Recueil d Exercices

STATIQUE RESISTANCE DES MATERIAUX STRUCTURES

RECUEIL D'EXERCICES

F. Fleury

Structures - Recueil d'exercices 1

Recueil d'exercices

Exercice n°1. La norme indique une surcharge d'exploitation de 1,5 kN/m² pour une habitation. • Cette surcharge équivaut à combien de personnes de 60 kg pour une pièce de 5m x 3m? 5m

Ce plancher est constitué d'une dalle pleine en béton armé de 16 cm d'épaisseur, et est revêtue d'un parquet. 3 (béton armé : 25 kN/m , parquet : 0,25 kN/m².)

•

Quel est le rapport entre poids propre et charge d'exploitation ?

•

Quelle force linéique revient sur chacun des deux murs de la première figure ?

•

3m

5m

Quelle force concentrée revient sur chaque poteau de la deuxième figure ? 3m

Exercice n°2.

x

Soit le plancher bois schématisé ci-contre, constitué d’un parquet posé sur des solives en sapin, ellesmêmes reposant sur des poutres espacées de 3m, et franchissant 6m.

Calculez la force linéique que doit supporter la poutre principale centrale , sachant que :

• • • •

Le poids propre des solives est équivalent à 15 daN/m², Le poids propre de la poutre est estimé à 40 daN/m, Le poids propre du parquet est de 20 daN/m², On considère une surcharge de 150 daN/m².

F. Fleury


Exercice n°3. La construction de la figure ci-dessous est couverte par une toiture composée : - De tuiles pesant 0,2 kN/m², posées sur - Un lattis, dont les lattes de 1,5 cm x 1,5 c m de section sont espacées de 30 cm. Il est posé sur - Des chevrons de 3cm x 10 cm, espacés de 40 cm, et eux-mêmes reposant sur - Des pannes, de 5cm x 16cm, espacées de 3m, qui sont encastrées dans les voiles. 3 Le bois possède un poids volumique de 8 kN/m .

• • •

Calculez la charge par mètre linéaire respectivement sur les lattes, les chevrons, et les pannes. Comparez le poids total de couverture pour couvrir 3m x 5m avec la charge d'exploitation d'un plancher, et la surcharge de neige (neige normale, zone C, 750 m d'altitude : 147,5 daN/m²). Comparez les efficacités de la dalle pleine avec celle de l'ossature bois.

lattes 30 cm Chevron 3m

F. Fleury

Panne


Exercice n°4. On veut établir pour une maison individuelle le projet de la pièce représentée ci-dessous et comprenant un balcon extérieur. L’ensemble est réalisé à partir d’un solivage bois. On adoptera pour les calculs les valeurs suivantes: Ecartement des solives: 060 m. Section des solives: 0,10 m X 0,20 m . 3 Poids volumique du sapin: 500 daN/m . Poids propre du parquet : 10 daN/m²/cm ép. Poids propre du parquet en clairvoie: 6 daN/m²/cm ép. Poids propre du placoplâtre: 9 daN/m²/cm ép. Poids propre balustrade: 18 daN/ml . Surcharge d’utilisation: 150 daN/m²

Surcharge balcon: 300 daN/m²

Déterminer les cas de charges et les schémas de calculs pour une solive courante et une solive de balcon.

5,00 m

1,20 m 2,50 m

Ballustrade

Solive 10 x 20 Parquet chêne épais. 2 cm

Placoplâtre épais. 1 cm Parquet clairvoie épais. 2 cm 0,20 m

F. Fleury

5,00 m

1,20 m 0,20 m


Exercice N°5. !!! On considère l’ossature simplifiée d’un bâtiment de huit niveaux représenté sur la page suivante: Façades:

* allège maçonnée de 21 cm d’épaisseur sur une hauteur de 1 m. Masse volumique de 3 la maçonnerie: 1,8 t/m * Bande vitrée sur 1,5 m de haut. masse surfacique: 30 kg/m² 3

Dalles, murs pignon, poteaux, longrines en béton armé: masse volumique: 2,4 t/m . Dalle: épaisseur 16 cm Murs pignon: épaisseur 18 cm Poteaux: 0,5 X 0,5 m² et 0,25 X 0,5 m² . Longrines: voir schéma. 1°/ Pour dimensionner les longrines, on demande de calculer les forces s’exerçant sur L1, L2, et L3 dues au poids propres et aux charges verticales additionnelles. On prendra comme charges additionnelles sur la terrasse les mêmes que pour un étage courant, soit: 0,1 t/m² pour les cloisons et revêtements, et 0,03 t/m² pour les surcharges. 2°/ Ce bâtiment, construit sur un sol dur, est soumis à une excitation sismique dans le sens de contreventement des voiles. L’équivalent statique est approché par un système de forces horizontales qui s’appliquent aux murs pignon au niveau de chaque plancher. L’intensité de chacune de ces forces (qui sont toutes dans le même sens) est donnée par le tableau suivant pour l’ensemble des deux voiles: Altitude (m) Force (kN)

0 0

1,5 8

4,16 28

6,82 59

9,48 97

12,14 140

14,8 188

17,46 241

20,12 298

22,78 360

Vérifiez que sous la combinaison des deux chargements, le bâtiment ne bascule pas. (Le sol étant considéré infiniment rigide, on considère que le bâtiment ne bascule pas si la résultante passe par la surface de contact entre les murs et le sol.)

F. Fleury


0,5 m

1,2 m

8,4 m

0,5 m

0,18 m

3,9 m 11,7 m

1,5 m 2m

1m 0,16 m

0,21 m

L1 L3

Elévation sur façade

F. Fleury

L3

0,48 m

L2 L1

Elévation sur pignon


0,18 m

L3

L1 0,16 m

0,27 m 1m

0,5 m 0,01 m

0,78 m

Coupe sur la longrine sous mur pignon, au niveau d’une longrine transversale

Exercice n°6. Déterminer le moment résultant au point A des forces dessinées sur le schéma ci-dessous, en vous servant des distances reprises sur le schéma, en tenant compte de l’échelle indiquée.

80 daN

2m

120 daN

A

F. Fleury


Exercice n°7. Dessinez sur la figure ci-dessous la force optimale pour soulever le poids : point d’application, direction, sens. Expliquer en une phrase ou deux ce choix.

Exercice n°8. Soit une force de 100 N représentée sur la figure ci-dessous.

A



1°/ Quel est le moment de cette force par rapport au point O ?



2°/ Par quelle force horizontale appliquée au point A faudrait-il remplacer cette force pour avoir le même moment au point O?



3°/ Quelle serait la plus petite force appliquée au point A qui produirait le même moment au point O?



4°/ A quelle distance prise sur la droite OA doit-on placer une force verticale descendante de 240 N pour obtenir le même moment au point O?

100 N m 4 2 . 0

60° O

F2

Exercice n°9. Les trois forces de la figure ci-contre ayant la même intensité,

•

laquelle génère le plus de moment autour de A?

•

laquelle génère le moins de moment autour de A?

F1

F3 A

F. Fleury


Exercice n°10. Le moment autour de A de la force équivalente à la force répartie de la poutre ci-dessous est-il égal, plus grand, ou plus petit qu’autour de B?

qmax qmin B

A

Exercice n°11. Soient les deux bâtiments rigides représentés ci-dessous. Ils ont tous deux un poids de 4 000 kN, et sont soumis à une accélération horizontale de 0,38g.

G

G

h/2

• • • •

5h/12

Calculez la force horizontale correspondante à l'accélération sismique Calculez la résultante séisme + poids propre Calculez le moment de renversement comme le moment de la force résultante par rapport au CDG de la base. Quelle configuration privilégier pour améliorer la stabilité?

Exercice n°12.

qg

qd

Quel rapport donner entre qg et qd pour que ce levier soit stable? Application numérique : trouver qd nécessaire à équilibrer qg de 300 daN/m.

F. Fleury

1m 2m

4m


Exercice N°13. Déterminer graphiquement la résultante des forces appliquées sur le portique ci-dessous l / m N a d 7 0 0

3 5 0 d a N / m l

30°

l m / N a d 0 0 0 1

7.5 m

12.0 m

Exercice n°14. La structure représentée ci-dessous est composée d’une poulie de petit diamètre dont l’axe est porté à chaque extrémité par un système de barres articulées. Une masse est levée par l’intermédiaire d’une corde, puis maintenue suspendue en arrimant la corde soit au mur, soit au sol. 

1°/ Schématiser le système: poulie + corde + masse.



2°/ Déterminer la résultante des forces appliquées par la corde sur la poulie pour une attache:  à l’horizontale de la corde,  au sol, à la verticale. Intuitivement, quelle sera dans ce cas la force exercée sur chacun des systèmes qui supporte la poulie (la corde est au milieu de la poulie)?  au mur, à une hauteur de 2 m de l’axe de la poulie, par calcul et graphiquement. Donnez le pourcentage d’erreur sur le résultat graphique. 

1.5 m

1.5 m

3°/ Schématiser l’un des deux systèmes qui supporte la poulie, sollicité par une force égale à la moitié de la résultante calculée dans le cas d’une attache au sol. En admettant que les forces aux points d’attache des barres au mur ne peuvent s’exercer que dans la direction des barres, calculer les forces qui réalisent l’équilibre du système support:  graphiquement,  analytiquement. Calculer l’erreur commise en utilisant la méthode graphique, en pourcentage.

M = 80 Kg



4°/ Calculer le moment par rapport au point de fixation inférieur, de la force au point de fixation supérieur, en fonction de la distance de la poulie au mur. Les forces calculées vérifient-elles l’équilibre des moments?

F. Fleury


q

Exercice n°15. Soit l'étagère dont la coupe transversale est représentée cicontre : elle est chargée par la force répartie q, et fixée au mur par l’intermédiaire de deux points de contact A et B. Au point A, la liaison est réalisée par une simple vis qui bloque les translations mais pas la rotation. Au point B elle est simplement appuyée sur une pointe, ce contact étant sans frottement.

A d2 B

•

Schématisez la structure

•

Calculez les réactions d'appui

d

Exercice n°16. Déterminez les réactions d’appui pour la structure ci-dessous:

p

A

B l

l

l

C

Exercice n°17. Un panneau publicitaire supporte une pancarte soumise à l'action du vent qui engendre une pression p = 1 kN/m². Calculez les réactions d'appui à l'encastrement.

4m

2m

La RDM, une matière que j ’aime

1m

3m 5m

F. Fleury


Exercice N°18. Déterminez les réactions d’appui des systèmes suivants:

321 daN/ml 184 daN/ml

50 daN/ml

8m

1.2 m

5m

Exercice n°19. L

Pour la structure ci-contre,

•

Calculez les réactions d'appui, en fonction de a, L et q.

•

Où placer le poteau de droite, les autres éléments restant à leur place, pour minimiser la réaction en A?

•

q

a

Où le placer pour minimiser la réaction en B? A

B

Exercice N°20. !!! Soit le solide rectangulaire ci-dessous soumis sur sa face gauche aux forces réparties suivantes:  une force horizontale distribuée, qui varie linéairement depuis l’arrête supérieure où elle est négative et vaut Fh1 , jusqu’à l’arrête inférieure où elle est positive et vaut F h2.  une force verticale distribuée vers le haut constante sur toute la face et dont la résultante vaut F v.

d

Fh1 h

M

2h/3

Fv

Fh2

Trouver un système de forces Fx, Fy au point M, et F v qui réalisent l’équilibre du solide.

F. Fleury


Exercice n°21.

N

F3

l M

H F2

F1

F N L N et F sont des forces connues. 

1°/ Déterminer les forces F1, F2, F3 qui réalisent l’équilibre, en fonction de N, F, et des paramètres géométriques.  2°/ Application numérique: L = 4 m, l = 1,80 m, H = 2 m, F = 150 kN, N = 200 kN.

F. Fleury


Exercice n°22. x • Calculer les moments de FA et de FC autour du point B. • Calculer la valeur de FA qui réalise l’équilibre, sachant que FC = 1daN. • Calculer la réaction en B.

FC

FA B

A

C 2m

4m

• Calculer les moments de FB et FC par rapport au

FC

point A. • Calculer la valeur de FB qui réalise l’équilibre, sachant que FC = 1daN • Calculer la réaction en A

B

A

FB

4m

C 2m

FB Calculer les réactions d’appui en A et C, sachant que FB = 1500 daN

B

A

C 2m

4m

FC

C

Calculer les réactions, sachant que Fc = 1daN. 2m B

A 4m

Exercice n°23. x On considère le corbeau suivant, fixé à un mur avec une articulation en haut et un appui simple horizontal en bas.

2m

1m 0,15 m

Déterminez graphiquement la valeur des réactions d’appui.

0,75 m

26,565°

F. Fleury

300 daN


Exercice n°24.

q

Calculer les réactions d’appui de la structure ci-contre. Les deux éléments de structure ont la même longueur : 3m.

F

A

A est une articulation, et B un appui simple horizontal. F vaut 1 kN, et q vaut 0,5 kN/m.

B

Exercice N°25.

x

β

Un assemblage de barres

Mêmes éléments Mêmes directions

F

Même force appliquée Positions différentes

F

Les assemblages de barres sont tous identiques. Ils sont composés de deux barres connectées e ntre elles, au sol et à la couverture par des rotules. La force appliquée est de 300N. 

1°/ Comment un assemblage de barres fonctionne-t-il? Dans quel(s) plan(s) peut-il opposer une réaction?  2°/ Pour les deux configurations, déterminez graphiquement directement sur cette feuille les forces aux sommets de chaque assemblage qui réalisent l’équilibre de la structure sous la force horizontale F. Pourquoi n’obtient-on pas les mêmes forces?  3°/ Déterminez les forces qui s’exercent sur chaque barre de l’assemblage le plus sollicité en fonction de β. Quel angle β minimise ces forces?

F. Fleury


Exercice N°26. Soit la configuration de contreventement ci-contre :

Ce système est-il stable? Si oui, calculez les forces dans chaque élément, si non, rendez-le stable.

F. Fleury

F


Exercice N°27.

!!! p=6m h = 10 m d0 = 1,5 m d1 = 1 m d2 = 5 m

h

Poids propre du pont: 1 700 N/ml

θ A O

d1

d2

p

d0



1°/ Tracez le schéma de calcul de l’ensemble de cette structure.  2°/ Ce système est-il iso ou hyper statique? Isoler le système {pont+brin de câble}.  3°/ Déterminez graphiquement les réactions d’appui en A pour θ = 30°.  4°/ Déterminez la force à appliquer sur la manivelle nécessaire à maintenir le pont à cette hauteur, en fonction de la longueur de la manivelle et du rayon de la poulie basse.  5°/ En réalité, il existe deux poulies et manivelles de chaque coté du pont. Quel rayon de poulie prendre pour que la force exercée sur une manivelle ne dépasse pas 700 N?  6°/ Calculez analytiquement les réactions d’appui en O, en considérant la manivelle à l’horizontale.  7°/ Représenter et déterminer les forces qui s’exercent sur une manivelle.  8°/ Sur quels autres paramètres géométriques jouer pour faire baisser cette force au début du levage (θ = 0°) ?

F. Fleury


Exercice n°28. Déterminez sans calcul les degrés d'hyperstaticité des systèmes suivants. Les rendre i sostatique.

a)

b)

60 daN/ml

6m

c)

3m

d) 6m

8m

6m

12 m

12 m

e)

f)

Exercice n° 29. Concevoir le contreventement d'un portique spatial cubique : • Avec uniquement des liaisons de type articulation, puis • En utilisant éventuellement des encastrements.

F. Fleury


Exercice n°30. !! Déterminez le degré d’hyperstaticité des systèmes de poutres suivants:

Exercice n°31. Placer des articulations pour rétablir l’isostaticité de la poutre suivante:

Exercice n°32. Pour chacune de ces deux structures : • Tracez l’allure du mécanisme d’instabilité. • Donner pour chaque structure trois solutions différentes pour rendre la structure isostatique (et non hyperstatique). • Pour chaque solution, tracez l’allure de la déformée (non plus du mécanisme).

F. Fleury


Exercice n°33. Rendez le système ci-contre isostatique soit en modifiant les liaisons, soit en rajoutant des barres bi-articulées.

Exercice n°34. Si cela est nécessaire, rendez le système ci-contre juste stable en ajoutant ou supprimant des liaisons.

Exercice n°35. Déterminez, pour chacune des fermes cicontre, si elles sont stables.

a

b

d c

Exercice n°36. Rendez le système ci-contre isostatique en ne rajoutant que des liaisons externes sur un nombre minimal de nœuds. N.B. : Pour faciliter la compréhension et la schématisation, les nœuds sont représentés ici par une petite étoile, dont voici un agrandissement:

F. Fleury


Exercice n°37. Parmi les propositions de consoles suivantes, lesquelles ne fonctionnent pas, sachant que les câbles sont représentés en trait fin, et les barres en trait gras ? Dites pourquoi ces dernières ne fonctionnent pas.

a

b

Les liaisons sont toutes articulées, et les deux barres de la structure d se croisent sans liaison.

d c

Exercice n°38. Dans le cas d'un problème plan, associez à chaque type d'effort la déformée d'un petit tronçon de poutre.

Exercice n°39. x Donnez les valeurs de N, T et M au point P dans la structure cicontre.

L F

h/2 P Repère local

F. Fleury

h/2


Exercice n°40. Considérons une équerre d’étagère dont la schématisation est proposée sur la figure cicontre. Elle est fixée au mur par une articulation en A et un appui simple en B. Elle reçoit une charge de livres modélisée par une force uniformément répartie de 1 kN/m (soit environ 40 kg par équerre = 1 000 N/m x 0,4 m / 10 m/s²).

30 cm

10 cm 1kN/m

A S1 10 cm 30 cm

S2

Calculez les efforts de la RDM aux deux sections S1 et S2, cette dernière étant située au milieu de la partie inclinée. B

Exercice n°41. Donnez pour chacune des deux structures ci -dessous la valeur du moment fléchissant dans la poutre CD, en C. 6m 6m

q = 300 daN

q = 150 daN

q = 150 daN D

D

C

C

3m

1,5m

1,5m 2,80m

2,80m

B

A

A

B

Exercice n°42. Déterminez l’effort normal, l’effort tranchant et le moment fléchissant dans la poutre ci-dessous tout juste à droite de A, B, et C. 12 kN/ml A B 4m

F. Fleury

C 4m

4m


Exercice n°43. Classez les configuration ci-contre par ordre croissant de moment fléchissant au point P d’une part, et par ordre croissant d’effort normal au point P d’autre part. La charge par unité de longueur est la même pour toutes les structures.

a

b

c

d

Exercice n°44. Déterminez et représentez les diagrammes d'efforts pour les poutres suivantes:

P

P

P

P

l/2 F = q.l

q

Pour la poutre bi-encastrée, on donne la valeur du moment d'encastrement : FL/8.

F

F F

F. Fleury


p

Exercice n°45. Déterminez et représentez les diagrammes d'effort pour la structure ci-contre.

q C

B

h

A

Exercice n°46. Déterminez et représentez les diagrammes d'efforts pour la structure ci-contre.

p

A

B l

l

l

C

Exercice n°47. Une poutre horizontale AB supporte une charge uniformément répartie p = 100 daN/ml selon le croquis ci-dessous. La liaison A est un encastrement et la liaison B un appui simple dont les valeurs numériques des réactions sont respectivement: RAY = 415 daN ; MAZ = -575 daN.m ; R BY = 685 daN 100 daN/ml A B 8m

3m

1°/ Tracez les diagrammes des efforts tranchants et moments fléchissants. 2°/ Recherchez les points singuliers de ces diagrammes. 3°/ En déduire l’allure de la déformée de cette poutre.

F. Fleury


Exercice n°48. Déterminez les réactions d’appui et tous les diagrammes d’efforts internes dans la structure ci-dessous. La charge répartie vaut q. 2l

l

Exercice n°49. Soit la structure de la figure ci-contre, articulée en A et en appui simple horizontal en E. Compte tenu de la valeur des réactions d’appui portées sur le schéma, déterminer les diagrammes des efforts internes (N, T, M) dans la zone CD.

E F/4 L

F

Tracer la déformée de cette structure. (on pourra dans un premier temps compléter le diagramme des moments d’abord dans les zones AB et DE en tenant compte des réactions, puis sur BC en utilisant la continuité du moment).

B

C L/2

D

L/2

L

A F/4 F

Exercice n°50. Considérons une équerre d’étagère dont la schématisation et réactions d'appui sont donnés ci-dessous. Elle est fixée au mur par une articulation en A et un appui simple en B. Elle reçoit une charge de livres modélisée par une force uniformément répartie de 1 kN/m. Déterminez les diagrammes des efforts sur toute la structure.

30 cm A

10 cm

d 1kN/m

q

RAx A

RAy 30 cm

d RAy = 0,4 kN RAx = 0,267 kN RBx = 0,267 kN B

F. Fleury

RBx B


Exercice n°51. Soit la structure ci-dessous. • Déterminez les réactions d’appui. • Calculer et tracez les diagrammes des trois efforts uniquement pour le poteau vertical de 4m situé à droite sur la figure.

Ls = 3m

Lp = 5m

qn F

qn=2000 daN/m

p=1m

F

qv p

h = 4m

qv=1000 daN/m F = 1000 daN

F. Fleury


Exercice n°52. Déterminez les expressions des distributions des efforts normaux, efforts tranchants et moments fléchissants des structures ci-dessous, et tracez leur distributions. Pour a), prendre P = (3/2)q.a pour les tracés.

P

q

a

a a a

a

q qL/2

C

L/2

L

L/2

L b)

c)

Exercice n°53. Les figures ‘A’ à ‘D’ représentent chacune un diagramme de moment fléchissant de la poutre horizontale d’une des structures numérotées 1 à 4.

1 A

2 B

Dites à quelle structure correspond chaque diagramme, et argumentez. 3 C

4 D

F. Fleury


Exercice n°54.

a

Tracez intuitivement les déformées des poutres représentées sur la figure ci-contre. Si la poutre a est en béton armé, où faut-il placer les armatures de flexion dans la section voisine de l’encastrement ?

b

Dessinez sans calcul les diagrammes de moment fléchissant pour les poutres a et b. Dessinez sans calcul le diagramme de moment fléchissant pour la poutre c.

c

d

Exercice n°55.

x

Indiquez sur une figure, respectivement pour chacune des trois poutres en béton armé ci-contre où l’on doit placer les armatures longitudinales de flexion (celles qui reprennent la contrainte normale de traction).

Exercice n°56. Soit le diagramme de moment fléchissant ci-dessous, correspondant à un chargement qui n'est pas indiqué sur la figure.

•

Dessinez la déformée correspondante

•

Dessinez le chargement extérieur correspondant

-

+

F. Fleury


Exercice n°57. Tracez la déformée et le diagramme de moment de la structures ci-dessous, sans calculs.

+

+

+

Exercice n°58. x Tracer l’allure de la déformée de la poutre continue ci-dessous. L’appui de droite est un encastrement, les trois autres sont des appuis simples verticaux. Tracer l’allure du diagramme du moment fléchissant correspondant.

Exercice n°59. x A partir du diagramme du moment fléchissant sur la structure ci-contre, dessinez la déformée due à la flexion seule. -

-

+

+

F. Fleury


Exercice n°60. A partir du diagramme du moment fléchissant sur la structure ci-contre, dessinez la déformée due à la flexion seule. + +

+

F Exercice n°61. Tracez le diagramme des moments et la déformée de la structure ci-contre en tenant compte des repères locaux dessinés, et sans calcul. Exercice n°62. Calculez les réactions d'appui de la structure de l'exercice n°61.

l/2

Exercice n°63.

l/2

l

F

1°/ Dessinez la déformée de la structure ci-contre.

A

+

x

C

B

y

2°/ Sur la base de cette déformée, déterminez l'allure du diagramme de moment fléchissant, en respectant le repère local indiqué. 3°/ Sachant que la réaction d'appui en B vaut R By = 5F/16, calculez les réactions en A. 4°/ Déterminez précisément le diagramme de moment : tra cé précis à l'échelle, et valeurs particulières.

F. Fleury


Problème n°64. x Tracez intuitivement la déformée de la structure ci-contre, et déduisez-en l’allure du diagramme des moments.

Exercice n°65. Tracez les déformées des structures ci-dessous Sur la base des déformées, tracez approximativement les diagrammes des moments, et les lieux de traction et de compression maximales.

l

l

A

F D

C A

l B

L

L

q

L, E, I

F. Fleury

L, E, I

L, E, I


Exercice n°66. Parmi les 4 formes d’arc de la figure ci -dessous, laquelle est funiculaire pour le chargement dessiné ?

a

c

b

d

Exercice n°67. 1°/ Un arc peut-il être funiculaire pour deux distributions de forces différentes? Dites pourquoi. 2°/ Mêmes questions pour un câble.

Exercice n°68. Jusqu’à quelle hauteur ‘h’ peut-on théoriquement construire une pyramide à base carrée (b x b) sans que le rocher dont elle est constituée ne s’effondre ? Volume d’une pyramide : v = h.b²/3 3 Poids propre du rocher : 20 kN/m Résistance du rocher en compression : 20 MPa

F. Fleury


Exercice n°69. Soient trois barres de 50cm de long, de section 10cm x 10cm, soumises chacune à une même force de traction dans leur axe de 1000 daN. Ces trois barres sont respectivement en acier, en bois et en béton.

• Lesquelles s’allongent respectivement le plus et le moins ? • Lesquelles cassent respectivement la première et la dernière, quand on fait croître l’intensité de la force jusqu’à rupture ?

Caractéristiques mécaniques : Module d’élasticité 210 000 MPa Acier 10 000 MPa Bois 35 000 MPa béton

Contrainte ultime en traction 240 MPa 10 Mpa 3 MPa

Exercice n°70. On veut réaliser une bielle de compression courte bi-articulée de section carrée, et on se pose la question du choix du matériau. On appellera hb et ha les côtés des sections respectivement pour le bois et pour l’acier (voir les caractéristiques dans le tableau de l'exercice n°69). • Déterminer le rapport entre hb et ha pour avoir la même déformée de la pièce. • Déterminez le rapport entre hb et ha pour avoir le même effort de rupture.

Exercice n°71. On veut appliquer une précontrainte de 10 MPa à une poutre en béton de 10m de portée et de section 40cm x 20cm. Pour cela on utilise un câble en acier positionné sur la fibre moyenne de la poutre, dans une gaine. Le câble étant fixé à une extrémité de la poutre, on tire sur l'autre extrémité avant de l'ancrer sur la face latérale de la poutre. Le module d'élasticité de l'acier est de 210 000 MPa, et sa limite d'élasticité de 450 MPa. 1°/ Quel effort normal Np faut-il appliquer à la section de béton pour obtenir la précontrainte désirée? 2°/ Quelle section et quel diamètre minimums faut-il donner au câble pour qu'il soit capable de fournir cet effort sans plastifier? (Vous pouvez l'exprimer en fonction de N p). 3°/ En admettant que le câble est contraint à hauteur de 450 MPa, de combien faut-il allonger le câble (en mm) avant de le fixer?

F. Fleury


Exercice n°72. Au sein d'une poutre treillis, une barre de 50cm est soumise à une force axiale de traction de 10kN. On veut la réaliser avec un acier dont le module d'élasticité vaut 210 000 MPa et dont la limité d'élasticité vaut 240 MPa. On a le choix entre trois sections : deux sections carrées respectivement de 10mm et 6mm de côté, et une section rectangulaire de 6mm x 9mm.

•

Donnez la valeur de la force axiale en MN, et toutes les dimensions en m.

•

Choisissez pour cette barre l'un des trois profilés, de façon à utiliser le moins de matière possible.

•

Pour la section choisie, quel est l'allongement de la barre en mm?

Exercice n°73. Donnez le sens physique associé à l'inertie (ou moment d'inertie) d'une section.

Exercice n°74. Classez sans calcul les sections suivantes par ordre d'inertie croissante, sachant qu'elles ont toutes la même surface. Il s'agit de l'inertie autour de l'axe horizontal des schémas.

a

b

c

d

Exercice n°75. Entre les deux sections de surfaces identiques ci-dessous, laquelle présente la plus grande inertie?

a

b

Exercice n°76. Entre les deux sections de surfaces identiques ci-dessous, laquelle présente la plus grande inertie?

a

F. Fleury

b


Exercice n°77. Pour obtenir la résistance aux forces horizontales quelconques s'exerçant sur le plan ABCD de la structure ci-contre, faut-il orienter l'axe α de la section des poteaux schématisée ci-dessous selon l'axe X ou l'axe Y?

D A

C

B

Y X Z

∆ α

Exercice n°78. Associez à chaque cas de chargement a, b et c la section 1, 2, 3 ou 4 la plus efficace sur le plan purement mécanique.

1

2

a

F. Fleury

3

b

4

c


Exercice n°5 On considère une poutre de section en T, simplement appuyée à ses extrémités, et sollicitée par une force ponctuelle en son centre. h/4 G

+

x

3h/4

y y

Tracez la distribution de la contrainte normale σx sur la hauteur de la section, en indiquant la nature des contraintes (traction ou compression).

Exercice n°79. On considère une poutre rectangulaire en béton précontraint encastrée à une extrémité, et chargée par une force ponctuelle à l’autre extrémité. Les figures ‘a’ à ‘d’ représentent différentes configurations du câble de précontrainte.

a

Classez ces configurations par ordre croissant d’efficacité, et argumentez.

b

On rappelle que le câble tendu, ancré à ses extrémités sur le béton, exerce sur celui-ci une force de compression, qui peut être vue comme une action extérieure sur la poutre.

c

d Câble

F. Fleury


Exercice n°80. On considère que les colonnes ci-contre sont stables si les contraintes de traction sont nulles en tout point des colonnes quand la force horizontale de vent s’applique sur le linteau. Le linteau pèse 500 kg.

Les moyens suivants sont-ils susceptibles d’améliorer la stabilité des colonnes ? Dites pourquoi. a) Adopter une section de colonne creuse b) Alléger la travée c) Accroître le diamètre des colonnes d) Rehausser les colonnes.

Compression

Exercice n°81. Tracez (sans calcul) sur le schéma ci-contre, une distribution de contrainte σx possible dans la section S1 repérée ci-dessous, considérée pleine et symétrique.

Traction Fibre supérieure

G

Fibre inférieure

Cette distribution doit être conforme aux diagrammes des efforts ci-dessous, tracés dans les repères locaux. L’effort est positif si le diagramme est du côté de ‘y’ local positif.

S1

x

y +

Nx

x

+

S2

y

Ty

F. Fleury

Mz


Exercice n°82. Tracez la déformée et le diagramme des moments de la structure ci-contre, en tenant compte des repères locaux dessinés, et sans calcul. Exercice n°83. La partie verticale de cette structure est en fait réalisée avec un profil en U, les branches étant orientées du côté de la console. Placez sur le schéma de la potence d'une part et sur celui de la section d'autre part une possibilité de localisation pour la contrainte maximale de traction.

Exercice N°84. Une console représentée ci-contre est constituée par une poutre horizontale en bois, soutenue par un câble selon le schéma ci-dessous. Déterminez les efforts internes dans le câble et la poutre en fonction de P. En déduire la capacité maximale de charge P de ce système en fonction de la résistance de chaque élément. On adoptera pour les calculs les valeurs suivantes: Contrainte admissible de traction du câble: σt = 270 MPa Contrainte admissible de compression du bois: σc = 8 Mpa Diamètre du câble: d = 20 mm Section de la poutre: 8 cm X 10 cm

F. Fleury

45° P


Exercice n°85. Soient les deux poutres de la figure ci-dessous, chacune chargée par la même force répartie 'q'. Les appuis de la première sont situés aux deux extrémités, alors que la deuxième est en porte-à-faux sur la moitié de sa longueur. Pour l'application numérique, on prendra q = 2 kN/m et une longueur totale de poutre de 6m.

1°/ Calculez le moment au milieu 'P' pour les deux poutres. (A mi-travée pour la première, et au droit de l'articulation pour la deuxième). 2°/ Calculez la contrainte maximale en P pour chaque poutre, sachant que l'inertie vaut 3 I = bh /12, h étant la hauteur et avec b = h/2. 3°/ Déterminez pour chaque poutre la hauteur 'h' nécessaire pour que la contrainte maximale soit ult inférieure à la contrainte ultime du bois : σ = 10 000 kPa.

Exercice n°86. • Tracez les diagrammes du moment fléchissant pour chacune des trois structures ci-dessous, et donnez pour chacune la valeur du moment maximum. L

L F

F

L

L

F

h

•

Pour la structure du centre, calculez la force de rupture F rupt, sachant que la section est carrée de 20 cm x 20 cm, que la contrainte admissible du matériau est de 10 Mpa, et que h et L valent respectivement 4m et 2m.

F. Fleury


Exercice n°87. Soit une poutre de 6m de portée en appui simple à chaque extrémité, et devant supporter 595 daN/m répartis uniformément. On donne à la poutre une hauteur égale à trois fois son épaisseur : h = 3b. On 3 rappelle par ailleurs que la section S = h x b, et que l’inertie vaut I = (b x h )/12 Calculez le moment maximal dans la poutre. Calculez la contrainte maximale en fonction de la hauteur de la poutre. Déterminez la hauteur minimale qu’il faut donner à la poutre sachant que la contrainte admissible du sapin vaut 10 MPa.

Exercice n°88. x La figure a ci-contre représente schématiquement la coupe d’un château d’eau, constitué d’une cuve surélevée par une colonne en béton armé, encastrée à sa base. On n’analyse ici que la colonne, qui pour simplifier est considérée chargée conformément à la figure c.

Fv Fh qh

h

1°/ Calculez les réactions d’appui. 2°/ Déterminez et tracez les diagrammes des efforts (N,T,M), les valeurs maximales étant exprimées en fonction de qh, Fh, et Fv.

a : Coupe schématique

b: Chargement équivalent réel

c : Chargement simplifié à considérer pour l’examen

3°/ La contrainte maximale (en valeur absolue) est-elle de traction ou de compression ? Est-elle située sur le côté au vent (à gauche sur la figure) ou sous le vent (à droite sur la figure) ? 4°/ Tracez une distribution de contrainte possible (sans calcul) sur la section située proche de l’encastrement au sol. La section est considérée ici pleine et symétrique. 5°/ En admettant que sur la section la plus sollicitée l’effort normal vaut 30MN, et que le moment fléchissant vaut 4MN.m , déterminez si une section circulaire creuse de 3m de diamètre extérieur et de 40cm d’épaisseur convient, sachant que la contrainte limite du béton utilisé vaut 20MPa. L’aire d’une 4 telle section vaut 3,27m², alors que son inertie égale 2,83m .

F. Fleury


Exercice n°89. Soit la coupe transversale d'une travée d'église gothique ci-dessous, qui montre un arc boutant s'appuyant à l'extérieur sur un contrefort. On cherche à évaluer s'il est nécessaire de placer un pinacle au sommet du contrefort pour garantir la stabilité (pas de contrainte de traction à la base). On focalise donc ici sur la stabilité du contrefort, tel que schématisé à droite. On considère qu'il s'agit d'un élément vertical de section rectangulaire pleine de 4m x 1m, et de hauteur totale h c. Il reçoit une force inclinée P, que l'on considère appliquée sur la fibre moyenne à une hauteur de h p. Dans un premier temps, on ne considère pas le pinacle.

Pinacle

P

hC hP

4m Pour les applications numériques, on adoptera l es valeurs suivantes : La force P vaut 180 kN (équivalent à 18t.). Compte tenu de son inclinaison (30° par rapport à la verticale), elle peut être décomposée en une force horizontale de 90kN et une force verticale de 156 kN. hc = 22 m ; h p = 16m ; poids volumique de la pierre : 20 kN/m

3

1°/ Calculez le poids total du contrefort (sans pinacle). 2°/ Calculez l'effort normal à la base du contrefort (sans pinacle). 3°/ Calculez le moment à la base du contrefort. 4°/ Calculez la contrainte maximale de traction à la base, sous l'effet de l'effort normal et du moment fléchissant. Concluez sur la stabilité sans pinacle. 3

Rappel : le moment d'inertie d'une section rectangulaire de côtés b et h vaut b.h /12. 5°/ Quel poids de pinacle faut-il rajouter en tête du contrefort pour que la contrainte de traction à la base disparaisse?

F. Fleury


Exercice n°90. Des étudiants en première année d’une école d’architecture doivent concevoir et réaliser un franchissement qui doit permettre de soutenir une charge uniformément répartie entre deux points distants de 1,2 m, à l’aide de baguettes de samba et de ficelle. Un des critères d’appréciation est le l’efficacité, ou le rapport entre le poids porté et le poids propre de la structure qui doit être maximal. Un rapport de 200 donne une note sur ce critère de 20/20. Le projet d’une des équipes est décrit ci-dessous. Avant de lancer la réalisation, les étudiants demandent à leurs aînés de deuxième année une évaluation de l’efficacité de leur franchissement. 3

Masse volumique du samba : 0,5g/cm . Contrainte limite du samba : 500 daN/cm² L’inertie et la section de la plate-forme de chargement, compte-tenu des raidisseurs, sont 4 respectivement de 0,258 cm , et de 3,2 cm². Le centre géométrique de la section est situé à 7,125 mm de la fibre inférieure.

120 cm

20 cm

Plate-forme : 2mm x 100mm

Baguettes : 3mm x 8mm

Considérant que le maillon faible est la plate-forme de chargement, on se concentrera sur cette structure sous-tendue, analysée comme une poutre continue sur trois appuis, l’appui central étant fourni par la bielle, elle-même reposant sur le câble fixé aux extrémités de la plate-forme de chargement. Les réactions d’appui verticales de cette poutre hyperstatique telles que données par des abaques, sont respectivement de 3qL/8 pour les extrémités, et de 10qL/8 pour l’appui central, si q est la charge répartie et L la demi-portée. a. b. c. d. e.

Déterminez la force horizontale exercée par le câble sur les extrémités de la plate-forme. Déterminez les diagrammes des efforts dans la plate-forme Dans un premier temps, calculez la contrainte maximale due à la flexion seule. Dans un deuxième temps, superposez à cette dernière la contrainte due à l’effort normal. Evaluez la charge de ruine et le rapport d’efficacité.

F. Fleury


Exercice n°91. Il s'agit de prédimensionner les éléments AC, DE et FEG de la structure ci-dessous. On veut réaliser les bielles AC et DE en bois standard, ayant une résistance à la compression de 15 MPa, et la poutre FEG en lamellé-collé, dont la résistance est de 40 MPa. Les bielles seront des sections carrées, alors que la poutre sera de section rectangulaire, avec un rapport de 2 entre les côtés.

q F

G

E C

h

D

A

B L

L

L

Les valeurs numériques des grandeurs portées sur la figure sont : q = 5 kN/ml L = 2m h = 3m. Démarche :

• •

Réactions d'appui Dimensionnement de AC

Isoler FEG en remplaçant F et E respectivement par une articulation et un appui simple sur l'extérieur. • Réactions d'appui sur la poutre isolée • Dimensionnement de la poutre. Dimensionner ED avec la valeur de la réaction verticale sur E précédemment calculée.

F. Fleury


Exercice n°92. !! Un bâtiment est composé de portiques à 3 articulations, réalisés en bois lamellé-collé, espacés de 5 m. La couverture du bâtiment est réalisée en bac acier, avec isolation et étanchéité. Les pannes support de couverture sont espacées de 2m50. Ce bâtiment devra pouvoir résister à une surcharge de neige, et à un effort horizontal du au vent. On adoptera pour les calculs les valeurs suivantes: • Bac acier: 20 daN/m2 de projection horizontale • Isolation étanchéité: 40 daN/m2 de projection horizontale • Poids propre des pannes: 20 daN/m2 de projection horizontale • Poids propre d'un portique :150 daN/ml de projection horizontale • Charge de neige: 80 daN/m2 de projection horizontale • Force horizontale due au vent: 100 daN/m2

4

5

6

7 8

9

10

2,5 m 11

3

12

2

1

7,5 m

13 5m

10m

10m

5m

Les résultats en terme d'efforts internes pour les deux cas de charge (poids, et vent) sont donnés dans les tableaux de la page suivante. a) Utilisez ces résultats pour tracer les diagrammes des efforts normaux et des moments fléchissants avec les deux sollicitations réunies. b) Ces portiques ont une épaisseur constante : 20 cm, mais on leur donne une inertie variable en faisant varier la hauteur de la section selon les endroits. De plus, le vent pouvant souffler sur l'un ou l'autre côté, le portique sera conçu symétrique. Déterminez l'équarrissage des sections (hypothèse d'une variation linéaire de la hauteur de la section entre 1 et 3 et 3 et 7), en s'assurant que la contrainte dans la section ne dépasse pas les contraintes admissibles du matériau. c) Représentez alors le "design" du portique.

On adoptera pour les calculs les valeurs suivantes: Contrainte admissible de compression et flexion: σadm = 14 MPa Contrainte admissible de cisaillement : τadm = 1 MPa On négligera le flambement dans les calculs

F. Fleury


points 1 2 3g 3d 4 5 6 7d 7g 8 9 10 11g 11d 12 13

F. Fleury

Coordonnées X en m Y en m 0 2,5 5 5 7,5 10 12,5 15 15 17,5 20 22,5 25 25 27,5 30

0 3,75 7,5 7,5 8,125 8,75 9,375 10 10 9,375 8,75 8,125 7,5 7,5 3,75 0

Nx x 1000daN 17,8 15,8 13,8 12,6 12,1 11,6 10,9 10,4 10,4 10,9 11,5 12,1 12,6 13,8 15,8 17,8

Charges verticales Ty Mz x 1000daN x1000daN.m 1 0 2,3 -7,4 3,6 -20,8 -6,6 -20,8 -4,3 -6,7 -2 1,5 0,3 3,7 2,6 0 -2,6 0 -0,3 3,7 2 1,5 4,3 -6,7 6,6 -20,8 -3,6 -20,8 -2,3 -7,4 -1 0

Nx x 1000daN -2,8 -1,7 -0,7 -0,2 0,1 0,4 0,7 1,1 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4

Vent Ty x 1000daN -2,7 -1,1 0,5 0,8 0,9 0,9 1 1,1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 -0,5 -0,5 -0,5


Mz x1000daN.m 0 8,5 9,9 9,9 7,7 5,3 2,8 0 0 -1,3 -2,6 -3,9 -5,2 -5,2 -2,6 0

Nx x 1000daN 15 14,1 13,1 12,4 12,2 12 11,6 11,5 11,8 12,3 12,9 13,5 14 15,2 17,2 19,2

Total Ty x 1000daN -1,7 1,2 4,1 -5,8 -3,4 -1,1 1,3 3,7 -2,1 0,2 2,5 4,8 7,1 -4,1 -2,8 -1,5

Mz x1000daN.m 0 1,1 -10,9 -10,9 1 6,8 6,5 0 0 2,4 -1,1 -10,6 -26 -26 -10 0

Exercice n°93. On veut analyser la ferme médiévale schématisée figure 1, et composée de deux arbalétriers continus AC et CE, inclinés à 45°, et d’un entrait retroussé BD, reliant les deux arbalétriers à la moitié de leur longueur. La ferme est simplement appuyée sur deux murs, respectivement en A et E. Les fermes sont espacées de 1,5m. 1/ Sachant que la couverture pèse 70 kg/m², déterminer la force linéique ‘q’ qui s’exerce sur les arbalétriers, en N/m.

q

q C

B A

D

45°

E

L

Dans un premier temps, on analyse un arbalétrier seul, selon le schéma de la figure 2, où A est un appui simple vertical, et où l’entrait retroussé et le second arbalétrier (CE) sont remplacés par deux appuis simples horizontaux. On néglige le poids propre de l’arbalétrier. 2/ Faire l’inventaire des réactions d’appui et indiquez leur sens, sans calcul, mais de façon argumentée. 3/ Calculer la valeur, en fonction de ‘q’ et ‘L’, de la (ou les) réaction(s) en B.

Figure 1 q C

Figure 2 B A

45° L

4/ En déduire la valeur et la nature des efforts dans l’entrait retroussé BD de la figure 1. 5/ Où pourrait-on placer l’entrait pour qu’il soit plus efficace ? Pourquoi ? On étudie maintenant l’entrait retroussé, en tenant compte maintenant de son poids propre. Il est donc le siège d’un effort normal et d’un moment fléchissant. 6/ Tracer sans calcul une distribution possible pour la variation de contrainte normale σx dans la hauteur de sa section. La traction sera identifiée par ‘T’ et la compression par ‘C’. Tous calculs faits, on constate que le moment maximal dans BD est M max = N.L/6, N étant l’effort normal dans BD. N

M

N

M

7/ Calculer le rapport σ max / σ max , si σ max est la contrainte maximale due à l’effort normal, et σ max la contrainte maximale due au moment fléchissant, sachant que la section est rectangulaire de hauteur ‘h’ et de largeur ‘b’. Donner la valeur numérique de ce rapport pour : h = 30cm et L = 4m.

F. Fleury


Contrôle des connaissances décembre 2007

Exercice n°94. Partant de la structure ci-contre, modifiez, ajoutez ou supprimez des liaisons de façon réaliste afin de la rendre juste stable (isostatique).

Exercice n°95. Dans le schéma ci-contre, les deux barres ont la même longueur et la même section.

Quelle barre est la plus sollicitée ? Laquelle s’allonge le plus ? Expliquez votre réponse.

Exercice n°96. On rappelle qu’une barre bi-articulée non chargée entre ses extrémités ne travaille qu’à l’effort normal.

Pour la structure ci-contre, dessinez sans calcul la déformée de flexion et le diagramme de moment associé. Pour vous aider, vous pourrez répondre aux questions suivantes :  Quelle

est la conséquence de la propriété rappelée ci-dessus sur la réaction en A ? (1 pt)  Quelle

est alors la direction de la réaction en C ? (1 pt)

 Comment

cela se traduit-il sur le diagramme de moment fléchissant du poteau droit ? (1 pt)

Exercice n°97. Soit une poutre en acier inclinée, encastrée à sa base et soumise à son extrémité à une force verticale. On envisage d’utiliser une section en « T » selon l’une des deux configurations a ou b.

i/ Y aura-t-il dans cette poutre un moment fléchissant ? Y aura-t-il un effort normal ? ii/ Décrire l’effet de ce ou ces effort(s) en terme de distribution de traction/compression sur une section. iii/ Ne retenant qu’un critère purement mécanique, faut- il privilégier la configuration a ou b du schéma ? Pourquoi ?

F. Fleury


Exercice n°98. La structure considérée ici sert de mat pour soutenir une couverture de toile. Ce mat est encastré dans le sol et incliné à 45°. Sa longueur est de 25,5 m. Il est soumis à son poids propre q = 35 kN/m et au poids de la couverture tendue sous la neige F = 150 kN.

i/ Calculez les réactions d’appui dans le repère (X,Y) ii/ Calculez les réactions dans le repère ( ∆,∆’). Pour cela, vous vous aiderez du schéma cidessous :

iii/ Donnez les valeurs des efforts normal et tranchant, ainsi que celle du moment fléchissant dans le mat au ras de l’encastrement.

Il est envisagé de réaliser le mat en béton, avec une section qui s’affine en gagnant le sommet. Au ras de l’encastrement, la section prévue est décrite ci-contre, le côté le plus large au-dessus. Elle possède une surface 2 4 de 1,4 m , et une inertie de 0,3 m .

iv/ En admettant que l’effort normal et le moment fléchissant ont respectivement pour valeurs absolues 0,8 MN et 11 MN.m (valeurs différentes du résultat de iii), donnez les valeurs et les positions des contraintes maximales de traction et de compression dans cette section. v/ Comment pourrait-on améliorer le comportement du mat, sans modifier sa géométrie ?

F. Fleury


Contrôle des connaissances mai2008 Exercice n°99.

Expliquez en trois phrases quelles sont les différences entre effort, contrainte, et charge. Exercice n°100. Expliquez en trois phrases quelles sont les différences entre déplacement, déformation et déformée. Exercice n°101. On se donne quatre articulations fixées au sol, en ligne et équidistantes. On considère une charge répartie q, appliquée selon le schéma ci-contre. (Les pointillés ne sont que des traits d’alignement.)

Dessinez une structure plane juste stable susceptible de porter la charge q, et dont les liaisons externes sont constituées par les quatre articulations (ni plus, ni moins). Exercice n°102. Calculez les réactions d’appui pour les deux structures ci-dessous. La charge répartie q vaut 1kN/m

F. Fleury


Exercice n°103. La structure considérée ci-dessous est soumise à une charge répartie verticale de 1 kN par mètre de projection horizontale, c’est-à-dire que cette charge est répartie sur 20 m. Le système étant hyperstatique, la valeur des réactions d’appui et leurs sens vous sont donnés, et reportés sur la figure. Le point A est situé dans le poteau, très proche du sommet, et le point B est au milieu de la poutre.

Donnez les valeurs des efforts N,T, et M aux points A et B. (Précisez les repères locaux associés)

F. Fleury


Recueil d Exercices

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