Rank dari Matriks Jumlah maksimum linear independen dalam baris matriks A disebut rank baris dari A, dari A, dan jumlah maksimum kolom independen linarly di A di A disebut rank kolom dari A. dari A. Jika A Jika A adalah sebuah matriks m dengan n, yaitu, jika A jika A memiliki m baris dan n kolom, maka jelas bahwa
Apa yang tidak begitu jelas, bagaimanapun, adalah bahwa untuk setiap matriks A, y
rank baris dari A dari A peringkat kolom dari A dari A =
Karena fakta ini, tidak ada alasan untuk membedakan antara baris dan peringkat peringkat kolom; nilai umum hanya disebut rank dari matriks. Oleh karena itu, jika A jika A adalah mxn, maka dari ketidaksetaraan dalam (*) yang
di mana min (m, n) menunjukkan lebih kecil dari dua bilangan m dan n (atau nilai umum mereka jika m = n). Misalnya, pangkat matriks 3 5 x dapat tidak lebih dari 3, dan peringkat dari matriks 4 2 x dapat tidak lebih dari 2. Sebuah matriks 3 x 5,
dapat dianggap sebagai terdiri dari tiga 5-vektor (baris) atau lima 3-vektor (kolom). Meskipun tiga 5-vektor dapat bebas linear, maka tidak mungkin untuk memiliki lima 3vektor yang independen. Setiap koleksi lebih dari tiga 3-vektor secara otomatis tergantung. Jadi, kolom peringkat-dan karenanya peringkat-seperti matriks dapat tidak lebih besar dari 3. Jadi, jika A jika A adalah matriks 3 x 5, argumen ini menunjukkan bahwa
sesuai dengan (**). Proses di mana rank dari suatu matriks ditentukan dapat diilustrasikan dengan contoh berikut. Misalkan A Misalkan A adalah matriks 4 x 4
Keempat vektor baris,
tidak independen, karena, misalnya
Fakta bahwa vektor-vektor r dan r 3 4 dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari dua lainnya (r 1 dan r 2, yang independen) berarti bahwa jumlah maksimum baris independen 2. Jadi, baris-dan karena itu peringkat peringkat ke-dari matriks ini adalah 2. Persamaan dalam (***) dapat ditulis ulang sebagai berikut:
Persamaan pertama di sini menunjukkan bahwa jika -2 kali baris pertama ditambahkan ke ketiga dan kemudian baris kedua ditambahkan ke baris (baru) ketiga, baris ketiga akan menjadi 0, satu baris bilangan nol. Persamaan kedua di atas mengatakan bahwa operasi serupa dilakukan pada baris keempat dapat menghasilkan deretan nol ada juga. Jika setelah operasi ini selesai, -3 kali baris pertama kemudian ditambahkan ke baris kedua (untuk menghapus semua entires bawah entri a 11 = 1 di kolom pertama), ini mengurangi operasi baris elementer matriks asal A ke bentuk eselon
Fakta bahwa ada tepat 2 baris taknol dalam bentuk tereduksi dari matriks menunjukkan bahwa jumlah maksimum baris linear adalah 2, maka, peringkat A = 2, dalam perjanjian dengan kesimpulan di atas. Secara umum, kemudian, untuk menghitung pangkat suatu matriks, melakukan operasi baris elementer sampai matriks yang tersisa dalam bentuk eselon, jumlah baris taknol pada matriks yang tersisa berkurang adalah peringkat. [Catatan: Karena peringkat kolom = baris peringkat, hanya dua dari empat kolom dalam A - c 1, c 2, c 3, dan c 4-bebas linear. Tunjukkan bahwa ini memang terjadi dengan memverifikasi hubungan
(Dan memeriksa bahwa c 1 dan c 3 adalah independen). Bentuk tereduksi dari A membuat hubungan ini sangat mudah untuk melihat.]
Contoh
1: Tentukan rank dari matriks
Pertama, karena matriks adalah 4 x 3, rankingnya bisa tidak lebih besar dari 3. Oleh karena itu, setidaknya satu dari empat baris akan menjadi satu baris bilangan nol. Lakukan operasi baris berikut:
Karena ada 3 baris taknol yang tersisa dalam bentuk eselon dari B ,
Contoh
2: Tentukan peringkat dari 4 dengan 4 matriks kotak-kotak
Karena r 2 = r 4 =-r 1 dan r 3 = r 1, semua baris tapi yang pertama lenyap demi baris-reduksi:
