BAB 1 Matriks dalam Sistem Persamaan Linier A. Penerapan Penerapan Matrik Matrikss dalam Sistem Persamaan Persamaan Linear Linear
Salah satu alasan mengapa perkalian matriks didefinisikan sebagai jumlah dari baris × kolom adalah untuk membantu penulisan sistem persamaan linear sebagai satu persamaan matriks. Persamaan tersebut terdiri dari matriks konstanta B di ruas kanan, dan perkalian dari matriks koefisien A dan matriks variabel X di di ruas kiri. Untuk sistem persamaan linear berikut:
persamaan matriksna matriksna adalah,
Perhatikan bah!a dengan menghitung perkalian matriks di ruas kiri akan menghasilkan sistem persamaan linear seperti ang ang di a!al. Setelah ditulis ke dalam persamaan matriks, sistem tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan matriks invers dan langkah"langkah berikut ini. #ika A merepresentasikan matriks koefisien, X sebagai sebagai matriks variabel, B sebagai matriks konstanta, dan I sebagai sebagai matriks identitas, maka langkah"langkah tersebut adalah sebagai berikut.
$aris pertama sampai kelima mengilustrasikan langkah"langkah bagaimana metode untuk menelesaikan persamaan matriks. %alam latihan ang sebenarna, setelah menuliskan matriks"matriks dengan teliti, hana langkah & ang digunakan untuk menelesaikan persamaan matriks. 'ontoh soal : (entukan (entukan himpunan penelesaian dari sistem persamaan berikut. )* + - / *++-0 * ) + - 1 #a!aban : 'ara /: 2perasi elemen baris, selain dapat digunakan untuk men3ari invers i nvers matriks, dapat pula digunakan untuk menelesaikan sistem persamaan linear. l inear. /
%engan menggunakan operasi baris elementer.
%engan demikian, diperoleh ). 4ita substitusikan nilai ) ke persamaan 5)6 sehingga : + 7 // 8 ) + 7 // 8 7 // ) 8 7 9 8 7 Substitusikan * + 8* 8* 8*
)
dan -
+
-
7
+
#adi, penelesaianna %engan demikian,
ke persamaan 5/6 08* + ) & 0
adalah * /, himpunan penelesaianna
sehingga diperoleh : + 7 0 0 & /
), adalah
dan 5/,
-
7. 76;.
),
'ara ): Sist Sistem em pers persam amaan aan line linear ar di atas atas dapa dapatt kita kita susu susunn ke dalam dalam bent bentuk uk matr matrik ikss seba sebaga gaii beri beriku kut.t. Misalkan
A
det
[
1
−1
1
1
1
−2 menggunakan
%engan det
2
A A
)
1
1
]
,<
1
−2 )576
1
[]
minor"kofaktor,
[ ] 1
X Y Z
"
/ /516
%engan menggunakan minor"kofaktor, diperoleh :
)
[] 1
, dan
$
6 0
diperoleh
[ ] 1
1
1
1
+
+ 5/6576
5"/6
:
[ ] 1
1
1
−2
9
%engan 3ara ang sama, kalian akan memperoleh 4 7/ ), 4 7) 7, dan 4 77 / %engan demikian, diperoleh : kof5A6
K 11 K 21
K 12 K 22
K 13 K 23
K 31
K 32
K 33
3
0
−3
1
3
5
2
−3
1
2leh karena itu, adj5A6 5kof5A66(. Adj5A6
#adi, <
[
3
0
−3
1
3
5
2
−3
1
1
det A
] [ T
3
1
2
0
3
−3
−3 −5
1
]
Adj ( A )
#adi, diperoleh * /, ), dan - 7. %engan demikian, himpunan penelesaian sistem persamaan di atas adalah 5/, ), 76;.
7
Bab 2: VEKTOR
A. Pengertian =ektor dan 2perasina Setiap besaran skalar seperti temperature, tekanan, massa, dan sebagaina selau dikaitkan dengan suatu bilangan ang merupakan nilai dari besaran itu. Untuk besaran vektor, di samping mempunai nilai, ia juga mempunai arah. Misalna, pada gerakan angin, selain disebutkan lajuna, disebutkan juga arahna, seperti )1km>jam dengan arah timur laut. %efinisi vektor dan skalar : " =ektor : segmen garis berarah ang mempunai besaran. #adi, vektor adalah besaran ang mempunai arah, misalna : ke3epatan, momen, gaa, per3epatan, berat, dll. " Skalar : suatu besaran ang tidak mempunai arah. Misalna, panjang, luas, jarak, ,suhu, dll. $. Penulisan ve3tor " %itulis dengan huruf ke3il di3etak tebal. Misalkan : a,b,3 . . . " %itulis dengan huruf ke3il ang diatasna dibubuhi tanda panah. Misalkan : ? , @ . . . . " %itulis dengan huruf ke3il dan garis di ba!ahi. Misalkan : '. umus"rumus ve3tor a. =ektor satuan
b. $esar panjang vektor
3. Penjumlahan maupun pengurangan vektor
B
d. Perkalian skalar
e. Cambar proeksi vektor a pada b
f. Proeksi orthogonal skalar
g. Proeksi orthogonal vektor
h. (itik p pembagi A$ dengan perbandingan m:n
i. Sudut vektor
'ontoh soal : Perhatikan gambar kubus dengan sisi sepanjang /1 satuan berikut: &
(itik S tepat berada pada perpotongan kedua diagonal sisi alas kubus. (entukan: a6 4oordinat titik S b6 4oordinat titik = 36 =ektor S= dalam bentuk kolom d6 S= dalam bentuk vektor satuan Pembahasan a6 4oordinat titik S *& 1 -& 5&, 1, &6
5/1, /1, 16 36 =ektor S= dalam bentuk kolom
b6 4oordinat titik = * /1 /1 -1
d6 S= dalam bentuk vektor satuan S= &i + /1j D k
0
Bab 3: MATEMATIKA KEUA!A $unga (unggal $unga tunggal adalah bunga ang diterima pada setiap akhir jangka !aktu ang besarna tetap. #ika seorang memiliki modal a!al M, dibungakan dengan prosentase bunga r setiap periode, selama t tahun di dapat bunga E maka •
Sedangkan modal akhir Mn
dapat diperoleh dengan 4eterangan :
t jangka !aktu r persentase bunga E bunga tunggal M modal a!al Mn modal setelah dibungakan dalam !aktu tertentu 'ontoh Soal: Ali menabung di bank sebesar p. /.111.111F dengan perjanjian bunga tunggal &G setiap tahun. #umlah uang Ali seluruhna selama & tahun adalahH. #a!aban : %iketahui : M p. /.111.111F r &G>tahun 1.1&>tahun t & tahun ditana : Mn I ja!ab :
#adi uang Ali seluruhna adalah p. /.)&1.111 $unga Majemuk Pada bunga tunggal, modal ang berbunga tidak mengalami perubahan selama periode transaksi. Jamun, hal itu tidak berlaku pada bunga majemuk. Sebuah modal dikatakan dibungakan dengan bunga majemuk jika bunga ang dihitung pada akhir periode tertentu ditambahkan pada modal, sehingga pada periode berikutna modal ang sudah ditambahkan itu kembali berbunga. •
4eterangan : Mn modal setelah dibungakan dalam !aktu tertentu M modal a!al
i bunga majemuk n jangka !aktu 'ontoh Soal: Modal sebesar p. /1.111.111F dibungakan selama ) tahun dengan bunga majemuk 0G per tahun. Jilai akhir modal tersebut adalahH #a!aban : %iketahui : M p. /1.111.111 n ) tahun i 0G>tahun 1.10>tahun ditana : Mn I #a!ab :
#adi Jilai akhir modal tersebut adalah p. //.)70.111F Anuitas dan Angsuran Anuitas adalah sejumlah pembaaran pinjaman ang sama besarna ang dibaarkan setiap jangka !aktu tertentu, dan terdiri atas bagian bunga dan bagian angsuran. •
umus Anuitas : Anuitas Angsuran + $unga AJ An + $n umus An A/
Angsuran : 5/+i6n"/ keterangan : Angsuran ke"n
An A/ Angsuran ke "/ i Suku $unga 'ontoh : Suatu Pinjaman akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan. #ika besarna anuitas p.B11.111,11. Maka tentukanlah bunga ke"& jika angsuran ke"& adalah p.7/&.111,11KKKK #a!ab : AJ B11.111 $& 7/&.111 AJ An+$n B11.111 An + 7/&.111 An B11.111 " 7/&.111 &.111 Ada pula rumus hubungan anuitas dengan angsuran pertama : AJ A/ * 5/+i6n 4eterangan :
AJ Anuitas A/ Angsuran Pertama i Suku $unga n #angka !aktu
Bab ": KOMPOSISI TRAS#ORMASI !EOMETRI
4omposisi transformasi adalah transformasi ang diperoleh dari gabungan dua transformasi atau lebih. Penelesaian masalah komposisi transformasi bisa dengan dua 3ara, aitu dengan 3ara pemetaan dan dengan 3ara matriks. Penelesaian komposisi transformasi dengan 3ara pemetaan dilakukan langsung se3ara bertahap berturut"turut terhadap titik ang ditransformasikan. Misal titik A ditransformasikan pertama oleh (/ dilanjutkan oleh (), baanganna diperoleh dengan 3ara men3ari baangan A terhadap (/ terlebih dahulu, misalkan baanganna adalah A, kemudian men3ari baangan A oleh transformasi () sehingga menghasilkan baangan AN. (itik AN ini merupakan baangan dari titik A ang ditransformasikan oleh (/ dilanjutkan dengan transformasi (). %alam bentuk pemetaan ditulis seperti berikut ini:
•
#ika
Komposisi Translasi
titik
A5*,6 ditranslasikan berurutan oleh (/5a,b6 dilanjutkan oleh ()53,d6, translasi tersebut dapat dinatakan dalam translasi tunggal sesuai dengan pembahasan di atas. %alam bentuk pemetaan dituliskan sebagai berikut:
%alam bentuk matriks dinatakan sebagai berikut.
•
dapat
komposisi dua refleksi berurutan
refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar #ika titik A5*,6 direfleksikan terhadap garis *a dilanjutkan terhadap garis *b. Maka baangan akhir A adalah A ' ( x ' , y ' ) aitu: *O)5b"a6+* O #ika titik A5*,6 direfleksikan terhadap garis a dilanjutkan terhadap garis b. Maka baangan akhir A adalah A ' ( x ' , y ' ) aitu: *O* O)5b"a6+ refleksi terhadap dua sumbu saling tegak lurus #ika titik A5*,6 direfleksikan terhadap garis *a dilanjutkan terhadap garis b 5dua sumbu ang
saling tegak lurus6 maka baangan akhir A adalah A ' ( x ' , y ' ) sama dengan rotasi titik A5*,6 dengan pusat titik potong dua sumbu 5garis6 dan sudut putar /1 refleksi terhadap dua sumbu ang saling berpotongan #ika titik A5*,6 direleksikan terhadap garis g dilanjutkan terhadap garis h, maka baangan akhirna adalah A ' ( x ' , y ' ) dengan pusat perpotongan garis g dan h dan sudut putar )Q5Q sudut antara garis g dan h6 serta arah putaran dari garis g ke h. 'atatan
sifat komposisi refleksi
4omposisi refleksi 5refleksi berurutan6 pada umumna tidak komutatif ke3uali komposisi refleksi terhadap sumbu * dilanjutkan terhadap sumbu 5dua sumbu ang saling tegak lurus6. •
Komposisi Rotasi
Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif 56 Untuk rotasi berla!anan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif 5+6 Segitiga A$' dengan koordinat A57, 96, $57, 76, '50, 76 dirotasi: +91R atau )1R dengan pusat rotasi 251, 16 menjadi segitiga A)$)') dengan koordinat A)5"9, 76, $)5"7, 76, ')5"7, 06 +)1R atau 91R dengan pusat rotasi 251, 16 menjadi segitiga A7$7'7 dengan koordinat A)59, "76, $)57, "76, ')57, "06 +/1R atau /1R dengan pusat rotasi 251, 16 menjadi segitiga AB$B'B dengan koordinat AB5"7, "96, $B5"7, "76, 'B5"0, "76
$erdasarkan penjelasan diatas, maka rotasi dapat dirumuskan sebagai berikut : otasi sejauh T dengan pusat 5a, b6
umus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi 251, 16
Komposisi Dilatasi
•
Segitiga A$' dengan koordinat A57, 96, $57, 76, '50, 76 didilatasi: dengan faktor skala k />7 dan pusat dilatasi 251, 16 menjadi segitiga A)$)') dengan koordinat A)5/, 76, $)5/, /6, ')5), /6 dengan faktor skala k ) dan pusat dilatasi 251, 16 menjadi segitiga A7$7'7 dengan koordinat A750, /6, $750, 06, '75/), 06 Untuk nilai k negatif, arah baangan berla!anan dengan arah aslina. 'ontoh Soal / a6 (entukan baangan dari titik A 5), 76 oleh translasi ( 5, 6 b6 (entukan baangan dari titik A 5&, /16 oleh
()
translasi T
4 2
36 (entukanbaangan dari titikA 5/, )6 oleh translasi ( 5/, )6 dilanjutkan oleh translasi U 57, B6 Pembahasan:
a6 $aangan dari titik A 5), 76 oleh translasi ( 5, 6
b6 $aangan dari titik A 5&, /16 oleh translasi
()
T
4 2
36 $aangan dari titik A 5/, )6 oleh translasi ( 5/, )6 dilanjutkan oleh translasi U 57, B6
'ontoh Soal ) 4oordinat baangan titik P50, &6 jika ditransformasikan oleh matriks
( ) dan dilanjutkan 1
1
1
0
pen3erminan terhadap sumbu < adalah.... Pembahasan: (itik A, dengan transformasi matriks
( ) 1
1
1
0
akan menghasilkan titik A, ang koordinatna:
( )( )=( ++ )=( ) 1
1
6
6
5
11
1
0
5
6
0
6
%ilanjutkan lagi dengan pen3erminan terhadap sumbu < akan menghasilkan titik A, dimana titik A koordinatna akan menjadi 5//, D06, beda tanda minus saja pada ordinat atau na. $isa juga dengan mengalikan memakai matriks pen3erminan terhadap sumbu <.
(
1
0
0
−1
)( ) ( ) ( ) 11 6
=
+ = 11 −6 0−6
11 0
#adi AN koordinatna adalah 5//, D06
Bab $: %IMESI TI!A •
Jarak
Caris tegak lurus bidang Merupakan sebuah garis ang posisina tegak lurus pada suatu bidang dimana garis tersebut tegak lurus terhadap setiap garis ang ada pada bidang tersebut. #arak titik dan garis #arak titik A dengan garis C merupakan panjang ruas dari garis AA dimana titik A merupakan proeksi dari A pada g. #arak titik dan bidang #arak antara titik A dan bidang merupakan panjang dari ruas garis AA dimana titik A adalah proeksi dari titik A pada bidang.
#arak antara dua garis sejajar Untuk mengetahui jarak antara dua garis sejajar, kita harus menggambar sebuah garis lurus diantara keduana. #arak titik potong ang dihasilkan merupakan jarak dari kedua garis itu. #arak garis dan bidang ang sejajar Untuk menentukan jarak antara garis dan bidang adalah dengan membuat proeksi garis pada bidang. #arak antara garis dengan baanganna adalah jarak garis terhadap bidang.
Penting untuk diingat: ketika kalian ingin menentukan jarak, hal ang pertama kali harus kalian lakukan adalah membuat garis"garis bantu ang membentuk segitiga. dengan begitu kalian akan lebih mudah dalam men3ari jarak ang ditanakan di dalam soal. •
Sudut
Sudut antara garis dan bidang Sudut antara garis dan bidang adalah sudut ang terbentuk antara garis dengan baanganna apabila garis itu diproeksikan terhadap bidang ang ada di ba!ahna.
Sudut antara dua bidang Sudut antara dua bidang merupakan sudut ang terbentuk oleh dua buah garis lurus ang posisina tegak lurus dengan garis potong pada bidang Q dan
Penting untuk diingat: 4etika kalian ingin menentukan sudut, hal paling pertama ang harus kalian lakukan adalah
menentukan terlebih dahulu titik potong diantara dua obek ang akan di3ari sudutna, setelah itu buatlah garis"garis bantu ang membentuk segitiga. 'ontoh Soal 4ubus A$'%.VWCX dengan panjang sisi /) 3m. (itik P adalah perpotongan diagonal bidang A$'%. (entukan jarak titik P ke titik CK Pembahasan Cambar sebagai berikut
A' panjangna /)Y), sementara P' adalah setengah dari A'. Sehingga P' 0Y) 3m. 'C /) 3m. #adi panjang PC adalah 0 √ 6 3m
Bab &: TRI!OOMETRI •
Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut
/. umus Penjumlahan (rigonometri /./ umus Sin 5 Q + 6 sin ' ( ) * + , sin ( -.s * ) -.s ( sin * /.) umus 'os 5 Q + 6 -.s ' ( ) * + , -.s ( -.s * / sin ( sin * /.7 umus (an 5 Q + 6 tan ' ( ) * + , tan ( ) tan * 0 1 / tan ( tan * •
Rumus Selisih Trigonometri
)./ umus Sin 5 Q " 6 sin ' ( / * + , sin ( -.s * / -.s ( sin * ).) umus 'os 5 Q " 6 -.s ' ( / * + , -.s ( -.s * ) sin ( sin * ).7 umus (an 5 Q " 6 tan ' ( / * + , tan ( / tan * 0 1 ) tan ( tan * $erikut umus SelengkapnaK
$. umus (rigonometri Sudut angkap
'. umus Pengurangan
4onversi
Perkalian,
Penjumlahan>
'ontoh Soal: Seorang anak berdiri )1 meter dari sebuah menara seperti gambar berikut. Perkirakan ketinggian menara dihitung dari titik AK Cunakan Y) /,B dan Y7 /, jika diperlukan. Pembahasan tan 01 R adalah Y7, asumsina sudah dihafal. Sehingga dari pengertian tan sudut
(inggi menara sekitar 7B meter.
Bab : ITE!RAL TETU %efinisi Entegral (entu Andaikan f5*6 didefinisikan dalam selang a ≤ x ≤ b Selang ini dibagi menjadi n bagian ang
sama panjang, aitu ∆ x =
b −a n
Maka integral tentu dari f5*6 antara * a dan * b didefinisikan sebagai berikut:
Limit ini pasti ada jika f5*6 kontinu sepotong demi sepotong jika f ( x )=
d g ( x ) maka menurut dalil pokok dari dx
kalkulus integral, integral tentu diatas dapat dihitung dengan rumus :
umus"rumus Entegral :
Luas %aerah ang %ibatasi %ua 4urva
f5*6
Misalkan dua kurva masing"masing dan g5*6, merupakan kurva"kurva ang kontinu dan f5*6 Z g5*6 dalam interval a [ *
[ b. %aerah ang dibatasi oleh kurva f5*6, dan g5*6, garis * a, dan garis * b luasna dapat ditentukan oleh rumus integral L,ba4'5+67'5+8d5
'ontoh: Xitunglah luas daerah ang dibatasi oleh kurva 0* " *) dan *)K Penelesaian: 0* " *) *) )*) " 0* 1 *5)* " 06 1 * 1 atau * 7 L \71]0*D*)D*)^d* L \71]0*D)*)^d* L ]7*)D)7*7^\71 L 557576)D)757676D557516)D)751676 L 55)D/6D51D16 L 9 satuan luas Volume Benda Putar terhadap Sumbu x yang
•
dibatasi 1 Kurva
Perhatikan gambar ilustrasi di samping. Luasan di ba!ah kurva f5*6 jika diputar dengan sumbu putar dengan titik batas a dan b akan menghasilkan sebuah silinder dengan tinggi selisih b dan a.
=olume benda putar menurut sumbu * tersebut dapat di3ari dengan rumus
•
f5*6 menjadi * f56.
Volume Benda Putar terhadap Sumbu y yang dibatasi 1 Kurva
Untuk volume benda putar dengan sumbu putar adalah sumbu , soba harus mengubah persamaan grafik ang semula ang merupakan fungsi dari * menjadi kebalikanna * menjadi fungsi dari .
Misalkan *) * Y Setelah persamaan diubahf kebentuk * f56 kemudian dimasukkan ke rumus:
•
D!"#"S" P$#J$#% B&S&R
Misalkan fungsi f5*6 memiliki kurva halus pada interval ]a, b^. Panjang busur f antara a dan b adalah %engan 3ara ang sama, untuk kurva halus ang diberikan oleh * g56, panjang busur g antara 3
dan d adalah 4arena definisi dari panjang busur dapat diaplikasikan pada fungsi linear, maka definisi baru ini dapat diperiksa apakah definisi tersebut memenuhi rumus jarak ataukah tidak. Perhatikan 3ontoh / berikut. 'ontoh /: Panjang dari Suatu uas Caris (entukan panjang busur dari 5*/, /6 ke 5*), )6 pada grafik f5*6 m* + b, seperti ang ditunjukkan oleh gambar berikut. Pembahasan 4arena
maka hal ini
akan menebabkan :
Bab 9: ITE!RAL PARSIAL Prinsip dasar integral parsial : 1' Salah satunya dimisalkan & (' Sisinya yang lain )termasuk dx* dianggap sebagai dv
Sehingga bentuk integral parsial adalah sebagai berikut:
