ejercicios de transformada de laplaceDescripción completa
UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS EXTENSION LATACUNGA DEPART DEPARTAMENTO AMENTO DE ENERGÍA Y MECÁNICA CARRERA DE INGENIERIA PETROQUÍMICA APLICAIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE NOMBRES: • •
Molina Pamela Naranjo Heidy
FECHA: --/--/2015
MATERIA: •
Ecuaciones Deferenciales Ordinarias
1. DATOS DATOS INFORMATIVOS: INFORMATIVOS: 2. TEMA: Aplicacin de la !ransformada de "aplace en el an#lisis de circui!os el$c!ricos%
3. OB OBE ETI TIV VOS: OS: 3.1. 3. 1. OB OBE ETI TIVO VO GENE GENERA RAL: L: &!ili'ar la !ransformada de "aplace para resol(er ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones in!e)rales%
3.2. 3. 2. OB OBE ETI TIVO VOS S ESPE ESPECI CIFI FICO COS: S: •
•
• •
Es!udiar cmo se u!ili'a la !ransformada de "aplace en el an#lisis de la es!a*ilidad de una red y en la s+n!esis de la misma% Emplear la !ransformada de "aplace en el an#lisis de circui!os el$c!ricos% Modelar circui!os el$c!ricos en el dominio s% &!ili'ar las (aria*les de es!ado para anali'ar sis!emas el$c!ricos con m,l!iples en!radas y salidas%
!. MARCO TE"RICO D#$%&'&(% )# *+ ,-+%/0-+)+ )# L+*+'#. Dada una funcin F ( s ) o L [ f ( t )]
f ( t )
su !ransformada de "aplace deno!ada por
se de.ne como ∞
∫ f ( t ) e−
L [ f ( t ) ] = F ( s )=
st
dt 4.1
0
Donde s es una (aria*le compleja dada por s = σ + jω
"a ecuacin !.1 ilus!ra el concep!o )eneral de !ransformacin% "a funcin
f ( t )
se !ransforma en la funcin
funcin an!erior in(olucra a a
t
F ( s ) % Mien!ras ue la
como su ar)umen!o la ,l!ima in(olucra
s % e dice ue la !ransformacin es desde el dominio s % Dada la in!erpre!acin de
t al dominio
s como la frecuencia se lle)a a la
si)uien!e descripcin de la !ransformada de "aplace% "a !ransformada de "aplace es una !ransformacin in!e)ral de una funcin
f ( t )
del
dominio !emporal al dominio de la frecuencia complejo lo ue da por resul!ado F ( s ) % uando la !ransformada de "aplace se aplica al an#lisis de circui!os las ecuaciones diferenciales represen!an el circui!o en el dominio !emporal% "os !$rminos en las ecuaciones diferenciales !oman el lu)ar de u !ransformada de "aplace ue corresponde a
f ( t ) %
F ( s ) cons!i!uyen las
ecuaciones al)e*raicas ue represen!an al circui!o en el dominio frecuencial%
T-+%/0-+)+ )# +*45%+ /5%'&0%# 6+&'+.
T-+%/0-+)+ &%7#-+. i F ( s ) es decir
represen!a la !ransformada de "aplace de una funcin L [ f ( t ) ] = F ( s ) se dice en!onces ue
!ransformada de "aplace in(ersa de F ( s ) y se escri*e
f ( t )
f ( t ) es la −1
f ( t )= L
[ F ( s )] %
"a aplicacin de la !ransformada de "aplace a ecuaciones no se puede de!erminar de manera direc!a una funcin desconocida
f ( t ) 3 m#s *ien
se puede despejar la !ransformada de "aplace par!ir de ese conocimien!o se de!ermina
F ( s )
f calculando
% "a idea es simplemen!e es!a supon)a ue
F ( s )=
!ransformada de "aplace3 encuen!re una funcin
F ( s ) 3 pero a
o
−1
f ( t )= L
[ F ( s )]
−2 s + 6 s +4
es una
f ( t )
!al ue
2
L [ f ( t ) ] = F ( s ) %
T-+%/0-+)+ &%7#-+.
Al e(aluar las !ransformadas in(ersas suele suceder ue una funcin de s ue es!amos considerando no concuerda e4ac!amen!e con la forma
de una !ransformada de "aplace
F ( s ) ue se presen!a en la !a*la% Es
posi*le ue sea necesario arre)lar6 la funcin de s mul!iplicando y di(idiendo en!re una cons!an!e apropiada%
A*&'+'&(% )# *+ ,-+%/0-+)+ )# L+*+'# + '&-'5&,0 #*8',-&'0. P+0 #% *+ +*&'+'&(% )# *+ ,-+%/0-+)+ )# L+*+'#: 7ransformar el circui!o del dominio !emporal al dominio de s%
•
8esol(er el circui!o usando el an#lisis nodal el an#lisis de mallas la !ransformacin de fuen!es la superposicin o cualuier o!ra !$cnica del an#lisis de circui!o con la ue se es!$ familiari'ado% alcular la !ransformada in(ersa de la solucin y o*!ener as+ la solucin en el dominio !emporal%
9. DESARROLLO DETERMINACI"N DE LA INTENSIDAD EN UN CIRCUITO RLC EN SERIE DATOS "90%1 892 90%1 :
E=120 t −120 t u ( t −1 ) L1 0.1H
V1
R1 2Ω C1
0.1F t
di 1 L Ri ( t ) y i ( τ ) dτ dt C 0
∫
Donde i ;!< es la corrien!e y " 8 y son cons!an!es t
1 di L + Ri ( t ) + i ( τ ) dτ = E ( t ) dt C 0
∫
Donde E;!< E ( t ) =120 t −120 t u ( t −1 )
di 0.1 + 2 i + 10 dt
t
∫ i( τ )dτ =120 t −120t u ( t −1 ) 0
t
&sando la !ransformada de una in!e)ral !enemos ue3
∫ i (m )dm= I s 0
Por lo !an!o la !ransformada de la ecuacin in!e)rodiferencial es
( s ) +2 I ( s ) +10
0.1 I
I ( s ) 2
1
1
1
= − e−s− e−s s
2
s
s
2
i mul!iplicamos por 10 y despejando I ( s ) 7enemos I ( s )=1200
[
1 2
s ( s + 10 )
−
1
1
−s
s ( s + 10 )
2
e −
−s
( s + 10 )
2
e
]
&sando fracciones parciales !enemos
I ( s )=1200
[
1
1
1
100
100
10
s
−
s + 10
−
−
( s +10 )
2
1 100
s
−s
− e +
1 100
s
−s
+ e
1 100
s + 10
−s
+ e
−s
1 10
( s + 10 )
e 2
−1 −s e ( s + 10 ) 2
8eali'amos la !ransforma in(ersa de "aplace y se o*!iene
[
i ( t )=12 [ 1−u ( t −1 ) ] −12 e
−10 t
−e−
10
( t −1)
]
− 10 t
u ( t − 1 ) −120 te
−1080 ( t −1 ) e−
10
( t − 1)
Escri!a como una funcin de.nida por !ramos la corrien!e es
{
i ( t )=
−
−10 t −10t 12 12 e 120 t e 0 ≤ t 1 −10 t −10 ( t −1) −10 t 12 e 12 e 120 t e 1080 t 1
−
+
−
−
−
< ( − ) e−
10
( t −1)
∧t ≥ 1
u ( t −1 )
]
on es!a ,l!ima e4presin se !ra'a la )r#.ca de
i ( t )
en cada uno de los
in!er(alos y despu$s se com*inan las )r#.cas% e o*ser(a ue aun cuando la funcin de en!rada de
E ( t ) es discon!inua la de salida
i ( t )
es una funcin con!in,a%
DETERMINACION DEL VOLTAE EN UN CIRCUITO RLSUPONIENDO CONDICIONES NULAS
V1
R1
R2
1.0kΩ
1.0kΩ C1
L1
0.33F
1H
Asi !enemos ue primero !ransformar el circuiro del dominio !emporal al domino u ( t ) =
1
s
=sL =s
1 H
1 3
F =
1
=
3
sC
s
De acuerdo al dia)rama del circui!o =ay dos mallas se aplica a=ora el analisi para "a primera malla 1
s
( ) 3
3
= 1 + I − I 1
s
s
2
e)unda malla 0
(
)
=− I + s + 5 + I
I 1 =
3
s
1 3
1
3
s
( s + 5 s+ 3 ) I 2
2
2
I 1
8empla'amos 1
s
( )(
= 1+
3
1
s
3
en la euacion de la primera malla
)
( s +5 s + 3 ) I − 3 I 2
2
s
2
Mul!iplicando por >s !enemos
=( s + 8 s + 18 s ) I 3
3
2
2
I 2
Despejamos 3
( s + 8 s + 18 s ) 3
2
V 0 ( s )= s I 2=
!enemos
= I
2
3
( s + 8 s +18 ) 2
=
3
√ 2
√ 2 ( s + 4 )2+ ( √ 2 )
2
8eali'ando la !ransformada in(ersa se !iene v 0 ( t )=
3
√ 2
−4 t
e
sen ( √ 2 t ) V t ≥ 0
. SIMULAI"N EN PRO TEUS. C0%/0-# T-+%'5-# #% ,0 #* 70*,+;# #% #% '&-'5&,0 # <+'# '#-0.
•
=. COCLUSIONES: •
•
•
•
"a (en!aja ue presen!a la !ransformada de "aplace es ue se puede usar en r$)imen permanen!e y !ransi!orio% "a !ransformada de la place se u!ili'a y es impor!an!e en la in)enier+a como en la (ida co!idiana es as+ ue se u!ili'a en el amor!i)uamien!o de un carro en el llenado de un !anue en la cin$!ica de reacciones e!c% Al u!ili'a "aplace en un circui!o 8" en serie se de!ermin la in!ensidad la cual fue una funcin en in!er(alos y se mos!r como la )r#.ca ue la funcin de en!rada E;!< es discon!inua mien!ras ue la funcin de salida i;!< es con!inua% e demos!r median!e un circui!o de dos mallas la u!ili'acin de sis!ema de ecuaciones con !rasformada de "aplace para encon!rar el (ol!aje del circui!o el cual se ac!i(a a par!ir de t≥0
%
>. BIBLIOGRAFIA: ?undamen!os de circui!os el$c!ricos Ale4ander udo@u !ercera edicin