aso se tratase de um problema de ma7imização= seria mesmo o %alor e não o seu sim(trico"

3. ,,M'%5S D, 1'%+C1675 D5 M=T5D5 S+M'%, cil de interpretar= usase nesses casos o m(todo simple7" Iremos e7por de seguida dois e7emplos de resolução de problemas usando este m(todo" presentamos primeiramente um problema com duas %ari%eis ?e7emplo de ma7imização= D e7posto anteriormente@ pois consideramos 'ue aDuda  compreensão do m(todo" Posteriormente= apresentamos o problema com trs %ari%eis" 1º roblema

4etomemos o problema de ma7imização descrito em 2"&"1 4esolução usando o m(todo simple7: 7 Y 71 Y n" de unidades do Produto 1 Q Y 72 Y n" de unidades do Produto 2

28



ma7 \ Y 37 1 ] &72 suDeito a

71  # 272  12 371 ] 272  1.

Introduzindo as %ari%eis de -olga 7 3= 7#= 7&= obtemos: 71 ] 73 Y # 272 ] 7# Y 12 371 ] 272 ] 7& Y 1. plicando o m(todo simple7= obtemos sucessi%amente os 'uadros:

73 7# 7& \

71 1 / 3 3

72 / 2 2 &

73 1 / / /

7# / 1 / /

7& / / 1 /

b # 12 1. /

uadro 3"#"1

 primeira solução bsica admiss>%el ( ?7 1= 7 2= 7 3= 7 #= 7 &@ Y ?/= /= #= 12= .@C onde 71= 72 são %ari%eis não bsicas e 7 3= 7#= 7& são as %ari%eis bsicas" Oeri-icamos 'ue esta solução não ( ptima= %isto 'ue e7istem custos reduzidos negati%os: 3 e &"  %ari%el a entrar na base ( 7 2= por'ue entre as %ari%eis não bsicas com custo reduzido negati%o ( a 'ue tem menor %alor"  %ari%el de sa>da ( 7 #= por'ue o min { 122= 1.2} corresponde  linha de-inida por esta %ari%el bsica" $ pi%ot neste caso ( 2 ?assinalado com um asterisco@"  actualização do 'uadro simple7 ( -eita utilizando as seguintes operaç6es elementares: !1 → !1 !2 → 12!2 !3 → !3 [ !2 !# → !# ] &2! 2 73 72

71 1 /

72 / 1

73 1 /

7# / 12

7& / /

b # *

3/

Fundamentos e Ensino da Álgebra 7& \

3 3


/ /

/ /

1 &2

1 /

* 3/

uadro 3"#"2

$btemos uma no%a solução bsica admiss>%el ?7 1= 7 2= 7 3= 7 #= 7 &@ Y ?/= *= #= /= *@C esta solução ainda não ( ptima pois e7iste um custo reduzido negati%o" 4eparese 'ue para esta solução a -unção obDecti%o ( 3/"  %ari%el a entrar na no%a base ( 7 1= por'ue entre as duas %ari%eis não bsicas ( a nica 'ue tem um custo reduzido negati%o"  %ari%el de sa>da ( 7 &= por'ue o min _#1=*3` corresponde  linha de-inida por 7&" $ no%o pi%ot ( 3 ?assinalado com um asterisco@"  no%a actualização do 'uadro simple7 ( -eita utilizando as seguintes operaç6es elementares: !1 → !1 [ 13!3 !2 → !2 !3 → 13!3 !# → !# ] !3

73 72 71 \

71 / / 1 /

72 / 1 / /

73 1 / / /

7# 13 12 13 32

7& 13 / 13 1

b 2 * 2 3*

uadro 3"#"3

 no%a solução bsica admiss>%el ( ?7 1= 7 2= 7 3= 7 #= 7 &@ Y ?2= *= 2= /= /@ C uma %ez 'ue neste ltimo 'uadro não e7istem custos reduzidos negati%os= esta solução ( ptima" 5endo o %alor m7imo da -unção obDecti%o 3*"

!º roblema

,onsiderese o seguinte problema: ma empresa -abrica trs tipos de Hits electrnicos ?I= II= III@" Estes tipos de Hits são processados em trs secç6es distintas ?= ;= ,@" 31



,onsiderando como %ari%eis o nmero de Hits a produzir de cada tipo= e sabendo 'ue:  o Hit do tipo I necessita de: 2 horas de trabalho dirias nas secç6es  e ; e apenas 1 na ,C  o Hit do tipo II necessita de: 2 horas de trabalho dirias na secção = 1 na ; e 3 na ,C  o Hit do tipo III necessita de: 1 hora de trabalho dirio nas secç6es  e ; e 2 na ,C  as horas de trabalho dirias nas secç6es = ; e , não podem e7ceder as 12= 8 e 1* horas respecti%amente" Por outro lado= o lucro unitrio de cada um dos tipos de Hits ( de: . euros para os do tipo I e II e 1 euro para os do tipo III" Pretendese determinar 'uantas unidades dos di-erentes tipos de Hits de%em ser -abricados de modo a ma7imizar o lucro" 4esolução usando o m(todo simple7: 71 Y n" de Hits a produzir do tipo I 72 Y n" de Hits a produzir do tipo II 73 Y n" de Hits a produzir do tipo III ma7 \ Y .71 ] .72 ] 73 suDeito a 271 ] 272 ] 73  12 271 ] 72 ] 73  8 71 ] 372 ] 273  1* Introduzindo as %ari%eis de -olga 7 #= 7&= 7*= obtemos: 271 ] 272 ] 73 ] 7# Y 12 271 ] 72 ] 73 ] 7& Y 8 71 ] 372 ] 273 ] 7* Y 1* plicando o m(todo simple7= obtemos sucessi%amente os 'uadros:

7# 7& 7*

71 2 2 1

72 1 1 3

73 1 1 2

7# / / /

7& / 1 /

7* / / 1

b 12 8 1* 32

Fundamentos e Ensino da Álgebra \

.

.

Programação linear 1

/

/

/

/

uadro 3"#"#

 primeira solução bsica admiss>%el ( ?7 1= 72= 73= 7#= 7&= 7*@ Y ?/= /= /= 12= 8= 1*@C onde 71= 72= 73 são %ari%eis não bsicas e 7 #= 7&= 7* são as %ari%eis bsicas" Oeri-icamos 'ue esta solução não ( ptima= %isto 'ue e7istem custos reduzidos negati%os: . e 1"  %ari%el a entrar na base ( 7 1 por'ue= entre as %ari%eis não bsicas com custo reduzido negati%o= ( a 'ue tem menor %alor"  %ari%el de sa>da ( 7 &= por'ue o min { 122= 82= 1*1 } corresponde  linha de-inida por esta %ari%el bsica" $ pi%ot neste caso ( 2 ?assinalado com um asterisco@"  actualização do 'uadro simple7 ( -eita utilizando as seguintes operaç6es elementares: !1 → !1 [ !2 !2 → 12!2 !3 → !3 [ 12! 2 !# → !# ] #!

7# 71 7* \

71 / 1 / /

72 1 12 &2 #

73 / 12 32 3

7# 1 / / /

7& 1 12 12 #

7* / / 1 /

b 3 82 232 3*

uadro 3"#"&

$btemos uma no%a solução bsica admiss>%el ?7 1= 72= 73= 7#= 7&= 7*@ Y ?82= /= /= 3= /= 232@C esta solução ainda não ( ptima pois e7iste um custo reduzido negati%o" 4eparese 'ue para esta solução a -unção obDecti%o ( 3*"  %ari%el a entrar na no%a base ( 7 2= por'ue entre as duas %ari%eis não bsicas ( a nica 'ue tem um custo reduzido negati%o"  %ari%el de sa>da ( 7 #= por'ue o min _3= 8= 23&` corresponde  linha de-inida por 7#" $ no%o pi%ot ( 1 ?assinalado com um asterisco@"  no%a actualização do 'uadro simple7 ( -eita utilizando as seguintes operaç6es elementares:

33



!1 → !1 !2 → !2 [ 12! 1 !3 → !3 [ &2! 1 !# → !# ] #!1 71 / 1 / /

72 71 7* \

72 1 / / /

73 / 12 32 3

7# 1 12 &2 #

7& 1 1# 2 /

7* / / 1 /

b 3 3 # #.

uadro 3"#"*

 no%a solução bsica admiss>%el ( ?7 1= 72= 73= 7#= 7&= 7*@ Y ?3= 3= /= /= /= #@C uma %ez 'ue neste ltimo 'uadro não e7istem custos reduzidos negati%os= esta solução ( ptima" 5endo o %alor m7imo da -unção obDecti%o #." ssim= conclu>mos 'ue se de%em produzir 3 unidades de Hits do tipo I e do tipo II e nenhuma do tipo III para 'ue o lucro seDa m7imo ?#. euros@" Este e7emplo -oi resol%ido usando o algoritmo primal do m(todo simple7"  resolução do m(todo simple7 depende do tipo de restriç6es 'ue estamos a considerar e neste trabalho abordmos apenas restriç6es do tipo

≤ C

se as restriç6es -orem do tipo

≥

ou do tipo Y e7istem outras -ormas de resolução" Por e7emplo= no caso da igualdade e7istem dois processo de resolução: o dos grandes 9Ws e o das duas -ases" E7istem ainda outros algoritmos: primaldual e dual" Jo entanto= ( de destacar 'ue o m(todo simple7 ( nico"

. C5$C%US75 Terminado este trabalho e aps a pes'uisa realizada para o mesmo= %eri-icase 'ue de -acto a Programação !inear ( uma cincia com uma %asta aplicação em problemas reais e do 'uotidiano e= por isso mesmo= muito til" Tentouse corresponder ao pretendido= apresentando os contedos tericos do tema em 'uestão= seguidos de e7emplos de situaç6es reais= em 'ue a interpretação gr-ica toma principal desta'ue"
3#



-oi poss>%el abordlo em toda a sua e7tensãoC contudo= procurouse elucidar a sua grande utilidade na resolução de problemas P"!" com trs ou mais %ari%eis eou com muitas restriç6es" Jo entanto= muito mais se poderia -alar= pois a P"!" ( uma cincia bastante %asta e 'ue actualmente abrange muitas e %ariadas reas de acti%idades" ssim= importa realçar o seu contributo na rea da 9atemtica e= em particular= no âmbito do ensino secundrio"

+%+5)41F+1 •

,5TI= Gohn !" [ 2inco 3egras de 4uro !isboa: Bradi%a= 1888"

•

<J= 5%en  #inear 5rogramming Oiena: 18+2"

3&

Programacao Linear

Recommend Documents