BAB I PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang Masalah
Teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat mudah dimengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika. Dalam teori bilangan dasar, bilangan bulat dipelajari tanpa menggunakan tekhnik dari area matematika lainnya. Pertanyaan tentang sifat dapat dibagi, algoritma euclidean untuk menghitung faktor persekutuan terbesar, faktorisasi bilangan bulat dalam bilangan prima, penelitian tentang bilangan sempurna dan kongruensi dipelajari disini. Berbicara tentang bilangan, khususnya bilangan bulat, banyak misteri, permainan dan teka-teki yang bisa kita temukan. Dengan menggunakan prinsip prinsip dan sifat-sifat dasar dari bilangan bulat yang selanjutnya kita sebut teorema, kita dapat menemukan berbagai permainan menarik terkait dengan bilangan bulat. Salah satunya adalah permainan menebak hari lahir dan pasaran yang merupakan sebuah permainan yang menerapkan sifat keterbagian bilangan bulat. Untuk melihat bagaimana penggunaan sifat-sifat keterbagian bilangan dalam permainan menebak hari lahir dan pasaran, penulis menyajikannya dalam makalah ini. Dalam makalah ini akan dibahas tentang sifat-sifat keterbagian bilangan dan juga pembuktiannya serta bagaimana penggunaannya dalam menebak hari lahir dan pasaran.
1.2.Tujuan Penulisan Makalah
Tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk melihat bagaimana penggunaan teorema-teorema pada teori bilangan dalam menebak hari lahir dan pasaran.
1
BAB II KAJIAN TEORI
2.1. Algoritma Pembagian
Salah satu teorema dalam teori bilangan, yaitu algoritma pembagian merupakan dasar dalam mempelajari teori bilangan. Teoremanya yaitu: Teorema 1: Jika diberikan bilangan bulat a dan b, dengan b > 0 maka selalu
terdapat bilangan bulat q dan r yang unik (tunggal) yang memenuhi
= +
0 ≤ <
(1)
Dengan bilangan bulat q dan r disebut hasil bagi dan sisa hasil bagi pada pembagian a oleh b (Burton, 2010).
Contoh 1: Bila a = 9 dan b = 4 maka diperoleh 9 = 2 x 4 +1, jadi diperoleh q = 2 dan r = 1. Bila a = -9 dan b = 4 maka -9 = -3 x 4 + 3, jadi diperoleh q = -3 dan r = 3. Contoh 2: Diberikan a = 12 dan b = 5. Dapat diperoleh beberapa representas i berikut:
12 = 5 × 2 + 2 =5×1+7 = 5 × 3 + ( − 3 ).
Ketiga representasi tersebut semuanya benar, tetapi hanya yang pertama yang memenuhi algoritma pembagian karena pada algoritma pembagaian disyaratkan
0 ≤ < . Yaitu sisa bagi harus lebih kecil dari pembagi dan harus lebih besar atau sama dengan 0.
2.2. Pembuktian Algoritma Pembagian
Pertama
sekali
kita
akan
membuktikan
bahwa
himpunan
=
{ − | adalah bilangan bulat; − ≥ 0} tidak kosong. Untuk membuktikan ini cukup dengan menunjukkan nilai x yang membuat
− tidak negatif. Karena ≥ 1, kita memperoleh || ≥ ||, sehingga − (−||) = + || ≥ + || ≥ 0
2
Dengan memilih = −||, maka − berada pada himpunan S. Hal ini mendasari aplikasi dari prinsip keterurutan (well-ordering principle) yang menyatakan bahwa himpunan S memiliki bilangan terkecil; sebut saja r. Berdasarkan definisi dari S, terdapat bilangan bulat q yang memenuhi
= −
0≤
Akan ditunjukkan bahwa < . Andaikan ≥ , maka
> − = ( − ) − = − − = − ( + 1) ≥ 0 Implikasinya adalah − ( + 1) memliki bentuk yang sesuai untuk menjadi anggota S. Tetapi − ( + 1) = − dan − < . Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa r adalah bilangan terkecil S. Dengan demikian maka pengandaian salah sehingga < . Selanjutnya akan ditunjukkan keunikan dari q dan r. Andaikan a dapat direpresentasikan kedalam 2 bentuk berikut:
= + = + ′ dimana 0 ≤ < , 0 ≤ ′ ≤ Maka − = ( − ). Ini berarti bahwa b habis membagi − . Karena 0 ≤
< , 0 ≤ ≤ , sehingga − < − < . Hal ini mengakibatkan b dapat membagi − hanya jika − = 0 atau dengan kata lain = . Akibatnya diperoleh juga bahwa = ′. Jadi terbukti bahwa q dan r adalah unik (tunggal).
2.3. Akibat Teorema Pembagian
“jika a dan b bilangan bulat, dengan ≠ 0, maka terdapat bilangan bulat tunggal q dan r sedemikian sehingga
= +
0 ≤ < ||
(2)
Bukti:
Untuk b > 0 berlaku || = sehingga persamaan (1) dipenuhi langsung oleh persamaan (2). Untuk b < 0, ambil || sebagai pengganti b pada algoritma pembagian. Jadi terdapat ′ dan sehingga
= || + , 0 ≤ < || Selanjutnya dengan mengambil = dan karena || = − maka persamaan menjadi
= || + = −(−) + = + ,
3
0 ≤ < | |
BAB III PEMBAHASAN (PERMAINAN MENEBAK HARI LAHIR DAN PASARAN)
Permainan Menebak Hari dan Pasaran Kelahiran merupakan permainan dimana kita bisa menentukan hari dan pasaran (hari Jawa) kelahiran dari peristiwa-peristiwa penting yang di tanggalkan dengan menggunakan konsep teori bilangan. Konsep teori bilangan yang digunakan dalam menentukan hari dan pasaran kelahiran berdasarkan tanggal lahir ini adalah algoritma pembagian. Aturan-aturan dasar yang perlu diperhatikan yaitu: 1. Dalam penanggalan terdapat 7 hari yaitu (senin, selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu dan minggu) 2. Dalam penanggalan jawa (pasaran) terdapat 5 hari yaitu (legi, pahing, pon, wage, dan kliwon). 3. Pembagian sebuah bilangan dengan 7 akan memiliki hasil bagi 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. 4. Pembagian sebuah bilangan dengan 5 akan memiliki hasil bagi 0, 1, 2, 3 dan 4. Dalam algoritma pembagian bilangan bulat pada teori bilangan di katakan bahwa sebuah bilangan bulat a bisa dibagi oleh bilangan bulat b sedemikian sehingga memiliki sisa sebuah bilangan yang lebih kecil dari b. Hal ini lah yang mendasari pemikiran bahwa bilangan bulat yang dibagi dengan 7 akan memiliki sisa 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Dan sebuah bilangan bulat akan memiliki sisa 0, 1, 2, 3 dan 4 jika dibagi dengan 5. Berdasarkan fakta ini maka setiap hari dalam penanggalan masehi maupun penanggalan jawa diberi nilai sebagai berikut:
Penomoran untuk hari pada penanggalan masehi (pembagi 7) 0 = Jum’at 1 = Sabtu 2 = Minggu 3 = Senin 4 = Selasa 5 = Rabu
4
6 = Kamis
Penomoran untuk hari pada penanggalan Jawa (Pembagi 5) 0 = Legi 1 = Pahing 2 = Pon 3 = Wage 4 = Kliwon
Adapun langkah-langkah untuk menentukan hari lahir dan pasaran adalah sebagai berikut: Langkah ke-1: Hitung nilai p yaitu hari ke-p dari tanggal dan bulan kelahiran
dihitung mulai dari tanggal 1 Januari pada tahun yang dimaksud. Misal kita akan menentukan hari dan pasaran untuk tanggal 17 Agustus 1945, maka nilai p untuk tanggal 17 Agustus 1945 adalah sebagai berikut Januari : 31 hari Pebruari : 28 hari (tahun 1945 bukan tahun kabisat) Maret : 31 hari April : 30 hari Mei : 31 hari Juni : 30 hari Juli : 31 hari Agustus : 17 hari (hanya sampai tanggal lahirnya 17 Agustus). Maka p =229 Langkah ke-2: Hitung nilai q dengan rumus q = (t – 1)/4 dan sisa pembagian
diabaikan dengan t adalah tahun lahir. Maka nilai q untuk tahun 1945 adalah 486 dengan mengabaikan sisa. Langkah ke-3: Menentukan nilai x dan y dengan ketentuan
x = p + q maka x = 715 y = p + q + t maka y = 2660 Langkah ke-4: Nilai x dibagi 5 dan sisa hasil baginya menunjukkan pasaran.
Maka 715/5 = 143 sisa 0. Dari hasil tersebut dapat disimpulkan bahwa pasaran kelahirannya adalah legi. Karena ketentuan pasaran adalah sisa pembagian, jika
5
sisa = 0 pasaran legi, sisa = 1 paing, sisa = 2 pon, sisa = 3 wage, dan sisa = 4 adalah kliwon. Langkah ke-5: Nilai y dibagi 7 dan sisanya menunjukkan hari lahir. Maka 2660/7
= 380 sisa 0. Dari hasil tersebut dapat disimpulkan bahwa tanggal 17 Agustus 1945 adalah hari jum’at. Karena ketentuan untuk hari lahir adalah sisa pembagian, jika sisa = 0 hari lahir jum’at, sisa = 1 sabtu, sisa = 2 minggu, sisa = 3 senin, sisa = 4 selasa, sisa = 5 rabu, dan sisa = 6 adalah kamis.
Maka berdasarkan hasil perhitungan di atas, maka tanggal 17 Agustus tahun 1945 jatuh pada hari Jum’at Legi.
6
BAB IV KESIMPULAN 4.1. Kesimpulan
Permainan Menebak Hari dan Pasaran Kelahiran merupakan permainan di mana kita bisa menentukan hari dan pasaran (hari Jawa) kelahiran dari peristiwa peristiwa penting yang di tanggalkan dengan menggunakan konsep teori bilangan yaitu algoritma pembagian. Langkah-langkah Permainan Menebak Hari dan Pasaran Kelahiran ini yaitu: 1. Mencari nilai p yang di hitung tanggal awal yaitu 1 januari sampai tanggal yang dimaksud. 2. Menghitung nilai q dengan rumus : (t – 1)/4 3. Menghitung nilai x dan y dengan rumus Untuk x = p + q Untuk y = p + q + t Dengan t adalah tahun. 4. Menghitung hasil nilai x di bagi 5, dan tentukan sisa hasil baginya untuk menentukan pasarannya dengan hasilnya di cocokkan pada tabel (Pasaran) Hari Kelahiran Jawa. 5. Menghitung hasil nilai y di bagi 7, dan tentukan sisa hasil baginya untuk menentukan Hari kelahiranya dengan hasilnya di cocokkan pada tabel (Pasaran) Hari Kelahiran
7
DAFTAR PUSTAKA
Burton, David M. 2010. Elementary Nuber Theory: Seventh Edition. New York: McGraw-Hill Nuryadi. 2014. Bahan Ajar Teori Bilangan. Yogyakarta: Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan
Universitas
Mercu
Buana.
Tersedia
Online
(http://ebook.repo.mercubuanayogya.ac.id/kuliah/materi_20151_doc/handou%20teori%20bilangan201.pdf) https://ibnufajar75.wordpress.com/2013/09/25/sulap-matematika-menebak-harilahir-dan-pasaran/ https://julanhernadi.files.wordpress.com/2013/03/teori_bilangan_bab1.pdf https://sitriyani.wordpress.com/2010/11/25/algoritma-pembagian/ https://id.m.wikipedia.org/wiki/Teori_bilangan
8
