Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, Circuitos Eléctricos
marzo 23, 2014 15
Ecuac uaciones ones Dife iferenci nciales les Aplic licada adas, eléctrico conectado en serie del tipo LR
Circ ircuito itos
Eléc léctric trico os:
circ ircuito uito
En este artículo aprenderás a aplicar las ecuaciones diferenciales a un circuito eléctrico conectado en serie del tipo LR , y comprenderás con precisión como realizar el análisis de un circuito eléctrico de éste tipo utilizando una metodología de 3 pasos !tilizaremos la siguiente "etodología •
"odelado del #ircuito Eléctrico con Ecuaciones $iferenciales
•
%olución de la Ecuación $iferencial resultante
•
&raficación de la corriente encontrada
'ara el "odelado del #ircuito Eléctrico, repasaremos las leyes de (irc)off *istas en el Ecuaciones es Diferencia Diferenciales les solo artí artícu culo lo Circuitos Eléctricos y Ecuacion solo +ue +ue a)ora a)ora el circ circui uito to a estudiar es del tipo LR 'ara la %olución de la Ecuación $iferencial aplicaremos la regla de los 4 pasos pasos para la solución de las ecuaciones diferenciales lineales de 1er orden +ue a+uí )emos utilizado !tilizaremos "-.E""-.E"-/# /# para la graficación de resultados inalmente, compararemos los modelos resultantes para la simulación de circuitos del tipo LR con los modelos modelos ote otenid nidos os para para los circuitos circuitos del tipo tipo RLC para para poder entender su relac relació iónn com comn, n, ya +ue +ue parte partenn del del mism mismoo crit criter erio io er er artíc artícul ulo o Circuitos Eléctricos y Ecuac Ecuaciones iones Dif Diferenc erenciale iales s 'ara esto resol*eremos un eercicio Ecuaciones Diferenciales Ejercicios resueltos #apitulo 31 6iro $ennis & 7ill Ed
8ma,9'rolema 2:; '<=>6E"
%e aplica una fuerza electromotriz de 30 a un circuito en serie LR con 01 )enrys de inductancia y 50 o)ms de resistencia $etermine la corriente i 9t ; , si i 90;?0 90;?0 $etermine la corriente conforme @0 t @0 El circuito esta descrito en la Figura 1
#ircuito tipo 6< conectado en serie Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, Circuitos Eléctricos: Modelado del Circuito Eléctrico con Ecuaciones Diferenciales
'rimeramente otengamos los modelos para el circuito representado en la Figura 1 $ic)o modelo matemático pro*iene de las leyes de (irc)off 1 6a suma de las corrientes )acia 9o desde; cual+uier punto es cero 6EA $E B=$=% 2 lrededor de cual+uier trayectoria cerrada la suma de las caídas de *oltae instantáneas en una dirección específica, es cero 6EA $E "66% En este caso, como +ueremos encontrar un *alor 9la corriente i 9t ; ;, en un circuito cerrado o malla utilizaremos para modelar el circuito la 6EA $E "66% 'ara esto recordamos como representamos matemáticamente, en circuitos eléctricos, a los /nductores y las
#aídas de oltae
#aídas de *oltae
en función de i 9t ;
en función de q9t ;
/nductor
Ldidt
?Ld 2 idt 2
iR
?Rdqdt
#apacitor
1C q
Entonces, aplicando la ley de mallas de Dirc)off al circuito de la Figura 1, para las caídas de *oltae en función de la corriente i 9t ; , tenemos Ldidt iR ?E 9t ;
91;
$onde L , R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia, respecti*amente 6a corriente i 9t ; se llama tamién respuesta del sistema En realidad esta ecuación 91;, no es más +ue la ecuación 92; del artículo Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales sin la caída de *oltae +ue genera el capacitorF dic)a ecuación es Ldidt Ri 1C q?E 9t ;
92;
"enciono por+ue es importante tomar en cuenta +ue una *ez modelado un circuito en serie del tipo RLC , las *ersiones de circuitos en serie del tipo LR y RC , son simplemente contracciones de la ecuación 92; Es importante )acer notar +ue en la ecuación 92; aparecen 2 *ariales dependientes i y q por lo +ue para poder resol*erla con los métodos para ecuaciones lineales ordinarias es necesario adecuarla a la forma de una ecuación diferencial lineal ordinaria, la cual contiene una sola *ariale dependiente, lo cual se )ace e*idente al *er la ecuación en su forma estándar a 2 9 x ;d 2 ydx 2 a 1 9 x ;dydx a 0 9 x ;y ?g 9 x ;
6a forma estándar anterior representa una ecuación diferencial de 2G orden, donde su nica *ariale dependiente es y y su *ariale independiente es x !tilizo la forma estándar de una ecuación diferencial linea ordinaria de 2G orden por +ue al adecuar la ecuación 91; a una ecuación diferencial lineal ordinaria da como resultado una ecuación de lineal ordinaria de 2G orden, ya +ue la relación +ue se necesita para sustituir una de las *ariales independientes ele*a el orden la ecuación 91;, al ser una diferencial Es decir, la ecuación +ue relaciona a las *ariales dependientes i 9t ; y q9t ; de la ecuación 91;, es una ecuación diferencial $ic)a ecuación diferencial +ue relaciona a las *ariales dependientes i 9t ; y q9t ; , en su forma de deri*ada es i ?dqdt Solución de la Ecuación Diferencial resultante
'ara nuestro caso la ecuación diferencial a resol*er, segn la ecuación 91; y sustituyendo los *alores del prolema planteado, es 01didt 50i ?30
93;
// actor /ntegrante e HP 9 x ;dx ?? e H500dt e 500t
/// orma de la solución y ?y c y p
⇒
i 9t ;?itr 9t ;ips9t ;
y c ?Ce HP 9 x ;dx ⇒⇒ itr 9t ;?Ce IH500dt itr 9t ;?Ce I500t
y p ?1e HP 9 x ;dx He HP 9 x ;dx f 9t ;dx ⇒⇒⇒⇒⇒ ips9t ;?1e 500t He 500t ∗300dtips 9t ;?300e 500t He 500t dtips9t ;?300500∗e 500t He 500t ∗500dtips9t ;?35 ∗e I500t Je 500t Kips9 t ;?35
'or tanto la corriente 9total en el circuito;, uscada es i 9t ; ?? itr 9t ;ips9t ;Ce I500t 35
94;
'ara encontrar el *alor de C utilizamos los *alores iniciales i 90;?0 , es decir cuando el tiempo t es 0 la corriente i en el circuito es 0 tamién 'or tanto, sustituyendo estos *alores en la ecuación para la corriente resultante del circuito 94;, tenemos i 9t ;000 ???? Ce I500t 35 Ce I50090; 35 C 91;35 C 35
Esto implica +ue C ?L35
$e donde la #orriente >uscada es i 9t ;?L35 e I500t 35
95;
Es e*idente, oser*ando la ecuación 95;, +ue cuando t @M , i 9t ;?35 , este resultado se )ace más e*idente cuando graficamos la corriente i 9t ; , resultante como en la Figura 2 $e a+uí +ue se le llame transitorio al término L35 e I500t Graficación de la corriente encontrada
igura 2 circuito del tipo 6< conectado en serie El código en "-.E"-/# para graficar la corriente resultante es Clear!Glo"al#$!% ipt&%'()*+$Ep(+-- t%.)*+/ 0lotipt%,t,(-,0i*2--,0lot3ange (4(-56,-56%
El código de "-.E"-/# para simular y resol*er el modelo matemático de la ecuación 91;, lo puedes ver aqu !da clic" aqu# -e in*ito a +ue practi+ues la solución de prolemas +ue incluyan circuitos eléctricos tipo LR$ como el a+uí descrito, utilizando la misma secuencia de pasos +ue te mostré, eso )ará +ue mentalmente sea más fácil recordar como resol*er un prolema de circuitos eléctricos conectados en serie del tipo LR$ )e inclusi*e meor an, podrás recordar como resol*er un prolema de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de primer orden 9donde la función de entrada Nes decir, la función en el segundo miemro de la ecuación, en este caso E 9t ; , no sea *ariale;, con lo +ue podrás entrarle a resol*er otros eercicios
de aplicación 6a aplicación ordenada del conocimiento ad+uirido permite +ue desarrolles tu intuición al tener una estructura mental donde se pueda depositar nue*o conocimiento 6a intuición, es una parte de la inteligencia +ue toma el conocimiento de partes del cerero +ue no son accesiles para el consciente, en esta parte se encuentra toda tu saiduría, tu &enio /nterno 'ara saer más sore como desarrollar tu intuición y aprender Ecuaciones $iferenciales, te in*ito a leer el artículo La %écnica Perfecta para &prender Ecuaciones Diferenciales!da clic" aqu#'
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Puiero un eemplo de un circuito RC en paralelo
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#ómo simulo este pro(lema con el soft)are *&%+E*&%,C&
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Cómo simulo pro(lemas de Ecuaciones Diferenciales con -oft)are li(re y poderoso.
-e in*ito a +ue me contactes a+uí para cual+uier sugerencia sore la página y si tienes una duda en particular sore el tema tratado, por fa*or, dea tu comentario al final de esta página Pue estés ien ?; -)is entry Qas posted in aplicaciones de ecuaciones diferenciales, circuitos electricos y ecuaciones diferenciales, Ecuacion diferencial eercicios resueltos, ecuaciones diferenciales lineales and tagged aplicaciones de ecuaciones diferenciales, circuito 6<, circuitos electricos y ecuaciones diferenciales >ooDmarD t)e permalinD
