1. Tema: Relaciones a. Par Ordenado. Es Ordenado. Es una pareja de elementos, en la que se distingue uno del otro. El par ordenado cuyo primer elemento es a y cuyo segundo elemento es b se denota como (a, b). b. Pares iguales. Es iguales. Es una pareja de elementos, en la que el primer elemento a, es igual al segundo elemento b, en otras palabras (a, b) es (a, a). c.
Plano Cartesiano. Cartesiano. El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.
d. Producto Cartesiano. Es Cartesiano. Es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto. e.
f.
Calculo de parejas de un producto cartesiano. Se cartesiano. Se realiza de la siguiente manera: A
1
2
3
4
B
a
b
AxB
(1,a) (1,b) (2,a) (2,b) (3,a) (3,b) (4,a) (4,b)
Relación. Es Relación. Es un vínculo o una correspondencia. En el caso de la relación matemática, se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento de l segundo conjunto.
g.
Calculo de número de Relaciones en un producto cartesiano. cartesiano. Se realiza mediante la multiplicación de elementos del conjunto A, con el número de elementos del conjunto B. por ejemplo en la tabla son 4 elementos de A y 2 elementos de B, 4x2=8. Ocho relaciones matemáticas. A
1
2
3
4
B
a
b
AxB
(1,a) (1,b) (2,a) (2,b) (3,a) (3,b) (4,a) (4,b)
h. Relación reflexiva. Es reflexiva. Es una relación binaria R sobre un conjunto A, de manera que todo elemento de A está relacionado re lacionado consigo mismo. i.
Relación simétrica. simétrica. Una relación es simétrica cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro también está relacionado con él, a
j.
través de la misma "R". Es lo mismo tener (a,b) que tener (b,a). conjunto A, es transitiva cuando se Relación transitiva. Una transitiva. Una relación binaria R sobre un conjunto cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y este último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.
k.
Relación identidad. Es identidad. Es la relación en la cual el elemento X del par ordenado es el mismo para el elemento Y. Es decir (a, a).
l.
Relación de equivalencia. Relación entre los elementos del conjunto que comparten cierta característica o propiedad. Esto permite reagrupar dichos elementos en clases de equivalencia, es decir, «paquetes» de elementos similares. Esto posibilita la construcción de nuevos conjuntos «añadiendo» todos los elementos de una misma clase como un solo elemento que los representará y que define la noción de conjunto cociente.
m. Relación de orden. Es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto, es decir que ayuda a la creación del orden del mismo. Sea A un conjunto dado no vacío y R una relación binaria definida en A, entonces se dice que R es una relación de orden si cumple las siguientes propiedades: i. Reflexividad. Todo elemento de A está relacionado consigo mismo. ii. Antisimetría. Si dos elementos de A se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. iii. Transitividad. Si un elemento de A está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, e ntonces el primero estará relacionado también con este último. 2. Tema: Funciones y sus gráficas. a.
Función. Se dan entre dos conjuntos no vacíos en donde se define una relación de tal modo que cada elemento de un conjunto, se hace corresponder con un único elemento del otro conjunto. Así también la función resulta ser un conjunto de pares ordenados en los cuales no se repite ningún primer e lemento. Al conjunto de los primeros elementos se le llama dominio de la función, y al conjunto de los segundos elementos se le llama contradominio, imagen, rango o recorrido de la función.
b. Ley de correspondencia. Es una aplicación, si todos los elementos del conjunto inicial tienen una imagen y solo una imagen. Como se puede ver, a cada uno de los elementos de X le corresponde un único elemento de Y.
c.
Condiciones para que sea una función. i. Todo elemento del dominio debe de estar relacionado con algún elemento del contradominio. ii. Cada elemento del dominio debe de estar relacionado con uno y solo uno del
contradominio. d. Función Inyectiva. La función f es Inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene como máximo un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen y.
e.
Función Biyectiva. Una función f es Biyectiva si es al mismo tiempo Inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función Inyectiva).
f.
Función biunívoca. La relación biunívoca se establece cuando para cada elemento del primer conjunto que se corresponde con solo un elemento del segundo conjunto, tal elemento del segundo conjunto se corresponde con solo aquel elemento del primer conjunto.
g.
Función real. Se le llama función real a la que el dominio es un subconjunto de números y el contradominio o rango también lo es. Esto nos indica que la función es real para todos
los valores reales de X excepto para X=0, por lo cual el dominio de la función es R=l0l. h. Función identidad. Es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento. Y=X i. j.
Función constante. Una función constante es una función lineal por la cual el rango no cambia sin importar cual miembro del dominio es usado. Función Potencia Simple. Es de la siguiente forma: () =
k.
Función Valor Absoluto. El valor absoluto es una función que representa la distancia de un punto al origen. Es de la forma: () = ||
l.
Función Radical simple. Las funciones radicales son aquellas en las que la variable se encuentra bajo el signo radical. Es de la forma: ()
= √
m. Función Racional. Una función racional es una función que puede escribirse como () cociente de dos polinomios. Es de la forma () = ()
n. Función Línea Recta. Función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Es de la forma: ()
= +
o. Función Cuadrática. Es una función polinómica definida por: ()
= + +
p. Ceros de una función. Los ceros de una función son los puntos en los que la gráfica corta al eje x. Así, en la siguiente gráfica, podemos ver que la función t iene tres ceros o raíces:
q. Plano y Semiplano. Es un segmento del plano, una línea recta en un plano c artesiano que divide a éste en 3 conjuntos de puntos diferentes. i. Línea recta o frontera ii. Semiplano superior iii. Semiplano Inferior.
r.
Utilización del discriminante en la función cuadrática. es una cierta expresión de los coeficientes de dicho polinomio que es igual a cero si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples en el plano complejo. Por ejemplo, el discriminante del polinomio cuadrático es:
+ + = −4
s.
Formula de vértice de la función cuadrática. El vértice se encuentra en el plano de simetría de la parábola; cualquier cosa que suceda a la izquierda de este punto será un reflejo exacto de lo que sucede a la derecha. Si quieres hallar el vértice de una ecuación cuadrática, puedes utilizar la fórmula del vértice o completar el cuadrado. Despues se sustituyen los valores y se obtiene el punto Y, para hayar el Punto (x,y) del vértice.
=− t.
2
Condición de los planos superior e inferior abierto. Para que un plano obtenga el nombre de superior o inferior abierto tiene que cumplir estas condiciones:
> + ( ) < + ( ) u. Condición de los planos superior e inferior cerrado. Para que un plano obtenga el nombre de superior o inferior cerrado tiene que cumplir estas condiciones
≥ + ( ) ≤ + ( ) v.
Composición de Funciones. Dadas dos funciones f(x) y g(x), se llama función compuesta de f con g, y escribimos g o f, a aquella función en la que la imagen de un número real x es el resultado de actuar sucesivamente sobre x primero f y después g. Para hallar la expresión analítica de la función compuesta de dos funciones se aplica el resultado anterior:
()() = [()] Ejemplo: Sean las funciones ()
= 3 − 2 () = 2 + 5 entonces la función compuesta de f con g es ()() = [()] = (3 − 2) = 2(3 − 2) + 5 = 6 − 4 + 5 = 6 + 1
w. Función Inversa. Para encontrar la inversa de una función algebraicamente, intercambie la x y la y y resuelva para y. Ejemplo:
x.
Función Logarítmica. Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como
() = log Siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que
log = → = .
y.
Función exponencial. Se llama "exponencial" a un número positivo elevado a una variable x, por ejemplo: 2 . Pero en general una función exponencial tiene la forma:
= Siendo a un número positivo distinto de 0.
