Rangkuman Trigonometri

BAB VII. TRIGONOMETRI

5. tan (A + B) =

tan A + tan B 1 − tan A. tan B

6. tan (A - B) =

tan A − tan B 1 + tan A. tan B

Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen

Sin α = r

y r

y Cos α =

x r

Tan α =

y x

α x

Hubungan Fungsi Trigonometri : 1. sin 2 α + cos 2 α = 1

2. tan α =

sin α cos α

3. sec α =

1 cos α

Rumus-rumus Sudut Rangkap :

1. sin 2A = 2 sin A cosA 2. cos 2A = cos 2 A - sin 2 A 3. tan 2A =

2 tan A 1 − (tan A) 2

Rumus Jumlah Fungsi : Perkalian Æ jumlah/selisih

1. 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2 2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A-B) 3 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B) 4. -2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B) Jumlah/selisih Æ perkalian

1 4. cosec α = sin α

1. Sin A + sin B = 2 sin

cos α sin α

1 1 (A + B) cos (A –B) 2 2

2. Sin A - sin B = 2 cos

1 1 (A + B) sin (A –B) 2 2

5 . cotan α =

6. tan 2 α + 1 = sec 2 α

3. cos A + cos B = 2 cos

7. cot an 2 α + 1 = cos ec 2 α

1 1 (A + B) cos (A –B) 2 2

4. cos A - cos B = - 2 sin Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan :

1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A Sin B 2. sin (A - B) = sin A cos B - cos A Sin B 3. cos (A + B) = cos A cos B – sin A Sin B 4. cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B

www.matematika-sma.com - 1

1 1 (A + B) sin (A –B) 2 2

Kuadrant III :

Sudut-sudut istimewa :

α

00

30 0

45 0

Sin

0

1

1

Cos

1

1

Tan

0

1

2 2 3

3

2

1

2 1

3

60 0 2

1

2

1

2

Sin (180 0 + θ ) = -sin θ Cos (180 0 + θ ) = -cos θ tan (180 0 + θ ) = tan θ

90 0 3 1 0

2 3

Kuadrant IV :

~

Sin (360 0 - θ ) = -sin θ Cos (360 0 - θ ) = cos θ tan (360 0 - θ ) = -tan θ

Tanda-tanda fungsi pada setiap kuadrant :

Aturan sinus dan cosinus

C II

I

γ

b Sin +

β

α III Tan +

IV

A

c

Cos + aturan sinus

Kuadrant I

Kuadrant II Kuadrant III Kuadrant IV

+ + +

180 0 - α 180 0 + α + +

α

Sin Cos Tan

360 0 - α + -

a b c = = sin β sin γ sin α

Aturan cosinus

1. a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α 2. b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos β

Hubungan nilai perbandingan sudut di semua kuadrant:

Kuadrant I Sin (90 0 - θ ) = cos θ Cos (90 0 - θ ) = sin θ tan (90 0 - θ ) = cotan θ

3. c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ

Luas Segitiga

Luas segitiga =

1 ab sin γ 2

=

1 ac sin β 2

=

1 bc sin α 2

Kuadratn II : Sin (180 - θ ) = sin θ Cos (180 0 - θ ) = -cos θ tan (180 0 - θ ) = -tan θ 0

a

Semua +

www.matematika-sma.com - 2

B

Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub :

Persamaan dan pertidaksamaan Trigonometri 1. Persamaan

P(x,y) Æ koordinat cartesius P(r, α 0 )Æ koordinat kutub

a. sin x = sin α , maka x1 = α + k. 360 0 x 2 = ( 180 0 - α ) + k. 360 0

y

α0 x P (x,y) → P (r, α 0 ) r=

x +y 2

Rumus umum penyelesaian persamaan trigonometri adalah :

b. cos x = cos α , maka x1, 2 = ± α + k. 360 0 c. tan x = tan α , maka x = α + k. 180 0

2

α 0 didapat dari tan α 0 =

y x

Persamaan umum trigonometri adalah :

a cos x + b sin x = c : dimana c = k cos (x - α ) P (r, α 0 ) → P (x,y) x = r cos α 0 ; y = r sin α 0

dengan k =

a2 + b2 :

persamaan lengkapnya:

jadi , p (x,y) = p(r cos α 0 , r sin α 0 )

a cos x + b sin x = k cos (x - α ) = c

Nilai Maksimum dan Minimum

α didapat dari tan α =

1. Jika y = k cos (x + n π ) dengan k > 0 maka a. maksimum jika y = k dimana cos (x + n π ) = 1 sehingga (x + n π )= 0 b. minimum jika y = -k dimana cos (x + n π ) = -1 sehingga (x + n π )= π

b a

Syarat agar persamaan a cos x + b sin x = c mempunyai jawaban adalah : c2 ≤ a2 + b2

2. Jika y = k sin (x + n π ) dengan k > 0 maka a. maksimum jika y = k dimana sin (x + n π ) = 1 sehingga (x + n π )=

π

2 b. minimum jika y = -k dimana sin (x + n π ) = -1 3π sehingga (x + n π )= 2

2. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti sin ax ≤ c, cos ax ≥ c dan sebagainya dapat diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah umum pertidaksamaan seperti : - Diagram garis bilangan - Grafik fungsi trigonometri

www.matematika-sma.com - 3

Fungsi Trigonometri:

1. Fungsi Sinus : f(x) = sin x

. Ciri-ciri grafik fungsi sinus (sinusoida) y = sin x a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1 b. Mempunyai amplitudo Æ ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2 π d. Periodisitas fungsi : sin (x + k.2 π ) = sin x, k ∈ bilangan bulat

2. Fungsi Cosinus : f(x) = cos x

Ciri-ciri grafik fungsi cosinus : y = cos x a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1 b. Mempunyai amplitudo Æ ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2 π d. Periodisitas fungsi : cos (x + k.2 π ) = cos x, k ∈ bilangan bulat

www.matematika-sma.com - 4

2. Fungsi Tangen : f(x) = tan x

Ciri-ciri grafik fungsi y = tan x adalah : a. Nilai maksimum = +~ (positif tidak terhinggaa) dan nilai minimum = - ~ (minus tak terhingga) b. Mempunyai perioda sebesar π c. Periodaisitas fungsi tan (x +k. π ) = tan x, k ∈ bilangan bulat

www.matematika-sma.com - 5