Rapport PFE Silo Final

Mémoire de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo

Remerciements Nous tenons à exprimer exprimer,, au terme de ce travail, nos sincères remerciements à toutes les personnes dont l’intervention, de près ou de loin, au cours de ce projet a favorisé son aboutissement. Ainsi, nous remercions vivement notre encadrant externe Mr Hosny BAKALI, ingénieur structures, qui nous a accueilli au sein du bureau d’études TECTONE et qui n’a ménagé ni son temps ni son énergie pour nous aider à élaborer ce travail dans les meilleures conditions. Nos vifs remerciements s’adressent également à notre encadrant interne Mr A.AZIZI, professeur à l’EHTP, nous le remercions pour les conseils fructueux qu’il n’a cessé de nous prodiguer. Nous devons chaque bribe de notre connaissance à nos enseignants à l’EHTP qui ont si bien mené leur noble quête d’enseigner les bases du Génie Civil. Nous les remercions non seulement pour le savoir qu’ils nous ont transmis, mais aussi pour la erté et l’ambition l’ambition que leurs personnes nous aspirent. Nous tenons à remercier aussi tous les membres du jury jury pour leur bienveillance à vouloir évaluer notre travail.

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Résumé Le présent projet de n d’étude, effectué au sein du Bureau d’études TECTONE , consiste à dimensionner un silo de grande hauteur selon deux variantes : une en béton armé et l’autre en béton précontraint. Le silo en question est situé en Guinée Equatoriale. Il est destiné à stocker stocker du ciment. Nous allons tout d’abord commencé par une description générale des caractéristiques des silos, ainsi que l’exécution des travaux de construction et la réparation de ce type d’ouvrage. Ensuite, nous allons étudier la structure du silo en effectuant un calcul manuel des différents éléments de l’ouvrage. La modélisation sur le logiciel Effel a complété cette étude notamment pour le calcul de ferraillage. Enn nous allons établir une estimation du prix de chaque variante an de choisir l’une des deux.

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Table des matières Introduction....................... Introduction........ ............................... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ............................1 ............11 1

I.

Présentation du projet...................... projet..................................... .............................. ............................. ............................. ..................12 ...12

II.

Description générale des silos............... silos............................. ............................. ............................. ............................. ...............13 13 II.1. Rôle des silos.................. silos.................................. ................................ ................................ ................................ ................................ ..............................13 ..............13 II.2. Classication des silos................. s ilos................................. ................................ ................................ ................................ ................................ .................13 .13 ................................ ................................ ................................ ..................... ..... 13 II.2.1. Selon la forme en plan plan des cellules ................ II.2.2. Selon la forme générale................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..................... ..... 13 ............................... ................................ ................................ ................................ ............................. ............. 13 II.2.3. Selon l’élancement............... .............................. ................................ ................................ .......................... .......... 14 II.2.4. Selon le groupement des cellules cellules .............. II.2.5. Selon la matière ensilée................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..................... ..... 14 II.3. Terminologie................. erminologie................................. ................................ ............................... ............................... ................................ ................................ .................14 .14 ............................... ................................ ................................ ................................ ............................. ............. 14 II.3.1. Rayon hydraulique............... II.3.2. Surface de remplissage............... ............................... ................................ ............................... ............................... ........................ ........ 14 .............................. ................................ ................................ ................................ .................... 14 II.3.3. Plan moyen de remplissage.............. .............................. ................................ ................................ ................................ ................................ ....................... ....... 15 II.3.4. Plan de base.............. II.3.5. Coordonnée relative................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......................... .......... 15 II.4. Mode d’écoulement................ d’écoulement................................ ............................... ............................... ................................ ................................ .......................16 .......16 ............................... ............................... ................ 16 II.4.1. Écoulement en cheminée (ou écoulement écoulement central) ................ II.4.2. Écoulementinterne.............. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ...................... ........ 16 .............................. ................................ ................................ ................................ .......................... .......... 16 II.4.3. Écoulement en masse .............. II.5. Types de vidanges................... vidanges.................................. ............................... ................................ ................................ ................................ .......................17 .......17 II.5.1. Vid Vidange ange normale................ ................................ ................................ ................................ ............................... ............................... ................ 17 ............................... ................................ ................................ ................... ... 17 II.5.2. Vid Vidange ange géométriquement géométriquement anormale anormale ............... ................................ ................................ ................................ ..................... ..... 17 II.5.3. Vid Vidange ange mécaniquement mécaniquement anormale ................ II.5.4. Vid Vidange ange structurellement structurellement anormale................ ................................ ................................ ................................ .................... .... 17 II.6. Caractéristiques du produit produi t ensilé...................................... ensilé..................................................... ............................... ............................17 ............17

III.

Exécution des travaux................. travaux............................... ............................. .............................. ............................. ........................18 ..........18 III.1. Technique du coffrage glissant........................................... glissant........................................................... ................................ .........................18 .........18 ........................ ......................... ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... ................. .... 18 III.1.1. Avantages............ III.1.2. Différents systèmes de coffrages glissants...................... glissants............................................ ........................................19 ..................19 III.1.3. Appuis............................................................................................................. 19 .............................. ................................ ................................ ................................ ................................ ............................... ............... 19 III.1.4. Vérins..............

IV.. IV

Réparation et confortement des silos.............. silos............................. ............................. ............................. .................20 ..20 IV.1. IV .1. Réparation des surfaces.............. surfaces.............................. ................................ ................................ ................................ ................................ .................20 .20 IV.1.1. IV .1.1. Traitement par peintures......... peintures................................ ............................................. ............................................ ....................................20 ..............20 IV.1.2. IV .1.2. Traitement par revêtement plastique épais............................................ épais..............................................................20 ..................20 IV.1.3. IV .1.3. Traitement par revêtement r evêtement d’imperméabilité......................................... d’imperméabilité..........................................................21 .................21

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IV.2. IV.3. IV.4. IV.5.

IV.1.4. Traitement par revêtement d’étanchéité..................................................................21 Réparation par reconstitution du béton.............................................................................. 21 Réparation par béton projeté............................................................................................... 22 Réparation par injection....................................................................................................... 22 Renforcement par adjonction d’élément de structure......................................................22

V.

Conception de l’ouvrage.................................................................................23 V.1. Géométrie générale du silo.................................................................................................. 23 V.2. Eléments structuraux du silo............................................................................................... 23 V.2.1. La Paroi circulaire.....................................................................................................23 V.2.2. Le cône central..........................................................................................................23 V.2.3. La poutre couronne...................................................................................................24 V.2.4. La jupe inférieure......................................................................................................24

VI.

Hypothèses de calcul.......................................................................................25 VI.1. Propriétés de la matière ensilée.......................................................................................... 25 VI.2. La classe de abilité............................................................................................................ 26 VI.3. La classe de rugosité des parois......................................................................................... 26 VI.4. Type du silo.......................................................................................................................... 27 VI.5. Mode d’écoulement............................................................................................................. 27 VI.6. Dispositions constructives minimales............................................................................... 27 VI.6.1. Epaisseur minimale des parois................................................................................27 VI.6.2. Armatures................................................................................................................27 VI.6.3. Position du câble de précontrainte..........................................................................28 VI.6.4. Disposition des ancrages.........................................................................................28 VI.6.5. Enrobage.................................................................................................................28 VI.7. Hypothèses de calcul........................................................................................................... 28

VII. Etude de la 1ère variante : calcul en béton armé...........................................29 VII.1. Action à prendre en compte............................................................................................... 29 VII.1.1. Charges..................................................................................................................29 VII.1.2. Déformationsimposées..........................................................................................29 VII.2. Combinaisons d’actions..................................................................................................... 29 VII.2.1. Vis-à-vis des états-limites ultimes de résistance...................................................29 VII.2.2. Vis-à-vis des états-limites de service.....................................................................29 VII.3. Contraintes admissibles..................................................................................................... 30 VII.3.1. Contrainte limite de compression de béton...........................................................30 VII.3.2. Contrainte admissible de traction des armatures...................................................30 VII.4. Etude de la paroi........................................................................................................31 VII.4.1. Calcul des poussées sur la paroi............................................................................31 VII.4.1.1. Notation.................................................................................................. 31 VII.4.1.2. Actions au remplissage............................................................................. 32 VII.4.1.3. Actions à la vidange................................................................................. 33 VII.4.1.4. Actions à la vidange avec un grand excentrement..........................................33

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Mémoire de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VII.4.1.5. Tableaux récapitulatifs des actions appliquées sur la paroi............................35

VII.4.2. Prédimensionnement de l’épaisseur de la paroi....................................................36 VII.4.3. Effet de la température..........................................................................................36 VII.4.3.1. Calcul du gradient thermique...................................................................36 VII.4.3.2. Moment crée par le gradient thermique..........................................................38

VII.4.4. Effet du vent..........................................................................................................39 VII.4.4.1. Données du projet.................................................................................... 39 VII.4.4.2. pression dynamique de base q10................................................................ 39 VII.4.4.3. Variation de la pression dynamique de base...................................................39 VII.4.4.4. Actions statiques exercées par le vent............................................................42

VII.4.5. Calcul du ferraillage de la paroi............................................................................45 VII.4.5.1. Données générales................................................................................... 45 VII.4.5.2. Dénition des charges.............................................................................. 45 VII.4.5.3. Calcul des sollicitations à l’ELS................................................................ 45 VII.4.5.4. Calcul des sections des cerces................................................................... 47 VII.4.5.5. Armatures d’encastrement........................................................................ 48 VII.4.5.6. Armatures longitudinales.......................................................................... 48

VII.5. Etude du cône............................................................................................................48 VII.5.1. Calcul des poussées sur le cône............................................................................48 VII.5.1.1. Actions au remplissage............................................................................. 49 VII.5.1.2. Actions à la vidange................................................................................. 50 VII.6. Etude de la poutre couronne.............................................................................................. 51 VII.6.1. Condition d’application.........................................................................................51 VII.6.2. Dénition des charges............................................................................................52 VII.6.3. Limitation de la contrainte tangente conventionnelle...........................................52 VII.6.4. Armatures supérieures............................................................................................52 VII.6.4.1. Armatures inférieures............................................................................... 53 VII.6.4.2. Armatures de répartition........................................................................... 53 VII.6.4.3. Schéma de ferraillage............................................................................... 53 VII.7. Etude du Plancher circulaire............................................................................................. 53 VII.7.4.1. Calcul des sollicitations internes............................................................... 53 VII.7.4.2. Calcul des armatures................................................................................ 54 VII.7.4.3. Schéma de ferraillage............................................................................... 55 VII.8. Etude de la Couverture...................................................................................................... 55 VII.8.1. Calcul de la prédalle..............................................................................................55 VII.8.1.1. Données.................................................................................................. 56 VII.8.1.2. Calcul de la section d’acier en phase nale................................................56 VII.8.1.3. Calcul des contraintes en service............................................................... 56 VII.8.1.4. Manutention............................................................................................ 57 VII.8.1.5. Stockage.................................................................................................. 57 VII.8.1.6. Etude à l’effort tranchant.......................................................................... 57 VII.8.1.7. Joints transversaux................................................................................... 58 VII.8.1.8. Schéma de ferraillage............................................................................... 58 VII.8.2. Calcul de la poutre en béton précontraint..............................................................58 VII.8.2.1. Mode de construction............................................................................... 58 VII.8.2.2. Données de calcul.................................................................................... 58 VII.8.2.3. Contraintes admissibles............................................................................ 58

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Mémoire de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VII.8.2.4. Phase 1 : calcul de la poutre préfabriquée.......................................................59 VII.8.2.5. Phase 2 : Calcul de la poutre en Té en service................................................63 VII.8.2.6. Vérication des contraintes.............................................................................65

VII.9. Dimensionnement du dallage............................................................................................ 67 VII.9.1. Dénition d’un dallage..........................................................................................67 VII.9.1.1. Forme..................................................................................................... 67 VII.9.1.2. Interface.................................................................................................. 67 VII.9.1.3. Couche d’usure........................................................................................ 67 VII.9.1.4. Joints...................................................................................................... 67 VII.9.2. Pathologies du dallage...........................................................................................68 VII.9.2.1. Les désordres de première catégorie.......................................................... 68 VII.9.2.2. Les désordres de deuxième catégorie.........................................................69 VII.9.3. Principe du dimensionnement................................................................................69 VII.9.4. Calcul des contraintes............................................................................................69 VII.9.4.1. Contraintes admissibles du béton.............................................................. 69 VII.9.4.2. Dispositions constructives........................................................................ 69 VII.9.4.3. Sollicitations............................................................................................ 70 VII.9.4.4. Géométrie du dallage............................................................................... 70 VII.9.4.5. Dénition des charges.............................................................................. 70 VII.9.4.6. Vérications............................................................................................ 73 VII.10. Calcul des Fondations...................................................................................................... 74 VII.10.1. Descente de charge..............................................................................................74 VII.10.2. Dimensions de la semelle....................................................................................74 VII.10.3. Dimensions du radier...........................................................................................75 VII.10.4. Vérication de la contrainte du sol.....................................................................75 VII.10.5. Calcul des armatures sur Effel.............................................................................75 VII.10.5.1. Dénition des charges............................................................................ 75 VII.10.5.2. Dénition des appuis.............................................................................. 76 VII.10.5.3. Ferraillage............................................................................................. 76 VII.10.5.4. Schéma de ferraillage............................................................................. 76 VII.11. Modélisation de la structure sur le logiciel Effel.........................................................77 VII.11.1. Saisie de la structure............................................................................................77 VII.11.2. Dénition des appuis...........................................................................................77 VII.11.3. Dénition des charges..........................................................................................78 VII.11.4. Résultats de la modélisation.................................................................................78 VII.11.4.1. Déplacements de la paroi........................................................................ 78 VII.11.4.2. Sollicitations sur la paroi........................................................................ 79 VII.11.4.4. Ferraillage............................................................................................. 80

VIII. Etude de la 2ème variante : Calcul en béton précontraint............................83 VIII.1. actions à prendre en compte............................................................................................ 83 VIII.2. Combinaisons d’actions................................................................................................... 83 VIII.2.1. Vis à vis de l’état limite ultime de sérvice...........................................................83 VIII.2.2. Vis à vis de l’état limite ultime de résistance.......................................................83 VIII.3. Contraintes admissibles................................................................................................... 83 VIII.3.1. limite de la contrainte de compression dans le béton...........................................83

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VIII.4.

VIII.5.

VIII.6.

VIII.7.

IX.

VIII.3.2. limite de la contrainte de traction dans les armatures..........................................83 Prédimensionnement........................................................................................................ 84 VIII.4.1. Section de l’acier de précontrainte.......................................................................84 VIII.4.2. Prédimensionnement de l’épaisseur de la paroi..................................................84 VIII.4.3. Epaisseur du connecteur.......................................................................................84 Calcul de la précontrainte................................................................................................ 85 VIII.5.1. Données de calcul.................................................................................................85 VIII.5.2. Force de précontrainte maximale.........................................................................85 VIII.5.3. Pertes instantanées de Précontrainte....................................................................86 VIII.5.3.1. Perte par frottement................................................................................ 86 VIII.5.3.2. Perte par recul d’ancrage......................................................................... 86 VIII.5.3.3. Perte par déformation instantanée du béton..............................................87 VIII.5.3.4. Total des pertes instantanées.................................................................... 88 VIII.5.4. Pertes différées de Précontrainte..........................................................................89 VIII.5.4.1. Perte par retrait du béton......................................................................... 89 VIII.5.4.2. Perte par uage....................................................................................... 90 VIII.5.4.3. Perte par relaxation................................................................................. 92 VIII.5.4.4. Total des pertes différées......................................................................... 92 VIII.5.5. Total des pertes instantanées et différées..............................................................92 Calcul des Fondations....................................................................................................... 93 VIII.6.1. Descente de charge...............................................................................................93 VIII.6.2. Dimensions de la semelle.....................................................................................93 VIII.6.3. Dimensions du radier............................................................................................93 VIII.6.4. Vérication de la contrainte du sol......................................................................93 VIII.6.5. Calcul des armatures sur Effel..............................................................................94 Modélisation de la structure sur le logiciel Effel.......................................................... 95 VIII.7.1. Saisie de la précontrainte......................................................................................95 VIII.7.2. Résultats de la modélisation.................................................................................96 VIII.7.2.1. Déplacement de la paroi.......................................................................... 96 VIII.7.2.2. Sollicitations sur la paroi......................................................................... 97 VIII.7.3. Ferraillage.............................................................................................................99

Comparaison entre les deux variantes........................................................101 IX.1. Prix de la première variante.............................................................................................. 101 IX.1.1. Prix du béton.........................................................................................................101 IX.1.2. Prix de l’acier........................................................................................................101 IX.1.3. Prix total de la variante.........................................................................................101 IX.2. Prix de la deuxième variante............................................................................................ 102 IX.2.1. Prix du béton.........................................................................................................102 IX.2.2. Prix de l’acier........................................................................................................102 IX.2.3. Prix total de la variante.........................................................................................102

Conclusion...................................................................................................................................103 Bibliographie...............................................................................................................................104 ANNEXES...................................................................................................................................105

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Liste des figures gure 1. Plan des trois silos....................................................................................................................12 gure 2. hauteur et diamètre du silo......................................................................................................13 gure 3. surface,plan moyen et rive de remplissage..............................................................................15 gure 4. Plan de base.............................................................................................................................15 gure 5. coordonnée relative..................................................................................................................16 gure 6. mode d’écoulement..................................................................................................................16 gure 7. Etapes de construction à l’aide du coffrage glissant................................................................18 gure 8. Géométrie du silo....................................................................................................................23 gure 9. Paroi préfabriqué du Cône......................................................................................................24 gure 10. Transmission des charges dans la poutre couronne...............................................................24 gure 11. diagramme de dénition du mode d’écoulement...................................................................27 gure 12. Notation : géométrie..............................................................................................................31 gure 13. Notation : excentricités..........................................................................................................31 gure 14. Notation : section transversale...............................................................................................31 gure 15. Notation : Pressions...............................................................................................................31 gure 16. actions symétriques au remplissage sur la paroi....................................................................32 gure 17. Flux d’écoulement de la vidange excentrée et distribution de pression................................34 gure 18. Gradient thermique................................................................................................................36 gure 19. Coefcient de réduction des pressions dynamiques..............................................................40 gure 20. Coefcient de réponse............................................................................................................41 gure 21. diagramme du coefcient de pression extérieure du vent-Catégoerie V-.............................43 gure 22. Diagramme sous forme polaire des coefcients des pressions extérieures...........................43 gure 23. Notations : géométrie de la paroi...........................................................................................45 gure 24. Géométrie et pressions appliquées sur le cône......................................................................48 gure 25. Actions exercées sur la poutre couronne................................................................................51 gure 26. Actions sur les parois du cône...............................................................................................52 gure 27. Plancher circulaire.................................................................................................................53 gure 28. Schéma de ferraillage de la poutre couronne.........................................................................53 gure 29. Schéma de ferraillage du plancher circulaire.........................................................................55 gure 30. Couverture circulaire.............................................................................................................55 gure 31. Dimensions de la prédalle......................................................................................................55 gure 32. stockage des prédalles............................................................................................................57 gure 33. Levage des prédalles..............................................................................................................57 gure 34. Contraintes admissibles : poutre précontrainte......................................................................58 gure 35. Schéma de ferraillage de la prédalle......................................................................................58 gure 36. Diagramme des contraintes du béton.....................................................................................60 gure 37. Tracé du câble phase 1..........................................................................................................61 gure 38. Section en Té notations..........................................................................................................63 gure 39. tracé du câble phase 2...........................................................................................................64 gure 40. Diagramme des contraintes phase 1......................................................................................65 gure 41. Diagramme des contraintes phase 2......................................................................................66 gure 42. schéma de ferraillage de la poutre préfabriquée....................................................................66 gure 43. composition du dallage..........................................................................................................67 gure 44. différents types de joints........................................................................................................68 gure 45. Géométrie du dallage.............................................................................................................70 gure 46. Abaque pour la détermination de la contrainte d’un dallage sous charge concentrée...........71 gure 47. Abaque pour la détermination de la contrainte d’un dallage sous charge répartie................72 gure 48. Dimensions de la semelle.......................................................................................................74

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Mémoire de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo gure 49. gure 50. gure 51. gure 52. gure 53. gure 54. gure 55. gure 56. gure 57. gure 58. gure 59. gure 60. gure 61. gure 62. gure 63. gure 64. gure 65. gure 66. gure 67. gure 68. gure 69. gure 70.

hauteur utile du radier.............................................................................................................75 Les charges appliquées sur le radier.......................................................................................76 Armatures supérieures du radier BA.....................................................................................76 Armatures inférieures du radier BA......................................................................................76 Saisie de la structure sur effel................................................................................................77 dénition des appuis..............................................................................................................77 Déplacement de la paroi en cm.............................................................................................78 Effort Fx dans la paroi............................................................................................................79 Effort Fy dans la paroi............................................................................................................79 Moment Mx dans la paroi.......................................................................................................79 MomentMy dans la paroi........................................................................................................79 Schéma de ferraillage de la paroi BA : Cerces......................................................................81 Schéma de ferraillage de la jupe inférieure...........................................................................82 Shéma de ferraillage de la paroi du cône..............................................................................82 Recul d’ancrage.....................................................................................................................86 Armatures supérieures du radier BP......................................................................................94 Armatures inférieures du radier BP.......................................................................................94 Dénition des barres de précontrainte...................................................................................95 Génération de la température négative sur les barres............................................................96 Déplacement de la paroi en béton précontraint.....................................................................96 Effort Fx due à la précontrainte seule.....................................................................................97 Schéma de ferraillage de la paroi BP : Cerces.....................................................................100

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Liste des tableaux tableau 1. Caractéristiques de la matière ensilée....................................................................................25 tableau 2. Valeur des propriétés à utiliser pour les évaluations des divers chargements des parois......25 tableau 3. valeurs inf et sup des caractéristiques de la matière ensilée..................................................26 tableau 4. Classication recommandée des silos pour les évaluations d’action....................................26 tableau 5. Dénition des surfaces de paroi.............................................................................................26 tableau 6. Poussées au remplissage........................................................................................................35 tableau 7. Poussées à la vidange.............................................................................................................35 tableau 8. Poussées à la vidange excentrée............................................................................................35 tableau 9. Pression dynamique de base -zone 5-...................................................................................39 tableau 10. valeurs du coefcient du site..............................................................................................40 tableau 11. Coefcient de trainée -catégorie V-....................................................................................42 tableau 12. valeurs du coefcient de pression extérieure ......................................................................43 tableau 13. Coefcient de pression intérieure........................................................................................44 tableau 14. Valeurs du coefcient résultant C r =Ce-Ci.............................................................................44 tableau 15. Sollicitations internes dues aux poussées sur la paroi.........................................................47 tableau 16. section des cerces de la paroi ..............................................................................................47 tableau 17. Action au remplissage sur le cône pressions horizontales maximales................................49 tableau 18. actions au remplissage sur le cône pression verticale maximale........................................50 tableau 19. actions à la vidange sur le cône pression horizontale maximale.........................................50 tableau 20. actions à la vidange sur le cône pression verticale maximale.............................................51 tableau 21. sollicitation internes du plancher circulaire.........................................................................54 tableau 22. Fuseau de passage du câble phase 1...................................................................................61 tableau 23. fuseau de passage du câble phase 2....................................................................................64 tableau 24. Pertes instantanées et différées en phase 2.........................................................................65 tableau 25. Précontrainte et excentricité dans les deux phases..............................................................65 tableau 26. descente de charge variante béton Armé.............................................................................74 tableau 27. Ferraillage du radier variante BA.......................................................................................76 tableau 28. section des cerces de la paroi BA.......................................................................................80 tableau 29. section des douves de la paroi BA......................................................................................80 tableau 30. Section des cerces de la jupe inférieure BA.......................................................................81 tableau 31. Section des douves de la jupe inférieure BA......................................................................81 tableau 32. Longueurs de recouvrement.................................................................................................82 tableau 33. Nombre de Câbles de précontrainte.....................................................................................84 tableau 34. espacement des câbles de précontrainte..............................................................................84 tableau 35. coefcient k h.......................................................................................................................89 tableau 36. Valeurs des paramètres du retrait de béton..........................................................................90 tableau 37. Valeurs des paramètres du uage de béton..........................................................................91 tableau 38. descente de charge variante béton précontraint...................................................................93 tableau 39. Ferraillage du radier Variante BP........................................................................................94 tableau 40. section des cerces de la paroi BP........................................................................................99 tableau 41. section des douves de la paroi BP.......................................................................................99 tableau 42. section des Cerces de la jupe inférieure BP........................................................................99 tableau 43. section des douves de la jupe inférieure BP........................................................................99 tableau 44. Prix du béton de la variante BA........................................................................................101 tableau 45. Prix de l’acier de la variante BA.......................................................................................101 tableau 46. Prix du béton de la variante BP.........................................................................................102 tableau 47. Prix de l’acier de la variante BP........................................................................................102

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Introduction

L

a conception et les méthodes de calcul des silos ont toujours fait l’objet d’un foisonnement d’idées, souvent sufsamment différentes pour créer chez les ingénieurs un grand désarroi, les poussant ainsi à choisir en toute liberté la méthode de calcul qui leur convenait, ou même parfois à opérer des mélanges d’éléments théoriques d’origines diverses. Jusqu’à la n des années 60, les calculs des silos étaient souvent opérés selon les recommandations des normes allemandes din 055 (1964) ou en s’appuyant sur les données numériques données dans les ouvrages de MM Reimbert. En 1970, M. Lambroso, a apporté de nouvelles données dans son étude intitulée «Détermination numérique des sollicitations exercées par la matière ensilée dans les silos », publiée dans les annales de l’ITBTP. Ces données ont été complétées en 1975 par la publication par le SNBATI, toujours dans les annales de l’ITBTP, des « Règles de conception et de calcul des silos en béton » révisées en 1986. On pourrait donc s’interroger utilement sur les raisons qui rendent si complexe le problème des silos. Nous pouvons les résumer principalement ainsi:  Le

même nom « silo» est souvent donné à des ouvrages de proportion, de dimensions et de destination très différentes, et pour lesquels pourtant, il n’y a aucune raison d’utiliser le même ensemble de formules et de données numériques.  L’inuence fondamentale du procédé et du phénomène de vidange sur les actions exercées par les matériaux ensilés reste toujours très mal connue et par conséquent difcilement bien estimée. C’est dans ce cadre que s’inscrit notre projet de n d’étude. Il s’agit en effet de faire le calcul et le dimensionnement d’un silo circulaire destiné à stocker du ciment de capacité 10 000 T, nous allons faire une étude comparative entre deux variantes : en béton armé et en béton précontraint. Le principale règlement sur lequel nous nous sommes basés est l’eurocode 1 partie 4 consacré pour la détermination des actions appliquées sur les parois du silo, cependant ce règlement n’était pas sufsant, nous avons donc eu recours aux annales de l’ITBTP.

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I. Présentation du projet Le projet consiste à étudier un silo destiné au stockage du ciment dans une cimentrie à la ville de KOGA au Guinée Equatoriale. Il s’agit de la construction de trois silos identiques de hauteur 54 m avec un dimètre de 16 m et ayant une capacité de plus de 10 000 T. (

Bureau d’Etudes : TECTONE

(

Entreprise de construction : SOMAGEC

gure 1. Plan des trois silos

Notre mission dans ce projet consiste à :  dimensionner l’ouvrage suivant deux variantes :  Calcul en béton armé  Calcul en béton précontraint  établir une estimation de prix pour voir la variante la plus économique.

Présentation du projet

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II. Description générale des silos II.1. Rôle des silos

Les silos sont des réservoirs spéciaux destinés à stocker en vrac les matières les plus diverses: ciments, grains, etc. Ces réservoirs de formes diverses en plan (carrée, cercle, etc.) peuvent être indépendants ou accolés. Ils peuvent être de très grande hauteur pour des dimensions limitées en plan ou au contraire ils peuvent occuper une très grande surface en plan et stocker les matières sur une hauteur réduite. Ils peuvent être fermés ou ouverts au sommet. Leur fond peut être plan ou de forme spéciale (mamelles, trémies) avec orice de vidange. Ils peuvent aussi servir de support et de moyen d’accrochage à des dispositifs mécaniques très divers :élévateurs, transporteurs, appareils évacuateurs, installations thermiques, dispositifs de pesage, de nettoyage, de séchage, de ventilation, etc. II.2.

Classication des silos

On peut classier un silo :

II.2.1. Selon la forme en plan des cellules Carrée x Rectangulaire x Hexagonale x Octogonale x Circulaire x En as de carreau Les formes carrées et rectangulaire permettent le maximum de capacité sur un terrain donné, et une implantation des poteaux supports plus simple ; en revanche les parois sont échis, l’ensemble est relativement coûteux. Les formes circulaires présentent des capacités moindres, mais l’ensemble est moins coûteux ; les cellules en as de carreau permettent une meilleure utilisation de l’espace mais sont d’un calcul difcile donc coûteuses. Les cellules octogonales et hexagonales sont en position intermédiaire. x

II.2.2. Selon la forme générale Silo profond x Silo plat x Silo de forme ramassé x Silo de formes spéciales x

II.2.3. Selon l’élancement Silo élancé : h c 2 dc x Silo d’élancement intermédiaire : 1 hc 1 x Silo peu élancé : 0, 4 dc h c 0, 4 x Magasin de stockage : x

>

<

<

hc dc

<

2

<

dc

<

gure 2. hauteur et diamètre du silo

Description générale des silos

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II.2.4. Selon le groupement des cellules Un silo peut être constitué par une cellule unique selon les formes en plan citées ci-dessus. On peut aussi effectuer des groupages : x De cellules carrées. x De cellules rectangulaires. x De cellules hexagonales hexagonales.. x De cellules octogonales : il y a nécessairement dans ce cas des cellules carrées intermédiaires qui peuvent servir soit à l’ensilage soit au logement des appareils élévateurs. x De cellules circulaires :  Soit sans contact : la solidarisation étant seulement obtenue par la fondation, la couverture et les parois diamétrales.  Soit avec contact : avec des cellules intermédiaires en cas de as de carreau et éventuellement des parois circulaires de pourtour.

II.2.5. Selon la matière ensilée Les silos agricoles qui stockent :  Des céréales : blé, orge, avoine, etc.  Des produits divers : malt, coprah, tourteaux, graines ; x Les silos industriels qui stockent :  Des charbons, du coke, des nes,  Du ciment, de la chaux,  Des minerais, des scories, des mâchefers,  Des sucres, du sel, des engrais,  Des granulats de construction : sables, graviers,  Des poudres à plastiques. x

Terminolo gie II.3. Terminologie

II.3.1. II.3. 1. Rayon hydraulique S

c’est le paramètre de base pour caractériser la section droite: r h = L Avec :  S : l’aire de la section droite  L : le périmètre de cette section

II.3.2. Surface de remplissage C’est la surface qui rencontre la paroi du silo le l e long de la rive de remplissage.

II.3.3. Plan moyen de remplissage c’est le plan horizontal qui délimite le même volume de produit que la surface de remplissage, il est pris pour origine de l’abscisse de profondeur profondeur z. Considérant en général une surface de remplissage dont la rive de remplissage est située dans un plan horizontal. On désigne par h’ l’abscisse de profondeur de cette rive par rapport au plan moyen de remplissage. Dans les cas usuels où la surface de remplissage est un cône de révolution. Une pyramide régulière dont les lignes de plus grande pente font l’angle β avec le plan horizontal.


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Mémoire de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo On a :  Pour les silos de section circulaire ou polygonale régulière. h'  Pour

=

2 r tg ( β β ) 3 h

les silos de section rectangulaire de petit coté 2a est de grand coté 2b. h' =

a

6

a

(3 − )tg ( β ) b

gure 3. surface,plan moyen et rive de remplissage

II.3.4. Plan de base c’est le plan horizontal le plus profond coupant le silo suivant sa section courante. x Pour les silos à fond plat et horizontal, le plan de base est le plan constituant le fond du silo. x Pour les silos à trémies, dont la naissance est située dans un plan horizontal, le plan de base est ce plan horizontal. horizontal.

gure 4. Plan de base

II.3.5. Coordonnée relative On considère la section d’un silo au niveau du plan de base. On désigne par :  C : le contour de cette section  O : le centre de celle-ci  V : la projection sur le plan de base de l’ensemble des contours des orices de vidange du silo considéré. On appelle ξ le rapport d’homothétie d’homothétie (de centre O) qui fait correspondre correspondre au contour contour C le plus petit petit contour homothétique C’ qui contienne l’ensemble des contours V. ξ est la coordonnée relative du point de vidange le plus excentré.


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gure 5. coordonnée relative II.4.

Mode d’écoulement

II.4.1. II.4. 1. Écoulement en cheminée (ou écoulement central) Mode d’écoulement dans lequel se développe une voie d’écoulement de matière dans une zone connée au-dessus de l’orice de vidange, la matière adjacente à la paroi à proximité de cet orice restant en place. La voie d’écoulement peut atteindre la zone à parois verticales ou s’étendre jusqu’à la surface libre de la matière ensilée.

II.4.2. Écoulement interne Mode d’écoulement en cheminée dans lequel la voie d’écoulement atteint la surface libre de la matière ensilée.

II.4.3. Écoulement en masse Mode d’écoulement dans lequel toute la matière ensilée est mobilisée lors de la vidange.

gure 6. mode d’écoulement


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Mémoire de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo II.5.

Types de vidanges

II.5.1. Vidange normale La vidange d’un silo est dite normale lorsque les trois conditions suivantes sont remplies : x L’écoulement se fait exclusivement par gravité, sans insufation d’air. x Il n’existe à l’intérieur du silo aucune structure. x Le (ou les) orice (s) de vidange sont situés sur le fond. La coordonnée relative du point de vidange le plus excentré est inférieur ou égale à 0,4 Si l’une au moins de ces trois conditions n’est pas remplie. On se retrouve dans l’un des trois cas de vidange anormale.

II.5.2. Vidange géométriquement anormale Il y a vidange géométriquement anormale lorsque les deux premières conditions dénissant la vidange normale étant remplies, la troisième condition ne l’est pas, c’est-à-dire que la coordonnée relative du point de vidange le plus excentré est supérieure à 0,4.

II.5.3. Vidange mécaniquement anormale On désigne par vidange mécaniquement anormale une vidange qui, s’effectuant soit par le fond, soit par une paroi latérale à proximité immédiate du fond, est facilitée par l’insufation d’air sous pression.

II.5.4. Vidange structurellement anormale On désigne ainsi tout type de vidange qui fait intervenir une structure interne au silo, xe ou mobile. Nous en donnons ci-dessous trois exemples : x Les procédés à vidange par cheminée centrale, pourvue d’ouvertures à tous les niveaux. x Les procédés à vidange par petites ouvertures à très faible débits, situés sur le fond, l’évacuation des matériaux se faisant sans mise en mouvement de la masse, et le silo comportant un bras racleur qui égalise la surface supérieure. x Les procédés avec des éléments de la structure (poutraison ou plaque) en saillie (vers l’intérieur) par rapport à la surface interne (cylindrique) du silo. II.6.

Caractéristiques du produit ensilé

Les caractéristiques des matières ensilées sont très diverses, elles inuent considérablement sur les poussées d’équilibre. Les principales sont : x La masse volumique x L’angle de frottement interne x L’angle de frottement sur la paroi du silo.


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III. Exécution des travaux Les silos en béton sont construits en coulant le béton dans des coffrages classiques en bois ou en métal, ou dans des coffrages glissants. L’emploi de coffrages classiques ne pose pas de problèmes particuliers et nécessite simplement de respecter les règles technologiques d’emplois des coffrages, du point de vue de l’obtention des dimensions et de l’état de surface des parois pour que l’aspect de l’ouvrage soit convenable et qu’aucun défaut ne provoque le risque de retenir la matière ensilée à la vidange de celle-ci. La technique du coffrage glissant est particulière. Elle exige un grand entrainement, et des précautions minutieuses pour garantir la qualité du béton et l’état de surface des parois. III.1. Technique du

coffrage glissant

Avec le coffrage glissant le bétonnage est continu dans un seul coffrage qui s’élève avec la coulée du béton. Il s’agit là d’une mécanisation intégrale du coffrage. Une plate forme de travail est associée au coffrage en supprimant tout échafaudage. Dès qu’une première coulée a été effectuée sur une épaisseur sufsante et que la prise se fait sentir sur les parois, sans qu’elle affecte la masse du béton, on soulève l’ensemble à raison de 0,15 m en moyenne par heure. Il est indispensable que la pose des armatures précède de façon harmonieuse la coulée du béton pour que cette dernière soit continue. Chaque ascension élémentaire de quelques millimètres est assortie d’une descente d’amplitude sensiblement moitié, ce qui équivaut à une vibration et assure par ailleurs des parements particulièrement soignés, rendant tout enduit inutile.

gure 7. Etapes de construction à l’aide du coffrage glissant

III.1.1. Avantages Les principaux avantages sont les suivants : x Rapidité : à 0,10 m ou 0,15 m d’élévation par heure. x Economie d’échafaudage : quelle que soit la hauteur, aucun échafaudage extérieur n’est à prévoir, le coffrage portant sa ou ses passerelles de service. x Economie de main d’œuvre : du fait de la mécanisation du coffrage et de la desserte par passerelles bien appropriées des chantiers de coulage du béton et de pose des armatures. x Parements : soignés économisant les enduits, aucun appui n’étant demandé au béton frais pour le mouvement ascensionnel des coffrages et des passerelles, ce dernier ne subit pas de contrainte du fait de ce mouvement.

Exécution des travaux

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III.1.2. Différents systèmes de coffrages glissants Les systèmes de coffrages glissants varient suivant : x Les modalités d’appui de l’ensemble coffrage-plateforme de travail. x La conception du raidisseur de cet ensemble. x Les types de vérins assurant l’ascension. Quel que soit le système adopté, il faut qu’il s’oppose au phénomène de vrillage. Ce phénomène est dû à une rotation autour de l’axe vertical de l’ouvrage par le fait de déformation des appuis sous diverses dissymétries d’efforts, notamment des vérins. Il y est en général remédié par un bon centrage des efforts des vérins, par des moments antagonistes crées par des contrepoids ou par des inclinaisons appropriées de la plateforme de travail.

III.1.3. Appuis Les appuis peuvent être demandés : x Soit à des armatures incorporées au béton. x Soit à des barres spéciales récupérables logées dans des tubes incorporés au béton. x Soit à des poutres grimpantes accrochées au béton. x Soit à des ossatures en prolés ou tubes métalliques accolés au béton.

III.1.4. Vérins Les vérins peuvent être à levier, à vis ou hydrauliques : x Les vérins à levier ou à vis : ne sont applicables qu’à de petits ouvrages dans lesquels le poids de l’ensemble coffrage-plateforme est modéré et les dimensions de la section transversale de l’ouvrage relativement faibles Ils donnent souvent lieu au phénomène de vrillage, si on ne prend pas les précautions que nous avons suggérées plus haut. x Les vérins hydrauliques : lorsqu’ils sont commandés simultanément par une conduite unique, ne présentent pas cet inconvénient. Quel que soit le type de vérin employé, il doit comporter un dispositif de blocage sur les appuis immobilisant parfaitement les coffrages pendant la coulée du béton.

Exécution des travaux

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IV. Réparation et confortement des silos Le problème des silos est très spécique et complexe. Lors des calculs et de la conception d’un silo. Le non-respect d’une réglementation cohérente, la sous-estimation de l’importance de certains phénomènes encore mal connus de nos jours, voir une malfaçon lors de son exécution, peuvent amener à la réalisation d’un ouvrage « malade» à sa naissance. Les travaux de réparation d’un ouvrage ont pour but principal d’arrêter une évolution dommageable, de reconstituer l’intégrité du béton et de réaliser une protection efcace de la structure. La nature de la dégradation, et la durée de vie désirée pour l’ouvrage après sa réparation, conditionnent le choix de la solution. Nous nous proposons dans cette partie de lister les principaux procédés de réparation ou de confortement des bétons, ainsi que les précautions d’emploi à observer dans chaque cas particulier. IV.1.

Réparation des surfaces

Il s’agit ici essentiellement des traitements des microssures et des faïençages apparus sur des parois verticales ou dont l’inclinaison avec la verticale ne dépasse pas 30°. Parmi les procédés de réparation applicables à ce type de dégradation on peut citer :

IV.1.1. Traitement par peintures Bien que leur usage soit le plus souvent décoratif, les peintures assurent également une fonction de protection. Il existe plusieurs types de peintures classées selon leurs propriétés physicochimiques et leurs matières constitutives. On peut citer à cet effet: x Les peintures séchant par la seule évaporation du solvant. x Les peintures à plusieurs composants et durcissement chimique. x Les peintures en émulsion à siccatifs. x Les peintures à dispersion aqueuse. Leur application se fait le plus souvent en deux couches: une couche d’impression assurant la fonction isolante, hydrofuge, neutralisante, et une couche de nition donnant l’aspect esthétique et la couleur. Elles sont appliquées soit à la brosse, soit au rouleau soit par projection.

IV.1.2. Traitement par revêtement plastique épais Les revêtements plastiques épais sont constitués principalement d’un mélange de liants synthétiques, de granulats et de charges minérales inertes, avec ou sans pigments. Ils se distinguent des peintures par leur consistance assez pâteuse qui leur confère la faculté supplémentaire de cacher les défauts de surface. Préalablement à l’application de ce type de produit, les ssures sont traitées linéairement soit par mastic, soit par pontage. Leur mise en œuvre s’effectue au rouleau, soit à la taloche, soit par projection.

Réparation et confortement des silos

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IV.1.3. Traitement par revêtement d’imperméabilité Il s’agit de revêtements élasto-plastiques à base de polymère en dispersion aqueuse, constituant des épidermes utilisés pour assurer l’imperméabilisation de supports verticaux. Ce type de traitement convient parfaitement pour des faïençage ou microssures dont l’ouverture peut aller jusqu’à 0,2 mm. Sa mise en œuvre se fait en 3 couches: x Une couche pour la xation des fonds ou accrochages. x Une couche dite performante qui assure l’imperméabilisation. x Une couche de nition pour protéger la couche performante.

IV.1.4. Traitement par revêtement d’étanchéité Comme pour les revêtements d’imperméabilisation, les revêtements d’étanchéité sont également des produits élasto-plastiques à base de polymère en dispersion aqueuse avec la particularité de posséder en plus une armature en verre textile ou en bres continues. Leur efcacité s’étend ainsi pour des ssures dont l’ouverture peut aller jusqu’à 1 mm Il possède également une résistance mécanique beaucoup plus importante, leur permettant de supporter les contraintes de traction localement engendrées par les ssures actives. La mise en œuvre de ce type de traitement nécessite également 3 couches. IV.2.

Réparation par reconstitution du béton

Lorsque la dégradation d’un ouvrage n’intéresse pas seulement les surfaces, mais la profondeur même des parois, le recours à une réparation par reconstitution du béton s’impose. Si les armatures sont également atteintes, il convient d’apprécier l’importance de leur altération, an de se prononcer sur la nécessité ou non d’adjonction d’armatures supplémentaires. On pourrait distinguer ainsi deux types principaux de réparation : x Réparation sans adjonction d’armatures supplémentaires x Réparation avec adjonction d’armatures supplémentaires Les produits de réparation dans ce cas peuvent être classés en 2 types: x Les mortiers et bétons à base de liant hydraulique, comme les ciments purs ou les mortiers à base d’adjuvants ou résines. x Les mortiers et bétons à base de liant de synthèse comme les résines époxydiques ou polyuréthannes. Préalablement à toute mise en œuvre de mortier, il est souvent nécessaire d’appliquer une couche d’accrochage pour assurer sa bonne adhérence. Le béton support doit de son côté être préalablement débarrassé de toutes les parties non adhérentes par repiquage, bouchardage, brossage. L’adjonction d’armatures supplémentaires est le plus souvent nécessitée lorsque les aciers sont fortement corrodés ou coupés accidentellement, ou lorsque le renforcement de la structure s’impose. Cette adjonction pourrait se faire soit par jonction avec les armatures existantes soit par ancrage des armatures supplémentaires dans du béton existant sain.


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Mémoire de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo IV.3.

Réparation par béton projeté

La projection du béton peut se faire, soit par voie sèche, soit par voie mouillée. Dans l’un et l’autre cas, l’équipement suivant est nécessaire: x Une machine ou pompe où le mélange est introduit. x Une conduite de transport pour l’acheminement du mélange. x Une lance de projection xée à l’extrémité de la conduite. Dans le cas de la projection par voie sèche, le mélange granulats-ciment est introduit dans la machine à son humidité naturelle, puis transporté par de l’air comprimé jusqu’à la lance de projection où l’eau de gâchage est injectée. Pour la voie humide, le béton est introduit dans la machine où il est refoulé par pompage jusqu’à la lance où l’air comprimé nécessaire à la projection est introduit. Pour les travaux de réparation, la projection par voie sèche est recommandée, compte tenu de sa bonne adhérence sur les supports existants. Lorsqu’un renforcement de la structure est requis, il est associé au béton projeté des armatures qui sont généralement constituées de nappes posées au fur et à mesure de la projection. IV.4.

Réparation par injection

Ce type de réparation est généralement réservé aux ssures importantes, les faïençages ou microssures n’ayant besoin que d’un traitement de surface. Le produit d’injection est souvent choisi en fonction de l’importance (ouverture) et la nature des ssures (actives ou passives). On pourrait classer les méthodes de traitement en 3 grandes classes selon l’ouverture des ssures: x Les ssures d’ouverture supérieure à 10 mm, qui sont généralement traitées à l’aide de mortier à base de ciment avec éventuellement des adjuvants pour celles qui sont passives et à base de rejointement souple pour les actives. x Les ssures d’ouverture comprise entre 1 et 10 mm qui sont traitées à l’aide de coulis en ciment, soit purs, soit additionnés à des produits tels que charges, résine ou minéraliseurs, ou à l’aide de résines chargées. x Les ssures d’ouverture comprise entre 0,5 et 3 mm qui sont injectées à l’aide de produits à base d’époxydes, de polyuréthane ou d’acryliques. Dans tous les cas de traitement, les ssures doivent être soigneusement préparées et leurs lèvres séchées à l’air comprimé avant leur injection. IV.5.

Renforcement par adjonction d’élément de structure

Les structures additionnelles peuvent être de différentes natures: x Section de béton, armé ou non, accolée à la section existante. x Structures métalliques porteuses associées à la structure existantes par des liaisons mécaniques x Armatures passives par plats métalliques, solidarisées par collage à la structure existante. x Armatures actives appliquant à la structure existante, une précontrainte destinée à lui apporter des efforts extérieurs renforçant sa résistance. Les techniques de plats collés et de précontrainte additionnelle étant les plus courantes pour les confortements des silos.


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V.

Conception de l’ouvrage V.1.

Géométrie générale du silo

gure 8. Géométrie du silo V.2.

Eléments structuraux du silo

V.2.1. La Paroi circulaire Elle est d’épaisseur constante sur toute la hauteur dans le but de facilité la procédure du coffrage. les principales charges appliquées sur la paroi sont celles dues à la matière ensilée (ciment) notamment les pressions horizontales et les contraintes de frottement. Nous allons calculé ces charges à l’aide de l’Eurocode 1 partie 4. En calculant la pression horizontale maximale, nous allons établir un prédimensionnement de l’épaisseur, qui va être vérier avec le logiciel Effel.

V.2.2. Le cône central Il est composé de 16 dalles trapézoidales préfabriquées, destiné à supprter le poids du ciment stocker et l’acheminer vers des conduites de vidange à travers 4 trémies rectangulaires. L’épaisseur des dalles sera déterminé avec Effel, en exploitant les résultats des contraintes. Conception de l’ouvrage

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gure 9. Paroi préfabriqué du Cône

À défaut de méthode de calculs pour le cône inversé dans l’Eurocode 1 partie 4, nous allons utilisé les règles professionnelles de conception et de calcul des silos en béton (juillet-août 1986) de l’ITBTP.

V.2.3. La poutre couronne Elle a pour rôle de transférer les charges appliquées sur le cône vers la jupe inférieure.

gure 10. Transmission des charges dans la poutre couronne

V.2.4. La jupe inférieure Elle supporte l’ensemble des charges verticales du silo, ces charges sont distribuées équitablement dans la circonférence du silo puis transférées vers les fondations, c’est l’un des avantages des silos à cône central inversé. L’épaisseur est déterminée comme indiqué dans les parois du cône.

Conception de l’ouvrage

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VI. Hypothèses de calcul VI.1.

Propriétés de la matière ensilée

tableau 1. Caractéristiques de la matière ensilée

On observe dans le tableau que pour chacune des caractéristiques, une fourchette de variation est dénie : x Pour le poids volumique, au moyen d’une valeur inf et d’une valeur sup, pour le calcul des pressions on utilise toujours la valeur sup. x Pour l’angle de frottement interne, le rapport de pression latérale et le coefcient de frottement, au moyen d’un coefcient de variation a : la valeur sup est obtenue en multipliant la valeur moyenne par a , la valeur inf en divisant la valeur moyenne par a. Les valeurs « sup » et « inf » des différentes caractéristiques du matériau sont combinées de façon différente suivant l’effet qu’on cherche à rendre maximal :

tableau 2. Valeur des propriétés à utiliser pour les évaluations des divers chargements des parois

Hypothèses de calcul

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Mémoire de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo Les valeurs inférieures et supérieures des différentes caractéristiques du ciment sont données par le tableau suivant :

Valeur Inférieure Valeur Supérieure

Coefcient de frottement µ 0,477 0,546

Rapport de pression latérale K 0,450 0,648

Angle de frottement interne i 24,6° 36,6°

tableau 3. valeurs inf et sup des caractéristiques de la matière ensilée VI.2.

La classe de abilité

tableau 4. Classication recommandée des silos pour les évaluations d’action

La capacité du silo étudié est de plus de 10 000t, donc sa classe d’évaluation d’actions est la classe 3. VI.3.

La classe de rugosité des parois

tableau 5. Dénition des surfaces de paroi

La paroi de notre silo est caractérisée par un béton brut de décoffrage donc elle est de catégorie D 3. Hypothèses de calcul

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Mémoire de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VI.4.

Type du silo

Le plan de base est située à la cote +15,90 et le plan moyen de remplissage à +50,00 Ainsi h c = ( 50 − 15,9 ) = 34,1m et on a d c = 16m donc h c =2,13>2 dc On déduit que le silo est élancé VI.5.

Mode d’écoulement

Le mode d’écoulement dépend du coefcient de frottement sur la paroi μ et de l’inclinaison de la trémie α

gure 11. diagramme de dénition du mode d’écoulement

Dans notre cas : α=60°, et μ=0,51 ce qui implique un écoulement en cheminée. VI.6.

Dispositions constructives minimales

VI.6.1. Epaisseur minimale des parois L’épaisseur de la paroi ne doit pas être inférieure à celle xée par les règles spéciques au procédé de coffrage glissant (on prend en générale une épaisseur minimale de 15 cm)

VI.6.2. Armatures x

Disposition :

Les armatures verticales et les armatures horizontales sont, de préférence, réparties en deux nappes, une près de chaque face de la paroi. La nappe intérieure ne doit pas comporter plus de la moitié de la section totale des armatures horizontales. x

Pourcentage minimale :

Le pourcentage total d’armatures de chaque direction pour l’ensemble des deux faces, doit être au moins :  0,20% pour des aciers de classe Fe40 ou supérieure  0,35% pour des aciers de classe inférieure. Le rapport entre section des armatures secondaires et des armatures principales ne doit pas être inférieur à 1/4.


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Mémoire de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo x

Pourcentage maximale :

Dans la partie courante de la paroi, la section totale des armatures de chaque direction rapportée à la section de la paroi doit être inférieure à 2% x

Espacement maximale :

L’espacement maximal doit être limité en fonction de l’épaisseur de la paroi. Il est recommandé de ne pas dépasser pour les aciers verticaux un espacement égal à la plus grande des deux valeurs : l’épaisseur de la paroi et 20 cm. x

Recouvrement :

La proportion des barres en recouvrement dans une même section ne doit pas être supérieure:  à 1/3 dans les sections soumises à la traction (avec exion d’excentricité M/N inférieure à 0,5e)  à 1/2 dans les sections soumises à la exion (avec traction (M/N supérieure à 0,5e) ou compression)

VI.6.3. Position du câble de précontrainte L’axe théorique des câbles horizontaux doit se trouver en général dans le tiers extérieur de la paroi.

VI.6.4. Disposition des ancrages Les ancrages de précontrainte horizontale sont disposés en général selon des nervures verticales. Il est recommandé de prévoir au moins trois nervures équidistantes.

VI.6.5. Enrobage La distance entre la génératrice extérieure de l’armature la plus proche de la surface libre du béton et celle-ci doit être au moins égale à 2 cm. VI.7.


Paramètre Résistance caractéristique à la compression du béton à 28 jours f c28 Résistance à la traction du béton f t28 Limite d’élasticité des aciers passifs Limite d’élasticité des aciers actifs Fissuration Taux du travail du sol à l’ELS Enrobage Température minimale de l’air extérieur Température maximale de l’air extérieur Température de référence du ciment


Valeur 33 MPa 2,58 MPa 500 MPa 1860 MPa Préjudiciable 30 T/m2 3 cm 25ºC 45ºC 100ºC

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VII. Etude de la 1ère variante : calcul en béton armé VII.1.

Action à prendre en compte

Les actions à prendre en compte sont celles dues aux :

VII.1.1. Charges Permanentes :  poids propre  poids des superstructures.  Charge d’étanchéité sur la couverture. x D’exploitation :  poussée de la matière ensilée au remplissage et à la vidange  charge de la poussière sur la couverture x Climatiques :  vent. x

VII.1.2. Déformations imposées x

VII.2.

Effets de la température extérieure et intérieure

Combinaisons d’actions

Les combinaisons d’actions suivantes sont à considérer :

VII.2.1. Vis-à-vis des états-limites ultimes de résistance (C1) = 1,35 G + 1,5 Q + W’ + T (C2) = G + 1,5 Q + W’ + T (C3) = G + 1,5 W’ + 1,3 Q + T

VII.2.2. Vis-à-vis des états-limites de service (C5) = G + Q + W + T Dans les expressions qui précèdent : G, W, W’, Q, T désignent respectivement les valeurs nominales des :  Charges permanentes : G  Charges

climatiques : W, W’  Charges d’exploitation : Q  Déformation imposées : T En ce qui concerne la valeur nominale des charges climatiques (W ou W’), elle est déterminée comme suit :  Vis-à-vis des états-limites ultimes de résistance : W’ = 1,2 V  Vis-à-vis des états-limites de service : W = V (V étant la charge normale des règles NV 65)

Etude de la 1ère variante : calcul en béton armé

29

Mémoire de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VII.3.

Contraintes admissibles

VII.3.1. VII.3. 1. Contrainte limite de compression de béton A L’ELS : La contrainte de compression du béton à l’ELS est limitée à 0,6f c28 Soit une valeur de 19,8 MPa x A L’ELU : La contrainte limite ultime du béton est donnée par la formule suivante : 0,85 f c 28 x

γ b

×ψ b

Avec :  

1, 5 pour T< 100ºC ψ b = 1 T -100 pour 100ºC
=

On trouve une valeur de 18,7 MPa

VII.3.2. Contrainte admissible de traction des armatures La ssuration est considérée comme préjudiciable, donc la contrainte admissible de traction des armatures sous sollicitations de service, est égale : σ s

=

2 min ( f e ;110 η f t 28 ) 3

Avec :  η : est le coefcient de ssuration de l’armature utilisée (égale à 1,6 pour l’acier HA500) La contrainte limite est donc égale à : 223,5 MPa

Etude de la 1ère variante : calcul en béton armé

30

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VII.4.

Etude de la paroi

VII.4.1. VII.4. 1. Calcul des poussées sur la paroi VII.4.1.1. Notation x

Géométrie :

hc : distance entre le plan de base et le plan moyen de remplissage. dc : diamètre de la section droite. r : rayon de la section droite. t : épaisseur de la paroi. htp : distance verticale entre la rive de remplissage et le sommet de la surface de remplissage. h0 : distance verticale entre la rive et le plan moyen de remplissage. hh : hauteur de la trémie. z : profondeur profondeur en dessous du du plan moyen de remplissage. β : angle d’inclinaison de de la trémie par rapport à la verticale. α : angle d’inclinaison de la trémie par rapport à l’horizontale. Φr : angle de talus naturel.

x

gure 12. Notation : géométrie

excentricités :

et : excentricité à partir du sommet de la surface de remplissage. ef : excentricité maximale due au remplissage. eo : excentricité à partir du centre de l’orice de sortie.

x

Pressions :

Ph : pression horizontale due à la matière ensilée. Pw : contrainte de frottement sur la paroi verticale. Pv : pression verticale due à la matière ensilée. Pn : pression normale à la paroi de la trémie inclinée.

gure 13. Notation : excentricités

Pt : contrainte contrainte de frottement sur la trémie. x

Section transversale :

A : aire intérieure de la section droite. U : périmètre intérieur de la section droite.

gure 15. Notation : Pressions gure 14. Notation : section transversale

Etude de la paroi

31

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VII.4.1.2. Actions au remplissage » Actions

symétriques :

x

Pression horizontale : Phf ( z ) = PhoY j (z )

x

Contrainte de frottement sur la paroi : Pwf ( z ) = µ PhoY j (z )

x

Pression verticale : Pvf ( z ) =

P ho K

Y j (z )

Avec :  Pho = γ K  z 0

z 0

1 A

=

K µ U − z z 0  Y j ( z ) =1 − e

La force verticale résultante dans la paroi P W(z), par unité de longueur de périmètre, agissant à toute z profondeur z, est est : Pw ( z ) = ∫Pwf ( z ) dz = µ Pho  z − z0YJ ( z )  0

gure 16. actions symétriques au remplissage sur la paroi » Actions

localisées :

Les actions localisées P Pf doivent être utilisés pour représenter des asymétries accidentelles de la charge associée à des excentricités et des imperfections dans le processus de remplissage. Pour les silos circulaires de classe 3, ces actions sont données par : P pf =C pf P hf Avec : C pf = 0, 21C op 1 + 2E  (1 − e Où : 2

 E = 2  Cop :

−1,5[

hc d c

−1]

)

e f

d c

est le facteur f acteur de référence de l’action localisée pour le produit ensilée = 0,5

Etude de la paroi

32

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VII.4.1.3. Actions à la vidange » Actions

symétriques :

Pression horizontale : Phe ( z ) =C h Phf ( z ) x Contrainte de frottement sur la paroi : Pwe ( z ) =C w Pwf ( z ) Avec :  Ch : est le facteur d’amplication de la pression horizontale à la vidange = 1,15  Cw : est le facteur d’amplication de la contrainte de frottement sur la paroi à la vidange = 1,10 x

La force verticale résultante dans la paroi P W(z), par unité de longueur de périmètre, agissant à toute profondeur z, est : z PW ( z ) = ∫Pwe ( z ) dz = C w µ Pho [(z − z 0 )Y j ( z )] 0 Nous avons : Ch=1,15 et Cw=1,10 Donc : Phe (z)= 1,15 Phf (z) Pwe (z)= 1,10 Pwf (z) » Actions

localisées :

Pour ce cas les actions localisées sont données par : P pe

Avec :  C pe

= 0, 42C op 1 + 2E 2  (1 − e

 E =

2

−1,5[

hc d c

−1]

=

C pe P he

)

e

d c

Où : e

= max (ef ,e0)  Cop : est le facteur de référence de l’action localisée pour le produit ensilée = 0,5 VII.4.1.4. Actions à la vidange avec un grand excentrement

Nous avons eo=5,75 m > e o,cr = 0,25 d c=4 m Donc, on considère trois valeurs du rayon du ux d’écoulement :  r c1=k 1 r  r c2 =k 2 r  r c3 =k 3 r Avec : k 1=0,25 ; k 2=0,4 et k 3=0,6

Etude de la paroi

33

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo

1 – zone statique hors zone d’écoulement 2 – matériau immobile 3 – zone statique proche de la zone d’écoulement 4 – ux d’écoulement 5 – zone d’écoulement

gure 17. Flux d’écoulement de la vidange excentrée et distribution de pression (

Géométrie : * L’excentricité du ux d’écoulement est déterminée par la relation suivante : ec = r [η (1 − G ) + (1 − η ) 1 − G ] Avec : 

G

=

 η =

r c r

=

0,25 ;0,4ou 0,6

0,477 tan ( ∅isup ) tan(36, 6°) µ inf

=

=

0,64

* La longueur angulaire du contact de la cheminée d’écoulement avec la paroi est calculée à partir de la formule suivante : 2 2 2 r + ec − r c cos θ c = 2 r ec * La longueur de l’arc de contact entre la cheminée d’écoulement et la paroi est :

U wc

=

2θ c r

* La longueur de l’arc de contact entre la cheminée d’écoulement et la partie statique est :

U sc = 2 r c (π − Ψ)

Avec : r sin Ψ = sin θ c r c

Où θc et Ψ en radian * L’aire de la section droite de la cheminée d’écoulement est : Ac = ( π − Ψ ) rc2 + θc r 2 − rr c sin( Ψ − θ c )

Etude de la paroi

34


(

Pression : * Zone d’écoulement : z −   z   Pression horizontale : Phce ( z ) = Phco  1 − e   0c



 Contrainte



de frottement sur la paroi : Pwce ( z ) = µ Phce ( z ) = µ Phco

Avec : Phco = γ K z oc z oc

=

1

Ac

(

K U wc µ + U sc

tan ∅i

z −  z 0 1 − e  

c

   

)

* Zone statique hors zone d’écoulement :  Pression horizontale : P hse = P hf  Contrainte de frottement sur la paroi : P wse

=

P wf

* Zone statique proche de la zone d’écoulement :  Pression horizontale : Phae = 2 Phse − P hce  Contrainte de frottement sur la paroi : Pwae

=

µ P hae

VII.4.1.5. Tableaux récapitulatifs des actions appliquées sur la paroi x

au remplissage : z −   12,94 Phf = 14, 65  1 − e    

Pression horizontale (T/m ) 2

  

Contrainte de frottement (T/m )

Pwf = 6, 4 1 − e

2

−

  

z

11,31

z −   18,63 Pvf = 29, 82  1 − e    

Pression verticale (T/m ) 2

tableau 6. Poussées au remplissage x

à la vidange :   

Pression horizontale (T/m )

Phe = 20,83  1 − e

2

  

Pwe = 7, 04  1 − e

Contrainte de frottement (T/m ) 2

−

−

z

12,94

z

11,31

  

  

tableau 7. Poussées à la vidange x

à la vidange excentrée: * Zone d’écoulement : k 1=0,25   

Pression horizontale (T/m 2)

Phce = 2, 21 1 − e

Contrainte de frottement (T/m ) 2

Pwce

−

z

3,07

k2=0,4   

z −   = 1, 05  1 − e 3,07     



Phce = 3, 60  1 − e



Pwce

k3=0,6 z

−

5

  

z −   = 1, 72  1 − e 5   

  

Phce = 5, 49  1 − e

Pwce

−

z

7,63

  

z −   7,63 = 2, 62  1 − e    

tableau 8. Poussées à la vidange excentrée

Le calcul détaillé des différents types d’actions ainsi que les diagrammes représentatifs des poussées en fonction de la profondeur sont présentés dans la partie «ANNEXES».

Etude de la paroi

35


VII.4.2. Prédimensionnement de l’épaisseur de la paroi L’épaisseur de la paroi est déterminée en fonction de la plus forte poussée horizontale et sera constante sur toute la hauteur pour faciliter le coffrage du béton, elle est donnée par l’expression suivante : e≥

d c .P h ,max

2 f t 28

Nous avons : Ph,max=19,47 T⁄m2 f t28=0,6+0,06 f c28=2,58 MPa On trouve :

e=60 cm

VII.4.3. Effet de la température VII.4.3.1. Calcul du gradient thermique

gure 18. Gradient thermique

Te : Température minimale de l’air extérieur 25ºC Tai : Température maximale du volume d’air conné Tsi : Température maximale dans la masse du matériau stocké (

Détermination de Tai et Tsi :

Dans notre cas de ciment, on a : Tai = 0,72 TR = 72ºC Tsi = 0,90 TR = 90ºC Avec : TR : température de référence du ciment = 100ºC (

Détermination de ∆t= ti-te :

Le transfert de chaleur s’opère de deux façons :

Etude de la paroi

36

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo * Zone de la paroi en contact avec l’air irradié :

Le ux unitaire, constant, s’exprime : T ai − t i

t i −te e

=

1

=

ht λ b En amont au travers

t e −T e

1

he en aval de la paroi

Avec : λ b : Coefcient de conduction du béton, 1,75 W/m.ºC 1

: Résistance surfacique interne de la paroi, 0,11m 2.ºC/W 1 2 : Résistance surfacique externe de la paroi, 0,06m .ºC/W h e : Épaisseur du béton de la paroi, exprimée en mètre. hi

e

D’où : t i − t e = ∆t = (T ai −T e )

e

0,30 + e

Le gradient thermique vaut dans ce cas : ∆t = T ai −T e 0,30 + e e AN : ∆t

=

e

72 − 25 = 52,22 ºC/m 0,30 + 0,6

* Zone de la paroi en contact avec le matériau ensilé :

De façon similaire : T si − t i

=

1

h s En amont

t i −te e

=

λ b au travers

t e −T e

1

he en aval de la paroi

Avec : 

1

h s

: Résistance de l’isolation ctive constituée par le matériau, au voisinage de la paroi 0,51m 2 ºC/W

Il en résulte : t i − t e = ∆t = (T si −T e )

e

1,00 + e

Le gradient thermique vaut dans ce cas : AN : ∆t e

Etude de la paroi

=

∆t T si −T e e

=

1,00 + e

90 − 25 = 40,63 ºC/m 1, 00 + 0, 6

37

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VII.4.3.2. Moment crée par le gradient thermique

Le moment (par unité de hauteur et de largeur) crée par le gradient thermique est : α ∆t E I M ∆t = ho Relation dans laquelle : α=10-5 : Coefcient de dilatation thermique du béton E : module de déformation à prendre en compte I : moment d’inertie (par unité de hauteur ou de largeur) de la paroi ho : épaisseur de la paroi en béton Le calcul du moment thermique est effectué dans le cas de la exion simple ou de la exion composée, une partie de la section étant comprimée : Donc : E = Ev : module de déformation différée du béton 3 3 h0 I = max(id ; ) 12 Où d est la hauteur utile de la section et i : coefcient dépendant du pourcentage d´acier A/bd, où A est la section d´aciers tendus sur la longueur b. Il est loisible d’adopter : 7A  Pour A/bd < 0,01 : i = 0.01 +  Pour

A/bd > 0,01 : i = 0.04 +

bd 4A bd

On prend : A/bd = 0,8 % Donc on trouve id3=1,42.10-2 m4  3 h 03  −2 4 I = max  id ;  = 1,8.10 m 12    1  

E = Ev = 3700 fc28  3  = 11867,87 MPa

Finalement, le moment crée par le gradient thermique est égale à: x Au contact de l’air irradié : M = 0,11 MN.m ∆t x Au contact du ciment : M = 0,087 MN.m ∆t

Etude de la paroi

38


VII.4.4. Effet du vent VII.4.4.1. Données du projet

Caractéristiques de la structure : * Hauteur : 54 m * Diamètre : 17,20 m ( Caractéristiques du vent : * Région de vent : zone 5 * Site de vent : exposé * Catégorie : V Les calculs serons effectués conformément aux règles NV65, ainsi peut-on dénir l’effort du vent donné par l’expression suivante : (

q=q10×K m×K s×K h×δ×(Ce-Ci)×β

Où  q10 pression

dynamique de base à 10 m à partir du sol.  K h est un coefcient correcteur du à la hauteur au dessus du sol.  K s est un coefcient qui tient compte de la nature du site ou se trouve la construction considérée.  K m est le coefcient de masque.  δ est un coefcient de réduction des pressions dynamiques, en fonction de la plus grande dimension de la surface offerte au vent.  Ce et Ci sont les coefcients de pression extérieure et intérieure  β : coefcient de majoration dynamique VII.4.4.2. pression dynamique de base q10

Les pressions dynamiques de base normales et extrêmes sont celles qui s’exercent à une hauteur de 10 m au-dessus du sol, pour un site normal, sans effet de masque sur un élément dont la plus grande dimension est égale à 0,50 m et leurs valeurs varient avec les régions.

tableau 9. Pression dynamique de base -zone 5VII.4.4.3. Variation de la pression dynamique de base x

Effet de la hauteur au-dessus du sol K h:

Pour des hauteurs comprises entre 0 et 500m à partir du sol, la pression dynamique de base est multipliée par un coefcient K h qui est dénit par la formule suivante :  H + 18  K h = 2,5   =1,58 H + 60   où H=54 m

Etude de la paroi

39

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo x

Effet de site K s:

A l’intérieur d’une région à laquelle correspond des valeurs déterminées des pressions dynamiques de base, il convient de tenir compte de la nature du site d’implantation de la construction en multipliant les pressions dynamiques de base par le coefcient K S qui est le coefcient d’augmentation pour les sites exposés comme les littoraux et les vallées étroites et de réduction pour les sites protégés comme le fond d’une cuvette bordée de collines sur tout son pourtour. Les valeurs du coefcient du site sont données sur le tableau suivant:

tableau 10. valeurs du coefcient du site

Pour notre cas, nous avons : K s=1,2 x

Effet de masque K m :

Il y a effet de masque lorsque la construction envisagée est masquée et protégée par d’autres constructions ayant une grande probabilité de durée. Pour notre cas, le silo est considéré comme isolé donc : K m = 1 x

Effet des dimensions δ :

Les pressions dynamiques s’exerçant sur les éléments constitutifs d’une construction doivent être affectées d’un coefcient de réduction δ fonction de la plus grande dimension (horizontale ou verticale) de la surface offerte au vent (maître ou couple) intéressant l’élément considéré et de la cote H du point le plus haut de cette surface.

gure 19. Coefcient de réduction des pressions dynamiques

Nous avons H ≥ 50 m et la plus grande dimension de la surface offerte au vent est égale 17,20m Donc δ=0,9

Etude de la paroi

40


Perméabilité des parois :

Une paroi a une perméabilité au vent de µ % si elle comporte des ouvertures de dimensions quelconques dont la somme des aires représente µ % de son aire totale. D’après le degré de perméabilité des parois, les Règles considèrent trois types de constructions. Une construction est dite : ( Fermée : si ses parois présentent des fuites et des petites ouvertures uniformément réparties, la perméabilité moyenne de ces parois étant inférieure ou égale à 5 % ( partiellement ouverte : si l’une des parois au moins présente ou peut présenter à certains moments une perméabilité moyenne comprise entre 5 et 35 % ; ( ouverte : si l’une des parois au moins présente ou peut présenter à certains moments une perméabilité égale ou supérieure à 35 %. Pour notre cas, nous avons μ=2,75 % Donc le silo est considéré comme fermé x

Réduction maximale des pressions dynamiques de base :

Pour les constructions dénitives, la totalité des réductions autorisées par les règles concernant l’effet de masque et l’effet de dimensions ne doit, en aucun cas, dépasser 33%. Ce qui est vérié (10%) x

Majoration dynamique β :

Pour tenir compte de l’effet des actions parallèles à la direction du vent, les pressions dynamiques normales servant au calcul de l’action d’ensemble sont multipliées par un coefcient de majoration, ce coefcient est donné par la formule : β=θ(1+τ.ξ) * Coefcient de réponse ξ :

Il est donné en fonction de la période T :

gure 20. Coefcient de réponse

Etude de la paroi

41

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo Avec : T

=

Où :

1,79h 2

P gEI

h

: est la hauteur du silo => h = 54 m  P : son poids propre par unité de hauteur => P = 312,9 T⁄m 1 4 4 3 4  I : le moment d’inertie de sa section => I = π ( Rext − R int ) = 34,53.10 m 2  E : le module d’élasticité du béton => E=35 GPa  G : accélération de la pesanteur => g=9,78 m/s 2 Donc on trouve : T=0,085s Ainsi en utilisant le graphe ci-dessus on obtient : ξ=0,085 * Coefcient de pulsation τ :

Il dépend de la hauteur H de la structure: Pour H=54 m => τ = 0,294 * Coefcient θ:

Le coefcient θ dépend du type de la construction, dans notre cas il s’agit d’une construction circulaire donc : θ=1 Ainsi la majoration dynamique vaut : β=θ(1+τ.ξ)=1,025 VII.4.4.4. Actions statiques exercées par le vent x

Rapport de dimensions λ :

λ = h/d = 3,14 x

Coefcient global de traînée ct :

Pour un rapport de dimensions quelconque, le coefcient global de traînée a pour valeur : ct =γ cto

tableau 11. Coefcient de trainée -catégorie V-

Nous avons d ≥ 0,28 donc c t0= 0,55

Etude de la paroi

42


Coefcients γ :

Nous avons λ = 3,14 => γ = 1,013 Ainsi Coefcient global de traînée c t vaut : ct = 0,557

x

Actions extérieures Ce:

Le coefcient de pression C e à prendre en compte dans une section diamétrale est donné par le diagramme ci-dessous en fonction du coefcient et de l’angle d’inclinaison de la surface plane ou du plan tangent à la surface courbe sur la direction du vent.

α 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

face au vent -0,84 -1,04 -1,08 -0,8 -0,4 0 0,35 0,7 0,92 1

Ce face sous le vent -0,84 -0,6 -0,42 -0,35 -0,34 -0,34 -0,34 -0,34 -0,34 -0,34

tableau 12. valeurs du coefcient de pression extérieure

gure 21. diagramme du coefcient de pression extérieure du vent-Catégoerie V-

Etude de la paroi

gure 22. Diagramme sous forme polaire des coefcients des pressions extérieures

43


Actions intérieures Ci:

tableau 13. Coefcient de pression intérieure

Nous avons : ct = 0,557 Donc : x Pour la surpression : C = 0,326 i x Pour la dépression : C = -0,326 i Cr =(Ce-Ci) α 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

surpression face au vent face sous le vent -1,17 -1,17 -1,37 -0,93 -1,41 -0,75 -1,13 -0,68 -0,73 -0,67 -0,33 -0,67 0,02 -0,67 0,37 -0,67 0,59 -0,67 0,67 -0,67

dépression face au vent face sous le vent -0,51 -0,51 -0,27 -0,27 -0,09 -0,09 -0,02 -0,02 -0,01 -0,01 -0,01 -0,01 -0,01 -0,01 -0,01 -0,01 -0,01 -0,01 -0,01 -0,01

tableau 14. Valeurs du coefcient résultant Cr =Ce-Ci

On remarque que la valeur de C r = Ce-Ci qui donne l’effet le plus défavorable est C r = -1,41 Donc l’effort du vent est: q=120×1×1,2×1,58×0,9×1,025×-1,41=-296 kg/m2

Etude de la paroi

44


VII.4.5. Calcul du ferraillage de la paroi VII.4.5.1. Données générales  Rayon

de courbure : a=8,3 m  Hauteur de la paroi : h=38 m  Epaisseur de la paroi : t=0,6 m  Plan moyen de remplissage : z=4 m  Coefcient de poisson : ν=0,15

gure 23. Notations : géométrie de la paroi VII.4.5.2. Défnition des charges

Charges permanentes : * Poids propre de la couverture : 3,88 T/ml * Poids propre de la paroi : 0,6×2,5 z= 1,5 z (T/ml) ( Charges d’exploitation à la vidange : z − 4 z − 4 * Pression horizontale : − − 12,94 7,63 + 5,5e x Pour z>4 m : Phe = 21,34 − 26,84e x Pour z<4 m : P = 0 he (

z − 4 z − 4 * Pression de frottement : − − 12,94 7,63 − 20,18e x Pour z>4 m : Pwe = −146,09 + 10,18 z + 166, 27 e x Pour z<4 m : P = 0 we * Pression du vent : Pv = 0,52 T / m2

VII.4.5.3. Calcul des sollicitations à l’ELS (

Equation d’équilibre de la paroi : d 4w dx

+

4

4 C

4w

=

1 D

ν

(P + N ) a

Avec :  W : déplacement radial  C

=

1 4

3 (1 −ν 2 )

at = 1,705

et

D

=

E t 3

12 (1 −ν 2 )

La solution de cette équation s’écrit sous la forme : Dw

Etude de la paroi

=

Dw

+

Af 1 (ξ ) + Bf 2 (ξ ) +Uf 1 (η ) +V f 2 (η )

45

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo Avec :  A, B, U, V : constantes à déterminer par les conditions aux limites C 4 ν − z z (P + N ) ; η = 38  Dw = ; ξ = ; 2 (ξ ) = e −ξ sin ( ξ ) ; f 1 (ξ ) = e −ξ cos (ξ ) 4

a

C

C

Nous avons : z − 4 z − 4 − − 12,94 7,63 + 5,5e z −4  Pour z>4 m : P ( z ) = 21,86 − 26,84e z − 4 − − 12,94 7,63 N ( z ) = −142, 21+ 11, 68 z + 166, 27 e − 20,18e  Pour z<4 m : P ( z ) = 0 N ( z ) = 3, 88 + 1, 5 z Ainsi : 1,705 ξ − 4 1,705 ξ − 4 − − 12,94  Pour ξ >2,35 m : Dw = −50,77 − 0,75 ξ + 50,37 e −10,85e 7,63  Pour ξ <2,35 m : Dw = − 0,15 − 0,102ξ (

Sollicitations internes et rotation :

Elles sont données par les relations suivantes : cD ϕ = cD ϕ − Af 3 (ξ ) + Bf 4 (ξ ) + Uf 3 (η ) −V f 4 (η )

c 2 M z = c 2 M z − 2[ A f 2 (ξ ) − Bf 1 (ξ ) + Uf 2 (η ) −V f 1 (η )] c 3T z = c 3T z − 2[ A f 4 (ξ ) + Bf 3 ( ξ ) −Uf 4 (η ) −V f 3 (η )] a c 3 N ψ = c 3 N ψ − 4 [A f 1 (ξ ) + Bf 2 ( ξ ) + Uf 1 (η ) +V f 2 (η ) ] c

Avec : f 3=f 1+f 2 ; f 4=f 1- f 2 Les termes particuliers s’obtiennent à partir des relations :  Pour ξ <2,35 m : cD ϕ = Dw ' = −0,102 c 2 M z = − Dw '' = 0 c 3T z = − Dw ''' = 0 3 3 c N ψ = − Pac = 0

 Pour

ξ >2,35 m : cDϕ = Dw' = 0,75 − 6,55 e−0,13ξ +0,309 + 2,39 e−0,22ξ +0 ,52 c 2 M z = − Dw'' = −0,85 e −0,13ξ + 0,31 + 0,52e−0,22 ξ +0,52

− 0,11e−0,22 ξ +0,52 c 3 Nψ = − Pac 3 = 899,3 − 1104, 2 e−0,13ξ + 0,31 + 226, 27e−0,22ξ + 0,52 c3 T z = − Dw''' = 0,11e

(

−0,13ξ +0,31

Conditions de bord :

* Pour z=0 : Mz= 0 = 0+2B Tz= 0 = 0-2(A+B) Donc : A=0 et B=0 * Pour z=38 m : w= 0 =Dw(z=38m)+U=-30,54+U φ=0=cDφ(z=38m) +U-V=0,29+U-V Donc : U=30,54 et V=30,83

Etude de la paroi

46

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo Nous obtenons ainsi les résultats suivant : z 0 2 4 5 7 9 10 12 14 15 17 19 20 22 24 25 27 29 30 32 34 35 37 38

ξ 0,00 1,17 2,35 2,93 4,11 5,28 5,87 7,04 8,21 8,80 9,97 11,14 11,73 12,90 14,08 14,66 15,84 17,01 17,60 18,77 19,94 20,53 21,70 22,29

η 22,29 21,11 19,94 19,35 18,18 17,01 16,42 15,25 14,08 13,49 12,32 11,14 10,56 9,38 8,21 7,62 6,45 5,28 4,69 3,52 2,35 1,76 0,59 0,00

Mz 0,00 0,00 0,00 -0,11 -0,11 -0,11 -0,10 -0,10 -0,09 -0,08 -0,08 -0,07 -0,06 -0,06 -0,06 -0,05 -0,01 0,11 0,15 -0,38 -2,88 -4,26 3,34 21,19

Tz 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,04 0,07 0,00 -0,68 -1,65 -0,78 11,52 24,79

Nψ -4,32 -4,32 -4,32 -14,28 -34,48 -52,62 -60,94 -76,20 -89,71 -95,86 -107,04 -116,85 -121,29 -129,32 -136,36 -139,58 -145,42 -149,97 -151,25 -151,75 -160,10 -178,03 -257,18 -285,56

tableau 15. Sollicitations internes dues aux poussées sur la paroi VII.4.5.4. Calcul des sections des cerces

Nous avons déterminé la section d’armature des cerces en utilisant le logiciel «Robot Expert BA», avec une section soumise à l’effort de traction Nψ et le moment thermique M T : On procédra par tranche de 5m, nous obtenons les résultats suivants : tranche Ath(cm2/ml) 0->5 7,7 5->10 24,4 10->15 38,4 15->20 48,6 20->25 55,8 25->30 60,6 30->35 71,2 35->38 80,5 tableau 16. section des cerces de la paroi

Etude de la paroi

47

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VII.4.5.5. Armatures d’encastrement

On considère une section de dimensions 0,6*1 m soumise à un moment de exion : M T=Mz+M∆t le moment crée par le gradient thermique est égale à: * Au contact de l’air irradié : M∆t = 11 T.m/ml * Au contact du ciment : M∆t = 8,7 T.m/ml On considère le cas le plus défavorable à savoir : M T=13,1 T.m/ml On trouve As= 11,3 cm2/ml VII.4.5.6. Armatures longitudinales

On considère à nouveau une section de dimensions 0,6*1m soumise à un moment de exion : M=15,26 T.m/ml. On trouve As=12 cm2/ml VII.5.

Etude du cône

VII.5.1. Calcul des poussées sur le cône

gure 24. Géométrie et pressions appliquées sur le cône

A partir de la profondeur h, on calcule les actions sur le fond incliné à l’aide des deux actions suivantes: x L’action verticale P à la profondeur h=24m vfond x L’action horizontale P à la profondeur z considérée obtenue en extrapolant vers le bas les hf courbes Phf (z) comme si les cellules continuaient à être cylindrique Soit α l’obliquité de la paroi de la trémie par rapport à l’horizontale (α=60°) On admet alors que l’action exercée sur toute surface unitaire de paroi de trémie est une force ayant pour composante : x Verticalement : P ( z ) = k v ( Pvfond + ( z − h ) γ ) x Horizontalement : h ( z ) = k ( P ) n hf Avec :  k v=1,35 et k n=1,15 Donc : Pn = P cos 2 (α ) + h sin 2 (α ) et Pt = ( P − h ) cos(α ) sin(α )

Etude du cône

48

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VII.5.1.1. Actions au remplissage » Les

pressions horizontales maximales :

Ces pressions maximales sont obtenues avec les caractéristiques suivantes : μ=μinf =0,477 ; K=K sup=0,648 et φ=φinf =24,6° Les pressions horizontales sont calculées dans la partie VI.4.1 ( La pression sur le fond au niveau supérieure du cône est égale à : (

Pvf ( z

z 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

(z-h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

=

24 ) =

Phf (z = 24)

Phf 11,32 11,48 11,62 11,75 11,88 11,99 12,10 12,20 12,29 12,37 12,45

K

=

P 23,57 25,73 27,89 30,05 32,21 34,37 36,53 38,69 40,85 43,01 45,17

11,32 2 = 17, 46T / m 0,648

h 15,28 15,50 15,69 15,86 16,04 16,19 16,34 16,47 16,59 16,70 16,81

Pn 17,35 18,06 18,74 19,41 20,08 20,73 21,38 22,02 22,66 23,28 23,90

Pt 3,59 4,43 5,28 6,14 7,00 7,87 8,74 9,62 10,50 11,39 12,28

tableau 17. Action au remplissage sur le cône pressions horizontales maximales » La

pression verticale sur le fond maximale:

Cette pression maximale est obtenue avec les caractéristiques suivantes : μ=μinf =0,477 ; K=K inf =0,45 et φ=φ sup=36,6° ( pressions horizontales : Nous avons : zo=18,63 m et Pho=13,41 T/m2 −

z

) Donc : Phf = 13, 41 (1 − e ( La pression sur le fond au niveau supérieure du cône est égale à : 18,63

Pvf ( z = 24 ) =

Etude du cône

Phf ( z = 24) K

=

97,15 2 = 21,59 T / m 0,45

49

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo z

(z-h)

Phf

P

h

Pn

Pt

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

9,71 9,91 10,09 10,26 10,43 10,58 10,73 10,87 11,00 11,13 11,25

29,15 31,31 33,47 35,63 37,79 39,95 42,11 44,27 46,43 48,59 50,75

13,11 13,37 13,62 13,85 14,08 14,29 14,49 14,68 14,85 15,02 15,18

17,12 17,86 18,58 19,30 20,00 20,70 21,39 22,07 22,75 23,41 24,07

6,94 7,77 8,59 9,43 10,27 11,11 11,96 12,81 13,67 14,53 15,40

tableau 18. actions au remplissage sur le cône pression verticale maximale VII.5.1.2. Actions à la vidange

Pour le cas de la vidange les pressions horizontales maximales sont obtenues en majorant les pressions correspondantes au remplissage par 1,15 ; et on garde les pressions verticales : Phe ( z ) = 1,15 Phf (z )

x

Pvef ond

x

» Les

=

P vf ond

pressions horizontales maximales :

z

(z-h)

Phf

P

h

Pn

Pt

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

13,02 13,20 13,36 13,51 13,66 13,79 13,92 14,03 14,13 14,23 14,32

23,57 25,73 27,89 30,05 32,21 34,37 36,53 38,69 40,85 43,01 45,17

17,57 17,82 18,04 18,24 18,44 18,61 18,79 18,94 19,08 19,20 19,33

19,07 19,80 20,50 21,19 21,88 22,55 23,22 23,88 24,52 25,16 25,79

2,60 3,42 4,27 5,11 5,96 6,82 7,68 8,55 9,43 10,31 11,19

tableau 19. actions à la vidange sur le cône pression horizontale maximale

Etude du cône

50

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo » La

pression verticale sur le fond maximale:

z 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

(z-h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Phf 11,17 11,39 11,60 11,80 11,99 12,17 12,34 12,50 12,65 12,80 12,94

P 29,15 31,31 33,47 35,63 37,79 39,95 42,11 44,27 46,43 48,59 50,75

h 15,08 15,38 15,66 15,93 16,19 16,43 16,66 16,88 17,08 17,28 17,46

Pn 18,59 19,36 20,11 20,85 21,59 22,31 23,02 23,72 24,42 25,10 25,78

Pt 6,09 6,90 7,71 8,53 9,35 10,18 11,02 11,86 12,71 13,56 14,41

tableau 20. actions à la vidange sur le cône pression verticale maximale

Pour les calculs nous devons associer les deux cas de poussées sur la trémie séparément (pression horizontale maximale ou pression verticale maximale) avec le cas de poussée sur la paroi correspondant (remplissage, vidange ou vidange excentrée). VII.6.

Etude de la poutre couronne

Nous allons étudier la poutre couronne en l’assimilant à une console courte comme représenté sur la gure suivante :

gure 25. Actions exercées sur la poutre couronne

VII.6.1. Condition d’application Condition d’application de la méthode représentée sur l’annexe 6 du BAEL 91 révisée 99 : La hauteur utile d dans la section d’encastrement est au moins égale à la plus grande des deux dimensions suivantes :  a distance du point d’application de la résultante de la charge au nu de la section d’encastrement.  longueur sur laquelle la charge appliquée est répartie. Or , nous avons d=1,9m ≥ max(1;0,35)=1 , condition vériée


51


VII.6.2. Défnition des charges On considère le cas le plus défavorable des poussées sur le cône, à savoir le cas de la vidange avec la pression verticale sur le fond maximale :

gure 26. Actions sur les parois du cône

Nous avons : Pt=0,83 z -13,9 ; p1= 20,85 T/m2 et p2= 25,78 T/m2 Les charges appliquées sur le cône ainsi que le poids propre de la poutre créent dans cette dernière un effort vertical PV, un autre horizontal P H, et un moment M. A l’état limite ultime on a : PV=184,35 T/m PH=167,4 T/m Mu=261,7 T.m/m

VII.6.3. Limitation de la contrainte tangente conventionnelle La contrainte tangentielle τ u doit satisfaire la condition suivante : τu =

Avec : ρ

=

 d   

min  ;4  = 2,37 a

P V P b0 d (1 − 0,6 H ) P V

≤ min 0,03 ( 2 + ρ ) .min ( f c 28 ,30 ) ;4 

et b0=1,00 m

Donc : τu = 2,13 MPa ≤ 3,93 MPa , condition vériée.

VII.6.4. Armatures supérieures L’aire A de la section de ces armatures est donnée par la formule : A s

=

M u f z e γ s

+

H u f e γ s

Avec : Mu=PV a + M : Moment de exion dans la section d’encastrement. Hu= -PH 

 

z = min 0, 7d 1 +



ρ   ;1, 2a  0,8 +  = 1, 223 m  10  5   ρ 

On trouve ainsi : A s= 38,4 cm2 ⁄ml Soit : 1T25 avec un espacement e=12 cm


52

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VII.6.4.1. Armatures inférieures A

L’aire A de la section de ces armatures est donnée par la formule : Ai = s = 3,8cm2 / ml 10 Soit 1T8 avec un espacement de e=12 cm VII.6.4.2. Armatures de répartition

Elles sont données par la formule : A r = λ As (comprenant l’acier inférieur)   12τ 1 Avec : λ = max 0,1 ; 4  ρ + f −1   = 0,536 28    Donc :Acier à répartir = Ar − Ai = ( λ − 0,1) As = 16, 7 cm2 / ml u

c

Soit 2HA16 ( un au tiers de la distance d et l’autre au 2/3 d) avec un espacement de e=12 cm VII.6.4.3. Schéma de ferraillage

gure 28. Schéma de ferraillage de la poutre couronne VII.7.

Etude du Plancher circulaire

Il s’agit d’une plaque circulaire de rayon a =7,8 m simplement appuyée et uniformément chargée P=0,3 t/m2 :

gure 27. Plancher circulaire VII.7.4.1. Calcul des sollicitations internes P L’équation d’équilibre de la plaque s’écrit : ∆ 2 w = D

Avec : W : la déformée de la plaque et

3

D =

E t

12 (1 −ν 2 )

La solution de cette équation s’écrit sous la forme : w=

P

64 D

a 4 ρ 4 + C1 + C2 ρ 2 + C3 ρ 2 log( ρ ) + C 4log( ρ )

Avec : r C1, C2, C3 et C4 : Constantes à déterminer par les conditions aux limites et ρ = a


53

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo Les sollicitations internes sont données par les relations suivantes : 1 dw d 2 w ν dw d 2w d d 2 w 1 dw ) ; M θ = − D( +ν 2 ) ; Qr = − D ( 2 + ) M r = − D ( 2 + dr

(

r dr

r dr

dr

dr dr

r dr

Conditions aux limites :

* ρ=1 : w

=

P

64 D

a 4 + C1 + C2 = 0

M r = 2C2 (1 + ν ) + C3 ( 3 + ν ) +

3 4 ν Pa = 0 pa + 16 16 D

 Pa D  3a 4 P 3a 4 P a 4 P =− 3 + − + 4C 3  Qr = − R = − 2 16 D 16D a  8D 

* ρ=0 : La èche est nie, par conséquent Finalement :

Pa 4  5 +ν  C 1 = 64 D  1 +ν 

;

La déformée W s’écrit donc : w=

C 2 = −

(3 +ν ) Pa 4 32 (1 +ν ) D

a 4 P

64 D(1 +ν )

et

C 4=0

C 3=0

( 2(3 +ν )∅1 − (1 +ν )∅0 )

Les efforts internes correspondants sont : M r =

a 2 P

16

(3 + ν )∅1 ; M θ =

a 2 P

 2 (1 −ν ) + (1 + 3ν )∅1  16 

;

Qr = −

a P ρ

2

Avec : ∅0 = 1 − ρ 4 et ∅1 = 1 − ρ 2 Ainsi on trouve les résultats suivants : r 0 1 2 3 4 5 6 7 7,8

ρ 0,000 0,128 0,256 0,385 0,513 0,641 0,769 0,897 1,000

φ0 1,000 1,000 0,996 0,978 0,931 0,831 0,650 0,351 0,000

φ1 1,000 0,984 0,934 0,852 0,737 0,589 0,408 0,195 0,000

w 0,019 0,019 0,018 0,016 0,013 0,010 0,007 0,003 0,000

Mr (MN.m) 0,036 0,035 0,034 0,031 0,026 0,021 0,015 0,007 0,000

Mθ (MN.m) 0,036 0,036 0,035 0,033 0,032 0,029 0,026 0,023 0,019

Qr (MN) 0,000 -0,002 -0,003 -0,005 -0,006 -0,008 -0,009 -0,011 -0,012

tableau 21. sollicitation internes du plancher circulaire VII.7.4.2. Calcul des armatures

Nous avons : Mr max= Mθ max = 0,036 MN.m µ =

M max bd 2 σ s

Donc : A =

=

2,577.10−3 => K 1 = 45,24 =>

M max β1d σ s

=

σb =

σ s K 1

= 4,94 MPa ≤ σ b = 19,8MPa

7,03 cm2 / ml

Soit : Soit 1HA14 tous les 20 cm radiale et tangentielle.


54

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VII.7.4.3. Schéma de ferraillage

gure 29. Schéma de ferraillage du plancher circulaire VII.8.

Etude de la Couverture

Elle s’agit d’une couverture circulaire constituée de prédalles appuyées sur des poutres en béton précontraint comme représentée sur la gure suivante :

gure 30. Couverture circulaire

VII.8.1. Calcul de la prédalle Une prédalle est un coffrage perdu constitué par une dalle préfabriquée en béton armé constituant la partie inférieure et contenant les armatures, d’une dalle pleine dont la partie supérieure est coulée en place.

gure 31. Dimensions de la prédalle


55

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VII.8.1.1. Données » Dimensions

:

 Portée

de la dalle : L=2,00 m  Largeur de la dalle : b=3,00 m  Epaisseur de la prédalle : h 1=0,10 m ( 5cm ≤ h1≤ h/2 )  Epaisseur du béton coulée sur place : h 2=0,10 m  Epaisseur totale de la dalle : h=0,20 m  Hauteur utile prédalle seule : d 1=0,07 m  Hauteur utile dalle entière : d 2=0,17 m  Enrobage à l’axe des aciers inférieurs : 3 cm 0,85 f 28 18,7 MPa  Béton : f c28=33 MPa ,Soit : σ f γ 434,78 MPa  Acier : f e=500 MPa ,Soit : σ c

bu =

su =

» Charges

e

γ s

=

b

=

:

 Poids

propre de la prédalle pour 1 m de largeur : g 1=2,5×h 1=0,25 T⁄m2  Poids propre du béton CSP pour 1 m de largeur : g 2=2,5×h2=0,25 T⁄m2  Superstructure : g3=0,18 T⁄m2  Charge d’exploitation en phase d’exécution : q 1=Max[0,1T ;0,05 L]=0,15 T⁄m 2  Charge d’exploitation : q 2=0,3 T⁄m2 VII.8.1.2. Calcul de la section d’acier en phase fnale

Nous avons : M u = 1,35( g1 + g 2 + g 3 )

l2

8

+

1,5 q2

l 2

8

=

1,54T .m / m

Ce qui donne une section de A = 2,1 cm 2/ml . Amin= 6 h =1,2 cm 2/ml < A . OK VII.8.1.3. Calcul des contraintes en service (

Prédalle :

La position de l’axe neutre est obtenue par l’équation des moments statiques : On trouve : x = 1,8 cm x bras de levier : zb = d 1 − 3 Donc : M σ s x 3 σ s = ser = 7,4.104 M ser et σ bc = = 1,7.10 M ser A s z b

15(d1 − x)

l 2

Lors du coulage du béton le moment M ser vaut : M ser = ( g1 + g 2 + q1 ) 8 Donc : σs= 584,6 MPa > 434,78 MPa

=

b0

x 2

2

− n As ( d1 − x ) = 0

0,79T .m / m

σ bc=13,43 MPa < 0,6 f c28=19,8 MPa La contrainte de l’acier n’étant pas vériée, dans ce cas on va augmenter la section de l’acier, on prend une section A=4 cm 2/ml, ce qui donnera : σs = 316 MPa < 434,78 MPa OK σ bc=10,74 MPa < 19,8 MPa OK


56

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo (

Dalle nie : x 2

La position de l’axe neutre est donnée par l’equation : b0 − n As ( d 2 − x ) = 0 2 Donc : x=3,96 cm bras de levier : z b=15,68 2

En phase nale le moment devient : M ser = ( g1 + g 2 + g3 + q2 ) l = 1,1T .m / m 8 On trouve les contraintes suivantes : σs = 176 MPa < 434,78 MPa OK σ bc= 3,96 MPa < 19,8 MPa OK VII.8.1.4. Manutention

charge de la manutention est : Fth = L x ( h × 2,5 ) = 0, 25T / m 2  Charges à prendre en compte : F=1,4 F th = 0,35 T Pour tenir compte : * de l’incertitude sur la répartition des efforts entre points de levage. * des effets dynamique ou de ventouse au démoulage. * du vent,  Moments à la manutention :  la

0,5 2 = 0,044T .m A = F × 2 2 En travée : M T = F × 2 − M A = 0,13T .m 8

* sur appui : M *

 Contrainte

de traction du béton : σ bt = 6 M = 0,78 MPa 2 h

f

Pour pouvoir faire la manutention on doit vérier que : σ bt < tj 2 cette relation est vériée à partir du 6 jour. 33 × 6 = 20,52MPa soit : f =1,74 MPa en effet : f c 6 = t6

gure 33. Levage des prédalles

4, 67 + 0,83 × 6

VII.8.1.5. Stockage

gure 32. stockage des prédalles  Chargement :

p=g1=0,25 T/m2  p  1, 22  Moment maximal au stockage : M = −  − 0,32  = −0,04T .m / m 4 2

 Contrainte



de traction du béton : σ bt = 6 M OK = 0,24 MPa 2 h

VII.8.1.6. Etude à l’effort tranchant

Nous avons : P u =1,35 ( g1 + g 2 + g3 ) + 1,5q2 = 1,37T / m2 Donc :

Vu

=

Pu L

2


=

2,05T / m

57

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo Le glissement ultime à l’interface prédalle-béton coulé en place est donné par : g u

Vérication : τ u = » Conclusion

:

g u b0

=

=

Vu b0

0,9 d

=

0,13MN / m

0,13 MPa <τ lim = 0,35 MPa , Donc pas besoin d’armatures de couture.

Ax=4 cm2/ml soit HA 12 e=25 cm (sens porteur) Ay=2,5 cm2/ml soit HA 10 e=25cm (acier minimal dans l’autre sens) VII.8.1.7. Joints transversaux

Les joints transversaux sont parallèles à la petite portée de la dalle nie (L=3m). d la section des aciers des joints transversaux est donnée par : Ar > Ay d r Avec : A=2,5cm2, d=16,9cm , d r =9,5 cm A.N : Ar =4,4 cm2 , soit: HA12 e =20cm  Longueur du couvre-joints : l r =2 (ls+c) * La contrainte d’adhérence est : τ su

=

0,6ψ s f t = 3, 48MPa

* La longueur du scellement est : l s = Φ

f e

4τ su

= 43cm

Avec : ψs=1,5 , f t=2,58 MPa et c=d -dr =7,4cm , Donc : l r = 100 cm. VII.8.1.8. Schéma de ferraillage

gure 35. Schéma de ferraillage de la prédalle

VII.8.2. Calcul de la poutre en béton précontraint VII.8.2.1. Mode de construction

La poutre en question est réalisée en deux phases :  Phase 1 : on réalise sur une aire de préfabrication une poutre rectangulaire en béton précontraint destinée à supporter le poids des prédalles et le béton coulé sur place ainsi que les charges du chantier.  Phase 2 : Après durcissement du béton coulé, la poutre prend la forme Té et une deuxième famille de câbles est mise en tension pour enn installer les superstructures. VII.8.2.2. Données de calcul

* * * * *

Poutre de portée 16,3 m en classe II de précontrainte Acier de précontrainte : toron T15 S (A=150mm2) classe TBR Limite élastique : f peg=1660 MPa Limite de rupture : f prg=1860 MPa Enrobage : d’=12 cm VII.8.2.3. Contraintes admissibles

* * * *

σcs= 0,6 f c28 = 19,8 MPa σci = 0,5 f c28 = 16,5 MPa σti= -f t28 = -2,58 MPa σts= -1,5 f t28 = -3,87 MPa


gure 34. Contraintes admissibles : poutre précontrainte

58

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VII.8.2.4. Phase 1 : calcul de la poutre préfabriquée (

Prédimensionnement :

Pour ce type de poutre, la hauteur est de l’ordre de 1/15 à 1/18 de la portée. Nous prendrons h=0,9 m La largeur est de l’ordre 0,4 h à 0,7 h, nous retiendrons : b = 0,4 m (

Dénition des charges :

* Charges permanentes : x Poids propre de la poutre : 0,9 T/ml x Poids des prédalles : 0,75 T/ml x Poids du béton coulé sur place : 0,84 T/ml * Charges d’exploitation : x Poussière : 0,33 T/m (

Calcul des sollicitations à l’ELS :

* Moments : M g =

g l 2

8

=

82,7T .m ; M q

* Efforts tranchants : V g = (

g l

2

=

=

ql 2

8

20,3 T ; Vq

=

=

10,9T .m q l

2

=

2,7 T

Détermination de la précontrainte P et de l’excentricité e0 :

Les caractéristiques de la section sont les suivantes : h=0,9m ; b=0,4 m ; S=0,36 m 2 ; I=0,0243 m4 ; v=0,45 ; v’=0,45 ; ρ=0,33 Nous supposerons, compte tenu de la portée et du rapport (charges permanentes/charges d’exploitation) élevé que la section est sur-critique. Par suite : P sur =

M max + ρ Svσ ti ρ v + v ' − d '

=

1,67 MN

Il nous faut vérier que la section de béton est sufsante par : I v

= 0,054m3 ≥

P ρ h = 0,028 m3 v σ cs + ' .σ ti v

et

I v'

= 0,054 m3 ≥

∆M = 0,0057 ∆σ i

Ce qui est vérié, L’excentricité est donnée par : e 0=-(v’ - d’)=-0,33m Ainsi nous avons : P=1,67 MN e0= - 0,33 m (

Nombre de Câbles:

En partant d’une valeur approchée de la contrainte de l’acier après pertes de (2/3)f prg=1240 MPa 1, 67 . 106 P 2 On obtient une section d’acier : A p = = = 1346,77 mm 1240 1240 Soit n câble T 15 S: 1346,77 Avec : n = = 8,978 150 Soit 9 câbles T15 S


59


Vérication en ELU de la section médiane :

Le moment ultime de calcul vaut : M u=1,35 Mg+1,5 Mq= 1,28 MN.m Le moment réduit vaut : µ =

M u 2

bd σ bc

=

1,28 = 0.28 0, 4 × 0, 782 ×18, 7

L’équilibre des moments s’écrit : μ=0.8×ξ×(1-0.4ξ) Dont la racine est : ξ = x = 1.25 (1 − (1 − 2 µ ) ) = 0.421 d Ainsi , la résultante de compression du béton est égale à : F b=0.8 ξ b d σ bc=0.8×0.421×0,4×0,78×18,7 = 1,96 MN * Allongement Δε3:

Nous avons : ∆ε 3 = 3.5 ×

1 − ξ ξ

= 4,8 ‰ < 10‰

* Allongement ε1dû à la précontrainte :

Nous avons : ε 1

=

σ 1 E p

=

P Ap E p

=

6,36 ‰

* Allongement ε2 dû à la décompression du béton :

Il nous faut calculer la contrainte du béton au niveau du câble :

gure 36. Diagramme des contraintes du béton

Ainsi on trouve une contrainte au niveau du câble égale à σ b= - 0,6 MPa Donc : ∆σ2=5×σ b= -3 MPa La contrainte dans l’acier de précontrainte est : σ2=σ1+∆σ2=1237,2MPa < 0,9 f peg/γ b =1299,13 MPa Donc : ε2=σ2/E p =6,34 ‰ Soit : ε3=ε2+∆ε3=11,14 ‰ 5  γ p × σ 3  σ 3 − 0.9  Qui donne une contrainte calculée à partir de l’équation de l’acier : ε 3 = + 100 ×   E p f peg   On trouve : σ3=1484,85 MPa D’où : F p=A p×σ3=2 MN > F b=1,96 MN Ce qui est vérié.


60


Câblage :

Le fuseau de passage est donné par e 1(x) et e2(x) tel que : e1 ( x ) = ρ v −

M max + ρ S v σ ti P

et

e2 ( x ) = − ρ v ' −

Nous avons : Mmin (x)=Mg (x)=0,0124x(16,3-x) Mmax (x)=Mg (x)+Mq (x)=0,014x(16,3-x) On obtient les résultats suivants : x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8,15

M min − ρ S v 'σ ts

e1 0,23 0,10 -0,01 -0,10 -0,18 -0,24 -0,29 -0,31 -0,33 -0,33

P

e2 -0,27 -0,38 -0,48 -0,57 -0,64 -0,69 -0,73 -0,75 -0,76 -0,76

tableau 22. Fuseau de passage du câble phase 1

gure 37. Tracé du câble phase 1

Avec : tan (α ) = (

4 ∆ H L

= 0,081 => α = 4,63°

Vérication de l’effort tranchant en ELU :

L’effort tranchant ultime vaut : Vu=Vgu+Vqu-P sin(α)=0,095 MN f c 28 1,5V = 0,158 MPa < 0,09 = 1,98 MPa Soit un cisaillement ultime : τ u = h γ b Donc pas d’armatures d’effort tranchant.


61


Calcul des pertes : * Données de calcul :

 Module

d’Young des aciers de précontrainte : E p=200 000MPa  Tension à l’origine : σ p0=min(0,8f prg;0,9f peg )=1488 MPa  Coefcient de frottement angulaire : f=0.18 rd -1  Coefcient de frottement linéaire : φ=0.002 m -1  recule à l’ancrage : g=2 mm  Paramètre de relaxation : ρ 1000=2.5 % et μ 0=0,43 * Pertes instantanées : x Frottement (calcul à mi- travée) :

A mi-travée, nous avons : x=8,15 m et α=4,63°=0,081 rad Donc : ∆σf =σ p0 (1-e(-φx-fα))=45,24 MPa x Recul

d’ancrage :

La longueur d’inuence d du recul d’ancrage est telle que : d = f α + ϕ = 0,0038 Avec : k = l On trouve donc : d=8,41 m < 8,15 m La section à mi- travée est donc affectée par le recul d’ancrage, Ainsi : ∆σg= σ p0 e-K(x) [1-e-2[K(d)-K(x)] ]= 1,5 MPa Avec : K(x)=fα(x)+φx

g E p σ p 0 k

x Raccourcissement

élastique : E 1 ∆σ n = σ bco p E ij 2

Avec : σ bco = contrainte du béton au niveau du câble à la mise en tension sous l’action de la précontrainte et des charges permanentes. σ bco

=

1,15 P 1,15 P e02 M g e0 S

+

I

+

I

=

2,71 MPa

D’autre part, le module d’Young instantané à la date de mise en tension supposé à 15 jours est égale à : Ei15=11000 (f c15)1/3 f c15=(j f c28)/(4,76+0,83 j)=28,76 MPa Donc : Ei15= 33 703 MPa D’où : ∆σn=8,04 MPa Ainsi la valeur de la précontrainte initiale devient : σ pi=σ p0-∆σf -∆σg-∆σn=1433,22 MPa (3,7 %) * Pertes différées : x Retrait :

∆σr =E p εr (1-r(t0)) Avec : εr = 4 .10-4 (climat chaud et sec) et r ( t 0 ) Donc : ∆σr = 71,36 MPa


=

t 0 t0 + 9 r m

=

0,108

où:

rm

=

B l

=

13,8 cm et t0=15 j

62

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo x Fluage

: E p

∆σ fl = (σ bc + σ max )

E ij

Avec : σ bc : Contrainte au niveau de câble sous précontrainte et charges permanentes. σ bc

=

2 P P e0 M g e0

S

+

I

+

I

=

0,89 MPa

σmax : Contrainte au niveau du câble sous l’action du poids propre et la précontrainte = 8,06 MPa Donc : ∆σ=53,11 MPa x Relaxation

:

∆σ ρ =

Donc : ∆σρ= 73,2 MPa

 σ pi  6 − µ 0 σ pi ρ1000   f prg  100  

* Contrainte nale :

σ p=σ pi-∆σr - ∆σ - 5/6∆σρ=1247,7 MPa (16,1 %) Nous retiendrons : P=1,67 MN et eo=-0,33 m

VII.8.2.5. Phase 2 : Calcul de la poutre en Té en service (

Dimension de la poutre en Té :

gure 38. Section en Té notations (

Dénition des charges :

* Charges permanentes : x Superstructures : 1,33 T/ml * Charges d’exploitation : x Poussière : 0,35 T/m


63


Calcul des sollicitations à l’ELS :

* Moments : M g =

g l 2

8

* Efforts tranchants : (

=

44,17T .m et M q

V g =

g l

2

=

2

=

ql

= 11,6T .m 8 q l

10,8 T et Vq

=

2

=

2,8 T

Détermination de P et e 0 :

Les caractéristiques de la section sont les suivantes : h=1,1 m ; b=3,5 m ; h0=0,2 m ; b0=0,4 ; S=1,06 m 2 ; I=0,098 m4 ; v=0,29 ; v’=0,81 ; ρ=0,398 La section est sur-critique, donc : P=0,3 MN l’excentricité : e0= -0,69 m (

Nombre de Câbles:

0,3 . 10 6 = A p = 1240 1240 P

Soit : n = (

=

241,9 mm2

241,9 = 2,43 => 3 T13 S 100

Câblage :

On trouve les résultats suivants : x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8,15

e1 1,17 0,74 0,37 0,05 -0,21 -0,42 -0,56 -0,66 -0,69 -0,69

e2 -1,64 -1,98 -2,27 -2,52 -2,73 -2,89 -3,00 -3,08 -3,10 -3,11

tableau 23. fuseau de passage du câble phase 2

gure 39. tracé du câble phase 2


64


Calcul des pertes :

Tout calcul fait , nous avons trouvé les résultats suivants : Pertes instantanées ( 4,2 %) Frottement 58,4 MPa Recul d’ancrage 0 MPa Raccourcissement élastique 4,56 MPa Pertes différées ( 11,8 %) Retrait 62,26 MPa Fluage 52,88 MPa Relaxation 71,84 MPa tableau 24. Pertes instantanées et différées en phase 2 (

Contrainte nale :

σ p=1250 MPa (16 %) Nous utiliserons les câbles au maximum de leur possibilité, soit : P=σ p A p=1250×3×100 .10 -6 = 0,37 MN Finalement, nous avons les résultats suivants : Phase 1 Phase 2

P (MN) 1,67 0,37

e0 (m) -0,33 -0,69

Nombre de câble 9 T 15 S 3 T 13 S

tableau 25. Précontrainte et excentricité dans les deux phases VII.8.2.6. Vérifcation des contraintes (

Phase 1 :

gure 40. Diagramme des contraintes phase 1


65


Phase 2 :

gure 41. Diagramme des contraintes phase 2 (

Acier Passifs :

Dans les zones tendues, en partie inférieure à mi-travée, on disposera d’un pourcentage minimum d’acier passif : A s =

Bt

1000

+

N Bt f e

×

f t 28

σ Bt

Avec: Bt=0,23 × 0,4 =0,092 m 2 ; NBt=1/2 ×Bt × σBt=0,188 MN ; f e=500 MPa et f t28=2,58 MPa Donc : As= 3,3 cm2 , Soit 3 HA12 Il est prudent pour :  limiter les ssurations dues au retrait,  maintenir les câbles et chaises des câbles. de disposer des armatures de peau égales à 3cm 2/m de parement dans le sens longitudinal et 2 cm 2/m dans le sens transversal, soit : HA 10 (e=25 cm) et HA8 (e=25 cm) respectivement. (

Schéma de ferraillage :

gure 42. schéma de ferraillage de la poutre préfabriquée


66


Dimensionnement du dallage

VII.9.1. Défnition d’un dallage Un dallage est un ouvrage en béton de grandes dimensions par rapport à son épaisseur, éventuellement découpé par des joints. Il repose uniformément sur son support, éventuellement par l’intermédiaire d’une interface. Le dallage peut intégrer une couche d’usure ou recevoir un revêtement.

gure 43. composition du dallage VII.9.1.1. Forme

La forme éventuelle est constituée par un traitement du sol en place ou par des matériaux d’apport servant d’assise au dallage. VII.9.1.2. Interface

L’interface éventuelle est disposée directement sous le dallage : couche de réglage ou de fermeture ou de glissement, lm, isolant, etc. VII.9.1.3. Couche d’usure

Elle est obtenue par renforcement superciel du dallage avant durcissement du béton. VII.9.1.4. Joints

Ils divisent le dallage en panneaux, il existe différents types de joints :  Joint

de retrait :

Il permet le libre retrait du béton des panneaux de dallage.  Joint

de dilatation :

Il permet les dilatations du dallage. Il règne sur toute son épaisseur. Son ouverture lors de l’exécution est au moins égale à la dilatation maximale qu’il doit autoriser.  Joint

d’isolement :

il a pour but de désolidariser le dallage de certains éléments de construction (poteaux, longrines, murs, massifs...) dont les déformations verticales et/ou horizontales diffèrent de celles du dallage. Il règne sur toute l’épaisseur du dallage.


67


gure 44. différents types de joints

VII.9.2. Pathologies du dallage Les désordres qui peuvent affecter un dallage sont classés en deux catégories : VII.9.2.1. Les désordres de première catégorie

Cette catégorie est liée plus au corps du dallage et comprend les pathologies suivantes : (

Pathologies liées aux joints :

Les efforts parasites, liés à l’évolution physicochimique du béton, font que les joints de retrait se prolongent sur toute l’épaisseur du dallage. Il en résulte des désafeurements favorisant l’apparition d’épaufrures sur les angles et les arrêts des joints. Ces désordres causent de sérieuses gênes d’exploitation surtout dans le cas d’une charge roulante. Ce désordre est lié essentiellement au comportement intrinsèque du béton au moment de la prise. Le retrait hydraulique produit une différence de comportement entre la surface et la sous face du dallage. Il s’agit de l’effet de tuilage qui se manifeste par la déformation du dallage par courbure intérieure à concavité vers le haut. (

Les affaissements de surface réduite :

Il s’agit souvent d’affaissements localisés dus à des efforts d’exécution. Les cuvettes ainsi formées nissent par être le siège du développement d’un réseau de ssures laissant libre cours aux inltrations en sous-face du dallage. On peut associer ce désordre aux insufsances de l’épaisseur du dallage, á la mauvaise qualité du béton ou à l’absence de désolidarisation avec les éléments porteurs de la structure. (

Les désordres en périphérie de reprise des dallages existants :

Lorsque des saignées sont pratiquées dans le dallage, par exemple pour la création des réseaux enterrés, ces travaux s’accompagnent inévitablement de désordres par ssuration périphérique aux zones traitées. La cause essentielle réside dans la difculté de reconstitution à l’identique de la couche de forme.


68

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VII.9.2.2. Les désordres de deuxième catégorie

Ces désordres, aux lourdes conséquences nancières, sont principalement liés aux grands mouvements verticaux du dallage générés par un comportement des couches sous-jacentes : couche de forme ou sol naturel support. (

Les tassements généralisés :

Formation de cuvettes ou ondulations plus ou moins prononcées pouvant conduire au déséquilibre des équipements de stockage ou encore à l’interruption de circulation des engins de manutention (chariots à guidage automatiques). Ces désordres s’accompagnent de ssures ouvertes de exion. (

Les soulèvements :

Il s’agit de phénomènes de gonement associés á l’hydratation de certains composés minéraux, naturels ou articiels, au sein de la couche de forme et/ou du sol support. On peut citer le phénomène naturel du gonement des argiles et celui lié à la présence de sulfate et de chaux, ou à l’utilisation des matériaux résiduels. (

Problème lié à la présence d’eau :

Il se pose également le problème de la présence d’eau dans le terrain pouvant produire des phénomènes néfastes tels que la stagnation de l’eau de pluie, la variation du niveau de la nappe phréatique, fuite de canalisation sous le dallage.

VII.9.3. Principe du dimensionnement Lorsqu’on fait supporter une charge à un dallage, on provoque un échissement qui impose à la fois une compression et une exion au dallage en béton. L’effort de exion est prépondérant car à l’endroit où la charge est imposée, la contrainte de traction par exion est comparable à la contrainte de traction par exion maximale du béton alors que la contrainte de compression demeure faible par rapport à la résistance à la compression admissible du béton. Par conséquent, on compare la contrainte de traction par exion et la résistance de traction par exion du béton pour déterminer l’épaisseur du dallage.

VII.9.4. Calcul des contraintes VII.9.4.1. Contraintes admissibles du béton

La résistance à la traction du béton en exion σ R est donnée par la formule :

σR = 1,8 f t28 = 4,64 MPa

A l’ELU : σ ELU ≤ 0,75 σ R = 3,48 MPa A l’ELS : σ ELS ≤ 0,60 σ R = 2,78 MPa

VII.9.4.2. Dispositions constructives  Epaisseur

minimum : 0,12 m  Enrobage minimum : 20 mm  Diamètre des aciers ≤ h/10  Espacement des aciers < 2h pour des charges localisées  Joints de retrait tels que les diagonales des rectangles formées par les joints n’aient pas plus de :  7 m pour les locaux non couverts lors de l’exécution du dallage.  8,5 m dans le cas contraire avec un rapport des côtés compris entre 1 et 1,5.


69

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VII.9.4.3. Sollicitations

Vis-à-vis des états-limites ultimes de résistance : 1,35 G + 1,5γδ Q ( Vis-à-vis des états-limites de service : G + 1,2γδ Q Avec : T (

x γ

Où :



=log  10+ 

 16  j

0,3 V 2 x δ =1+ V 2 +200

 T j :

nombre de passages journaliers sur 4 m de largeur (on prend T j=6)  V : vitesse en Km/h (on prend V=20 Km/h) On trouve :

γ = 1,016 et δ = 1,2 VII.9.4.4. Géométrie du dallage

Le dallage que nous allons étudier est un disque de diamètre 16 m avec des joints de retrait comme indiqué sur la gure ci-dessous. On considère une épaisseur de 25 cm.

gure 45. Géométrie du dallage VII.9.4.5. Défnition des charges

Les charges appliquées au dallage sont des charges roulantes d’un camion de 48 tonnes avec quatre essieux de 12 tonnes. la contrainte de traction par exion du béton, σ, d’un dallage sous l’action d’une charge concentrée est donnée par la formule suivante : Q σ = k c α d 2 r


70

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo Avec :  Qd : l’intensité de la charge concentrée Q d= ψQ γ δ Q * Où : ψQ= 1,5 à l’ELU ou 1,2 à l’ELS  α : coefcient numérique qui prend les valeurs 1 ou 2/3 selon le type de joint et son implantation (dans notre cas α=1/2)  k c : coefcient numérique donné par l’abaque ci-dessous fonction de : χ c

Où :

=

E k w r

et η c

=

h r

* h : l’épaisseur du corps du dallage (h= 0,25 m) * r : le rayon du cercle ayant même aire que la surface de contact de la charge roulante avec le dallage (on prend r=0,2 m) * E : le module de déformation du béton (E= 30 000 MPa) * K w: le module de Westergaard (on prend K w = 50 MPa/m) Ainsi, on trouve : ηc= 1,25 et χ c= 3.103 à partir de l’abaque, on trouve k c = 1,6 Donc la contrainte de traction par exion du béton sous l’action de la charge concentrée est égale à : x A l’ELU : σ c,ELU = 2,93 MPa x A l’ELS : σ = 2,34 MPa c,ELS

gure 46. Abaque pour la détermination de la contrainte d’un dallage sous charge concentrée Dimensionnement du dallage

71

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo la contrainte de traction par exion du béton, σ r , d’un dallage sous l’action de la charge répartie due au poids propre du dallage est donnéee par la formule suivante :

σ = k r q d h Avec :  qd : l’intensité de la charge uniforme (MN/m2)  k r : est une grandeur (dimension m–1) donnée par l’abaque ci-dessous en fonction des paramètres : η r =

Où :

h L

et χ c

=

kw L E

* L :la largeur de la bande chargée ou, si elle est plus faible, la distance entre joints. * K w : le module de Westergaard (MPa/m) Nous avons : L=16 m et K w = 50 MPa/m Donc on trouve : ηr = 0,017 et χ r = 9,58 En utilisant l’abaque ci-dessous, on trouve : k r = 140 Ainsi, la contrainte de traction par exion du béton sous l’action du poids propre est égale à : x A l’ELU : σ = 0,33 MPa r,ELU x A l’ELS : σ r,ELS = 0,24 MPa

gure 47. Abaque pour la détermination de la contrainte d’un dallage sous charge répartie


72

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo Par suite du frottement du dallage sur le sol, le retrait d’un panneau entre deux joints de dilatation successifs ne peut s’effectuer librement. Ces déformations gênées donnent naissance à une contrainte de traction du béton, que l’on suppose uniforme dans toute l’épaisseur du dallage et égale à :

σ

re

=

0,5 C f L P 0 h

Avec:  cf : coefcient de frottement béton sur sol (on prend c f = 1,5)  L : distance entre deux joints perpendiculaires à la direction de la contrainte calculée  p0 : charge permanente totale du dallage, c’est-à-dire poids propre du dallage augmenté de la valeur quasi permanente de la charge d’exploitation, si cette valeur n’est pas nulle. Nous avons : L= 5,75m et p 0 = 6,97.10-3 MN/m2 Donc : σre,ELU = 0,16 MPa et σre,ELS = 0,12 MPa Finalement les contraintes totales de traction par exion sont : ( à l’ELU : σELU = σc,ELU+ σr,ELU + σre,ELU = 3,42 MPa < 3,48 MPa ( à l’ELS : σELS = σc,ELS + σr,ELS + σre,ELS = 2,7 MPa < 2,78 MPa Les valeurs ainsi trouvées vérient les conditions limites de contraintes, donc le dallage peut être non armé. Il convient de prévoir un treillis soudé « antissuration » dont la section minimale est donnée par : A = 0,56L h On trouve : A = 2,24 cm2/ml ( T8 espacement de 20 cm dans les deux sens) VII.9.4.6. Vérifcations x

Poinçonnement :

La valeur ultime Q d d’une charge concentrée appliquée à un dallage d’épaisseur h ne peut excéder la valeur limite : 0,04 Qu lim

=

γ b

f c 28 u h

Avec :  uc : périmètre du contour de la surface « d’impact » à mi-épaisseur, en supposant une diffusion à 45o dans l’épaisseur du dallage : u c = π (2r + h ) = 2,04 m Donc : Qu lim = 0,45 MN > Q d = 0,11 MN , Donc le poinçonnement est vérié. x

Tassements :

* Le tassement différentiel sd entre la bordure de la bande chargée et le centre de cette 12,8 p L bande (en m): s d = 43,6 E h 3 L 4

+

k w

* Le tassement s b de la bordure de cette même bande : s b

=

2,5 p L K w

* Le tassement total est :

stot= sd+s b = 2,83.10-2 + 5,58.10-3 = 3,38.10-2 m


73

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo À défaut d’autres spécications, le tassement différentiel maximal admissible du dallage (exprimé en cm) peut être pris égal à : L L2 s lim = 1,2 min[ ;0,85 ] 5 h AN : slim = 3,84 cm > 3,38 cm , Donc le tassement est vérié. VII.10.

Calcul des Fondations

VII.10.1. Descente de charge Elément

Detail Poutres Plancher Couverture Complexe étanche superstructure poussière Paroi Poutre couronne Sommet Cône Paroi Ciment stockage Bloc de béton Jupe inférieure plancher Plancher à +12,60 superstructure plancher Plancher à +6,60 superstructure Total sur fondation

G (T) 52,69 100,48 36,17 40,19

Q (T)

20,10 3158,71 317,64 19 300,89 10373,95 402,25 1072,01 118,91 57,08 119,4 38,21 5833,62

10394,05

tableau 26. descente de charge variante béton Armé

VII.10.2. Dimensions de la semelle

gure 48. Dimensions de la semelle


74

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo  Rayon

intérieur r et extérieur R:

On dimensionne r et R par l’effort normal à l’ELS avec σ ELS=30 T/m2: ( Equilibre statique de la semelle : * Equation des efforts : ∑(Réactions)=NELU => π(R 2-r 2)σ =G + Q Donc : R 2-r 2=172,18 * Equation des moments : M des réactions du sol = 0 ⇒ R3 − r 3 = 3 a N ELS /G

2

Donc : R -r =2117,8 On trouve : R=13,1 m et r=0,27 m On remarque que r ≈ 0, donc nous allons opter pour un radier circulaire. 3

3

π σ

VII.10.3. Dimensions du radier Le rayon du radier est déterminé par : N ELS 2 ≤ σ ELS π R Ainsi, on prend : R=14,5 m La hauteur utile d représentée sur la gure est obtenue par : d≥

6,3 − 0, 4 = 1,47 m 4

on prend d = 1,5 m et h = 1,55 m

gure 49. hauteur utile du radier

VII.10.4. Vérifcation de la contrainte du sol Elément Dallage Remblais Radier

G (T) 114,62 749,67 2558,22

Q (T)

Total sous fondation

9256,13

10394,05

Donc : σ = N ELS 2 = 29,75T / m 2 < 30T / m 2 , OK π R

VII.10.5. Calcul des armatures sur Effel Le calcul des sollicitations dans le radier et son ferraillage sont effectués à l’aide du logiciel Effel avec la méthode des éléments nis. VII.10.5.1. Défnition des charges

Les charges appliquées sur le radier sont les suivantes :  Charges linéaires P 1 : Poids de la structure, poids du ciment stocké et les charges sur la couverture.  Charges surfaciques : * sur un rayon de 7,8 m P 2 : Poids du dallage et du remblais et les charges des camions. * sur le reste du dallage P3 : Poids du remblais.


75

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo P1

P2

P3

gure 50. Les charges appliquées sur le radier

Avec : P1=625,5 T/ml , P2=3,05 T/m2 et P3=2,43 T/m2 VII.10.5.2. Défnition des appuis

il s’agit d’un appui surfacique que nous avons déni comme un appui élastique avec les caractéristiques suivantes :

VII.10.5.3. Ferraillage

Rayon Supérieures 0->10 4->7 Cerces 7->11 inférieures 11->14,5 5->10 Radiales 10->14,5

Ath (cm2/m) 25,35 28,28 67,34 48 147,45 39,6

Aréel HA 20 HA 25 HA 32 HA 25 HA40 HA 20

espacement 12 12 12 10 8 8

tableau 27. Ferraillage du radier variante BA VII.10.5.4. Schéma de ferraillage

gure 51. Armatures supérieures du radier BA Calcul des Fondations

gure 52. Armatures inférieures du radier BA

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Modélisation de la structure sur le logiciel Effel

L’objectif de cette partie est la modélisation de l’ouvrage sur le logiciel Effel an de vérier les contraintes et les déplacments des différents éléments et de trouver le ferraillage de la paroi, de la jupe inférieure et du cône.

VII.11.1. Saisie de la structure Vu que le logiciel Effel ne peut pas générer une coque cylindrique, nous avons divisé la paroi en plusieurs éléments surfaciques, chaque élément fait un angle de 6º par rapport au centre du silo, ce qui nous donne un total de 60 éléments sur toutes la circonférence du silo.

gure 53. Saisie de la structure sur effel

VII.11.2. Défnition des appuis La jupe inférieure est encastrée sur le radier, nous allons donc considérer un appui rigide linéaire bloquant tous les déplacements et toutes les rotations.

gure 54. dénition des appuis Modélisation de la structure sur le logiciel Effel

77


VII.11.3. Défnition des charges Nous avons pris en compte les cas de charge suivants :  cas 1 : Poids propre de la structure (généré automatiquement) et les charges sur la couverture  cas 2 : Poussées sur la paroi au remplissage symétrique  cas 3 : Poussées sur la paroi à la vidange symétrique  cas 4 : Poussées sur la paroi à la vidange excentrée  cas 5 : Poussées sur le cône au remplissage avec pression horizontale maximale  cas 6 : Poussées sur le cône au remplissage avec pression verticale maximale  cas 7 : Poussées sur le cône à la vidange avec pression horizontale maximale  cas 8 : Poussées sur le cône à la vidange avec pression verticale maximale  cas 9 : Effet de la température sur la paroi et sur le cône en contact avec l’air irradié  cas 10 : Effet de la température sur la paroi et sur le cône en contact avec le ciment  cas 11 : Effet du vent en dépression  cas 12 : Effet du vent en surpression Nous avons associé les cas de charge 2, 3 et 4 avec 5, 6 ,7 et 8 comme suit : 2-5 ; 2-6 ; 3-7 ; 3-8 ; 4-7 ; 4-8 Les combinaisons que nous avons pris sont celles relatives à l’ELU et à l’ELS.

VII.11.4. Résultats de la modélisation Nous allons présenter dans ce qui suit les résultats relative à la paroi du silo, pour les autres éléments, ils seront exposés dans la partie «ANNEXES» VII.11.4.1. Déplacements de la paroi

gure 55. Déplacement de la paroi en cm Modélisation de la structure sur le logiciel Effel

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Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VII.11.4.2. Sollicitations sur la paroi (

Variation des efforts F x et Fy :

gure 56. Effort Fx dans la paroi

gure 57. Effort Fy dans la paroi

Nous remarquons que les efforts au niveau de la paroi dans le sens x (horizontal) augmentent avec la profondeur jusqu’à atteindre une valeur maximale de 262 T sur la zone d’encastrement, et les efforts suivant y (vertical) sont maximales sur la même zone. ( Variation des moments M x et My :

VII.11.4.3.

gure 58. Moment Mx dans la paroi

gure 59. MomentMy dans la paroi

Les moments Mx sont maximals au niveau de l’encastrement avec M x max=0,61T.m, et pour les moments My ils augmentent au centre du silo avec M y max =0,6 T.m Modélisation de la structure sur le logiciel Effel

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Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VII.11.4.4. Ferraillage

Nous allons dans ce qui suit calculer le ferraillage de la paroi, da la jupe inférieure et du cône en utilisant le module «Effel expertise BA». (

ferraillage de la paroi :

On procède par tranche de 5 m, ce qui donne les résultats suivants : * Les cerces :

tranche

acier intérieur

0 -> 5 5 -> 10 10 -> 15 15 -> 20 20 -> 25 25 -> 30 30 -> 35 35 -> 40,4

0 11,1 23,2 32,7 37,1 37,7 33,4 19,3

acier réel (cm2/ml) HA14 HA14 HA20 HA25 HA25 HA25 HA25 HA20

espacement acier extérieur (cm) (cm2/ml) 12 27,6 12 41,7 12 50,6 12 58,1 12 64,2 12 69,8 12 72,9 12 71,7

acier réel HA20 HA25 HA25 HA32 HA32 HA32 HA32 HA32

espacement (cm) 10 10 10 12 12 10 10 10

tableau 28. section des cerces de la paroi BA * Les douves :

tranche

acier intérieur

0 -> 5 5 -> 10 10 -> 15 15 -> 20 20 -> 25 25 -> 30 30 -> 35 35 -> 40,4

0 0 0 0 0 2,6 6,7 3,4


espacement acier extérieur (cm) (cm2/ml) 12 25,7 12 23,9 12 23,7 12 28,1 12 19 12 14,1 12 7,3 12 25,6


espacement (cm) 10 10 10 10 10 10 10 10

tableau 29. section des douves de la paroi BA

Pour les valeurs nulles d’armature, nous avons pris la section minimale : A min=0,2% B avec B est la section du béton. (

ferraillage de la jupe inférieure : * Les cerces :

Nous constatons qu’au niveau supérieur des ouvertures, la section d’acier est importante, donc nous allons diviser le ferraillage de la jupe en trois parties, de 0 à 4,75 m (hauteur de l’ouverture), de 4,75 à 6,5 m (juste au dessus de l’ouverture) et de 6,5 à 11,7 (sur le reste de la jupe). Nous obtenons les résultats suivants :


80

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo Partie 0->4,75 4,75->6,5 6,5->11,7

acier intérieur 0 48,2 12,2

acier réel HA16 e=12 HA25 e=10 HA16 e=12

acier extérieur 0 46,9 10,4


tableau 30. Section des cerces de la jupe inférieure BA

* Les douves : Partie 0->4,75 4,75->6,5 6,5->11,7

acier intérieur 0 6,1 0


acier extérieur 0 6,1 0


tableau 31. Section des douves de la jupe inférieure BA (

Ferraillage du cône :

les résultats du calcul donnent des valeurs nulles des section d’acier, chose qui est expliquée par le fait que le cône travail en compression sous les charges de frottement et les charges normales sur ses parois. Donc nous allons prendre la section d’acier minimale à appliquer sur les deux directions égale à : Amin=7 cm2/ml , soit HA 12 avec un espacement de 15 cm (

Schémas de ferraillage :

gure 60. Schéma de ferraillage de la paroi BA : Cerces


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Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo Vu que les longueurs de barres nécessaires dépassent les longueurs commerciales (12 m), l’armature est nécessairement formée de différents tronçons et il faut rétablir la continuité mécanique entre deux tronçons successifs, donc pour obtenir ce résultat nous allons faire appel à l’adhérence en faisant chevaucher deux tronçons de barre sur une longueur l r appellée longueur de recouvrement, comme représenté sur la gure ci-dessus. d’une manière générale, il convient de décaler les recouvrements d’une distance d (voir gure cidessus), on prend d = 2m. Pour notre cas (c<5 Φ), la longueur de recouvrement l r est égale à celle de scellement l s telle que : ∅ f 2 l s = × e , avec τ s = 0,6ψ f t 28 où : ψ=1,5 pour les HA 4 τ s On obtient les résultats suivant : Φ Lr (m)

HA 12 0,43

HA 14 0,50

HA 16 0,57

HA 20 0,72

HA 25 0,90

HA 32 1,15

tableau 32. Longueurs de recouvrement

gure 61. Schéma de ferraillage de la jupe inférieure

Au dessus de l’ouverture nous avons un recouvrement de deux barres de diamètre différent, dans ce cas lr doit être évalué à partir du ls le plus grand.

gure 62. Shéma de ferraillage de la paroi du cône


82


VIII. Etude de la 2ème variante : Calcul en béton précontraint VIII.1.

actions à prendre en compte

les actions à prendre en compte sont celles déjà exposées dans la partie V.1 auxquelles s’ajoutent celles dues à la précontrainte. VIII.2.

Combinaisons d’actions

on considère les combinaisons d’action suivantes :

VIII.2.1. Vis à vis de l’état limite ultime de sérvice (C1) = G + Q + P k,sup + T + W (C2) = G + Q + P k,inf + T + W

VIII.2.2. Vis à vis de l’état limite ultime de résistance (C3) = G + 1,5 Q + P m + T + W’ Pm étant la valeur probable de la précontrainte. Pk,sup et Pk,inf sont les valeurs caractéristiques de la précontrainte. Les autres lettres désignent les valeurs nominales respectivement des :  Charges permanentes : G  Charges climatiques : W, W’  Charges d’exploitation : Q  Déformation imposées : T Avec pour le vent :  Vis-à-vis des états-limites ultimes de résistance : W’ = 1,2 V  Vis-à-vis des états-limites de service : W = V(V étant la charge normale des règles NV 65) VIII.3.

Contraintes admissibles

VIII.3.1. limite de la contrainte de compression dans le béton Il convient de limiter la contrainte de compression dans le béton dans la structure du fait de la force de précontrainte et des autres charges agissant à la mise en tension ou au relâchement de la précontrainte :

σ c ≤ 0,6 . f ck où : f ck est la résistance caractéristique en compression du bétonà t = 28 jours. donc on trouve : σ c= 19,8 MPa

VIII.3.2. limite de la contrainte de traction dans les armatures Les contraintes de traction dans les armatures doivent être limitées an d’éviter les déformations inélastiques ainsi qu’un niveau de ssuration ou de déformation inacceptable. il convient de limiter la valeur probable de la contrainte des armatures de précontrainte à : σ t ≤ 0,75 . f pk Donc on trouve : σ t = 1395 MPa

Etude de la 2ème variante : Calcul en béton précontraint

83

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VIII.4.

Prédimensionnement

VIII.4.1. Section de l’acier de précontrainte Les câbles de précontrainte sont supposés contrer la pression de la matière ensilée, donc la section d’acier par mètre est :

A p

=

Ph × R f pd

Avec : f pd = 1488 MPa et R=8m Z 34 18 13

Ph (MPA) 0,168 0,136 0,115

A p (cm2/ml) 9,03 7,31 6,18

Nombre de cables 6 5 4

tableau 33. Nombre de Câbles de précontrainte

Les câbles sont des T15 S de section 1,5 cm 2 De ce qui précède on trouve qu’on aura 4 câbles par mètre sur la partie (0-13), 5 sur (13-18), 6 sur (18-34). Sur le marché il y’a des câbles 4T15 et 7T15. Pour des raisons économiques on prendra sur toute la hauteur des câbles 4T15 et on adaptera l’espacement de ces derniers. Compte tenu des pertes de précontrainte estimées égale à 30%, on trouve les espacements suivants : Z espacement (cm) 34-18 45 18-13 55 13-0 65 tableau 34. espacement des câbles de précontrainte

VIII.4.2. Prédimensionnement de l’épaisseur de la paroi Si on assimile la paroi du silo à un empilement de poutres. Et au niveau de chaque poutre il y a des câbles (4T15). Donc on aura des poutres de hauteur 45, 55 et 65. La largeur des poutres étant comprise entre 0,3h et 0,7h. Pour le calcul on prend 0,5h, ce qui donne des épaisseurs de 22,5 ; 27,5 et 32,5. Finalement l’épaisseur prise est : 35 cm x

Vérication de la contrainte de compression sur le béton à vide :

Avec :  F p : est l’effort maximal de précontrainte : F p= 0,9 A p f pk  A b: la section du béton A.N : f b=8,37 MPa , alors que f bmax=19,8MPa Donc c’est largement vérié.

f b

=

F p

Ab

VIII.4.3. Epaisseur du connecteur Au niveau de chaque raidisseur il y a une le d’ancrage des câbles. Le constructeur nous donne l’épaisseur minimale b 0 à respecter selon le nombre de câbles et la résistance à la compression du béton.

b>1,5b0

Dans notre cas on 4T15 et f c28=33 MPa ce qui correspond à b 0=25 cm D’où : b>37,5cm , On prend b=40 cm Prédimensionnement

84


Calcul de la précontrainte

VIII.5.1. Données de calcul Données relatives à l’acier de précontrainte : * Type des câbles de précontrainte : 4K15S ( A p= 600 mm2 ) * Résistance à la traction : f pk =1860 MPa * Limite d’élasticité conventionnelle : f p0,1k =0,9 fpk=1674 MPa * Module d’élasticité de l’acier : E p=195 000 MPa ( Données géométriques : * Angle au centre pour un câble : 120º (1/3 de la circonférence du silo) * Position du câble : 1/3 extérieur de la paroi ( Rc = 8,23 m) * Epaisseur de la nervure : 0,40 m * Déviation du Câble au point de tangence α : Déterminée à partir de la relation géométrique suivante : (

( R c tan α ) × tan 2α = Dta

Avec : Dta : est la distance entre le point de tangence et le point d’ancrage Nous avons : D ta=(0,117+0,40/2)=0,317 m On trouve donc : α = 7,7º * Longueur droite de la nervure : Ldn = 2 Rc tan α × cos α = 2, 28 m cos2α

* Longueur droite du câble (du point de tangence à la sortie de la nervure ) : 1  = 2, 26 m cos2α  Longueur courbe du câble :  2π 2απ  Lcc = Rc  −  = 15,02 m  3 180  Ldc

*

=

 

Rc tan α 1 +

* Longueur total du câble : L tc= Lcc + 2 Ldc = 19,54 m (

Données pour les pertes de précontrainte : * Coefcient de frottement entre l’armature de précontrainte et sa gaine : μ=0,19 * Déviation angulaire : k=0,0075 * Rentrée d’ancrage : g = 6mm * Perte par relaxation : ρ 1000 = 2,5 % * Classe de relaxation : classe 2 (basse relaxation)

VIII.5.2. Force de précontrainte maximale La force appliquée à l’armature de précontrainte P max (c’est-à-dire la force appliquée à l’extrémité active pendant la mise en tension) ne doit pas dépasser la valeur suivante : Pmax = A p .σ p .max où :  A p :

est l’aire de la section des armatures de précontrainte  σ p.max : est la contrainte maximale de l’armature = min (0,8 f pk ; 0,9 f p0,1k ) Nous avons : A p=600 mm2 (4K15S) et σ p.max=min(0,8×1860 ; 0,9×1674)=1488 MPa Ainsi : Pmax=0,893 MN Calcul de la précontrainte

85


VIII.5.3. Pertes instantanées de Précontrainte VIII.5.3.1. Perte par frottement

Les pertes ΔP µ(x ) dans les armatures précontraintes du fait du frottement, peuvent être estimées au moyen de l’expression : ∆ Pµ ( x ) = Pmax (1 − e − µ (θ + kx ) ) où : θ

: est la somme des déviations angulaires sur la distance x.  µ : est le coefcient de frottement entre l’armature de précontrainte et sa gaine  k : est une déviation angulaire parasite pour les armatures intérieures.  x : est la distance le long de l’armature depuis le point où la force de précontrainte est égale à P max (force à l’extrémité active pendant la mise en tension). à mi-portée : Nous avons : x 19,54 9,77 m et θ =  120 − 7,7  π = 0,91rad 2  2  180 Donc : ∆ Pµ ( x ) = 0,893 (1 − e −0,19(0,91+ 0,0075×9,77) ) = 0,152 MN x

=

x

=

à l’ancrage : ΔPµ = 0 VIII.5.3.2. Perte par recul d’ancrage

La perte par recul d’ancrage est celle qui apparaît lorsque la force de traction de l’armature exercée par le vérin est reportée directement au béton par l’ancrage ; elle intervient donc au moment où l’ancrage étant constitué, la tension du vérin est relâchée. Le mouvement de rentrée vers l’intérieur du béton est contrarié par le frottement du câble sur sa gaine, comme à la mise en tension, mais en sens inverse, Son inuence diminue donc à partir de l’ancrage jusqu’à s’annuler à une distance d de celui-ci à partir de laquelle la tension demeure inchangée.

gure 63. Recul d’ancrage


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Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo La distance d est donnée à partir de la relation suivante : d =

g .E p σ pmax .k '

θ

Avec : k ' = µ ( + k ) l On prend : l=9,77 m et θ =0,91 rad Donc k’=0,019 Ainsi :

d

6.10−3 ×195 000 = 6 ,43 m 1488×0,019

=

à l’ancrage : La perte par recul d’ancrage est donnée par la formule suivante : x

∆ P sl = Ap x

2 g E p d

= 0,218 MN

à mi-portée : ΔPsl = 0 VIII.5.3.3. Perte par déformation instantanée du béton

Elle est exprimée par la relation suivante :

 n − 1  ∆σ c (t ) ∆ Pel = A p .E p .    2n  E cm (t )

où :  Ecm(t)

: L’évolution du module d’élasticité avec le temps  ∆σc(t) : est la variation de contrainte au centre de gravité des armatures à l’instant t  t : est l’âge du béton (au tirage t=90 jours)  n : nombre de câble de précontrainte. Nous avons : x E cm

f cm (t )

(t ) = (

Avec :

f cm

)0,3 E cm 1

 28  2  )  t 

s (1−

f cm (t ) = f cm e

où :

et E cm

=

f cm

22 (

10

)0,3

 f cm(t)est

la résistance moyenne en compression du béton à l’âge de t jours  f cm est la résistance moyenne en compression du béton à 28 jours.  f cm = f ck + 8MPa = 41 MPa.  s est un coefcient qui dépend du type de ciment = 0,20 (Classe R). à t = 90 jours on trouve f cm(90j)=44,8 MPa et Ecm=33,6 GPa ainsi : Ecm(90j)=34,5 GPa x

.∆σ c (t ) =

A p σ a e × 0,3


87

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo Nous avons : x

f (t ) 0,3 E cm (t ) = ( cm ) E cm f cm

Avec :

1

 28  2 s (1−   )  t 

f cm (t ) = f cm e

et

E cm

=

où :

f cm

22 (

10

)0,3

 f cm(t)est

la résistance moyenne en compression du béton à l’âge de t jours  f cm est la résistance moyenne en compression du béton à 28 jours.  f cm = f ck + 8MPa = 41 MPa.  s est un coefcient qui dépend du type de ciment = 0,20 (Classe R). à t = 90 jours on trouve f cm(90j)=44,8 MPa et Ecm=33,6 GPa ainsi : Ecm(90j)=34,5 GPa x

∆σ c ( t ) =

e × 0,35 Avec :  e =40 cm : espacement des câbles.  σa =σa0 - ∆σel , où : * σa0=1125 MPa : à l’ancrage * σa0=1235 MPa : à mi-portée

Donc :  à mi-portée : à

A pσ a

l’ancrage :

600.10−6 (1235 − ∆σ el ) = 0,01(1235 − ∆σ el ) 0, 35 × 0, 4 × 34500 600.10−6 (1125 − ∆σ el ) ∆σ el = 195000 × 0,375 × = 0,01(1125 − ∆σ el ) 0, 35 × 0, 4 × 34500 ∆σ el = 195000 × 0,375 ×

Finalement :  à mi-portée : ∆Pel=A p.∆σel=7,33.10 -3 MN  à l’ancrage : ∆Pel=A p.∆σel=6,68.10-3 MN VIII.5.3.4. Total des pertes instantanées

à mi-portée : ∆Pi= ∆Pμ+ ∆Psl+∆Pel=0,159 MN ( à l’ancrage : ∆Pi= ∆Pμ+ ∆Psl+∆Pel=0,225 MN Pour ce qui suit, on prend la valeur maximale à savoire : ∆P i= 0,225 MN Ainsi, La valeur de la force de précontrainte initiale P m0 appliquée au béton immédiatement après mise en tension et mise en place de l’ancrage est obtenue en retranchant de la force à la mise en tension P max les pertes instantanées ΔP i : Pm0= Pmax - ΔPi = 0,893 – 0,225 = 0,668 MN (25 %) (

il convient d’après le règlement de ne pas dépasser la valeur suivante : Pm 0max = A p σ pmomax où : σ pm0max : est la contrainte dans l’armature immédiatement après la mise en tension ou le transfert σ pm0max= min(0,75 f pk ; 0,85 f p0,1k ) = 1395 MPa donc : Pm0max=0,837 MN > P m0 Calcul de la précontrainte

88


VIII.5.4. Pertes différées de Précontrainte VIII.5.4.1. Perte par retrait du béton

Le béton subit un raccourcissement progressif pendant plusieurs années dû au phénomène du retrait donc les armatures de précontrainte, liées au béton à leur extrémités par les ancrages et tout au long de leur tracé par le coulis d’injection, sont astreintes à subir le même raccourcissement que le béton adjacent. Ce raccourcissement engendre donc une perte de la précontrainte donnée par la formule suivante : ∆ Pr = A p E p ε cs La déformation totale de retrait ε cs se compose de la déformation due au retrait de dessiccation et de la déformation due au retrait endogène. La déformation due au retrait de dessiccation évolue lentement, car elle est fonction de la migration de l’eau au travers du béton durci. La déformation due au retrait endogène se développe au cours du durcissement du béton : elle se produit par conséquent en majeure partie aux cours des premiers jours suivant le coulage. ε cs

=

εcd

+

ε ca

Avec : .

x ε cd =

βds (t , t s ) .k h .ε cd ,0

Où : * k h est un coefcient dépendant du rayon moyen h 0 t − t s

* β ds (t , t s ) = (t − t s ) + 0,04 h03 Où :  t : est l’âge du béton à l’instant considéré, en jours  ts : est l’âge du béton (jours) au début du retrait de dessiccation (ou gonement).  h0 : est le rayon moyen (mm) de la section transversale = 2A c/u avec : x A aire de la section du béton c x u périmètre de la partie de la section exposée à la dessiccation.   f cm = ε 0,85 ( 220 + 110.αds 1 ) .exp  −αds 2 . * cd ,0 f cmo   3

  −6   .10 .β RH 

 RH  = 1,55[1 −  ]  RH o 

Où : β RH Avec :  f cmo = 10 MPa  αds1 et αds2 sont des coefcients qui dépendent du type de ciment.  RH est l’humidité relative de l’environnement ambiant  RH0 = 100 %.

tableau 35. coefcient k h


89

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo Paramètre

valeur

h0 k h

350 mm 0,725

t

90 jours

ts βds(t,ts )

1 jour = début du retrait 0,25

RH

80%

βRH αds1

0,76 6 (classe R)

αds2

0,11(classe R)

εcd,0

3,62.1-4)

tableau 36. Valeurs des paramètres du retrait de béton

Donc on trouve : εcd(∞,90)=6,56.10-5 x ε ca

= βds (t ) .ε ca (∞)

Avec : − 10) .10 −6 = 5, 75.10 −5 ( −0,2.t 0,5 )

 ε ca ( ∞ ) = 2,5 ( f ck  β ds (t ) = 1 − e

= 0,85

Donc : εca=4,89.10-5 Ainsi : εcs=εcd+ εca=1,14.10-4 Finalement : ∆ Pr = 600.10 −6 ×195 000 ×1,14.10 −4 = 1,33.10 −2 MN VIII.5.4.2. Perte par uage

Le béton subit un raccourcissement progressif dû au uage lorsqu’il est soumis à une contrainte de compression permanente, Cependant, la contrainte du béton adjacent aux armatures de précontrainte n’est pas constante dans le temps car elle varie à cause de :  Différentes phases de construction qui se traduisent par l’application des nouvelles charges permanentes  Autres pertes différées (par retrait du béton et par relaxation de l’acier). La perte de précontrainte par uage se calcule à partir de l’expression suivante : ∆ P f = A p .E p .ϕ ( ∞,t 0 ) .

σ c

E c

Le coefcient de uage φ(t ,t 0) peut être calculé à partir de : ϕ (t , t 0 ) = ϕ0 .β c (t , t 0 )


90


Où : x

φ0 : est le coefcient de uage conventionnel et peut être estimé par : ϕ0 = ϕ RH .β ( f cm ) .β (t 0 ) Avec : * φRH : est un facteur tenant compte de l’inuence de l’humidité relative sur le coefcient de uage conventionnel : ϕ RH

RH    1 − 100  .α1  .α 2 = 1 + 3  0,1. h0   

Où : α1/2 sont des coefcients tenant compte de l’inuence de la résistance du béton :  35  α 1 =    f cm 

0,7

 35  α 2 =    f cm 

0,2

* β(f cm) : est un facteur tenant compte de l’inuence de la résistance du béton sur le coefcient de uage conventionnel : β ( f cm ) =

16,8 f cm

* β(t0) : est un facteur tenant compte de l’inuence de l’âge du béton au mo ment du chargement sur le coefcient de uage conventionnel : 1 β (t 0 ) = (0,1 + t 00,2 ) x β (t,t ) : est un coefcient qui rend compte du développement du uage avec le temps c 0 après chargement, et peut être estimé par l’expression suivante : 0,3  (t − t 0 )  β c (t , t 0 ) =    ( β h + t − t 0 )  Nous avons : A p .σ pm 0 E c = 1,05 E cm et σ c =

0,35.e

paramètre α1 α2 φRH β(f cm) t0 β(t0) βc(t,t0) φ(t,t0) σc Ec

valeur 0,89 0,97 1,21 2,62 90 jours 0,39 1 1,24 4,77 MPa 35,28 GPa

tableau 37. Valeurs des paramètres du uage de béton

Donc : ∆ P f = 600.10 −6 ×195000 ×1, 24 × 4,77 = 1,96.10 −2 MN 35 280


91

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VIII.5.4.3. Perte par relaxation

La perte par relaxation de l’acier de précontrainte est donnée par la formule : ∆ P pr = A p σ pmo 0,66 ρ 1000 e

9,1 µ

 t     1000 

0,75(1− µ )

.10−5

où : μ

=σ pmo/f pk = 0,598  ρ1000 : est la valeur de la perte par relaxation (en %), 1 000 heures après la mise en tension, à une température moyenne de 20 °C = 2,5 %  Les valeurs à long terme (nales) des pertes par relaxation peuvent être estimées à un temps t = 500 000 heures (soit 57 ans environ). On trouve : ∆P pr = 2,71.10-3 MN VIII.5.4.4. Total des pertes différées

∆ P d =

∆ Pr + ∆Pf + 0,8∆P pr E A   A 1 + p × p 1 + c z c2  (1 + 0,8ϕ (t , t 0 ) ) E m Ac  I c 

Avec :  E p = 195 000 MPa  Ecm = 33 600 MPa  A p

=

 Ac

=

600.10−6 e

=

1, 5.10−3 m 2 / m

0,35 .1 = 0,35 m2 / m

0,353  Ic : le moment d’inertie de la section de béton = ×1 = 3,57.10−3 m4 / m 12  zc :

la distance entre le centre de gravité de la section de béton et les armatures de précontrainte = 0,055 m  φ(t,t0)=1,24 Tout calcul fait, on trouve : ∆Pd=3,26.10-2 MN

VIII.5.5. Total des pertes instantanées et différées ∆ Pi d = ∆Pi + ∆Pd = 0,257 MN +

Ainsi : la force de précontrainte probable P m,t est égale à la force maximale P max appliquée à l’extrémité active moins les pertes instantanées et les pertes différées : Pm,t = Pmax - ∆Pi+d= 0,635 MN (28,8 %) Les calculs à l’état-limite de service doivent tenir compte des variations possibles de la précontrainte. On dénit deux valeurs caractéristiques de la force de précontrainte à l’état-limite de service : Pk,sup = r sup Pm,t =1,1 Pm,t = 0,698 MN Pk,inf = r inf Pm,t = 0,9 Pm,t = 0,571 MN


92



VIII.6.1. Descente de charge Elément

Detail Poutres Plancher Couverture Complexe étanche superstructure poussière Paroi Connecteurs Poutre couronne Sommet Cône Paroi Ciment stockage Bloc de béton Jupe inférieure plancher Plancher à +12,60 superstructure plancher Plancher à +6,60 superstructure Total sur fondation

G (T) 52,69 100,48 36,17 40,19

Q (T)

20,10 1814,83 221,5 243,59 19 300,89 10373,95 402,25 660,82 120,44 57,81 120,93 38,70 4230,3

10394,05

tableau 38. descente de charge variante béton précontraint

VIII.6.2. Dimensions de la semelle VIII.6.2.1. Rayon intérieur r et extérieur R

En appliquant la même méthode que pour la variante en béton armé, On trouve : R=12,45 m et r=0,41 m De même, on remarque que r ≈ 0, donc nous allons opter pour un radier circulaire de rayon R

VIII.6.3. Dimensions du radier Le rayon du radier : R=14 m La hauteur utile : d=1,4 , on prend h=1,45 m

VIII.6.4. Vérifcation de la contrainte du sol Elément Dallage Remblais Radier

G (T) 116,1 815,64 2000,18

Q (T)

Total sous fondation

7162,21

10394,05

Donc : σ = N ELS 2 = 28,5T / m2 < 30 T / m2 π R


93


VIII.6.5. Calcul des armatures sur Effel Les charges appliquées sur le radier sont dénies comme nous avons fait avec la première variante : P1= 582,29 T/ml , P2= 3,05 T/m2 et P3= 2,43 T/m2 Supérieures Cerces inférieures Radiales

Rayon 0->10 4->7 7->11 11->14 5->10 10->14

Ath (cm2/m) 26,75 22,72 64,9 57,7 134,8 39,8

Aréel HA 20 HA 20 HA 32 HA 32 HA 40 HA 20

espacement 12 12 12 14 8 8

tableau 39. Ferraillage du radier Variante BP x


gure 64. Armatures supérieures du radier BP

gure 65. Armatures inférieures du radier BP


94



Pour la saisie de la structure, la dénition des appuis et des charges nous avons procédé comme dans le cas du silo en béton armé.

VIII.7.1. Saisie de la précontrainte Vu la délicatesse de la modélisation de la précontrainte dans les tronçons cylindriques, et le non disponibilité du module de calcul de précontrainte sur la version avec laquelle nous avons travaillé, nous avons utilisé le procédé de la mise en tension par dilatation thermique Ce procédé consiste à chauffer l’armature et à la xer à chaud au béton durci, lors du refroidissement, l’armature tend à se contracter et se trouve ainsi tendue sans intervention mécanique. Ainsi, sur le logiciel nous allons entrer une température négative sur des barres en acier. x

Génération des barres :

On considère une barre en acier de section égale à la section des câbles de précontrainte ( 4T 15 S) soit A= 600 mm2, donc le dimètre de la barre est D=2,76 cm

gure 66. Dénition des barres de précontrainte x

Calcul de la température négative :

La température négative à appliquer sur les barres pour générer l’effet de la précontrainte est calculée en égalisant la déformation due à la précontrainte ε P avec celle due à la température ε T . ∆l P Nous avons : ε P = = et ε T = α .∆T l

AE p

P

Donc : ∆T = α . A.E p Avec :  P : Effort de précontrainte = 0,635 MN  α=1,2.10-5 : Coefcient de dilatation thermique de l’acier  EP module d’élasticité de l’acier =200 000 MPa Ainsi, on trouve : ∆T= - 441ºC Nous avons appliqué cette température sur les barres disposées sur les éléments surfaciques de la paroi, et espacées suivant les espacements déja calculés.


95


gure 67. Génération de la température négative sur les barres

VIII.7.2. Résultats de la modélisation VIII.7.2.1. Déplacement de la paroi

gure 68. Déplacement de la paroi en béton précontraint


96

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo VIII.7.2.2. Sollicitations sur la paroi (

Vérication des efforts dus à la dilatation thermique (précontrainte) :

gure 69. Effort Fx due à la précontrainte seule

Sur la partie dont l’espacement des câbles est 0,45 m nous avons F x1=-136,14 T, celle avec un espacement de 0,55 m F x2=-115,8 T et pour la dernière partie avec 0,65 m F x3=-96,86. Si on multiplie chaque effort par l’espacement correspondant qui désigne la taille des éléments sur Effel, alors on trouve les efforts suivants : F x1= -61,3 T ; Fx2=-63,7 T et F x3=-62,9 T. On remarque donc que les valeurs trouvées coincident avec l’effort de précontrainte que nous avons calculé P=63,5 T, ainsi le procédé de précontrainte utilisé est valable. (

Variations des efforts Fx et Fy :


97


(

Variations des moments M x et My :


98


VIII.7.3. Ferraillage (

Ferraillage de la paroi : * Les Cerces :

tranche

acier intérieur

0 -> 5 5 -> 10 10 -> 15 15 -> 20 20 -> 25 25 -> 30 30 -> 35 35 -> 40,4

2 7,5 13,5 19,8 20,3 14,8 14,8 9,9


espacement acier extérieur (cm) (cm2/ml) 15 14,0 15 11,1 15 14,3 15 19,2 15 18,4 20 20,2 20 20,7 20 19,8


espacement (cm) 10 10 10 15 15 15 15 15

tableau 40. section des cerces de la paroi BP * Les douves :

tranche

acier intérieur

0 -> 5 5 -> 10 10 -> 15 15 -> 20 20 -> 25 25 -> 30 30 -> 35 35 -> 40,4

3,2 3,2 3,2 2,7 1,6 1,6 0 0


espacement acier extérieur (cm) (cm2/ml) 15 22 15 10,4 15 10,4 15 9 15 9,3 15 4,9 15 2,2 20 25


espacement (cm) 12 20 20 20 20 15 15 12

tableau 41. section des douves de la paroi BP (

Ferraillage de la jupe inférieure : * Les Cerces :

Partie 0->4,75 4,75->6,5 6,5->11,7

acier intérieur 4 59 15


acier extérieur 3 59 11


tableau 42. section des Cerces de la jupe inférieure BP * Les douves :

Nous remarquons qu’au voisinage de l’ouverture les section d’armature sont élevées, donc nous avons disposé ses armatures sur une longueur de 2 m de part et d’autre des ouvertures. Partie 0->4,75 4,75->6,5 6,5->11,7

acier intérieur 58 0 0


acier extérieur 58 0 0


tableau 43. section des douves de la jupe inférieure BP


99


Ferraillage du Cône :

Comme dans la variante béton armé le cône travail en compression, la section d’acier minimale à considérer est : A min=7 cm2/ml (suivant les deux directions) (


gure 70. Schéma de ferraillage de la paroi BP : Cerces


100


IX. Comparaison entre les deux variantes Nous allons établir dans ce chapitre le prix estimatif des deux variantes, le calcul des quantités de béton et de l’acier est effectué manuellement. IX.1.

Prix de la première variante

IX.1.1. Prix du béton Élements Couverture Paroi Poutre couronne Sommet Cône Paroi Jupe inférieure Plancher à +12,60 Plancher à +6,60 Dallage Radier

Quantité(m3) 61,27 1263,5 127 7,6 120,3 428,8 47,5 47,7 47,7 1023,3

Prix unitaire (DHs) 4000 3500 3500 3500 4000 3200 4000 4000 2300 2500

Prix de l’élément 245 080,00 4 422 250,00 444 500,00 26 600,00 481 200,00 1 372 160,00 190 000,00 190 800,00 109 710,00 2 558 250,00

Prix total

10 040 550,00

tableau 44. Prix du béton de la variante BA

IX.1.2. Prix de l’acier Élements Actif Passif Poutre Couverture Ancrages gaines Prédalle Paroi Poutre couronne Cône Jupe inférieure Plancher à +12,60 Plancher à +6,60 Dallage Radier

Unité Kg Kg unité m Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg

Quantité 806,38 725,48 12 135,46 1496,5 195169,16 9889,8 4163,04 29452,14 2338,5 2338,5 831,87 75319,5

Prix unitaire Prix de l’élément 35 28 223,30 23 16 686,04 400 4 800,00 20 2 709,20 23 34 419,50 23 4 488 890,68 23 227 465,40 23 95 749,92 23 677 399,22 23 53 785,50 23 53 785,50 23 19 133,01 23 1 732 348,50 Prix total

7 435 395,77

tableau 45. Prix de l’acier de la variante BA

IX.1.3. Prix total de la variante Le prix total de la première variante en Béton armé est :

17 475 945,77 DHs

Comparaison entre les deux variantes

101

Mémoire de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo IX.2.

Prix de la deuxième variante

IX.2.1. Prix du béton Élements Couverture Paroi Connecteurs Poutre couronne Sommet Cône Paroi Jupe inférieure Plancher à +12,60 Plancher à +6,60 Dallage Radier

Quantité(m3) 61,27 725,9 88,6 97,44 7,6 120,3 264,3 48,2 48,4 48,3 800,1

Prix unitaire (DHs) 4000 3500 3500 3500 3500 4000 3200 4000 4000 2300 2500

Prix de l’élément 245 080,00 2 540 650,00 310 100,00 341 040,00 26 600,00 481 200,00 845 760,00 192 800,00 193 600,00 111 090,00 2 000 250,00

Prix total

7 288 170,00

tableau 46. Prix du béton de la variante BP

IX.2.2. Prix de l’acier Élements Actif Passif Poutre Couverture Ancrages gaines Prédalle Passif Paroi Actif Poutre couronne Cône Jupe inférieure Plancher à +12,60 Plancher à +6,60 Dallage

Unité Kg Kg unité m Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg

Quantité 806,38 725,48 12 135,46 1496,5 92338,06 18506,57 9889,8 4163,04 50388,42 2338,5 2338,5 831,87

Prix unitaire Prix de l’élément 35 28 223,30 23 16 686,04 400 4 800,00 20 2 709,20 23 34 419,50 23 2 123 775,38 35 647 729,95 23 227 465,40 23 95 749,92 23 1 158 933,66 23 53 785,50 23 53 785,50 23 19 133,01 Prix total

6 193 044,37

tableau 47. Prix de l’acier de la variante BP

IX.2.3. Prix total de la variante Le prix total de la deuxième variante en Béton Précontraint est :

13 481 214,37 DHs Les résultats obtenus par le métré montrent que la variante la plus avantageuse en terme de coût est la deuxième variante calculée en béton précontraint avec une différence de 3 994 431,40 DHs.

Comparaison entre les deux variantes

102

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo

Conclusion L’objectif de ce travail de n d’études est le dimensionnement d’un silo circulaire de capacité 10 000 T, nous avons établi une étude de deux variantes : en béton armé et en béton précontraint. Au terme de ce travail, nous avons déni dans un premier temps la conception de la structure ainsi que les méthodes d’exécution et de réparation des silos. Deuxièment, après avoir déni toutes les hypothèses de calcul, nous avons effectué une série de calculs manuels des éléments constituant la structure, soit : la paroi, le cône, la poutre couronne, la couverture, le plancher circulaire et le dallage. Troisièment, nous avons modélisé la structure des deux variantes sur le logiciel Effel, d’une part pour conrmer la conception adoptée et d’autre part, compléter l’étude manuelle notamment pour le calcul de ferraillage de la paroi, le cône, la jupe inférieure et le radier. Finalement, La comparaison entre les deux variantes au niveau économique a montré que la variante en béton précontraint est la plus avantageuse. Nous pouvons afrmer que ce projet a la particularité de traiter un ouvrage de stockage spécial, qui constitue un élément important dans le processus de fabrication du ciment. Cette particularité a constitué pour nous une bonne expérience professionnelle, dans la mesure où elle nous a permis, non seulement de mobiliser toutes nos connaissances théoriques acquises durant notre formation, mais aussi d’apprendre plus de techniques, méthodes et règlements.

103


Bibliographie ( Réglements

:

[1] Eurocode 1 Partie 4 : Actions dans les silos et réservoirs [2] Régles professionnelles de conception et de calcul des silos en béton armé ou précontraint (Juillet-Août 1986) de l’ITBTP [3] Eurocode 2 Partie 1-1 : règles générales et règles pour les bâtiments [4] Règles BAEL 91 révisées 99 [5] Règles BPEL 91 [6] Règles NV 65 ( Références

:

[7] Conception et calcul des structures en béton, Henry THONIER [8] Silos théorie et pratique, Marcel et André REIMBERT [9] Traité de béton armé, André GUERRIN et George DANIEL [10] Le béton précontraint aux états limites, Henry THONIER [11] La précontrainte, Presses de l’école nationale des ponts et chaussées [12] Cours Précontrainte des structures isostatiques, Mr AZIZI [13] Cours de Structures en béton, Mr GUISSI [14] Cours Théorie des plaques et coques, Mr CHERRABI [15] Techniques de l’ingénieur [16] Maîtrise de BAEL 91 et des DTU associés [17] Calcul des ouvrages en béton armé, M.BELAZOUGUI [18] Les documents de DAVIDOVICI [19] Cours Béton armé, Centre des hautes études de la construction

104


ANNEXES

105


ANNEXE A : Plans de présentation du projet

106


107


ANNEXE B : Détail de Calcul des poussées sur la paroi Actions au remplissage : ( Pression horizontale P hf : Nous avons : γ=16 KN/m3 ; K=K sup= 0,648 ; μ= μinf = 0,477 ; A/U= r h=4 m Donc : z0= 12,94 m et Pho= 13,42 T/m2 Ainsi : z Y j Phf (T/m2) 0 0,00 0,00 1 0,07 1,00 2 0,14 1,92 3 0,21 2,78 4 0,27 3,57 5 0,32 4,30 6 0,37 4,98 7 0,42 5,61 8 0,46 6,19 9 0,50 6,73 10 0,54 7,22 11 0,57 7,68 12 0,60 8,11 13 0,63 8,51 14 0,66 8,87 15 0,69 9,21 16 0,71 9,52 17 0,73 9,81 18 0,75 10,08 19 0,77 10,33 20 0,79 10,56 21 0,80 10,77 22 0,82 10,97 23 0,83 11,15 24 0,84 11,32 25 0,86 11,48 26 0,87 11,62 27 0,88 11,75 28 0,89 11,88 29 0,89 11,99 30 0,90 12,10 31 0,91 12,20 32 0,92 12,29 33 0,92 12,37 34 0,93 12,45 x

108

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo Contrainte de frottement sur la paroi P wf : Nous avons : γ=16 KN/m3 ; K=K sup= 0,648 ; μ= μsup= 0,546; A/U= r h=4 m Donc : z0= 11,31m et Pho= 11,72 T/m2 Ainsi : (

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Y j 0,00 0,08 0,16 0,23 0,30 0,36 0,41 0,46 0,51 0,55 0,59 0,62 0,65 0,68 0,71 0,73 0,76 0,78 0,80 0,81 0,83 0,84 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,92 0,93 0,94 0,94 0,95 0,95

Pwf (T/m2) 0,00 0,54 1,04 1,49 1,91 2,29 2,64 2,95 3,25 3,51 3,76 3,98 4,19 4,37 4,54 4,70 4,84 4,98 5,10 5,21 5,31 5,40 5,48 5,56 5,63 5,70 5,76 5,81 5,86 5,91 5,95 5,99 6,02 6,05 6,08

109


Pression verticale P vf : Nous avons : γ=16 KN/m3 ; K=K inf = 0,450 ; μ= μinf = 0,477; A/U= r h=4 m Donc : z0= 18,63m et Pho= 13,42 T/m2 Ainsi : (

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Y j 0,00 0,05 0,10 0,15 0,19 0,24 0,28 0,31 0,35 0,38 0,42 0,45 0,47 0,50 0,53 0,55 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,69 0,71 0,72 0,74 0,75 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84

Pvf (T/m2) 0,00 1,56 3,03 4,43 5,76 7,02 8,21 9,34 10,41 11,42 12,38 13,30 14,16 14,98 15,75 16,49 17,18 17,85 18,47 19,06 19,63 20,16 20,66 21,14 21,60 22,03 22,43 22,82 23,18 23,53 23,86 24,17 24,47 24,75 25,01

110

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo x (

Action à la vidange :

Pression horizontale P he: z

Phe (T/m2)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

0,00 1,15 2,21 3,19 4,10 4,95 5,73 6,45 7,12 7,73 8,31 8,84 9,33 9,78 10,20 10,59 10,95 11,28 11,59 11,88 12,14 12,39 12,61 12,82 13,02 13,20 13,36 13,52 13,66 13,79 13,91 14,03 14,13 14,23 14,32

111

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo (

Contrainte de frottement sur la paroi P we: z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Pwe (T/m2) 0,00 0,60 1,14 1,64 2,10 2,52 2,90 3,25 3,57 3,86 4,13 4,38 4,60 4,81 5,00 5,17 5,33 5,47 5,61 5,73 5,84 5,94 6,03 6,12 6,20 6,27 6,33 6,39 6,45 6,50 6,54 6,59 6,62 6,66 6,69

112


Action à la vidange avec un grand excentrement :

x (

Pour k 1=0,25 * Géométrie :

rc 1 = 0, 25 × 8 = 2 m ec 1 = 8 0, 64 (1 − 0, 25 ) + (1 − 0, 64 ) 1 − 0, 25  = 6,33 m



cos θc 1 =



2

2

2

8 + 6,33 − 2 = 0,988 => θ c 1 = 8,8° 2 × 8 × 6,33

U wc 1 = 2 ×

8,8 × π × 8 = 2, 46 m 180

8 sin Ψ1 = sin 8,8°= 0, 612 => Ψ1 = 37, 7° 2  

U sc 1 = 2 × 2  π −

37,7 × π  = 9, 93 m 180 

2 2 2 Ac 1 = (π − 0,66 ) 2 + 0,15 × 8 − 8 × 2 × sin(0, 66 − 0,15) = 11,8 m

* Pression : On prend dans ce cas : K=K inf =0,45 ; μ=μinf =0,477 et ∅i = ∅isup = 36,6° Donc : 1  11,8  = 3,07 m  0, 45  2, 46 × 0, 477 + 9,93 × 0,74  Phco1 =1,6 × 0, 45 × 3,07 = 2, 21T / m 2 z oc 1 =

Ainsi : z −   3,07 Phce1 ( z ) = 2,21 1 − e    

Pwce 1 ( z

) = 0,477 Phce 1 ( z )

113


Zone d'écoulement z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Phce1 0,00 0,61 1,06 1,38 1,61 1,78 1,90 1,98 2,05 2,09 2,12 2,15 2,17 2,18 2,19 2,19 2,20 2,20 2,20 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21

Pwce1 0,00 0,29 0,50 0,66 0,77 0,85 0,90 0,95 0,98 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,04 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05

zone statique hors zone d’écoulement Phse1 Pwse1 0,00 0,00 1,00 0,54 1,92 1,04 2,78 1,49 3,57 1,91 4,30 2,29 4,98 2,64 5,61 2,95 6,19 3,25 6,73 3,51 7,22 3,76 7,68 3,98 8,11 4,19 8,51 4,37 8,87 4,54 9,21 4,70 9,52 4,84 9,81 4,98 10,08 5,10 10,33 5,21 10,56 5,31 10,77 5,40 10,97 5,48 11,15 5,56 11,32 5,63 11,48 5,70 11,62 5,76 11,75 5,81 11,88 5,86 11,99 5,91 12,10 5,95 12,20 5,99 12,29 6,02 12,37 6,05 12,45 6,08

zone statique proche de la zone d’écoulement Phae1 Pwae1 0,00 0,00 1,38 0,66 2,79 1,33 4,18 1,99 5,53 2,64 6,83 3,26 8,06 3,85 9,23 4,40 10,33 4,93 11,36 5,42 12,32 5,88 13,22 6,31 14,06 6,70 14,83 7,08 15,56 7,42 16,23 7,74 16,85 8,04 17,42 8,31 17,96 8,57 18,45 8,80 18,91 9,02 19,34 9,22 19,73 9,41 20,09 9,58 20,43 9,75 20,74 9,89 21,03 10,03 21,30 10,16 21,55 10,28 21,78 10,39 21,99 10,49 22,18 10,58 22,37 10,67 22,53 10,75 22,69 10,82

114


Pour k 2=0,4 * Géométrie : rc 2 = 0, 4 × 8 = 3, 2 m ec 2 = 8  0, 64 (1 − 0, 4 ) + (1 − 0, 64 ) 1 − 0, 4  = 5, 30 m





2

2

2

8 + 5, 3 − 3, 2 = 0, 965 = => > θ c 2 = 15,16° 2 × 8 × 5, 3

cos θc 2 =

U wc 2 = 2 ×

si n Ψ 2 =

15,16 × π × 8 = 4, 23 m 180

8 sin 15,16° = 0, 65 654 3,2 3, 2

=> Ψ 2 = 40, 83 °

40,83 × π   ,54 m  = 15,54 180   2 Ac 2 = (π − 0, 71) 3, 2 + 0, 26 × 82 − 8 × 3, 2 × sin(0, 71 − 0, 26) = 30, 45 m 2 U sc 2 = 2 × 3,2  π −

* Pression : On prend dans ce cas : K=K inf =0,45 ; μ=μinf =0,477 et ∅i = ∅ isup = 36,6° Donc : 1  30, 45  z oc 2 = = 5,00 m  0, 4455  4, 2233 × 0, 44777 +15, 54 × 0, 7744  Phco 2 =1, 6 × 0, 45 × 5, 00 = 3, 6T

/ m2

Ainsi : z −   5,00 Phce 2 ( z ) = 3, 6  1 − e    

Pwce 2 ( z

) = 0,477 Phce 1 ( z )

115



Phce2 0,00 0,65 1,19 1,62 1,98 2,28 2,52 2,71 2,87 3,00 3,11 3,20 3,27 3,33 3,38 3,42 3,45 3,48 3,50 3,52 3,53 3,55 3,56 3,56 3,57 3,58 3,58 3,58 3,59 3,59 3,59 3,59 3,59 3,60 3,60

Pwce2 0,00 0,31 0,57 0,77 0,95 1,09 1,20 1,29 1,37 1,43 1,48 1,53 1,56 1,59 1,61 1,63 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,69 1,70 1,70 1,70 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,72

zone statique hors zone d'écoulement Phse2 Pwse2 0,00 0,00 1,00 0,54 1,92 1,04 2,78 1,49 3,57 1,91 4,30 2,29 4,98 2,64 5,61 2,95 6,19 3,25 6,73 3,51 7,22 3,76 7,68 3,98 8,11 4,19 8,51 4,37 8,87 4,54 9,21 4,70 9,52 4,84 9,81 4,98 10,08 5,10 10,33 5,21 10,56 5,31 10,77 5,40 10,97 5,48 11,15 5,56 11,32 5,63 11,48 5,70 11,62 5,76 11,75 5,81 11,88 5,86 11,99 5,91 12,10 5,95 12,20 5,99 12,29 6,02 12,37 6,05 12,45 6,08

zone statique proche de la zone d'écoulement Phae2 Pwae2 0,00 0,00 1,34 0,64 2,66 1,27 3,93 1,87 5,15 2,46 6,33 3,02 7,44 3,55 8,50 4,06 9,50 4,53 10,45 4,98 11,33 5,41 12,17 5,80 12,95 6,18 13,68 6,52 14,36 6,85 15,00 7,15 15,59 7,44 16,14 7,70 16,66 7,95 17,14 8,17 17,58 8,39 18,00 8,58 18,38 8,77 18,74 8,94 19,07 9,10 19,38 9,24 19,66 9,38 19,92 9,50 20,17 9,62 20,40 9,73 20,61 9,83 20,80 9,92 20,98 10,01 21,15 10,09 21,30 10,16

116

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo Pour k 3=0,6 * Géométrie : rc 3 = 0, 6 × 8 = 4, 8 m

(

ec 3 = 8  0, 64 (1 − 0, 6 ) + (1 − 0, 64 )



1 − 0, 6  = 3, 87 m

82 + 3, 872 − 4, 82 cos θc 3 = = 0, 903 => θ c 3 = 25, 40° 2 × 8 × 3, 87 25,40 × π × 8 = 7,10 m U wc 3 = 2 × 180 8 sin 25 25, 40 40° = 0, 71 716 => Ψ3 = 45, 63 63 ° 4,8 45,63 × π   U sc 3 = 2 × 4,8  π − ,50 m  = 22,50 180   2 Ac 3 = (π − 0, 80 ) 4, 8 + 0, 44 × 82 − 8 × 4, 8 × sin(0, 80 − 0, 44) = 68, 83 m 2 si n Ψ 3 =

* Pression : On prend dans ce cas : K=K inf =0,45 ; μ=μinf =0,477 et Donc :

∅i = ∅ isup = 36,6°

1  68, 83  = 7,63 m 0, 4455  7,10 × 0, 44777 + 22, 50 × 0, 7744  =16 × 0, 45 × 7, 63 = 5, 49T / m 2

z oc 3 =

Phco 3

Ainsi : z −   7,63 Phce 3 ( z ) = 5, 49 1 − e    

Pw ce 3 ( z

) = 0,477 Phce 1 ( z )

117



Phce3 0,00 0,67 1,27 1,78 2,24 2,64 2,99 3,30 3,57 3,80 4,01 4,19 4,35 4,49 4,61 4,72 4,82 4,90 4,97 5,03 5,09 5,14 5,18 5,22 5,25 5,28 5,31 5,33 5,35 5,37 5,38 5,40 5,41 5,42 5,43

Pwce3 0,00 0,32 0,60 0,85 1,07 1,26 1,43 1,57 1,70 1,81 1,91 2,00 2,08 2,14 2,20 2,25 2,30 2,34 2,37 2,40 2,43 2,45 2,47 2,49 2,51 2,52 2,53 2,54 2,55 2,56 2,57 2,57 2,58 2,58 2,59

zone statique hors zone d'écoulement Phse3 Pwse3 0,00 0,00 1,00 0,54 1,92 1,04 2,78 1,49 3,57 1,91 4,30 2,29 4,98 2,64 5,61 2,95 6,19 3,25 6,73 3,51 7,22 3,76 7,68 3,98 8,11 4,19 8,51 4,37 8,87 4,54 9,21 4,70 9,52 4,84 9,81 4,98 10,08 5,10 10,33 5,21 10,56 5,31 10,77 5,40 10,97 5,48 11,15 5,56 11,32 5,63 11,48 5,70 11,62 5,76 11,75 5,81 11,88 5,86 11,99 5,91 12,10 5,95 12,20 5,99 12,29 6,02 12,37 6,05 12,45 6,08

zone statique proche de la zone d'écoulement Phae3 Pwae3 0,00 0,00 1,32 0,63 2,58 1,23 3,77 1,80 4,90 2,34 5,96 2,84 6,97 3,32 7,92 3,78 8,81 4,20 9,65 4,60 10,44 4,98 11,18 5,33 11,87 5,66 12,52 5,97 13,13 6,26 13,70 6,53 14,23 6,79 14,73 7,02 15,19 7,25 15,62 7,45 16,03 7,64 16,40 7,82 16,75 7,99 17,08 8,15 17,39 8,29 17,67 8,43 17,93 8,55 18,18 8,67 18,41 8,78 18,62 8,88 18,82 8,97 19,00 9,06 19,17 9,14 19,33 9,22 19,47 9,29

118


Comparaison entre les 3 cas k1, k2 et k3 :

119


120


(

ANNEXE C : Résultats de La jupe inférieure :

la modélisation

* Variation des efforts F x et Fy :

* Variation des moments M x et My :

121

Rapport PFE Silo Final

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