REGLA DE LA POTENCIA PARA INTEGRALES. n
Dada la función F ( x ) = ( g ( x ) ) n–1 .g‘(x) Su respectiva derivada es: f ( x ) = n ( g ( x ) ) n
Ahora, si se plantea la función: f ( x ) = ( g ( x ) ) . g ‘ ( x ) Su respectiva integral se obtiene así:
∫
De la integral
( g ( x ) )n g ' ( x ) dx se hace u = g ( x )
sin el exponente.
Luego, se obtiene el diferencial du , du , quedando: u = g ‘ ( x ) dx Se llevará a cabo sustituciones, que se denominarán cambio de variable. variable. Al hacer cambio de variable, la integral quedará:
∫
( g ( x ) )n g ' ( x ) dx =
∫
un du =
un 1 n +1 +
+
c
Luego, es necesario volver a la condición inicial, por lo que se hace necesa – rio restituir la variable original. Entonces, se tiene:
∫
( g ( x ) )n g ' ( x ) dx =
( g ( x ) )n n+1
+
1 +
c Regla de potencia para integrales
Ejercicios: Resuelva las siguientes integrales, haciendo uso de la la Regla de potencia para integrales. 1.
∫
( x2
+
1 )5 2x dx
Solución: 2
* Se hace u = x + 1.
Luego, du = 2x dx
* Se sustituyen “u” “ u” y “du” en la integral.
∫
( x2
+
1 ) 5 2x dx
∫
=
u 5 du
* Se resuelve la integral resultante.
∫
( x2
+
1 )5 2x dx
=
∫
u 5 du =
u5 1 5 +1 +
+
c
=
u6 6
+
c
* Se reemplaza “u”, “u”, para volver a la variable variable “x”
∫
( x2
+
* Finalmente:
1 )5 2x dx
∫
( x2
+
=
∫
u 5 du =
1 ) 5 2x dx =
u6 6
+
( x2
c
+
6
=
( x2
1 )6
+
6
+
c
1 )6
+
c
∫
o también
2.
∫
6x 2 2x 3
−
( x2
1 ) 5 2x dx =
+
1 2 (x 6
+
1 )6
+
c
dx 7
Solución: 3
2
* Se hace u = 2x – 7.
Luego, du = 6x dx
* Se sustituyen “u” y “du” en la integral.
∫
6x 2 2x 3
dx
∫
=
7
−
6 x 2 dx 2x 3
−
=
7
∫
du u
=
∫
+
c
u
−
1 / 2
du
* Se resuelve la integral resultante.
∫
6x 2 2x 3
dx
−
∫
=
7
u
1 / 2
−
du
u
=
−
−
1 / 2
1 2
+
1 =
1
+
u1 / 2 1 2
+
c
=
2 1 / 2 u 1
+
c
=
3 4 / 3 u 4
* Se reemplaza “u”, para volver a la variable “x”
∫
6x 2 3
2x
* Finalmente:
dx
−
1 1 / 2 u 2
=
7
∫
6x 2 2x
3
−
o también
3.
∫
( 2x
−
3 ) 3 x2
−
+
c
2 ( 2x 3
=
dx = 2 ( 2x 3
−
−
7 )1 / 2
7 )1/2
+
c
c
+
7
∫
6x 2 2x 3
dx
−
=
2x 3
2
−
7
c
=
+
c
7
3 x dx
Solución: 2
* Se hace u = x – 3x.
Luego, du = ( 2x – 3 ) dx
* Se sustituyen “u” y “du” en la integral.
∫
( 2x
−
3 ) 3 x2
−
3 x dx
=
∫
3
u du =
∫
u1 / 3 du
* Se resuelve la integral resultante.
∫
( 2x
−
3 ) 3 x2
−
3 x dx =
∫
u1 / 3 du =
u1 / 3 1 1 +1 3
* Se reemplaza “u”, para volver a la variable “x”
+
+
u 4 / 3 4 3
+
c
+
c
∫
( 2x
3 ) 3 x2
−
∫
* Finalmente:
( 2x
3 x dx
−
−
3 ) 3 x2
∫
o también 4.
∫
x2 ( x3
+
3 4 / 3 u 4
=
−
( 2x
3x dx
−
c
+
3 ( x2 4
=
3 ( x2 4
=
3 ) 3 x2
−
−
−
3 x ) 4 / 3
3x ) 4/3
3 4
3x dx =
+
c
+
c
3
( x2
−
3x ) 4
c
+
dx
2 )4
Solución:
3
du 3
2
* Se hace u = x + 2.
Luego, du = 3x dx , pero
=
x 2 dx
* Se sustituyen “u” y “du” en la integral.
∫
x2 (x
3
+
2)
dx
4
∫
=
x 2 dx (x
3
+
2)
=
4
∫
du 3 u4
=
du 3 u4 1
∫
=
∫
du 3u
4
=
1 3
∫
u
−
4
du
* Se resuelve la integral resultante.
∫
x2 (x
3
+
2)
dx
4
1 3
=
∫
u
−
4
1 u 4 1 3 − 4 +1 −
du =
+
1 u 3 3 −3 −
+
c
=
+
c
=
1 u − 9
= −
1 u 9
* Se reemplaza “u”, para volver a la variable “x”
∫
5.
x2 4
+
2)
* Finalmente:
∫
∫
(x
3
18 x 2 ( 2x
3
−
−
15
5x )7
dx
=
−
1 u 9
x2 ( x3
+
2 )4
−
dx
3
=
+
c
−
=
1
−
9u
3
+
1 9 ( x3
+
2 )3
c
=
+
c
dx
Solución: 3
* Se hace u = 2x – 5x.
2
Luego, du = ( 6x – 5 ) dx
* Se sustituyen “u” y “du” en la integral.
−
1 9( x
3
+
2 )3
−
+
c
−
3
3
+
c
+
c
∫
18x 2 ( 2x
3
−
−
15
5x )
dx
7
∫
=
3 ( 6x 2 ( 2x
3
−
−
5)
5x )
dx
7
=
3
∫
6x 2 3
( 2x
−
−
5
5x )
7
dx
3
=
∫
du u7
* Se resuelve la integral resultante.
∫
18 x 2 ( 2x
3
−
−
15
5x )
dx
7
=
3
∫
du u
7
∫
3 u
=
−
7
du = 3
u
7
−
+
1
7 +1
−
+
c
=
u
3
−
6
6
−
+
c
= −
1 2u 6
* Se reemplaza “u”, para volver a la variable “x”
∫
18x 2 ( 2x
3
−
∫
x
15
5x )
∫
* Finalmente:
6.
−
7
dx
=
18x 2 ( 2x
3
−
−
1
−
2u
15
5x )
7
6
+
c
dx =
=
−
1 2 ( 2x
3
−
5x )6
1
−
2 ( 2x
3
−
c
+
5x ) 6
c
+
4 − x 2 dx
Solución:
2
* Se hace u = 4 –x .
du − 2
Luego, du = – 2x dx , pero
=
x dx
* Se sustituyen “u” y “du” en la integral.
∫
4 − x 2 dx
x
=
∫
x ( 4 − x 2 )1 / 2 dx =
∫
( 4 − x 2 )1 / 2 x dx
=
∫
= −
u1 / 2
1 2
* Se resuelve la integral resultante.
∫
4 − x 2 dx
x
= −
1 2
∫
u1 / 2 du = −
= −
1 u1 / 2 1 2 1 +1 2 +
1 2 3 / 2 u 2 3
+
+
c
c
= −
= −
1 u 3 / 2 2 3 2
1 3 / 2 u 3
+
+
c
+
c
* Se reemplaza “u”, para volver a la variable “x”
∫
18x 2 ( 2x
3
* Finalmente:
−
−
15
5x )
∫
x
7
dx
=
−
1 2u
6
+
4 − x 2 dx =
o también
∫
x
c
=
−
−
1 2 ( 2x
3
−
5x )6
1 ( 4 − x 2 ) 3/2 3
4 − x 2 dx =
−
1 3
+
+
c
c
( 4 − x 2 )3
c
∫
du − 2
u1 / 2 du
+
c
