Cuarto Año
I.E. 82067 – AMPLIACIÓN SECUNDARIA
RITMÉTICA Y GEOMÉTRICA PROGRESIONES: ARITMÉTICA Y PROGRESIÓN ARITMÉTICA Es aquella sucesión de términos que se caracteriza por que cualquier termino de ella se obtiene aumentando al término anterior una cantidad constante llamada razón (r) Representación a1 ; a2 ; a3 . .............. ; an a1 ; a1 + r ; a1 + 2r ........ ........ ; a1 + (n - 1)r
Elementos de P.A. a1 primer término r razón de la !." an término enésimo n n#mero de términos $n $uma de n primeros términos.
CLASES DE P.A %e acuerdo a la razón $i r & ' !. ". reciente $i r ' !. " %ecreciente
Pro!edades 1. alculo de la razón $ea a1 ; a2 ; a3 ; ................ ; a n r * a3 a1 En ,eneral . r * a n an 1 .
". En toda !." la suma de los términos equidistante de los etremos es i,ual a la suma de los etremos.
Eemplo
#. !ara /allar un término enésimo #ltimo cualquiera . an * a1 + (n - 1) . r . Eemplo 0allar el 1ao termino de la si,uiente !.". 3 ; ; ; 4 ; .........
Resol$%!&n 5semos an * a1 + (n 1)r del eercicio a 1 * 3; n * 1; r * 2 Reemplazando a1 * a1 + (1 - 1) . r a1 * 3 + (16) . 2 a1 * 31
'. 7érminos central de una !. " . ac * Eiste cuando 8n9 es impar Eemplo 0allar el término central
Progresión Aritmética Aritmética y Geométrica
a n
+ a 1 2
.
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3 . : . 4 . 12 ..........
1 tér min os
Resol$%!&n
+3
a n
ac *
tenemos que /allar a n
2
a1 * 3 + (1 - 1) . 3 a1 * 6 !or tanto 6 + 3 ac * 2
→
ac * 26
(. $uma de términos de una !. ". $n *
a + a . n 2 1
n
Eemplo 0allar 8$9 $*
0allar
+ + + < + .......... 2 6 : . 1 tér min os
$1 *
a + 2 . 1 2 n
a1 * = a1 * 2 + (1 - 1) . 2 a1 * 2 + 1: . 2 → a1 * 36
>ue,o $1 *
36 + 2 . 1 2
$1 * 1< . 1 $1 * 3': "dem?s $i n es impar Entonces $n * ac . n %onde ac término entral de la !ro,resión n n#mero de términos O)SER*ACIÓN: E @ >" !RA7B" 5@" !." $E RE!RE$E@7"R" "$C
a 1 ; a 2 ; a 3 ; DD.. ; a n
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Es una sucesión de términos en la cual un término es i,ual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada razón (r)
Reresenta%!&n a1 ; a2 ; a3 ; ................ ; a n a1 ; a1.r ; a1.r2 ; ............. ; a1.r(n - 1)
Elementos de la PG. a1 primer término (t1 ≠ ') r razón ,eométrica (r ≠ ') n n#mero de términos an términos enésimo $n suma de 8n9 primeros términos
Clases de PG Progresión Aritmética y Geométrica
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$i r & 1 $i ' r 1 $i r '
! es creciente. → ! es %ecreciente. → ! es Fscilante. →
Pro!edades 1. alculo de la razón (r) $ea la ! a1 ; a2 ; a3 ; ................ ; a n
⇒
r *
a2
*
a1
a3
=
.......... ...
=
a2
an an
1
−
". alculo del término enésimo de un !.
an * a1 . r(n- 1)
.
Eemplo 0allar 4no término en
1 1 1 ; ; ; ........ <1 2 4
Resol$%!&n •
0alando la razón 1 2 1
r*
=
<1 2
r * 3
→
<1 •
alculando el a4 1 . 34 1 a, * <1 −
a, * ∴
1 . 3< 6 3
a, * 36
→
a, * <1
#. En toda !. El producto de los términos equidistantes de los etremos es i,ual al producto de los etremos
'. 7ermino central de una !. ac *
a1
. an
uando el n#mero el términos (n) es impar Eemplo 0allar el término central 3 , 6 ,
12 , .............
15 tér min os
Resol$%!&n 7 c *
3 . a15
Progresión Aritmética y Geométrica
.
n → impar
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0allando t1 a1 *3 . 21 1 a1 * 3 . 216 Reemplazando ac * 3 . 3
. 2 16
32 . 216
*
(.
* 32 . 2 16 * 3 . 2 * 3 . 12< ∴ . ac * 3<6 . $uma de una ! de un término
$n *
a
1
( r r
n
− 1)
−1
Eemplo $umar 1
1
;
243
81
;
1 27
; .................
10 tér min os
Resol$%!&n 0all?ndose la razón
1 <1 r* 1 263
r * 3
⇒
0all?ndose la suma de términos
1 (3 1' − 1) . 263 3−1 1 4'6< . $1' * 263 2 $1' *
2426 263 $1' * 121 $1' *
+. !roducto términos de una !. !n * $i n → impar
⇒
a1
!n *
. an n
ac
Eemplo 0allar el producto de términos de 1 1 1 ......... 12< :6 32 16 tér min os
Resol$%!&n 0allamos la razón 1
r *
32 1
=
:6 32
→
r * 2
:6
Progresión Aritmética y Geométrica
n
..
.
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0allando a16. 1
a16 *
. 2 16
12<
2 13 a16* 2
1
−
a16 * 2:
→
"/ora
1 . 2: 12<
!16 *
1
!16 *
2
.2
:
1 2
!16 *
→
1
. !16 *
12<
.
,. S$ma L!m!te $uma de todos los términos de una !. Blimitada decreciente se obtiene asG $>im *
a1
1
−
;
$i 1 r 1
r
Eemplo alcular $*
1 6
1 <
+
+
1 1:
+
1 32
+ ...........
⇒
r*
Resol$%!&n 0allando la razón 1 a1 *
1
r*
6
1: 1
< 1:
⇒
r*
1 2
< omo $ *
a1
1
−
q
reemplazamos
1 $*
∴
1
4 1−
$*
1 2
=
4 1
=1
x
2
1 x 4
2
1 2
O)SER*ACIÓN: ! "R" 0">>"R 5@ 7HRIB@F 5">J5BER" $E !5E%E "!>B"R >"$ $B5BE@7E$ KFRI5>"$ E@ER">E$ . E @ 5@" !" E @ 5@" !
a * a L + ( - L) . r .
Progresión Aritmética y Geométrica
7 * t L . r D.
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PRO)LEMAS PARA LA CLASE 1. $e sabe que en una !." el término que ocupa el lu,ar 12 es 3' L que la razón es 2. /allar el primer término de la pro,resión
Rpta.
". alcular el término que ocupa el lu,ar 1 en la !." 1 < 1 22 ....................
Rpta.
#. En una !. El término que ocupa el quinto lu,ar es 3: L la razón es 2. /allar el primer término de la pro,resión
Rpta.
'. alcular el término 26 de la !. 1 1 1 ; ; ; ................. 1: < 6
Rpta.
Progresión Aritmética y Geométrica
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(. $e sabe que en una !." el término que ocupa el lu,ar 1 es 4 L el término que ocupa 3 es 16. /allar la razón de la pro,resión (/acer por 2 métodos)
Rpta.
+. %ado a1 * 2 L r *
1 en una !.. obtener el a < 2
Rpta.
,. $e desea saber el n#mero de m#ltiplos de : que /aL entre L 6'4.
Rpta.
-. 0allar el termino de lu,ar 1 de la pro,resión ,eométrica 1 1''''
;
1 1'''
;
1 1''
;
1 1'
;......... ...
Rpta.
. $e sabe que en una !." el término que ocupa el lu,ar 6 es 3 L que la razón es . $e desea saber el alor del noeno término de la pro,resión
Rpta.
1/. alcular el producto de los : primeros términos de la !. 1 3 4 ...............................
Rpta. Progresión Aritmética y Geométrica
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11. alculemos la suma de los primeros términos de la !. 1 1 6 ...................... 6
Rpta.
1". 0allar la suma de las 2' primeros términos de la !" 2; : 1'; 16; ....................
Rpta.
1#. Mu?ntos términos /aL que tener en la !". 1 : 11 ....... para que la suma sea 6'=
Rpta.
1'. 5na !. 7iene como primer termino i,ual a 1 L razón i,ual a 2. /allar la suma de sus 12 términos
Rpta.
1(. 0allar $ $ * 2' + 6 +
6
+
6 2
+ ..........
Rpta.
1+. Fbtener la suma de una !. Blimitada de razón 2N3 L cuLo primer término ale :
Rpta.
Progresión Aritmética y Geométrica
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1,. 0allar el término de lu,ar :' de la !". 3 6
6
;
6
;
4 6
; ..............
Rpta.
1-. 0allar el octao termino de la ! 1 2 6 < .............
Rpta.
1. En una ! el primer término ale 3 L la razón ale 2 /allar el termino de lu,ar 1'
Rpta.
"/. 5na !." tiene 61 términos L su termino central ale 11. Mu?nto ale la suma de los 61 términos=
Rpta.
PR0CTICA 1. 0allar el término de lu,ar 2: de la !". A 2'
) 33
C 6
- -3 1 ..................
D :<
E 43
". Fbtener el término a 6: en una !." sabiendo que a 2 * 1 L r * -2 A 62
) -2
C 34
D 1
E
#. $e desea saber el n#mero de m#ltiplos de 6 que /aL entre 1 L 64: A 1'' ) 1'
C 111
Progresión Aritmética y Geométrica
D 112
E 11
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'. En una !". 7iene 12 términos L su término central ale 21. Mu?nto ale la suma de los 12 términos=
A 2::
) 2:<'
C 26'
D 2:'
E 2<6'
(. 7res n#meros consecutios est?n en !". de razón i,ual a :. si la suma de estos n#meros es 161. 0allar el " del maLor n#mero
A 3
) 6
C 61
D 6
E 4
+. El séptimo término de una !. Oale 263 L la razón 3; /allar el 1er termino A 3
) 1N3
C 1N:
D 1N4
E 1N2
,. En un ! se sabe que a 1 * 1 L a 1' * 2' /allar la razón de la pro,resión A 6
) 4'
C 44
D :'
E 3'
-. $abiendo que a1 * L r * 3 /allar la suma de los diez primeros términos de una pro,resión ,eométrica
A 12'
) 2' C 3'1
D 6
E 14
. 0allar el producto de los 4 primeros términos de un ! si sabemos que el termino central ale 2.
A 2'6< 1/.
) 1'26 C <
D 12
E 11'
alcular el alor de 8$9 1 1 1 1 + + .......... $* + + 3 4 2 <1
A 1
) 1N2
C P
D 1N<
E 2
CLA*ES
Progresión Aritmética y Geométrica
1. E
+. Q
". Q
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#. %
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(. Q
1/. Q
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