18
20 de noviembre de 2013
PROYECTO FINAL
MATEMÁTICAS APLICADAS Y COMPUTACIÓN
SIMULACIÓN ESTOCÁSTICA
PROFESOR JAIME RAMIREZ MUÑOZ
CRUZ ZAMORANO EDUARDO
MURO GUERRERO RAÚL DE JESÚS
PÉREZ MAYA ALAN
GRUPO: 1751
INTRODUCCIÓN
Las "colas" son un aspecto de la vida moderna que nos encontramos continuamente en nuestras actividades diarias.
El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes.
La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un "servidor", el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.
MODELO DE COLA MULTICANAL (M/M/1)
Se tiene un sistema de llegadas que se producen según un proceso de Poisson de razón λ, donde los tiempos entre llegadas estarán distribuidos exponencialmente Exp (λ).Dónde λ es el número medio de llegadas por unidad de tiempo.
Los tiempos entre servicios son distribuidos de manera exponencial, Exp (μ), dónde μ es el número medio de clientes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo.
Se posee un único servidor en el sistema.
La capacidad del sistema es infinita.
Los servicios se hacen de acuerdo a la política "Primero en llegar, primero en ser servido"
OBJETIVO
Calcular cuántas cajas son necesarias para brindar un mejor servicio a los clientes de Wal-Mart a partir de la tasa de arribo en un día normal y en un día concurrido como "el buen fin".
METODOLOGÍA
El equipo realizó mediciones de tiempos en un día normal en Wal-Mart(se entiende por día normal, un día en el que no hay mucha gente en la tienda) tanto para calcular la tasa de arribo de los clientes como la tasa de servicio que se les brinda a los clientes; Lo mismo se realizó para un día concurrido(se entiende por un día con demasiada gente) como lo es "el buen fin".
DIAGRAMA DE BLOQUES
LLEGA UN CLIENTE QUE HA TERMINADO DE SELECCIONAR SUS PRODUCTOS.LLEGA UN CLIENTE QUE HA TERMINADO DE SELECCIONAR SUS PRODUCTOS.
LLEGA UN CLIENTE QUE HA TERMINADO DE SELECCIONAR SUS PRODUCTOS.
LLEGA UN CLIENTE QUE HA TERMINADO DE SELECCIONAR SUS PRODUCTOS.
EL CLIENTE SE VA.EL CLIENTE SE VA.ES ATENDIDO POR UN CAJERO DE WAL – MART.ES ATENDIDO POR UN CAJERO DE WAL – MART.EL CLIENTE TERMINA DE SER ATENDIDO POR EL CAJERO.EL CLIENTE TERMINA DE SER ATENDIDO POR EL CAJERO.SALE DE LA COLA PARA SER ATENDIDO.SALE DE LA COLA PARA SER ATENDIDO.SE FORMA EN LA COLA DE ALGUNA CAJA DE WAL – MART PARA PAGAR.SE FORMA EN LA COLA DE ALGUNA CAJA DE WAL – MART PARA PAGAR.
EL CLIENTE SE VA.
EL CLIENTE SE VA.
ES ATENDIDO POR UN CAJERO DE WAL – MART.
ES ATENDIDO POR UN CAJERO DE WAL – MART.
EL CLIENTE TERMINA DE SER ATENDIDO POR EL CAJERO.
EL CLIENTE TERMINA DE SER ATENDIDO POR EL CAJERO.
SALE DE LA COLA PARA SER ATENDIDO.
SALE DE LA COLA PARA SER ATENDIDO.
SE FORMA EN LA COLA DE ALGUNA CAJA DE WAL – MART PARA PAGAR.
SE FORMA EN LA COLA DE ALGUNA CAJA DE WAL – MART PARA PAGAR.
Tiempos de llegada en un día Concurrido
CLIENTE
TIEMPO (seg)
1
77
2
69
3
90
4
70
5
77
6
96
7
88
8
78
9
100
10
76
11
80
12
78
13
67
14
85
15
78
16
74
17
83
18
74
19
63
20
63
21
89
22
69
23
70
24
82
25
79
26
100
27
67
28
90
29
60
30
79
Tiempos de servicio en un día Normal
CLIENTE
TIEMPO (seg)
1
115
2
133
3
70
4
92
5
47
6
92
7
128
8
80
9
130
10
93
11
95
12
88
13
75
14
140
15
69
16
81
17
91
18
71
19
83
20
89
21
95
22
146
23
97
24
103
25
100
26
87
27
80
28
85
29
83
30
140
Simulación en GPSS para un día Normal
generate 78.36,10.56 Tiempo de llegada 78.36±10.56 segundos
queue cola Una sola fila
seize CajaUnifila Una sola Caja
depart cola
advance 95.8,24.17 Tiempo de servicio 95.8±24.17 segundos
release CajaUnifila
terminate 1
Tiempo de Inicio de simulación: 0.00 segundos
Tiempo de Termino de simulación: 2994.509 segundos – 49.908 minutos
Se genera este reporte:
GPSS World Simulation Report - SimulaciónWalmart.4.1
Sunday, November 17, 2013 14:44:12
START TIME END TIME BLOCKS FACILITIES STORAGES
0.000 2994.509 7 1 0
NAME VALUE
CAJAUNIFILA 10001.000
COLA 10000.000
LABEL LOC BLOCK TYPE ENTRY COUNT CURRENT COUNT RETRY
1 GENERATE 38 0 0
2 QUEUE 38 7 0
3 SEIZE 31 1 0
4 DEPART 30 0 0
5 ADVANCE 30 0 0
6 RELEASE 30 0 0
7 TERMINATE 30 0 0
FACILITY ENTRIES UTIL. AVE. TIME AVAIL. OWNER PEND INTER RETRY DELAY
CAJAUNIFILA 31 0.971 93.836 1 31 0 0 0 7
QUEUE MAX CONT. ENTRY ENTRY(0) AVE.CONT. AVE.TIME AVE.(-0) RETRY
COLA 8 8 38 1 3.307 260.595 267.638 0
CEC XN PRI M1 ASSEM CURRENT NEXT PARAMETER VALUE
31 0 2419.733 31 3 4
FEC XN PRI BDT ASSEM CURRENT NEXT PARAMETER VALUE
39 0 3026.806 39 0 1
En la fila entraron 31 clientes pero solo se atendieron a 30 personas, la caja obtuvo un 97% de ocupación y el tiempo promedio de trabajo fue de 93.836 segundos. En la cola hubo un máximo de 8 personas formadas, el promedio del tiempo de espera fue de 260.595 segundos.
Simulación en Lenguaje JAVA para un día Normal
También se simuló el problema programándolo en lenguaje java, donde se inserta la tasa de tasa de arribo, tasa de servicio, número de servidores y la capacidad que soporta el sistema. Se utilizaron los datos obtenidos en el muestreo de las cajas de Walt-Mart, los cuales fueron:
Tasa de servicio: 95.93
Tasa de arribo: 78.36
Número de servidores: 1
Capacidad del sistema: 100
Donde al terminar el programa después de ser atendidos 30 clientes, se quedaron en el sistema 8 personas, 7 en fila y 1 en servicio. Clientes en el sistema= X(t)=8
Clientes en la fila =Xw(t)=7
Clientes en servicio=Xs(t)=1
Lo cual concuerda con la simulación creada en GPSS.
Tiempos de llegada en un día Concurrido
CLIENTE
TIEMPO (seg)
1
6
2
15
3
15
4
12
5
6
6
13
7
13
8
11
9
15
10
8
11
7
12
15
13
13
14
8
15
13
16
5
17
15
18
6
19
14
20
8
21
15
22
7
23
10
24
14
25
6
26
13
27
15
28
14
29
8
30
8
Tiempos de servicio en un día Concurrido
CLIENTE
TIEMPO (seg)
1
115
2
133
3
70
4
92
5
47
6
92
7
128
8
80
9
130
10
93
11
95
12
88
13
75
14
140
15
69
16
81
17
91
18
71
19
83
20
89
21
95
22
146
23
97
24
103
25
100
26
87
27
80
28
85
29
83
30
140
Simulación en GPSS para día Concurrido
generate 9.5,3.59 Tiempo de llegada 9.5±3.59 segundos
queue cola Una sola fila
seize CajaUnifila Una sola Caja
depart cola
advance 95.8,24.17 Tiempo de servicio 95.8±24.17 segundos
release CajaUnifila
terminate 1
Tiempo de Inicio de simulación: 0.00 segundos
Tiempo de Termino de simulación: 2930.285 segundos – 48.838 minutos
Se generó este reporte:
GPSS World Simulation Report - SimulaciónWalmart días Concurridos.1.1
Sunday, November 17, 2013 15:58:42
START TIME END TIME BLOCKS FACILITIES STORAGES
0.000 2930.285 7 1 0
NAME VALUE
CAJAUNIFILA 10001.000
COLA 10000.000
LABEL LOC BLOCK TYPE ENTRY COUNT CURRENT COUNT RETRY
1 GENERATE 309 0 0
2 QUEUE 309 278 0
3 SEIZE 31 1 0
4 DEPART 30 0 0
5 ADVANCE 30 0 0
6 RELEASE 30 0 0
7 TERMINATE 30 0 0
FACILITY ENTRIES UTIL. AVE. TIME AVAIL. OWNER PEND INTER RETRY DELAY
CAJAUNIFILA 31 0.996 94.140 1 31 0 0 0 278
QUEUE MAX CONT. ENTRY ENTRY(0) AVE.CONT. AVE.TIME AVE.(-0) RETRY
COLA 279 279 309 1 138.365 1312.134 1316.394 0
CEC XN PRI M1 ASSEM CURRENT NEXT PARAMETER VALUE
31 0 305.214 31 3 4
FEC XN PRI BDT ASSEM CURRENT NEXT PARAMETER VALUE
310 0 2934.082 310 0 1
En la fila entraron 31 clientes pero solo se atendieron a 30 personas, la caja obtuvo un 99.6% de ocupación y el tiempo promedio de trabajo fue de 94.140 segundos. En la cola hubo un máximo de 279 personas formadas, el promedio del tiempo de espera fue de 1312.365 segundos.
Simulación en Lenguaje JAVA para día Concurrido
Ahora se prueba con la simulación en java para un día concurrido ("El buen fin") con los datos obtenidos en el muestreo ese mismo día, donde se inserta la tasa de tasa de arribo, tasa de servicio, número de servidores y la capacidad que soporta el sistema.
Tasa de servicio: 95.93
Tasa de arribo: 9.5
Número de servidores: 1
Capacidad del sistema: 400
Donde al terminar el programa después de ser atendidos 30 clientes, se quedaron en el sistema 8 personas, 7 en fila y 1 en servicio. Lo cual concuerda aproximadamente con la simulación creada en GPSS.
Clientes en el sistema= X(t)=273
Clientes en la fila =Xw(t)=272
Clientes en servicio=Xs(t)=1
CONCLUSIÓN PARA DÍAS NORMALES
Para un día normal se llegó a la conclusión que se necesitan por lo menos 2 cajas para el sistema estudiado para así poder brindar un mejor servicio a los clientes de Wal-Mart.
Se simuló el problema programándolo en lenguaje java, donde se inserta la tasa de tasa de arribo, tasa de servicio, número de servidores y la capacidad que soporta el sistema. Pero ahora se trata de saber cuál es el número de cajas que se tiene que abrir para brindar un mejor servicio a los clientes de Wal-Mart, el cual para esta caja con estos tiempos se necesitaría mínimo 2 cajas para que no se forme una fila. Se utilizaron los datos obtenidos en el muestreo de las cajas de Walt-Mart, los cuales fueron:
Tasa de servicio: 95.93
Tasa de arribo: 78.36
Número de servidores: 2
Capacidad del sistema: 400
Con las pruebas realizadas y los resultados obtenidos el equipo concluye que la "unifila"
en los supermercados si es más eficiente que un sistema m/m/1, ya que en caso de haber
un problema o atasco en una de las cajas con cola independiente, todos los clientes de esa
caja sufrirían la parada en el proceso de forma ineludible. En cambio, en los sistemas
m/m/k, si alguna de las cajas experimenta un problema similar simplemente basta
con desviar a la gente al resto de las que están operando.
Como se puede observar con la simulación, con los mismos tiempos pero con 2 cajas en servicio, después de 30 clientes se obtiene:
Clientes en el sistema= X(t)=1
Clientes en la fila =Xw(t)=0
Clientes en servicio=Xs(t)=1
En el cual así como llega el cliente, así es atendido, no hay fila en cual formarse pasa directo a servicio.
CONCLUSIÓN PARA DÍAS CONCURRIDOS
Para un día concurrido se llegó a la conclusión que se necesitan por lo menos 7 cajas para el sistema estudiado para así poder brindar un mejor servicio a los clientes de Wal-Mart.
Ahora se prueba con la simulación en java para un día concurrido ("El buen fin") con los datos obtenidos en el muestreo ese mismo día, donde se inserta la tasa de tasa de arribo, tasa de servicio, número de servidores y la capacidad que soporta el sistema. Pero ahora se trata de saber cuál es el número de cajas que se tiene que abrir para brindar un mejor servicio a los clientes de Wal-Mart sin poner exceso de cajas en servicio, el cual para este caso con estos tiempos se necesitaría mínimo 7 cajas para que no se extienda demasiado la fila y los clientes tengan que esperar demasiado.
Tasa de servicio: 95.93
Tasa de arribo: 9.5
Número de servidores: 7
Capacidad del sistema: 400
Donde al terminar el programa después de ser atendidos 30 clientes, se quedaron en el sistema 22 personas, 15 en fila y 7 en servicio. Con lo cual se mejoran los tiempos de espera de los clientes.
Clientes en el sistema= X(t)=22
Clientes en la fila =Xw(t)=15
Clientes en servicio=Xs(t)=7
CONCLUSIÓN UTILIZANDO GPSS PARA DÍAS CONCURRIDOS
GPSS World Simulation Report - Walmart Dias Concurridos.1.1
Sunday, November 17, 2013 11:38:54
START TIME END TIME BLOCKS FACILITIES STORAGES
0.000 463.731 7 0 1
NAME VALUE
CAJA 10000.000
COLA 10001.000
LABEL LOC BLOCK TYPE ENTRY COUNT CURRENT COUNT RETRY
1 GENERATE 47 0 0
2 QUEUE 47 10 0
3 ENTER 37 1 0
4 DEPART 36 0 0
5 ADVANCE 36 6 0
6 LEAVE 30 0 0
7 TERMINATE 30 0 0
QUEUE MAX CONT. ENTRY ENTRY(0) AVE.CONT. AVE.TIME AVE.(-0) RETRY
COLA 13 11 47 7 5.299 52.284 61.433 0
STORAGE CAP. REM. MIN. MAX. ENTRIES AVL. AVE.C. UTIL. RETRY DELAY
CAJA 7 0 0 7 37 1 6.372 0.910 0 10
CEC XN PRI M1 ASSEM CURRENT NEXT PARAMETER VALUE
37 0 360.209 37 3 4
FEC XN PRI BDT ASSEM CURRENT NEXT PARAMETER VALUE
48 0 465.823 48 0 1
29 0 489.238 29 5 6
33 0 523.046 33 5 6
32 0 523.875 32 5 6
34 0 552.325 34 5 6
35 0 568.878 35 5 6
36 0 577.096 36 5 6
En el servicio se abrieron 7 cajas, donde en la fila entraron 47 clientes pero solo se atendieron a 30 personas, la caja obtuvo un 91% de ocupación y el tiempo promedio de trabajo fue de 6.372 segundos. En la cola hubo un máximo de 13 personas formadas, el promedio del tiempo de espera fue de 52.284 segundos.
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