Rangkuman Matematika SMA Kelas XI Rangkuman Matematika SMA Kelas 2 1. Statistika
1.1. Ukuran Pemusatan Data Mean
Contoh: Tentukan mean dari data berikut: Data
Frekuensi (fi) Titik tengah (xi) fi . xi
1–3 4–6 7–9
4 7 8
2 5 8
8 35 64
10 – 12 13 – 15
3
11
33
5
14
70
27
210
Jadi rata-rata (mean) = 210:27 = 7,77 Median
Data 1–3
Frekuensi (fi) 4
4–6 7–9 10 – 12 13 – 15
7 8 3
kelas median Tb = 6,5; n=27; f=8; Σ f sebelum = 11; c=3 Me = Tb + (1/2 x n - Σ f sebelum sebelum) x c f median median
5
Me = 6,5 + (2,5/8) x 3
27
Me = 6,5 + 0,94 Me = 7,44
Modus
Data 1–3 4–6
Frekuensi (f (fi) 4 7
7–9 10 – 12 13 – 15
8 3
Mo = Tb + (f1/f1+f2) x c
kelas modus
Tb=6,5; f1=1; f2=5; c=3
Mo = 6,5 + 0,49 5 Mo = 6,99 27 1.2. Ukuran Penyebaran Data Range
Contoh: Tentukan range dari: 4, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 10 Jawab: R = 10 – 4 =6 Simpangan
Kuartil (Qd)
Contoh: Tentukan Qd dari: 2, 3, 4, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 10 Jawab: n=11 Q1 = n+1/4 = 3 (Data: 4) Q3 = 3(n+1)/4 = 9 (Data: 10) Qd = ½ (Q3 – Q1) = ½ x 6 =3 Simpangan
Rata-rata (SR)
Contoh: Tentukan SR dari 2, 4, 6, 8, 10, 12 Jawab: rata-rata = 7 SR = (2-7)+(4-7)+(6-7)+(8-7)+(10-7)+(12-7) = 0 7 Simpangan
Baku (S)
Contoh: hitunglah simpangan baku dari 1, 2, 3, 4, 5 Jawab: rata-rata = 3 S = √ (1-3)2 + (2-3)2 + (3-3)2 + (4-3)2 + (5-3)2 = 1 10
2. Peluang
2.1. Faktorial 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 2.2. Permutasi Contoh: Berapa banyak macam susunan huruf pada kata “DADU”? P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
4
2.3. Kombinasi Contoh: Ada berapa cara 2 orang dipilih dari 10 orang untuk bergabung dalam lomba? Jawab:
C2 = 10! = 45
10
2! x 8! 2.4. Peluang Contoh: Berapa peluang kejadian muncul bilangan genap pada pelemparan dadu? Jawab: P(A) = n(A) = 3 = ½ N(S) 6 2.5. Peluang Gabungan Dua Kejadian Saling Lepas Contoh: Dua buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 1 kali. Tentukan peluang kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu itu sama dengan 4 atau 5. Jawab: Kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu = 4 (1,3; 2,2; 3,1) P(A) = 3/36 = 1/12 Kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu = 5 (1,4; 2,3; 3,2; 4,1) P(B) = 4/36 = 1/9 Jadi P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 3/36 + 4/36 = 7/36 2.6. Peluang Kejadian yang Saling Bebas Contoh: Dua buah dadu dilempar sekali, tentukan peluang munculnya mata dadu 2 pada dadu pertama dan mata dadu 6 pada mata dadu kedua! P(A) = P(2) = 1/6 P(B) = P(6) = 1/6 P(A ∩ B) = P(A) x P(B) = 1/6 x 1/6 = 1/36 3. Limit
3.1. Limit Fungsi Aljabar Contoh: lim 2x2 – 2x = 2x (x -1) = 2x = 2.1 = 2 x→1
x – 1 (x – 1)
3.2. Limit Fungsi Trigonometri
lim sin x = 1
x→1
x lim x = 1 x→1
sin x lim x = 1 x→1
tan x lim tan x = 1 x→1
x lim sin ax = a x→0
bx b lim ax = a x→0
sin bx b lim sin ax = a x→0
sin bx b lim tan ax = a x→0
bx b
lim sin ax = a x→0
tan bx b
lim tan ax = a x→0
tan bx b lim tan ax = a x→0
sin bx b
4. TURUNAN FUNGSI
4.1. Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Suku Banyak Contoh: diketahui f(x) = x3 + 3x2 + 5x + 7 dan g(x) = x2 + 3x – 3. Jawab: f(x) + g(x) = x 3 + 3x2 + 5x + 7 + (x2 + 3x – 3) = x3 + 4x2 + 8x + 4 f(x) - g(x) = x 3 + 3x2 + 5x + 7 – (x2 + 3x – 3) = x2 + 2x2 + 2x + 10 f(x) . g(x) = x 3 + 3x2 + 5x + 7 . (x2 + 3x – 3) = x5 + 3x4 – 3x3 + 3x4 9x3 – 9x2 + 5x3 + 15x2 – 15x + 7x2 + 21x – 21 = x5 + 6x4 + 11x3 + 13x2 + 6x - 21 4.2. Teorema Sisa Contoh: Tentukan sisa dari pembagian x4 – 4x3 + 2x2 + 6x – 6 dengan (x-3).
Jawab: x-3 x=3; dan k=3 S = f(k) = k 4 – 4k 3 + 2k 2 + 6k – 6 S = f(3) = 3 4 – 4(3)3 + 2(3)2 + 6.3 – 6 = 81 – 108 + 18 + 18 – 6 =3 3.3. Teorema Faktor Contoh: Tentukan sisa dari pembagian 4x3 + 2x2 + 6x – 6 dengan (x-3) (x+1). Jawab: x1 = 3; x2 = -1 Untuk x1 = 3, maka: 4(3)3 + 2(3)2 + 6(3) – 6 = 108 + 18 + 18 – 6 = 138 Untuk x2 = -1, maka: 4(-1)3 + 2(-1)2 + 6(-1) – 6 = -4 + 2 – 6 – 6 = -14 S(x) = (x-x1 ) . f(x2) + (x-x2) . f(x1) (x2-x1) (x1-x2) = (x-3) . -14 + (x+1) . 138 -4 4 = 139x +121 4 5. Teorema Beranta
Y = Χ n y
1
=
y = x
y
y
1
=
nx
2
dy dx
1
−
+ 3x − 5
2x
= 5 x
n
3
+3
+ 2 x
= 15 x
2
2
− 5x + 3
+ 4x − 5
6. FUNGSI,KOMPOSISI DAN FUNGSI INVEST
6.1. Fungsi Contoh: Diketahui f:R R dengan f(x) = x2 + 2x + 2 Tentukan: f(5) dan f(x+1)
Jawab: f(5) = 25 + 10 + 2 = 37 f(x+1) = (x+1)2 + 2(x+1) + 2 = x2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 2 = x2 + 4x + 5 6.2. Komposisi Contoh: Fungsi f:R R dan g:R R dengan f(x) = x2 + 2 dan g(x) = x + 3. Tentukan g.f(x) dan f.g(x). g.f(x) = g (f(x)) = g (x 2 + 2) = (x2 + 2) + 3 = x2 + 5 f.g(x) = f (g(x)) = f (x + 3) = (x + 3)2 + 2 = x2 + 6x + 11 6.3. Fungsi Invers Jika y = f(x) maka x = f -1 (y) Fungsi awal f(x) = ax + b
Fungsi Invers f -1 (x) =x–b a
f(x) = ax + b
f -1 (x) = -dx + b
cx + d f(x) = ax 2 + bx + c
cx – a
f(x) = acx f(x) = alog cx
f -1 (x) = -b + √b2 – 4a (c-x) 2a f -1 (x) = 1/c. alog x f -1 (x) = 1/c. ax