I.E. TERESA GONZALES DE FANNING FANNING hora horas s diar diaria ias s es indi indire rect cta a porq porque ue a más más pers person onas as se requ requie iere re de meno menor r cantidad de de Personas volantes Horas diarias horas diarias. Por ello el diagrama ' ())) & quedaría: * '))) ' Proporcionalidad
Proporcionalidad
¿Cómo se resuelven problemas de proporcionalidad compuesta? Para resolver problemas problemas de proporcio proporcionalid nalidad ad compuest compuesta a es posible posible hacerlo hacerlo mediante el procedimiento de la regla de tres compuesta. Regla de Tres compuesta Es una regla Personas volantes Horas diarias de tres donde intervienen más de dos ' ())) & magnitudes * '))) ' propor proporcio ciona nales les.. Este Este proced procedimi imient ento o de cálcul cálculo o nos permit permite e hallar hallar un valor valor cuan cuando do se cono conoce cen n un conj conjun unto to de valo valore res s corr corres espo pond ndie ient ntes es a varia varias s magnitudes. Para Para reso resolv lver er un prob proble lema ma de prop propor orci cion onal alid idad ad comp compue uest sta a medi median ante te el procedimiento de la regla de tres compuesta debemos tener en cuenta que luego luego de reconocer reconocer el tipo de relación proporciona proporcionall entre la magnitud magnitud del dato desconocido y las otras magnitudes, se despeja la incógnita multiplicando la cantidad que se encuentra sobre ella por las diferentes fracciones que se forman en cada magnitud, si son inversas !" se copian igual y si son directas #" se copian de manera invertida. $sí: Proporcionalidad
8000 6 . 3000 8
x
=
8.
x
=
16
Proporcionalidad
Por tanto, se requieren de %& personas para cumplir con el objetivo.
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8!9$ ;1(< La proporcionalidad compuesta y las elecciones políticas #urante una campa+a electoral, unos simpatiantes realiaron propaganda política para su partido favorito, ya sea de manera virtual o con volantes impresos.
Responde las siguientes preguntas: %. -u/ opinas de la propaganda política durante una campa+a electoral0 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111111 2. 3uchas veces los volantes que se reparten terminan en el suelo de la ciudad -u/ opinión te merece esto0 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111 (. 4i 2 millares de volantes impresos cuestas %2) soles, y %52 millar cuesta la mitad de lo que cuesta % millar de volantes, -cuál es el costo de (6 millares0 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111111 7. En una ciudad ' personas reparten ())) volantes al día durante & horas diarias, sin embargo por la cercanía de la fecha de elecciones decidieron
I.E. TERESA GONZALES DE FANNING repartir '))) volantes al día durante ' horas diarias, -9uántas personas son necesarias para cumplir con este objetivo0 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Aprendemos =as situaciones planteadas en la sección inicial nos proponen relaciones de proporcionalidad entre magnitudes, por ejemplo la cantidad de volantes se relaciona proporcionalmente con el costo de los mismos, o en el caso de la cantidad de personas se relaciona proporcionalmente con la cantidad de volantes repartidos y con la cantidad de horas diarias en las que se realia el reparto. Estas relaciones proporcionales pueden ser de dos tipos: directas o indirectas ¿Cundo decimos magnitudes?
!ue
e"iste proporcionalidad directa
entre
dos
Para e*plicar la proporcionalidad entre dos magnitudes recurriremos a un ejemplo. 4i el millar de volantes cuesta &) soles, podemos deducir fácilmente que dos millares de volantes costarán %2) soles y tres millares %') soles y así podríamos saber el costo de la cantidad de millares que quisi/ramos ya que si multiplicamos la cantidad de millares por un n>mero determinado el costo tambi/n quedará multiplicado por ese mismo n>mero. $quí decimos que e*iste proporcionalidad directa entre la cantidad de millares de volantes y su respectivo costo ya que al aumentar una de las magnitudes la otra magnitud tambi/n aumenta. En resumen: #os magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir" una de ellas por un n>mero, la otra queda multiplicada o dividida" por el mismo n>mero. 4i a un valor P de la primera magnitud le corresponde un valor de la segunda magnitud, se puede comprobar que el cociente o raón entre estos dos valores es siempre constante. $ esta cantidad se le llama constante o ra#ón de proporcionalidad directa$ r
A =
B
?aón de proporcionalidad: ¿Cundo decimos !ue e"iste proporcionalidad indirecta entre dos magnitudes?
I.E. TERESA GONZALES DE FANNING $hora, proponemos un nuevo problema para e*plicar la proporcionalidad indirecta. Para repartir los volantes en ( días se requiere de 7 personas, si se quieren repartir en dos días, -cuántas personas se necesitarán para cumplir con ese cometido0 @emos que si 7 personas los reparten en ( días y se quiere repartir en menos días entonces se necesitarán más de 7 personas, es decir si el n>mero de días disminuye entonces la cantidad de personas tiene que aumentar. Estamos ante un caso de proporcionalidad indirecta, porque mientras una magnitud disminuye la otra magnitud aumenta. En resumen: #os magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar o dividir" una de ellas por un n>mero, la otra queda dividida o multiplicada" por el mismo n>mero
Personas volantes Horas diarias de la primera 4i a un valor $ ' ())) & magnitud le corresponde * '))) ' un valor A de la segunda magnitud, se puede comprobar que el producto de estos dos valores es siempre constante. $ este producto se le llama constante de proporcionalidad indirecta. ?aón de proporcionalidad: $.A ¿%u& es la proporcionalidad compuesta? Bna actividad de proporcionalidad compuesta relaciona más de dos magnitudes que pueden ser directa o indirectamente proporcionales. Para evidenciar claramente esta proporcionalidad veamos una de las situaciones iniciales en la que ' personas reparten ())) volantes al día durante & horas diarias, pero por la cercanía de las elecciones decidieron repartir '))) volantes al día durante ' horas diarias. 4e busca en este problema la cantidad de personas necesarias para cumplir con este objetivo. Es importante que en primer lugar, determinemos cuál es la relación entre la magnitud del dato desconocido y las demás magnitudes. Para ello debemos recordar que para determinar la relación entre magnitudes $ y A es importante compararlas con la siguiente pregunta: 4i se incrementa $, -qu/ ocurre con A0 4i la respuesta es que tambi/n aumenta proporcionalmente, entonces la relación es directa, si A disminuye proporcionalmente, entonces la relación es indirecta.
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=a relación proporcional entre la cantidad de personas y l a cantidad de volantes repartidos es directa, porque a más personas se reparten mayor cantidad de volantes. Por otro lado, la relación proporcional entre la cantidad de personas y las
I.E. TERESA GONZALES DE FANNING '$ En la situación presentada, -qu/ tipo de relación proporcional se cumple entre la cantidad de obreros y el tiempo necesario para concluir la obra0 -Por qu/0 a" Proporcionalidad directa, porque a más obreros se necesita más tiempo. b" Proporcionalidad indirecta, porque a más obreros se necesita menos tiempo. c" Proporcionalidad directa porque a más obreros se necesita menos tiempo. d" Proporcionalidad indirecta porque a más obreros se necesita más ti empo. (ineros En una mina, una cuadrilla de C mineros abre una galería de ') metros de longitud en 2) días. 4i otra cuadrilla tiene %& mineros. -9uántos metros de galerías abrirán en 2C días0
9on esta información responde la pregunta %) )*$ -9uál es el esquema que nos permitirá resolver la situación0 a"
b" Proporcionalidad
Proporcionalidad
mineros
longitud
Diempo mineros
Proporcionalidad
c"
longitud
d"
Proporcionalidad
Diempo mineros
Proporcionalidad
Diempo
Proporcionalidad
Proporcionalidad
mineros
longitud
longitud
Diempo
Proporcionalidad
I.E. TERESA GONZALES DE FANNING Practicamos Taller de con+ecciones Por campa+a un taller de confección fabrica ;2) pantalones, trabajando ' horas diarias durante %C días. #ebido a la gran demanda recibieron el pedido de confeccionar %')) pantalones, por ello han decidido trabajar 2 horas diarias de sobretiempo. -En cuánto tiempo entregarán este pedido0
9on esta información responde las preguntas %, 2 y (. )$ -9uál de los esquemas se debe usar para resolver el problema0 a"
b" Proporcionalidad
pantalone s
h5d
Proporcionalidad
Diempo pantalon es
h5d
Proporcionalidad
c"
Proporcionalidad
d"
Proporcionalidad
pantalone s
h5d
Diempo
Proporcionalidad
Diempo pantalon es
Proporcionalidad indirecta
h5d
Diempo Proporcionalidad
,$ 4eg>n los datos brindados en la situación, -en cuánto tiempo entregarán el pedido0 a" () días.
I.E. TERESA GONZALES DE FANNING b" %2 días. c" 7C días. d" %C) días. -$ #iego le dice a la maestra que la cantidad de pantalones y las horas diarias trabajadas cumplen una relación proporcional directa. -Estás de acuerdo con #iego0 -Por qu/0 #ato % #ato 2 #ato (
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111111 .$ 9on el siguiente modelo escribe una situación que e*prese relaciones proporcionales compuestas entre magnitudes. Proporcionalidad
Proporcionalidad
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 11111111 /$ Domando en consideración la situación planteada en la pregunta anterior. ?esu/lvela y escribe tu respuesta.
0$ 4eis obreros recubren con losetas %2)) m 2 de suelo en 7 días. -9uántos metros cuadrados de suelo podrán cubrir con losetas %2 obreros en C días0 a" %C)) m2 b" %2) m2
I.E. TERESA GONZALES DE FANNING c" 27)) m2 d" ())) m2
Reservorio de agua Para la construcción de un reservorio de agua son contratados 27 obreros que deben acabar la obra en 7C días trabajando & horas diarias. =uego de C días de trabajo la empresa constructora tuvo que contratar los servicios de & obreros más y se decidió que todos deberán trabajar ' horas diarias con el respectivo aumento en su remuneración. -En cuánto tiempo en total se entregó la obra terminada0
9on esta información responde las preguntas ;, ' y . 1$ -9uál es el esquema que nos permitirá resolver la situación0 Proporcionalidad
a" obreros
h5d
Diempo obrero s
obra h5d
Diemp o
obra
P. Indirecta
P. Directa Proporcionalidad
Proporcionalidad
c"
Proporcionalidad
obreros
h5d
Diempo
P. Indirectaobrero Proporcionalidad s
Proporcionalidad
b"
obrah5d
d" Diemp o
Proporcionalidad
obra
P. Indirecta Proporcionalidad
2$ 4eg>n la información brindada, -en cuánto tiempo en total se entregará la obra terminada0 a" 27 días.
I.E. TERESA GONZALES DE FANNING b" 2 días. c" () días. d" 7C días.
