ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL OPERACIÓN ECONÓMICA DE SISTEMAS DE POTENCIA
PROYECTO: Método del Gradiente en el Despacho Económico para la Operación Económica de Sistemas de Potencia.
Grupo # 4
Integrantes: Jonathan Molina J. Jorge Bustamante. Raúl Vaca.
2012 – 2012 – 1er S
Indice Antecedentes Antecedentes
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Optimización
2
Fases de la Optimización
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Métodos de Optimización
4
Métodos de Programación Matemática
4
Modelo de Programación No Lineal.
5
Método del Gradiente
5
Método del Gradiente En el Despacho Económico.
6
Ejemplo
8
Gradiente Reducido.
11
Algoritmo Método del del Gradiente Gradiente
13
Esquema de Iteración del Método del Gradiente
13
Ejercicio de Gradiente Reducido
14
Programación en MATLAB Método del Gradiente aplicado al Despacho Económico.
16
Ejemplo:
22
Programación en MATLAB Método del Gradiente Reducido aplicado al Despacho Económico
25
Ejemplo:
31
Conclusión
33
Bibliografía
34
1
Antecedentes Para determinar la operación económica de un sistema eléctrico, se supone que el sistema está en un estado normal, donde se satisfacen las restricciones de red y operación. Además, se supone que existen suficientes márgenes de estabilidad transitoria y permanente, las tensiones en cada una de las barras están dentro de lo permitido, no existen fluctuaciones de tensión en el sistema, la distorsión armónica es despreciable, la variación de frecuencia es mínima, el sistema es equilibrado y balanceado, es decir, el sistema cumple con los requisitos de calidad de servicio, en esta condición, se puede buscar una operación óptima del sistema.
Optimización. El desarrollo de los métodos de optimización tiene su origen en la época de los grandes matemáticos como Newton, Lagrange y Cauchy. Pero, a pesar de que en ésa época se dieron a conocer contribuciones importantes, no fue sino hasta el siglo XX, cuando se desarrollaron las computadoras digitales y se implementaron nuevas herramientas de optimización. Las raíces de la optimización como ciencia, se remontan a muchas décadas, cuando se hicieron h icieron los primeros intentos i ntentos para emplear el enfoque científico científ ico para la asignación de recursos económicos y materiales para el logro de un objetivo. La optimización, conocido también con el nombre de Investigación de Operaciones (IO), nace en la segunda guerra mundial. Los científicos británicos fueron los precursores de la Investigación Operativa, su trabajo tenía que ver principalmente con la asignación óptima de los recursos limitados del material de guerra. El inicio de la Investigación de Operaciones, si bien fue de uso militar, rápidamente su aplicación se amplía a las áreas de la economía e ingeniería. En el área de la ingeniería eléctrica, la IO tiene una aplicación relevante, principalmente por la desregulación de los mercados eléctricos.
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Fases de Optimización. Las principales fases de optimización son:
Los aspectos más importantes dentro del proceso de optimización, son la modelación y el análisis de sensibilidad, es decir, la interpretación interpretaci ón de las variables duales (multiplicadores (multiplicador es de Lagrange y Kuhn- Tucker) con el objeto de mejorar la solución obtenida e implementar los resultados.
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Métodos de Optimización.
Introducción. Para enfrentar el problema de despacho económico, resulta necesario obtener herramientas que permitan obtener resultados contundentes y fiables dentro de un sistema eléctrico, para así obtener un costo mínimo de operación para lo cual existe una gran variedad de métodos simples, básicos y de mayor complejidad. La optimización corresponde a un proceso de búsqueda a través del cual se pretende encontrar dentro de un conjunto de soluciones factibles la mejor solución posible para el problema. Debe considerarse que el primer paso para la optimización es obtener una modelación del problema donde se incluyan todas sus restricciones. Los problemas de optimización combinatoria han sido tradicionalmente resueltos por algoritmos desarrollados especialmente para el problema específico usando una diversidad de técnicas. Sin embargo, no pueden resolverse de manera exacta en tiempo razonable, aun cuando se tenga solo un número modelado de variables. En la actualidad, la investigación se ha dirigido hacia el diseño de técnicas denominadas metaheurísticas, metaheurístic as, es decir, algoritmos de búsqueda eficientes con respecto al tiempo de cómputo y con cierto grado de certeza entregar una buena solución. Los métodos de optimización se pueden clasificar en tres grupos principales, los basados en la programación matemática, los enumerativos y los de búsqueda aleatoria o Metaheurísticas.
Métodos de Programación Matemática. La programación matemática basa su cálculo a partir de una función objetivo dado por cada generador siendo esta continua, diferenciable y sin restricciones en su dominio (espacio de búsqueda), la solución óptima estará entre los puntos del dominio cuya pendiente sea cero en todas direcciones. En consecuencia este tipo de métodos se ubican en un punto y luego se mueven en la dirección de mayor gradiente hasta encontrar los puntos de gradiente igual a cero de ello dependiendo el método a utilizar. Ya que esta técnica necesita determinar o estimar el gradiente en cada iteración resulta indispensable la función objetivo. En el caso de la programación de de la 4
generación, si se pretende utilizar un modelo lo más realista posible del sistema eléctrico, resulta particularment particularmente e complejo desarrollar una expresión matemática para la función objetivo, quedando aplicables dichos métodos solo para la comprensión del despacho económico dentro de las aulas.
Modelo de Programación No Lineal. Un modelo de Programación no Lineal (PNL) es aquel donde las variables de decisión se expresan como funciones no lineales ya sea en la función objetivo y/o restricciones de un modelo de optimización. Esta característica particular de los modelos no lineales permite abordar problemas donde existen economías o des economías de escala o en general donde los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen. En este sentido el método del gradiente (conocido también como método de Cauchy o del descenso más pronunciado) consiste en un algoritmo específico para la resolución de modelos de PNL sin restricciones, perteneciente a la categoría de algoritmos generales de descenso, donde la búsqueda de un mínimo está asociada a la resolución secuencial de una serie de problemas unidimensionales. Los pasos asociados a la utilización del método del gradiente o descenso más pronunciado consiste en:
5
Método del Gradiente En el Despacho Económico. Este método trabaja sobre el principio de minimizar una función, la cual consiste en encontrar siempre la dirección de arriba hacia abajo mediante una serie de pasos mediante un punto inicial .
En el despacho económico el gradiente se lo aplica a la función de Lagrange.
Donde
Resultando
6
+λɸ
Y el gradiente de esta función es
Este algoritmo requiere un valor inicial de:
Para que el gradiente de Lagrange sea recalculado mediante:
De la cual se puede desglosar en:
Donde α es un escalar que permite garantizar que el proceso converja.
Dado que el resultado de este método no puede garantizar un ajuste de los generadores, por lo que el gradiente de Lagrange no llega a ser cero, resulta necesario una simple variación de esta técnica, llegando a denominarse Gradiente Reducido.
7
Determinamos de manera aleatoria los valores
Con la restricción.
8
Con estos valores
se calcula
9
λ para cada generador.
Primera Iteración.
Y luego se continúa con el proceso.
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Gradiente Reducido. El Gradiente Reducido disminuye el número de variables involucradas en el proceso iterativo, lo que implica que una variable dependa de otra siendo esto aplicable para un número número reducido de generadores lo cual es una desventaja, no pudiendo ser aplicada en sistemas más realistas.
Con este antecedente se podría establecer para un grupo de tres centrales, partiendo de la restricción antes mencionada.
Haciendo la respectiva sustitución de P3 en Ft.
Y obteniendo el Gradiente Ft.
[] [ ]
Y partiendo de la ecuación
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Se obtiene:
El método del gradiente llega a converger cuando el error llega a ser menor al establecido, considerando que el error es igual a:
12
Algoritmo Método del Gradiente
Esquema de Iteración del Método del Gradiente
13
Ejercicio: Gradiente Reducido.
________
14
( ( ) ( ) ( ) _________ _________
15
Programación en MATLAB Método del Gradiente aplicado al Despacho Económico
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%MÉTODO DEL GRADIENTE PARA EL DESPACHO ECONÓMICO %LIMITES DE GENERACIÓN % P1 DE 150MW A 600MW % P2 DE 100MW A 400MW % P3 DE 50MW A 300MW %F1=[0.001562 7.92 561]; %F2=[0.00194 7.85 310]; %F3=[0.00482 7.97 78]; %carga= 800 MW %__________________________________________________________ %FUNCIONES DE COSTO clear clc display('METODO display('METODO DEL GRADIENTE ') ') display('FUNCION display('FUNCION DE COSTO NUMERO gama1=input('ingrese gama1=input('ingrese el valor de beta1=input('ingrese beta1=input('ingrese el valor de alfa1=input('ingrese alfa1=input('ingrese el valor de F1=[gama1 beta1 alfa1]
1') 1' ) GAMA1 '); '); BETA1 '); '); ALFA1 '); ');
display('FUNCION display('FUNCION DE COSTO NUMERO gama2=input('ingrese gama2=input('ingrese el valor de beta2=input('ingrese beta2=input('ingrese el valor de alfa2=input('ingrese alfa2=input('ingrese el valor de F2=[gama2 beta2 alfa2]
2') 2') GAMA2 '); '); BETA2 '); '); ALFA2 '); ');
display('FUNCION display('FUNCION DE COSTO NUMERO gama3=input('ingrese gama3=input('ingrese el valor de beta3=input('ingrese beta3=input('ingrese el valor de alfa3=input('ingrese alfa3=input('ingrese el valor de F3=[gama3 beta3 alfa3]
3') 3' ) GAMA3 '); '); BETA3 '); '); ALFA3 '); ');
% poner aquí los datos CARGA=input('ingrese CARGA=input('ingrese el valor de la carga en MW
');
display('LIMITES display('LIMITES DE GENERACION') GENERACION') Lmin1=input('ingrese Lmin1=input('ingrese Lmax1=input('ingrese Lmax1=input('ingrese Lmin2=input('ingrese Lmin2=input('ingrese Lmax2=input('ingrese Lmax2=input('ingrese Lmin3=input('ingrese Lmin3=input('ingrese Lmax3=input('ingrese Lmax3=input('ingrese
el el el el el el
LIMITE LIMITE LIMITE LIMITE LIMITE LIMITE
MINIMO MAXIMO MINIMO MAXIMO MINIMO MAXIMO
DE DE DE DE DE DE
P1 P1 P2 P2 P3 P3
EN EN EN EN EN EN
MW MW MW MW MW MW
'); '); '); '); '); ');
display('VALORES display('VALORES INCIALES') INCIALES') P1=input('ingrese P1=input('ingrese el valor de P1 EN MW P2=input('ingrese P2=input('ingrese el valor de P2 en MW P3=input('ingrese P3=input('ingrese el valor de P3 en MW
'); '); ');
a=input('ingrese a=input('ingrese el valor de alfa '); n=input('ingrese n=input('ingrese el número de iteraciones del programa %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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');
%DERIVADAS DE LAS FUNCIONES y1=polyder(F1); y2=polyder(F2); y3=polyder(F3); for i=1:n; alfa=a; %valores de lambda (i); lambda1=polyval(y1,P1); lambda2=polyval(y2,P2); lambda3=polyval(y3,P3); lambda_t=1/3*(lambda1+lambda2+lambda3); %Primera iteración; P1(i)=P1-(lambda1-lambda_t)*alfa; P2(i)=P2-(lambda2-lambda_t)*alfa; P3(i)=P3-(lambda3-lambda_t)*alfa; lambda_t(i)=lambda_t-(CARGA-(P1(i)+P2(i)+P3(i)))*alfa; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if P1(i)Lmax1; P1(i)=Lmax1; end if P2(i)Lmax2; P2(i)=Lmax2; end if P3(i)Lmax3; P3(i)=Lmax3; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% P1=P1(i) P2=P2(i) P3=P3(i) lambda_t=lambda_t(i) end
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De esta forma se ingresan las funciones de costo individuales, el valor de la carga a despachar, se ingresan los límites de generación de las unidades, los valores iniciales de potencia, el valor de alfa y el número de iteraciones deseado. %FUNCIONES DE COSTO clear clc display('METODO display('METODO DEL GRADIENTE ') ') display('FUNCION display('FUNCION DE COSTO NUMERO gama1=input('ingrese gama1=input('ingrese el valor de beta1=input('ingrese beta1=input('ingrese el valor de alfa1=input('ingrese alfa1=input('ingrese el valor de F1=[gama1 beta1 alfa1]
1') 1' ) GAMA1 '); '); BETA1 '); '); ALFA1 '); ');
display('FUNCION display('FUNCION DE COSTO NUMERO gama2=input('ingrese gama2=input('ingrese el valor de beta2=input('ingrese beta2=input('ingrese el valor de alfa2=input('ingrese alfa2=input('ingrese el valor de F2=[gama2 beta2 alfa2]
2') 2') GAMA2 '); '); BETA2 '); '); ALFA2 '); ');
display('FUNCION display('FUNCION DE COSTO NUMERO gama3=input('ingrese gama3=input('ingrese el valor de beta3=input('ingrese beta3=input('ingrese el valor de alfa3=input('ingrese alfa3=input('ingrese el valor de F3=[gama3 beta3 alfa3]
3') 3' ) GAMA3 '); '); BETA3 '); '); ALFA3 '); ');
% poner aquí los datos CARGA=input('ingrese CARGA=input('ingrese el valor de la carga en MW
');
display('LIMITES display('LIMITES DE GENERACION') GENERACION') Lmin1=input('ingrese Lmin1=input('ingrese Lmax1=input('ingrese Lmax1=input('ingrese Lmin2=input('ingrese Lmin2=input('ingrese Lmax2=input('ingrese Lmax2=input('ingrese Lmin3=input('ingrese Lmin3=input('ingrese Lmax3=input('ingrese Lmax3=input('ingrese
el el el el el el
LIMITE LIMITE LIMITE LIMITE LIMITE LIMITE
MINIMO MAXIMO MINIMO MAXIMO MINIMO MAXIMO
DE DE DE DE DE DE
P1 P1 P2 P2 P3 P3
EN EN EN EN EN EN
MW MW MW MW MW MW
'); '); '); '); '); ');
display('VALORES display('VALORES INCIALES') INCIALES') P1=input('ingrese P1=input('ingrese el valor de P1 EN MW P2=input('ingrese P2=input('ingrese el valor de P2 en MW P3=input('ingrese P3=input('ingrese el valor de P3 en MW
'); '); ');
a=input('ingrese a=input('ingrese el valor de alfa '); n=input('ingrese n=input('ingrese el número de iteraciones del programa
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');
Mediante el comando polyder se extraen las las derivadas de F1 con respecto a P1, De F2 con respecto a P2 y la derivada de F3 con respecto a P3.
%DERIVADAS DE LAS FUNCIONES y1=polyder(F1); y2=polyder(F2); y3=polyder(F3);
Cada elemento del vector gradiente es igual a cero, de modo que se establecen los valores de lambda1, 2 y 3, El valor de lambda1 por ejemplo es igual a la derivada de F1 con respecto a P1 y evaluada en P1, lo mismo se aplica para obtener lambda 2 y lambda 3. De los tres valores de lambda extraigo el promedio que se convierte en mi lambda inicial.
Luego se procede a obtener los nuevos valores de P1, P2, P3 y lambda mediante:
Posterior a ello reemplazo P1, P2, P3 Y LAMBDA de la iteración i, por P1, P2, P3 Y LAMBDA de la iteración (i+1), luego de ello con ayuda del lazo for se establece el proceso iterativo con los nuevos valores iniciales y se repite el proceso.
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En caso de que las potencias de los generadores se salgan de sus límites de generación, la potencia en esa iteración se fija a su máximo o mínimo según el caso. for i=1:n; alfa=a; %valores de lambda (i); lambda1=polyval(y1,P1); lambda2=polyval(y2,P2); lambda3=polyval(y3,P3); lambda_t=1/3*(lambda1+lambda2+lambda3); %Primera iteración; P1(i)=P1-(lambda1-lambda_t)*alfa; P2(i)=P2-(lambda2-lambda_t)*alfa; P3(i)=P3-(lambda3-lambda_t)*alfa; lambda_t(i)=lambda_t-(CARGA-(P1(i)+P2(i)+P3(i)))*alfa; if P1(i)Lmax1; P1(i)=Lmax1; end if P2(i)Lmax2; P2(i)=Lmax2; end if P3(i)Lmax3; P3(i)=Lmax3; end P1=P1(i) P2=P2(i) P3=P3(i) lambda_t=lambda_t(i) end
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Ejemplo:
Carga=800 MW La función de Costo y el valor de la carga se ingresan en el editor de Matlab.
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Luego se ingresan los datos de la siguiente manera donde P1, P2 y P3 son valores iniciales (el valor inicial de lambda se genera dentro del programa).
23
La solución del Despacho económico luego del número de iteraciones preestablecido, se muestra de la siguiente manera.
24
Programación en MATLAB Método del Gradiente Reducido aplicado al Despacho Económico
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%MÉTODO DEL GRADIENTE REDUCIDO PARA EL DESPACHO ECONÓMICO %LIMITES DE GENERACIÓN % P1 DE 150MW A 600MW % P2 DE 100MW A 400MW % P3 DE 50MW A 300MW %F1=[0.001562 7.92 561]; %F2=[0.00194 7.85 310]; %F3=[0.00482 7.97 78]; %carga= 800 MW %__________________________________________________________ %FUNCIONES DE COSTO clear clc display('METODO display('METODO DEL GRADIENTE REDUCIDO') REDUCIDO') display('FUNCION display('FUNCION DE COSTO NUMERO gama1=input('ingrese gama1=input('ingrese el valor de beta1=input('ingrese beta1=input('ingrese el valor de alfa1=input('ingrese alfa1=input('ingrese el valor de F1=[gama1 beta1 alfa1]
1') 1' ) GAMA1 '); '); BETA1 '); '); ALFA1 '); ');
display('FUNCION display('FUNCION DE COSTO NUMERO gama2=input('ingrese gama2=input('ingrese el valor de beta2=input('ingrese beta2=input('ingrese el valor de alfa2=input('ingrese alfa2=input('ingrese el valor de F2=[gama2 beta2 alfa2]
2') 2') GAMA2 '); '); BETA2 '); '); ALFA2 '); ');
display('FUNCION display('FUNCION DE COSTO NUMERO gama3=input('ingrese gama3=input('ingrese el valor de beta3=input('ingrese beta3=input('ingrese el valor de alfa3=input('ingrese alfa3=input('ingrese el valor de F3=[gama3 beta3 alfa3]
3') 3' ) GAMA3 '); '); BETA3 '); '); ALFA3 '); ');
a1=F3(1,3); a2=F3(1,2); a3=F3(1,1); % poner aquí los datos CARGA=input('ingrese CARGA=input('ingrese el valor de la carga en MW display('VALORES display('VALORES INCIALES') INCIALES') P1=input('ingrese P1=input('ingrese el valor de P1 EN MW P2=input('ingrese P2=input('ingrese el valor de P2 en MW
');
'); ');
display('LIMITES display('LIMITES DE GENERACION') GENERACION') Lmin1=input('ingrese Lmin1=input('ingrese el LIMITE MINIMO DE P1 EN MW '); Lmax1=input('ingrese Lmax1=input('ingrese el LIMITE MAXIMO DE P1 EN MW '); Lmin2=input('ingrese Lmin2=input('ingrese el LIMITE MINIMO DE P2 EN MW '); Lmax2=input('ingrese Lmax2=input('ingrese el LIMITE MAXIMO DE P2 EN MW '); Lmin3=input('ingrese Lmin3=input('ingrese el LIMITE MINIMO DE P3 EN MW '); Lmax3=input('ingrese Lmax3=input('ingrese el LIMITE MAXIMO DE P3 EN MW '); P3=CARGA-(P1+P2); a=input('ingrese a=input('ingrese el valor de alfa '); n=input('ingrese n=input('ingrese el número de iteraciones del programa 26
');
for i=1:n; %función costo total evaluada en valores iniciales; F1_escalarv=polyval(F1,P1); F2_escalarv=polyval(F2,P2); F3_escalarv=polyval(F3,P3); FTviejo=F1_escalarv+F2_escalarv+F3_escalarv; %derivadas de la gradiente de costo; d11=polyder(F1); d22=polyder(F2); d11e=polyval(d11,P1); d22e=polyval(d22,P2); d31e=-a2-a3*2*CARGA+2*a3*P1+2*a3*P2; d32e=-a2-a3*2*CARGA+2*a3*P1+2*a3*P2; %ITERACIÓN; P1(i)=P1-a*(d11e+d31e); P2(i)=P2-a*(d22e+d32e); P3=CARGA-(P1+P2); if P1(i)Lmax1; P1(i)=Lmax1; end if P2(i)Lmax2; P2(i)=Lmax2; end if P3(i)Lmax3; P3(i)=Lmax3; end %función costo total evaluada en valores iterativos; F1_escalarn=polyval(F1,P1(i)); F2_escalarn=polyval(F2,P2(i)); F3_escalarn=polyval(F3,P3(i)); FTnuevo=F1_escalarn+F2_escalarn+F3_escalarn; P1=P1(i) P2=P2(i) P3=CARGA-(P1+P2) epsilon=FTviejo-FTnuevo end
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Esta parte del programa permite ingresar las funciones de costo como filas de una matriz (1x3), los valores a1, a2, a3 han sido creadas para manipular la función de costo de F3, cuya función corresponde a la variable dependiente escogida. %FUNCIONES DE COSTO clear clc display('METODO display('METODO DEL GRADIENTE REDUCIDO') REDUCIDO') display('FUNCION display('FUNCION DE COSTO NUMERO gama1=input('ingrese gama1=input('ingrese el valor de beta1=input('ingrese beta1=input('ingrese el valor de alfa1=input('ingrese alfa1=input('ingrese el valor de F1=[gama1 beta1 alfa1]
1') 1') GAMA1 '); '); BETA1 '); '); ALFA1 '); ');
display('FUNCION display('FUNCION DE COSTO NUMERO gama2=input('ingrese gama2=input('ingrese el valor de beta2=input('ingrese beta2=input('ingrese el valor de alfa2=input('ingrese alfa2=input('ingrese el valor de F2=[gama2 beta2 alfa2]
2') 2' ) GAMA2 '); '); BETA2 '); '); ALFA2 '); ');
display('FUNCION display('FUNCION DE COSTO NUMERO gama3=input('ingrese gama3=input('ingrese el valor de beta3=input('ingrese beta3=input('ingrese el valor de alfa3=input('ingrese alfa3=input('ingrese el valor de F3=[gama3 beta3 alfa3]
3') 3') GAMA3 '); '); BETA3 '); '); ALFA3 '); ');
a1=F3(1,3); a2=F3(1,2); a3=F3(1,1);
En esta etapa se hace posible ingresar los valores de carga, Potencia inicial de los generadores 1,2, Límites de Generación, alfa y el número de iteraciones que se desea que el programa ejecute. P3 está descrita como la variable dependiente de P1 y P2. % poner aquí los datos CARGA=input('ingrese CARGA=input('ingrese el valor de la carga en MW '); display('LIMITES display('LIMITES DE GENERACION') GENERACION') Lmin1=input('ingrese Lmin1=input('ingrese el LIMITE MINIMO DE P1 EN MW '); Lmax1=input('ingrese Lmax1=input('ingrese el LIMITE MAXIMO DE P1 EN MW '); Lmin2=input('ingrese Lmin2=input('ingrese el LIMITE MINIMO DE P2 EN MW '); Lmax2=input('ingrese Lmax2=input('ingrese el LIMITE MAXIMO DE P2 EN MW '); Lmin3=input('ingrese Lmin3=input('ingrese el LIMITE MINIMO DE P3 EN MW '); Lmax3=input('ingrese Lmax3=input('ingrese el LIMITE MAXIMO DE P3 EN MW '); display('VALORES display('VALORES INCIALES') INCIALES') P1=input('ingrese P1=input('ingrese el valor de P1 EN MW '); P2=input('ingrese P2=input('ingrese el valor de P2 en MW '); P3=CARGA-(P1+P2); a=input('ingrese a=input('ingrese el valor de alfa '); n=input('ingrese n=input('ingrese el número de iteraciones del programa
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');
Primero se evalúan las funciones de costo individuales en los valores iniciales de P1, P2 y P3 para la iteración (i), para luego obtener la función costo total FT=F1+F2+F3, que se restará de la función costo total correspondiente a los valores de la iteración (i+1). La evaluación de la función se la realiza mediante el comando polyval, especificando la función a evaluar y en qué valor se va a evaluar. Mediante el comando polyder se obtienen las derivadas de las funciones F1 y F2, Cuya variable es P1 y P2 respectivamente. Los códigos creados como el d11 por ejemplo corresponde a la derivada de la Función 1 (1er dígito de la izquierda) con respecto a P1 (2do dígito). El código d11e corresponde a la derivada de F1 con respecto a P1 y evaluado en P1. Para el caso de d31e, correspondiente a la derivada de F3 con respecto a P1 y evaluada en P1 y P2 , recordando que en F3 la P3 está en función de P1 y P2. Del mismo modo se analiza d32e. De esta forma se obtiene la gradiente de la función costo, donde el primer elemento del vector gradiente será d11e+d31e y el segundo elemento será d22e+d32e. Obtenidas las derivadas que conforman el gradiente de la función de costo se procede a obtener los valores iniciales de la Primera Iteración de P1, P2 mediante P(i+1)=P(i) - alfa(gradiente-de-costo). Posterior a ello se reemplazan los valores de P1 y P2 de la iteración (i) por los valores de P de la iteración (i+1), y con ayuda del lazo for se establece el lazo iterativo para n iteraciones deseadas, con el alfa deseado. Al mismo tiempo que se generan errores denotados por Epsilon. for i=1:n; %función costo total evaluada en valores iniciales; F1_escalarv=polyval(F1,P1); F2_escalarv=polyval(F2,P2); F3_escalarv=polyval(F3,P3); FTviejo=F1_escalarv+F2_escalarv+F3_escalarv; %derivadas de la gradiente de costo; d11=polyder(F1); d22=polyder(F2); d11e=polyval(d11,P1); d22e=polyval(d22,P2); d31e=-a2-a3*2*CARGA+2*a3*P1+2*a3*P2; d32e=-a2-a3*2*CARGA+2*a3*P1+2*a3*P2;
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%ITERACIÓN; P1(i)=P1-a*(d11e+d31e); P2(i)=P2-a*(d22e+d32e); P3=CARGA-(P1+P2); if P1(i)Lmax1; P1(i)=Lmax1; end if P2(i)Lmax2; P2(i)=Lmax2; end if P3(i)Lmax3; P3(i)=Lmax3; end %función costo total evaluada en valores iterativos; F1_escalarn=polyval(F1,P1(i)); F2_escalarn=polyval(F2,P2(i)); F3_escalarn=polyval(F3,P3(i)); FTnuevo=F1_escalarn+F2_escalarn+F3_escalarn; P1=P1(i) P2=P2(i) P3=CARGA-(P1+P2) epsilon=FTviejo-FTnuevo end
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Ejemplo:
Carga=800 MW
Las funciones de Costo se ingresan desde el teclado. Primero gama, luego beta y finalmente alfa, para cada función.
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También se ingresan.
La solución del Despacho económico luego del número de iteraciones preestablecido, se muestra de la siguiente manera.
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Conclusiones.
En el método del Gradiente y Gradiente Reducido la existencia de un factor escalar alfa (α), es de mucha utilidad ya que en ciertos casos garantiza que
el proceso iterativo converja.
El Gradiente Reducido como una simple variación del método del gradiente común, permite garantizar que los nuevos valores generados en cada paso estén dentro de la restricción de sumatorias de potencia menos la carga. Al ejecuta un paso del gradiente reducido,
la generación del generador
dependiente es fijada a la carga menos la suma de los generadores 1 y 2.
Mediante el método de gradiente reducido se disminuye el número de variables en el proceso iterativo, lo que provoca que una variable dependa de otra y se constituye en una desventaja al rato de aplicarla a sistemas de potencia más reales.
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Bibliografía.
Investigación de Operaciones de Hilier & Lieberman.
Métodos Clásicos de Optimización para Problemas No-Lineales sin Restricciones - Dr. Gonzalo Hernández Oliva U Chile - Departamento de Ingeniería Matemática
Despacho económico de potencia diaria aplicado al sistema sistema nacional ecuatoriano
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