REŠENJE ZADATKA OD 20.02.2013 – MASTER studije
Geometrijske karakteristike preseka prefabrikovanog nosača
F 0.4 0.7 2 0.2 (2.2 0.4) 1.0m2 0.7 0.4 0.2 2 0.2 1.8 (0.4 1.8 / 2) yd 0.992m y g 2.20 0.992 1.208m 1.0 0.7 0.43 0.2 1.83 I 0.7 0.4 (0.992 0.4 / 2)2 2 0.2 1.8 (0.992 0.4 1.8 / 2)2 12 12
0.44207m4
W d I / yd 0.4456m3 W g I / y g 0.3659m3 S 2 0.2 1.208
1.208 0.2918m3 2
Geometrijske karakteristike spregnutog preseka Fs 1.0m2 0.2 2.5 1.5 1.0m2 1.0 0.992 0.5 (2.2 0.1) 1.428m yg, s 2.40 1.428 0.972m ys, s 1.5 0.23 2.5 2 0.5 (0.972 0.2 / 2)2 1.014m4 I s 0.44207 1.0 (1.428 0.992) 12 3 Wd, s I s / yd, s 0.7101m Wg, s I s / yg, s 1.043m3 Ws, s I s / ys, s 1.3135
yd, s
Ss 0.4 0.7 (1.428 0.2) 2 0.2 (0.992 0.4) 1.428
0.4
0.992 0.4 2
2.2 1.428 0.772m
0.5172m3
moment površine površineuodnosunatežištespregnutogpreseka( površina površinai spod težišta osnovnogpreseka)
koliko smatrate da je vremena potrebno studentu MASTER studija (gradivo iz Otpornost matrijala) Univerziteta u Beogradu da odredi ove geometrijske karakteristike (oko 15min )
Analiza opterećenja:
Opterećenje koje deluje na osnovni presek 1. sopstvena težina g1 = 1,0H25,0=25kN/m 2. prethodno naprezanje: daje uticajeNk i Mk=Nk Hek pošto se radi o statički od ređenom sistemu. Trasa kablova je data u zadatku. 3.
Sopstvena težina sveže betonirane ploče
g p= 0,2H2,5H25,0=12,5 kN/m
Opterećenje koje deluje na
spregnuti presek: Opterećenje se svodi na glavni nosač pomoću priložene uticajne linije za poprečnu preraspodelu.
Pri određivanju uticaja od stalnog tereta može se koristiti i činjenica da je stalni teret simetričan u odnosu na osu simetrije poprečnog preseka, što ima za posledicu da svaki nosač podjednako učestvuje u nošenju stalnog opterećenja. Pod tim uslovima od stalnog opterećenja: gs
2 4.0 10.5 1.2 4.12kN / m 5
preko uticajne linije se određuje (malo duže) gs 1.0 4.0
0.7 0.62 0.62 0.22 10.5 1.2 1.0 4.0 2 2
0.22 0.3 4.12kN / 2
(studentima je na vežbama naglašeno: ukoliko su svi nosači istih karakteristika ravnomerno raspoređeni u preseku za simetrično opterećenje po jednom glavnom nosaču poprečnom raspodelom se dobijaju iste vrednosti kao i da se ukupno opterećenje deli na broj nosača)
Za uticaje od pokretnog opterećenja se dobije: P 150.0 (0.58 0.42) 150kN p 3.0 (1.0
0.7 0.62 0.38 0.62 0.38 4.75 ) 6.0 3.0 13.6875kN / m 2 2 2
linijska šema pokretnog opterećenja je:
koliko smatrate da je vremena potrebno studentu MASTER studija (gradivo sa vežbi) Univerziteta u Beogradu da izvrši (čak i na duži način) prikayanu analizu opterećenja (oko 15min )
Određivanje sile prethodnog naprezanja: Presek u sredini raspona u prvoj fazi:
t=0, deluje samo sopstvena težina i sila prethodnog naprezanja čije se dejsto oseća kao moment i normalna sila. Moment je , u statički određenom sistemu , jednak sili u kablu × ekscentricitet kabla ( e k =0.992m-0.15m=0.842m – za presek u sredini raspona) naponski uslovi: d
g,n
N F
M g ek N Wd
N F
21250kN / m2 M g
M g ek N Wg
3250kN / m2
25 402 8
N N
N N
0.842 5000 21250 0.4456 0.4456
0.842 5000 0.3659 0.3659
3250
N 11237kN
N 12999kN
(kako je primećeno na ispitu , nedoumicu kod studenata predstavlja koja je ivica preseka pritisnuta a koja zategnuta!!! – iako bi to trebalo da su savladali na Prethodno napregnutom betonu – naglašavamo: u fazi utezanja zategnuta(manje pritisnuta) je ona ivica preseka koja će u eksploataciji biti izložena priti sku, i obratno- oznaka u indeksu '' d'' kod dopuš tenih napona zadatih u tekstu zadatka se odnosi na reč – 2 dopušten;takođe voditi računa o jedinicama odnosno pretvoriti M pau kN/m )
Na osnovni presek deluje i sopstvena težina ploče koja na prostoj gredi izaziva uticaj: Mgp=12.5H402/8=2500kNm Za proveru napona u eksploataciji treba odrediti uticaje u eksploataciji, odnosno momente od dodatnog
stalnog i pokretnog opretećenja (ovi uticaji deluju na spregnuti presek). Mgs=4.12H402/8=824kNm
Od pokretnog opterećenja, na prosto gredi, a prema skici, moment je: maxM p= =13.6875H402/8+150H(10+9) =5587.5kNm
naponski uslovi za donju i gornju ivicu prefabrikovanog nosača (gornja ivica prefabrikovanog nosača je istovremeno spoj u spregnutom noaču) u fazi eksploatacije (gubici uzeti u obzir na osnovnom preseku): M g M gp 0.75 ek N M gs M p 0.75 0.842 5000 2500 824 5587.5 1950kN / m2 0.75 N N 1950 0.4456 0.4456 0.7107 F Wd Wd,s 2.167N 23920kN N 11030kN 0.75 N M g M gp 0.75 ek N M gs M p 0.75 0.842 5000 2500 824 5587.5 17250kN/ m2 0.75 N N 17250 gn s,s 0.3659 0.3659 1.3135 F Wg Ws,s 0.75 N
d
0.9759N 8128kN
N 8329kN
usvojena sila N=11100kN koliko smatrate da je vremena potrebno studentu MASTER studija (gradivo iz Prethodno napregnutog betona sa elementima iz vežbi iz Betonskih mostova) Univerziteta u Beogradu koji je položio Prethodno napregnuti beton da ispiše 4 naponska uslova i iz njih odredi s ilu (max 25min)
Određivanje napona u preseku u sredini raspona po fazama:
1. t=0 faza utezanja kablova N M g ek N 11100 5000 d 1.0 F Wd N M g ek N 11100 5000 d F Wg 1.0
0.842 11100 20853kN/ m2 0.4456
20.853MPa
0.842 11100 0.3659
0.778MPa
778kN/ m2
2. nakon gubitaka sile prethodnog naprezanja a pre izlivanja ploče 0.75 N M g 0.75 ek N 0.75 11100 5000 0.75 0.842 11100 12835kN / m2 12.835MPa d F Wd 1.0 0.4456 0.75 N M g 0.75 ek N 0.75 11100 5000 0.75 0.842 11100 2832kN / m2 2.832MPa d F Wg 1.0 0.3659 3.
od težine ploče – može se posmatrati samo priras t napona d
g
M gp 2500 5610kN / m2 5.61MPa Wd 0.4456 M gp 2500 6832kN / m2 6.832MPa gn Wg 0.3659
12.835MPa 5.61MPa 7.225MPa
d
ss
2.832MPa 6.832MPa 9.664MPa
ostala opterećenja deluju na složeni presek tako da se sabiraju samo naponi u nosaču, dok se u ploči (koja nije postajala u prvoj fazi) ostvaruju naponi samo kao u delu spregnutog preseka 4. od ostatka stalnog tereta M gp 824 1159kN / m2 1.159MPa d 0.7107 Wd, s M gp 824 627kN / m2 0.627MPa gn s, s Ws, s 1.3135 u pločl : s, s gn s, s 0.627MPa g, s
5.
g, s
824 790kN / m2 1.043
d
7.225MPa 1.159MPa 6.065MPa
gn ss
9.664MPa 0.627MPa 10.291MP
0.79MPa
od pokretnog opterećenja d
Mp Wd, s
gn s, s
Mp Ws, s
5587.5 0.7107
7862kN / m2
5587.5 4254kN / m2 1.3135
7.862MPa 4.254MPa
d
gn ss
6.065MPa 7.862MPa
10.291MPa 4.254MPa 14.545MPa
u pločl : s, s g, s
0.627MPa 4.254MPa 4.881MPa 5587.5 5357kN / m2 1.043
5.357MPa
g, s
0.79MPa 5.357MPa 6.147MPa
na sledećoj su slici prikazani naponi po fazama
1.7965MPa
koliko smatrate da je vremena potrebno studentu MASTER studija Univerziteta u Beogradu da 5 puta sračuna napone u preseku (max 15min) Određivanje ekstremne vrednosti transverzalne sile i glavnih napona zatezanja po fazama . U preseku na 1.5m od oslonca se, pored transverzalne sile, javljaju i momenti. Kako
se traži vrednost glavnih napona zatezanja u nivou težišta osnovnog preseka, pri određivanju normalnih napona koji ostaju ''zamrznuti'' u osnovnom preseku nije neophodno odrediti momente koji se javljaju u nosaču osnovnog preseka pošto u težištu preseka postoje normalni naponi samo od normalne sile prethodnog naprezanja. M eđutim, to nije slučaj sa spregnutim presekom , pošto se njegovo težište ne poklapa sa težištem osnovnog preseka, te je za određivanje normalnih napona potrebno od rediti momente koji nastaju od opterećenja na spregnutom preseku.
Transverzalna sila od opterećenja koja deluju na osnovnom preseku je: Od sopstvene težine: Tg=25H40/2-1.5H25=462.5kN
odgovarajući moment: Mg=462.5 H1.5-25H1.52/2=665.25kNm – nepotreban podatak u skladu sa objašnjenjem – nepotrebno gubiti vreme na njega Uticaji od prethodnog naprezanja: Zametniji način je da se u potpunosti matematički opiše trasa kablova iz zadatih podataka – parabola, da se, zatim, odredi položaj kablova kako bi se odredio moment od njih (koji za napon u težištu preseka nije ni potreban), ali za određivanje transverzalne sile od prethodnog naprezanja trebalo bi odrediti sin ugla nagiba trase. Sve je ovo mnogo lakse ako se uticaj prethodnog naprezanja zameni ekvivalentnim opt erećenjem, uz istovremeno uspostavljanje ravnoteže ekvivalentnog opterećenja Znači NHcos
qek
8 N f
N i Tk lHqek /2
8 11100 0.842 46.73kNm deluje u smeru centrakrivin 402
l2 U skaldu sa smerom ekvivalentnog opterećenja i transverzalna sila deluje u suprotnom smeru od transverzalne sile od stalnog tereta i iznosi: Tk = -(46.73H20-46.73H1.5) = -864.5kN
Sopstvena težina ploče izaziva transverzalnu silu od Tgp=20H12.5-1.5H12.5= 231.25kN (i ovo može brže jer je težina ploče dva puta manja od težine nosača te je to jednostavno T g/2)
Opterećenja koja deluju na spregnutom preseku su ostatak stalnog tereta koji u posmatranom preseku izaziva uticaje: Tgs=4.12H(20-1.5)=76.22kN
Mgs=76.22H1.5-4.12H1.52/2=109.695kNm
Ekstremna transverzalna i odgovarajući moment u posmatranom preseku se određuju za položaj pokretnog opterećenja koji odgovara uticajnoj liniji za posmatrani presek. kako je to prikazano na sledećoj skici.
tada je T max=R=(13.6875H38.52/2+150H(38.5+36.5))/40=534.8kN M p, odg=R H1.5=802.3kNm određivanje maksimalne transverzalne sile donosi 5 poena iako je to i spod časti za studente MASTER studija (gradivo iz Statike konstrukcija sa elementima Prethodno napregnutog betona) (trebalo bi da je 5minuta dovoljno da se to uradi)
Sada se slično kao i za normalne napone u preseku u sredini određuju po fazama naponi smicanja u nivou težišta osnovnog preseka, normalni naponi u težištu osnovnog preseka, i konačno glavni naponi zatezanja. 1. t=0 faza utezanja kablova N 11100kN / m2 11.1MPa t, osnovnog F T S 462.5 864.5 0.2918 663.4kN / m2 t,osnovnog 0.44207 2 0.2 I b 2 2
2
2
4
11.1 2
11.12 4
0.6682
0.663MPa
0.04MPa
2. nakon gubitaka sile prethodnog naprezanja a pre izlivanja ploče 0.75 N 8325kN / m2 8.325MPa t, osnovnog F T S 462.5 0.75 864.5 0.2918 306.7kN / m2 0.307MPa t,osnovnog I b 0.44207 2 0.2 2 2
2
2
4
8.325 2
8.3252 4
0.3072
0.011MPa
3. od težine ploče – može se posmatrati samo priras t napona t, osnovnog 0 t,osnovnog 8.325MPa t,osnovnog
Tgp S I b 2
2
2
4
2
232.25 0.2918 383.25kN / m2 0.44207 2 0.2 8.325 2
8.3252 4
0.0762
0.383MPa
t, osnovnog
0.307MPa 0.383MPa 0.076MPa
0.0006MPa
ostala opterećenja deluju na složeni presek , a kako se težišta osnovnog preseka (u kome se traži napon) i složenog preseka ne poklapaju, potrebno je pri određivanju normalnih napona uzeti u obzir i moment. Rastojanje između težišta spregnutog i osnovnog preseka je :
dy yd, s yd 1.428 0.992 0.436
- voditi računa da spoljnje opterećenje zateže donju stranu
(ispod težišta je napon od momenta znaka -) 4. od ostatka stalnog tereta M gs 109.695 0.436 47.16Kn/ m2 0.047MPa dy t,osnovnog t,osnovnog 8.325MPa 0.047MPa 8.278MP Is 1.014 Tgs Ss 76.22 0.5172 97.19kN / m2 0.097MPa t,osnovnog 0.076MPa 0.097MPa 0.173MPa t, osnovnog 1.014 2 0.2 Is b 2 2
2
2
4
8.278 2
8.2782 4
0.1732
0.0036MPa
5. od pokretno g opterećenja
t,osnovnog
t, osnovnog
M p,odg 802.3 dy 0.436 344.9Kn/ m2 0.345MPa t,osnovnog 8.278MPa 0.345MPa 7.933MPa 1.014 Is Tp,ma x Ss 534.8 0.5172 681.9kN / m2 0.682MPa t,osnovnog 0.173MPa 0.682MPa 0.855MPa Is b 1.014 2 0.2 2
2
2
4
2
7.933 2
7.9332 4
0.8552
0.091MPa
ukoliko ste za prethodni deo zadatka potrošili oko 75 minuta ostalo je još 45 minuta da se odrade glavni naponi zatezanja Poštovane kolege, kao što vidite, ukoliko ste savladali gradivo sa osnovnih studija (malo otpornosti, malo statike i malo prethodno napregnutog betona), ispitni zadatak je izuzetno jednostavan iako vremenski zahtevan. Vreme koje vam je dato da ga uradite je sasvim dovoljno čak i ako određujete nepotrebne podatke (zbog nedostatka rutine i iskustva). Naravno da izrada ovakvih zadataka podrazumeva rutinu u radu što je i cilj. Ukoliko za ovaj ispitni rok niste dovoljno vežbali da sakupite 30 poena, što predstavlja analizu opterećenja i određivanje potrebne sile prethodnog naprezanja, znači da niste dobro procenili svoju rutinu. (Master student to treba da uradi za 55minuta).U tom slučaju bi trebalo da Vam je jasno kako da spremate za sledeći rok .
