Proyecto Final de Metodos Numericos

INTEGRACION NUMERICA: APLICACIÓN EN EL ANALISIS DE FLUJO EN TUBERIAS En esta aplicación se trata el flujo de petróleo en un oleoducto, pero el análisis del flujo de un liquido en un tubo circular se aplica a muchos sistemas distintos, como son las venas y arterias del cuerpo humano, el sistema de suministro de agua de una ciudad, el sistema de irrigación de una granja, el sistema de tuberías que transporta fluidos en una fábrica, las líneas hidráulicas de un avión y el chorro de tinta de una impresora para computadora. La fricción en una tubería circular origina un perfil de velocidades en el petróleo al fluir. El petróleo que está en contacto con las paredes del tubo no se está moviendo, mientras que el petróleo que está en el centro del flujo se está moviendo con velocidad máxima. El diagrama de la figura 1.1 muestra como varia la velocidad del petróleo a lo ancho del diámetro de la tubería y define las variables empleadas en este análisis. La siguiente ecuación describe este perfil de velocidad:

         La variable n es un entero entre 5 y 10 que define la forma del flujo de petróleo hacia adelante. La velocidad de flujo media en el tubo es la integral de área del perfil de velocidad, la cual podemos demostrar que es:

                   





Los valores de  y n se pueden medir experimentalmente, y el valor de  es el radio del tubo. Escriba un programa Matlab que integre el perfil de velocidad para determinar la velocidad de flujo media en el tubo. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Calcule la velocidad de flujo media en una tubería. DESCRIPCION DE ENTRADAS/SALIDAS El siguiente programa muestra que la salida del programa es el valor de la velocidad de flujo media en la tubería. Los valores de la velocidad máxima  , el radio de la tubería  y el valor de n se especifican como constantes en el programa.





DESARROLLO

  

Si suponemos que el valor de  es 0.5 m y que el valor de n es 8, podemos grafiar la función , como se muestra en la figura 7.4. También  podemos obtener una estimación de la integral de esta función sumando las áreas del triángulo y el rectángulo de la figura 7.5. Esta estimación del área es:

        para obtener la   A continuación multiplicamos esta área por el factor    velocidad de flujo media en la tubería. Si suponemos que velocidad de flujo media es de aproximadamente 1.260 m/s.

Fig. 7.4 Función relacionada con la velocidad de flujo media.

Fig. 7.5Aproximación de integral.



 es 1.5 m/s, la

                        Resolviendo inicialmente la integral      por el método del trapecio múltiple  tenemos;

r 1 ! 0 r 2

! .3 r  ! .4 r  ! .45 r  ! .5 3

5

4

  ! 0  f  r  ! .2675  f  r   ! .327106  f  r  ! .337452  f  r  ! 0

 f   r 1 n

2

3

5

4

! 4h ! .125  1

´

r 0

0

¨ r  ¸ .125 ?0  2.2675  .32716  .337452  0A! .146062063 r ©©1  ¹¹ d r  ! 2 r  ª  º n

0

Por lo tanto tenemos que;

                    

¨© ª

2 1.5 =

m  s

.5

2

 ¸¹  º .1164515! 1.397418

m  s

SOLUCION MATLAB function y = velocidad( n ) vmax=1.5; %Integracion numerica, Metodo de Simpson disp('PARA INGRESER UNA FUNCION POR EJEMPLO f(x)= 3x-3, LA SINTAXIS es:' ); disp('ESCRIBA inline(´x*(1-2*x)^(1/8))' ); %sym('x^3+2*x^2+10*x-20') convierte a x en una variable simbolica para poder derivar la función f=input('INGRESE LA FUNCION:' ); %inline(´3*x-3´) permite crear una ecuacion en funcion de una variable x a=input('INGRESE EL IMITE INFERIOR a:' ); b=input('INGRESE EL LIMITE SUPERIOR b:' ); h=(3*((b-a))/16); x1=(b-a)/3; x2=2*(b-a)/3; A=h*(f(a)+3*f(x1)+3*f(x2)+f(b)); vf=A*(2*vmax/0.25); fprintf('EL AREA APROXIMADA ES:%10.5f\n' ,A) fprintf('LA VELOCIDAD DE FLUJO MEDIA APROXIMADA ES:%10.5f\n' ,vf) disp('°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°' );

end Resultado:

EL AREA APROXIMADA ES: 0.12628 LA VELOCIDAD DE FLUJO MEDIA APROXIMADA ES: 1.51535 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°