Pengertian
ya
tan
Fungsi merupakan relasi dua himpunan A dan B yang memasangkan setiap anggota pada himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.
-ta
himpunan A disebut domain (daerah asal), himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) himpunan anggota B yangpasangan (himpunan C) disebut range (hasil) fungsi f.
Sifat-Sifat Fungsi
1. Fungsi injektif (satu-satu) Jika fungsi f : A → B, setiap b ∈ B hanya mempunyai satu kawan saja di A, contoh:
a.c
ny 2. Fungsi surjektif (onto) Pada fungsi f : A → B, setiap b ∈ B mempunyai kawan di A.
om
3. Fungsi bijektif (korespondensi satu-satu) Suatu fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif
tan
Aljabar Fungsi
Contoh soal
om
a.c
ny
-ta
ya
a. Penjumlahan f dan g (f + g) (x) = f(x) + g(x). Contoh Soal: Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = x2 – 4. Tentukan (f + g)(x). Penyelesaian (f + g)(x) = f(x) + gx) (f + g)(x)= x + 2 + x2 – 4 (f + g)(x)= x2 + x – 2 b. Pengurangan f dan g (f – g)(x) = f(x) – g(x). Contoh soal Diketahui f(x) = x2 – 3x dan g(x) = 2x + 1. Tentukan (f – g)(x). Penyelesaian (f – g)(x) = f(x) – g(x) (f – g)(x)= x2 – 3x – (2x + 1) (f – g)(x)= x2 – 3x – 2x – 1 (f – g)(x)= x2 – 5x – 1 c. Perkalian f dan g (f . g)(x) = f(x) . g(x). Contoh soal Diketahui f(x) = x – 5 dan g(x) = x2 + x. Tentukan (f × g)(x). Penyelesaian (f × g)(x) = f(x) . g(x) (f × g)(x)= (x – 5)(x2 + x) (f × g)(x)= x3 + x2 – 5x2 – 5x (f × g)(x)= x3 – 4x2 – 5x d. Pembagian f dan g
Diketahui f(x) = x2 – 4 dan g(x) = x + 2. Tentukan Penyelesaian
Fungsi Komposisi Fungsi komposisi dapat ditulis sebagai berikut:
ya
tan
(f ◦ g)(x) = f (g (x))→ komposisi g (fungsi f bundaran g atau fungsi komposisi dengan g dikerjakan lebih dahulu daripada f)
(g ◦ f)(x)= g (f (x))→ komposisi f(fungsi g bundaran f atau fungsi komposisi dengan f dikerjakan lebih dahulu daripada g)
-ta ny
Sifat Fungsi Komposisi
a. Tidak berlaku sifat komutatif, (f ◦ g)(x) ≠ (g ◦ f)(x). b. Berlaku sifat asosiatif, (f ◦(g ◦ h))(x) = ((f ◦ g)◦ h)(x). c. Terdapat unsur identitas (l)(x), (f ◦ l)(x) = (l ◦ f)(x) = f(x).
Diketahui f(x) = 2x – 1, g(x) = x2 + 2.
a.c
Contoh soal
a. Tentukan (g ◦ f)(x). b. Tentukan (f ◦ g)(x). c. Apakah berlaku sifat komutatif: g ◦ f = f ◦ g?
om
Penyelesaian
a. (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x – 1) = (2x – 1)2 + 2 = 4x2 – 4x + 1 + 2 = 4x2 – 4x + 3 b. (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 2) = 2(x2 + 2) – 1 = 4x2 + 4 – 1 = 4x2 + 3 c. Tidak berlaku sifat komutatif karena g ◦ f ¹ f ◦ g.
Fungsi Invers 1. f-1 (x) adalah invers dari fungsi f(x).
tan
ya
2. Menentukan fungsi invers : mengganti f (x)= y = ...‖ menjadi ― f -1 (y)= x = ...‖ 3. hubungan sifat fungsi invers dengan fungsi komposisi: i. ii. iii.
(f ◦ f-1)(x)= (f -1 ◦ f)(x)= l (x) (f ◦ g)-1 (x)= (g-1 ◦ f-1)(x) (f ◦ g)(x)= h (x)→ f (x)= (h ◦ g -1)(x)
-ta
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN Soal No.1 (UN 2012) Diketahui fungsi g(x) = x + 1 dan f(x) = x2 + x – 1. Komposisi fungsi (f ◦ g)(x)= ... x2 + 3x + 3 x2 + 3x + 2 x2 - 3x + 3 x2 + 3x - 1 x2 + 3x + 1
ny
A. B. C. D. E.
Soal No.2 (SBMPTN 2014 Dasar)
A. -3 B. -2 C. D. E. 3
, q≠0 jika f-1 menyatakan invers dari f dan f -1(q)= -1 maka f -
om
Diketahui f(x)= 1 (2q)=...
a.c
PEMBAHASAN : Menentukan (f ◦ g)(x) (f ◦ g)(x)= f (g (x)) = f (x + 1) = (x + 1)2 + (x + 1)- 1 (f ◦ g)(x)= x2 + 2x + 1 + x = x2 + 3x + 1 Jawaban : E
PEMBAHASAN
:
ny
-ta
ya
tan Jawaban : C
Soal No.3 (UN 2007) Diketahui f : R → R, g : R → R dirumuskan oleh f(x) = x2 – 4 dan g(x) = 2x – 6. Jika (f ◦ g)(x)= -4 , nilai x = ... -6 -3 3 3 atau -3 6 atau -6
om
PEMBAHASAN : Menentukan nilai x (f ◦ g)(x) = -4 f(g (x)) = -4 f(2x – 6) = -4 (2x – 6)2 – 4 = -4 2x – 6 = 0 x=3 Jawaban : C
a.c
A. B. C. D. E.
Soal No.4 (SIMAK UI 2013 DASAR) Diketahui f -1 (4x-5) = 3x-1 dan (f -1 ◦ f)(5)= p2 +2p - 10 maka rata-rata dari nilai p adalah...
A. B. C. D. E.
-4 -2 -1 1 4
tan
-ta
ya
PEMBAHASAN : f (x) = y ↔ f -1 (y) = x f (5) = y f -1 (4x-5) = 3x-1 sehingga 3x-1 = 5 x = 2 dan y = 4x-5 = 3 x=2 Menentukan nilai p (f- -1 ◦ f)(5) = p2 + 2p-10 f -1 (f(5)) = p2 + 2p - 10 f—1(3) = p2 + 2p - 10 3(2)-1 = p2 + 2p - 10 p2 + 2p - 1 = 0 (p + 5)(p - 3) = 0 p = -5 dan p = 3
Jadi, rata-rata nilai p adalah Jawaban : C
= -1
A. B. C. D. E.
30 60 90 120 150
Soal No.6 (SPMB 2007 Dasar) Jika f(x) = x2 + 2 dan g(x) = A. -∞ < x < ∞ B. 1 ≤ x ≤ 2 C. x ≥ 0
om
PEMBAHASAN : Menentukan nilai p g (f (x)) = f (g (x)) g (2x + p) = f (3x + 120) 3 (2x + p) + 120 = 2 (3x + 120) + p 6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p 2p = 120 p = 60 Jawaban : B
a.c
ny
Soal No.5 (UN 2003) Ditentukan g (f(x)) = f(g(x)). Jika f(x)= 2x + p dan g(x) = 3x + 120 maka nilai p = ...
maka daerah asal fungsi (f ◦ g) (x) adalah...
D. x ≥ 1 E. x ≥ 2 PEMBAHASAN
:
tan Jawaban : A
Soal No.7 (UN 2013) Diketahui fungsi f(x) = x – 4 dan g(x) = x2 – 3x + 7. Fungsi komposisi (g ◦ f)(x) = ...
ya
A. B. C. D. E.
x2 – 3x + 3 x2 – 3x + 11 x2 – 11x + 15 x2 – 11x + 27 x2 – 11x + 35
-ta
PEMBAHASAN : Menentukan (g ◦ f)(x) (g ◦ f)(x)= g (f (x)) = g (x – 4) = (x – 4)2 – 3(x – 4) + 7 = x2 – 8x + 16 - 3x + 12 + 7 (g ◦ f)(x) = x2 – 11x + 35 Jawaban : E
0 1 3 4 5
a.c
A. B. C. D. E.
ny
Soal No.8 (SIMAK UI 2012 DASAR) Misalkan f : R→ R dan g : R→R, f(x) = x + 2 dan (g ◦ f)(x) = 2x2 + 4x - 6, Misalkan juga x1 dan x2 adalah akar-akar dari g(x) = 0 maka x1 + 2x2 =…
om
PEMBAHASAN : Menentukan g(x) (g ◦ f)(x) = 2x2 + 4x – 6 g(f(x)) = 2x2 + 4x – 6 g(x+2) = 2x2 + 4x -6 g(x) = 2(x - 2)2 + 4(x - 2) – 6 = 2x2 – 8x + 8 + 4x – 8 – 6 = 2x2 – 4x – 6 menentukan x1 + 2x2 g(x) = 0 2x2 – 4x – 6 = 0 x2 – 2x – 3 = 0 (x-3)(x+1) = 0 x1=3 →x2 = -1, jadi 3 x1 = 2x2 = 3+2 (-1) = 1 atau
x1 = -1 → x2 = 3, jadi x1 + 2x2 = (-1) + 2(3) = 5 Jawaban : C
tan
Soal No.9 (UN 2004) Suatu pemetaan f:R→R dengan (g ◦ f)(x) = 2x2 + 4 x + 5 dan g(x) = 2x + 3. Maka f(x)=… A. B. C. D. E.
x2 + 2x + 1 x2 + 2x + 2 2x2 + x + 2 2x2 + 4x + 2 2x2 + 4x + 1
ya -ta
PEMBAHASAN : Menentukan f(x) (g ◦ f)(x) = 2x2 + 4x + 5 g(f(x)) = 2x2 + 4x + 5 2(f(x)) + 3 = 2x2 + 4x + 5 f(x) = x2 + 2x + 1 Jawaban : A
Soal No.10 (SNMPTN 2011 Dasar)
Diketahui fungsi f(x) = 3x - 5 dan g(x) = f)(2)=…
PEMBAHASAN
Jawaban : D Soal No.11 (SNMPTN 2011 IPA) Jika f(x - 1) = x + 2 dan g(x) = A. -6 B. -2 C.
om
a.c
B. C. 0 D. 1 E. 8
ny
A.
, x ≠ . Nilai komposisi fungsi (g ◦
maka nilai (g-1 ◦ f)(1) adalah..
:
D. E. 4 PEMBAHASAN
:
Soal No.12 (UN 2008) Invers dari fungsi f(x)=
B. C.
E.
adalah f-1(x)=…
om
D.
dengan x ≠
a.c
A.
ny
-ta
ya
tan Jawaban : B
PEMBAHASAN
:
tan Jawaban : D
-3 0 3 12 15
PEMBAHASAN : g(x - 2) = 2x – 3 (f ◦ g)(x - 2) = 4x2 - 8x + 3 f(g(x - 2)) = 4x2 - 8x + 3 f(2x - 3) = 4x2 - 8x + 3 Menentukan f(-3) Jika -3 = 2x - 3 maka x = 0 Sehingga: f(-3) = 4(0)2 - 8(0) + 3 = 3 Jawaban : A
a.c
Soal No.14 (UN 2010)
ny
-ta
A. B. C. D. E.
ya
Soal No.13 (SNMPTN 2010 Dasar) Jika g(x - 2) = 2x - 3 dan (f ◦ g)(x - 2) = 4x2 - 8x + 3, maka f(-3) =...
Jika f-1(x) merupakan invers dari fungsi f(x) = 0 4 6 8 10
om
A. B. C. D. E.
, x≠3 maka nilai f -1(4) adalah…
PEMBAHASAN
:
-ta
ya
tan Jawaban : B
Soal No.15 (SIMAK UI 2009 DASAR) f-1 dan g-1 berturut-turut menyataan invers dari fungsi f dan g. Jika (f -1 ◦ g -1)(x) = 2x – 4 dan g(x) =
B. C.
om
a.c
D. E. 0
, maka nilai f(2) sama dengan …
ny
A.
,x≠
PEMBAHASAN
:
-ta
ya
tan Jawaban : B
Soal No.16 (UN 2005) Diketahui fungsi f: R→R dan g : R → R dirumuskan dengan f(x)=2x-1 dan , x≠2. Fungsi invers dari (f ◦ g)(x) adalah… , x≠-3
B. (f ◦ g)-1 =
, x≠-3
C. (f ◦ g)-1 =
, x≠3
D. (f ◦ g)-1 =
, x≠-1
E. (f ◦ g)-1 =
, x≠1
om
a.c
A. (f ◦ g)-1 =
ny
g(x)=
PEMBAHASAN
:
ya
tan Jawaban : B
-ta
Soal No.17 (UM UGM 2010 DASAR) jika f (x) =
B. C. x - 2 D. x - 3 E. x + 5
maka g (x+2) = …
om
a.c
ny
A.
dan (f ◦ g)(x)=
PEMBAHASAN
:
ya
tan Jawaban : E
-ta
Soal No.18 (UN 2014)
Diketahui f(x) = 4x + 2 dan g(x) =
A. (g◦f)-1 =
, x≠-1. Invers (g ◦ f)(x)adalah…
,x≠
C. (g◦f)-1 =
,x ≠ -1
D. (g◦f)-1 =
,x ≠ 1
E. (g◦f)-1 =
,x ≠ -1
om
a.c
,x ≠
ny
B. (g◦f)-1 =
PEMBAHASAN
:
ya
tan Jawaban : A
Jika f(x)= A.
C. D.
om
a.c
E.
maka (f◦f◦f◦f◦f)(x)=..
ny
B.
-ta
Soal No.19 (SNMPTN 2011 Dasar)
PEMBAHASAN
:
a.c
ny
-ta
ya
tan Jawaban : A
Soal No.20 (UN 2005) diketahui f : R →R, g : R → R, g(x) = 2x + 3 dan (f ◦ g)(x) = 12x2 + 32x + 26, Rumus f(x) =… 3x2 - 2x + 5 3x2 - 2x + 37 3x2 - 2x + 50 3x2 + 2x - 5 3x2 + 2x - 50
om
A. B. C. D. E.
PEMBAHASAN
:
-ta
ya
tan Jawaban : A
ny
Soal No.21 (UM UGM 2009)
Diketahui f(x) = 2x – 1 dan g (x) = Jika h adalah fungsi sehingga (g ◦ h)(x) =x - 2 maka (h ◦ f)(x) = ... A.
C. D. E.
om
a.c
B.
PEMBAHASAN
:
Soal No.22 (UN 2000) Diketahui f(x) =
B. C. D.
om
E.
, jika f -1 adalah invers fungsi f maka f -1 (x-2) =...
a.c
A.
, x≠
ny
-ta
ya
tan Jawaban : D
PEMBAHASAN
:
-ta
ya
tan Jawaban : A
Soal No.23 (SNMPTN 2013 Dasar) Jika f-1 2 1 0 -1 -2
PEMBAHASAN
ny
A. B. C. D. E.
maka nilai a sehingga f(a) = -4 adalah...
:
Soal No.24 (UN 2000)
om
a.c Jawaban : B
Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan (f ◦ g) (x+1)= -2x2 - 4x - 1. Nilai g(-2)=… -5 -4 -1 1 5
tan
A. B. C. D. E.
ya
PEMBAHASAN : Menentukan f(x) f(x) = 2x + 1 → f(x + 1) = 2(x + 1) + 1 = 2x + 3 Menentukan g(-2) (f ◦ g)(x + 1)= -2x2 - 4x - 1 f(g(x + 1)) = -2x2 - 4x - 1 2(g(x + 1)) + 3 = -2x2 - 4x - 1 g(x + 1) = -x2 - 2x - 2 Misal, x + 1 = -2 → x = -3 g(-2) = -(-3)2 - 2(-3) -2 = -5 Jawaban : A
-ta
Soal No.25 (SIMAK UI 2011 Dasar)
Diketahui f(x) = dan g(x) = 3x. Jumlah semua nilai x yang mungkin sehingga f (g(x)) = g (f(x)) adalah...
B. C.
om
a.c
D. E. 2
ny
A.
PEMBAHASAN
:
ny
-ta
ya
tan Jawaban : D
Soal No.26 (EBTANAS 1993)
A. B. C.
E.
om
D.
, dan f -1 invers fungsi f, maka f -
a.c
Fungsi f : R →R, ditentukan oleh f(x + 2) = 1(x)=…
PEMBAHASAN
:
-ta
ya
tan Jawaban : A
{y| 1 ≤ y ≤ 4, y ∈ R} {y| 4 ≤ y ≤ 6,y ∈ R} {y|3 ≤ y ≤ 7, y ∈ R} {y|-1 ≤ y ≤ 6, y ∈ R} {y|-1 ≤ y ≤ 17, y ∈ R}
PEMBAHASAN : Menentukan (g ◦ f)(x)
a.c
A. B. C. D. E.
ny
Soal No.27 (EBTANAS 1991) Fungsi f dan g ditentukan oleh f(x) = 2x-4 dan g(x) = ½ x + 3. Daerah asal f : {x| 2 ≤ x ≤ 6, x ∈ R) dan g :R→R. Daerah hasil dari (g ◦ f)(x) adalah…
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x-4) = ½ (2x-4)+3 = x + 1
Diketahui daerah asal f : {x| 2 ≤ x ≤ 6, x € R) 2≤x≤6 (2+1) ≤ (x+1) ≤ (6+1) 3 ≤ (g ◦ f)(x) ≤ 7
om
Misal, y = (g ◦ f)(x)
3 ≤ y ≤ 7, y ∈ R Jawaban : C
om
a.c
ny
-ta
ya
tan
