RESERVORIOS II INTRUSIÓN DE AGUA Ing. M.Sc. Paola Adriana Coca Suaznabar e-mail:
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INTRODUCCIÓN PETRÓLEO AGUA
GAS AGUA
INTRODUCCIÓN PETRÓLEO
AGUA Volumen de agua que fluye del acuifero al reservorio
GAS
AGUA
INTRODUCCIÓN Volumen acumulado de agua proporcionado por el acuifero al reservorio, a través del contacto reservorio – acuifero, hasta un tiempo determinado: We
Modelo más simple – Ecuación de la compresibilidad
We = ctWi ( pi Ct = Compresibilidad total del acuifero Wi = Volumen inicial del agua en el acuifero Pi = Presión inicial P = presión en el contacto
p)
INTRODUCCIÓN
Ecuación de la compresibilidad
Acuiferos muy pequeños, admite la ecualización inmediata de presiones entre el reservorio/acuifero
Modelo matemático
Dependencia entre el tiempo. Van Everdingen & Hurst, Modelo aproximado de Fetkovivh, Hurst Modificado, Carter-Tracy.
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN (1949) - Ecuaciones diferenciales (parametros de roca y fluidos) = flujo de fluidos en el reservorio. - Modelos de reservorio Consideran condición constante de contorno interna caudal - Acuifero Presión constante - Aplica la transformada de Laplace para resolver la ecuación de la difusividad: Radial y lineal.
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN (1949)
Ecuación de la Continuidad: Ecuación de la conservación de la masa.
Ecuación de estado: Ley de los gases o ecuación de la compresibilidad (líquido)
Ley de Darcy: Ecuación de transporte de masa
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN (1949) Geometrías de flujo •
Yacimiento
Flujo lineal Yacimiento Acuífero
Acuífero
Yacimiento está en contacto, pero parcialmente con el acuífero Empuje hidráulico lateral
Acuífero
Empuje de fondo Empuje hidráulico de fondo
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN (1949) Geometrías de flujo •
Flujo lineal
Pozo fracturado hidráulicamente: Yacimiento aporta a la fractura a través de un flujo lineal que corre a través de esta hacia el pozo
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN (1949) Geometrías de flujo
Flujo radial: Caso normal en un yacimiento cuando se tiene un pozo que atraviesa toda la formación y está cañoneado en todo el espesor de la misma
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN - ACUIFERO RADIAL:
Variables adimensionales Radio
r0
r D
θ
res
acuifero
ro
Tiempo
tD = re
r
=
kt
m ct ro2
Presión
pD =
pi
p
pi
p0
=
pi
p p0
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN - ACUIFERO RADIAL: ΔP0 = pi – p0 ; Caida de presión constante en el contacto. El caudal que el acuifero proporciona en el punto r = r0 : q=
2p fkh æ
m
çr è
pö ÷ r ø r0
f
=
q
2p
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN - ACUIFERO RADIAL: æ ¶p ö ç rD ÷ è ¶r ør m 2p fkh p0
qm
=
D =1
2p fkh p0 tD
t
ò
º qD (t D )
qdt =
0
dt dt D
ò
qD (t D )
0
=
m ct r02 k
dt dt D dt D
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN - ACUIFERO RADIAL: Wem 2p fkh p0
=
WD (t D )
m ct r02 k
We = 2p f ct hr02 p0WD (tD ) We = Influjo de agua acumulado debido a la caida de presión en un t=0 WD(tD) = Influjo adimensional acumulado para una caida de presión cte en el contacto.
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN - ACUIFERO RADIAL: =
W U p0WD (tD ) U = 2p f ct hr02 e
U = Constante de influjo de agua del acuifero.
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN Considerar tres modelos: Transiente (infinito) Con
manutención de presión en el límite externo (Permanente) Acuifero sellado en el límite externo (Pseudopermanente)
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN RÉGIMEN DE FLUJO: Permanente (Steady-state flow)
Tiene alimentación externa y la presión en el límite del reservorio (Pe) es constante. Influjo de agua y Inyección de agua.
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN RÉGIMEN DE FLUJO: P n ó is re P
Pe=cte q
Pw Alimentación externa
rRadio w
re
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN RÉGIMEN DE FLUJO: Pseudopermanente (Pseudosteady-state flow)
Se admite que el reservorio produjo por un periodo de tiempo para salir del flujo transiente, pero no tiene re-alimentación
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN RÉGIMEN DE FLUJO: Transiente (Unsteady-state flow), la presión en
el fondo del pozo se mantiene constante hasta que la perturbación llega al límite exterior del yacimiento.
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN El problema de flujo en el acuifero puede ser escrito como: 2
E. D. P. :
p2D rD
+
1 pD rD rD
=
pD tD
C. I . : pD (rD ; t D = 0) = 0
C.C. I . : pD (rD = 1; tD ) = 1
Ecuación de la difusividad hidraulica: ecuación diferencial parcial
Condición inicial: Inicalmente las presiones en cualquier punto del acuifero estaen equilibrio e igaules a Pi
Condición de contorno interna impone la condición de caida de presión cte en el contacto acu/res
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN La diferencia entre los tres regimenes de flujo condición de contorno externa (condición impuesta en el limite externo del acuifero). Infinito C.C. E. : pD (rD ® 0) = 0
Finito sellado
æ
C.C. E. : ç è
pD ö ÷ rD ø r
D =re
=
0
r0
Finito con Pcte en limite externo C.C. I . : pD (rD = re r0 ; tD ) = 0
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN Influjo puede ser calculado con la siguiente ecuacion: tD
tD æ
ö
WD º ò qD (t D ) dt D = ò ç rD pD ÷ rD ø r 0 0 è
dtD
D =1
Valores de WD en función de tD en forma de tablas.
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN Tabla
K.4 Acuifero radial infinito Tabla K.5 acuifero sellado y realimentado (presión cte en el limite externo). Para acuiferos sellados existe un valor máximo para el influjo acumulado. Este valor es alcanzado despues de la ecualización de las presiones del reservorio e del acuifero. WDm x á
2 reD 1 = 2
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN Ejemplo: Un reservorio de petróleo con geometria aproximadamente radial tiene un radio de 500 m y es circundado por un acuifero de grande extensión, que para efectos prácticos puede ser considerado como si fuera infinito. Durante 50 dias tal reservorio, cuya presión srcinal era de 100kgf/cm 2, fue mantenido a una presión cte de 90 kgf/cm2
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN Datos: Porosidad del acuifero = 0,2 Permeabilidad del acuifero = 100 md Espesor del acuifero = 1 m Viscosidad del agua = 1 cp Compresibilidad total del acuifero = 10-5 (kg/cm2)-1 Calcular el influjo de agua en el reservorio al final de los 50 dias anteriormente mencionados.
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN Ejemplo: Un reservorio de petróleo con 800 m de radio es circundado por un acuifero con las siguientes caracteristicas: Radio externo = 5000 m Espesor de la formación = 15 m Porosidad = 0,2= 150 md Permeabilidad Viscosidad de agua = 1 cp Compresibilidad de agua = 40 x 10 -6 (kgf/cm2)-1 Compresibilidad de la formación = 50 x 10-6 (kgf/cm2)-1 Presión inicial = 180 kgf/cm2
Sabiendo que la presión en el contacto petróleo/agua es cte e igual a 150 kgf/cm2 desde el inicio de la producción del reservorio, calcule: a) Influjo acumulado de agua despues de 400 dias b) Influjo acumulado máximo para la presión en el contcto de 150 kgf/cm 2
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN ACUIFERO LINEAL
Variables adimensionales Longitud
x xD L
Reservorio
Tiempo
tD
Acuífero 0 x L
h
ct L2
Presión
pD w
kt
pi p pi
p0
pi p
p0
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN - ACUIFERO LINEAL: ΔP0 = pi – p0 ; Caida de presión constante en el contacto. El caudal que el acuifero proporciona en el punto X = 0 : q
kA p x x 0
A wh
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN - ACUIFERO LINEAL: p D xD x L
kAp0
t
0
D 1
qL
q D (t D )
kAp0 tD
qdt q D (t D ) 0
dt ct L2 dt D k
dt dt D dt D
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN - ACUIFERO LINEAL: We wLhct p0WD (t D ) U wLhct We Up0WD (t D ) We = Influjo de agua acumulado debido a la caida de presión en un t=0 WD(tD) = Influjo adimensional acumulado para una caida de presión cte en el contacto.
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN El problema de flujo en el acuifero puede ser escrito como: 2 p p D E.D.P. : x 2 t D D D C .I . : p D ( x D ; t D
0) 0
C.C.I . : p D ( xD 0; t D ) 1
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN La diferencia entre los tres regimenes de flujo condición de contorno externa (condición impuesta en el limite externo del acuifero). Infinito C.C.E. : p D ( xD
; tD ) 0
Finito sellado C .C.E. : p D ( xD 1; t D ) 0
Finito con Pcte en limite externo p C .C .E. : D 0 x D x 1 D
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN Influjo acumulado adimensional puede ser calculado con la siguiente ecuacion: tD
tD
WD q D (t D ) dt D p D xD x 0 0
dt D D 0
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN Tabla
K.6 Acuifero lineal (WD) El comportamiento del influjo acumulado adimensional en función del tipo de C.C.E: D
W l, a n o is n e m i d a o j u lf n I
Sellado
Tiempo adimensional, tD
TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN Ejemplo: Son conocidos los siguientes datos de un acuífero que produce con geometría de flujo lineal e con Pcte en el contacto petróleo/agua: Ancho del acuífero = 600 m Longitud delacuífero acuífero==11,5 3200mm Espesor del Porosidad = 0,25 Permeabilidad = 300 md Viscosidad del agua = 1 cp Compresibilidad total del acuífero = 78 x 10-6 (kgf/cm2)-1 Caída de presión en el contacto = 5 kgf/cm2
Considerando los tres casos, calcule el influjo acumulado al final de un periodo de 100 días.
MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Acuíferos finitos y admite que el flujo del acuífero para el reservorio se da sobre régimen pseudopermanente. - Admite régimen pseudopermanente para el flujo del acuífero hacia el reservorio q
dWe J pa p dt
J indice de productividad del acuifero. Pa Presión media del acuifero P presión en el contacto reservorio-acuifero
MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - A partir de un balance de materiales: We ctWi ( pi p a ) ct cw c f
We p a pi 1 cW p
W p a pi 1 e W
ei t i i - Sea Wei el influjo máximo que un acuífero sellado puede proporcionar, correspondiente a la expansión del agua del acuifero al ser despresurizado de pi para la presión cero
Wei ctWi pi
MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) W p a pi 1 e W
ei
- Derivada en relación al tiempo d pa dt dWe J pa p q dt
=
pi dWe Wei dt d pa dt
=
Jpi Wei
pi J ( pa Wei dt =
p)
d pa pa
p
MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Integrar de t=0 (cuandoWe = 0 y pa = pi) p
a Jpi t d pa ò dt = ò W p p
pi
ei 0
a
æ p Jpi pö t = ln ç a Wei pø è pi
pa
p = ( pi
æ
p) exp ç è
Jpi ö t Wei ø
q
dWe J pa p dt
MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) q = J ( pi
æ
p) exp ç è
Jpi ö t Wei ø
- Ecuación del caudal con la que el agua fluye del acuifero al reservorio en función del tiempo y la cida de presion en el contacto, (pi – p). - Ecuación general e independiente la geometria del acuifero
MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) t
t
We º ò qdt = J ( pi 0
è
0
é
We = Wei ( pi pi
æ
p) ò exp ç æ
Jpi ö t ÷dt Wei ø öù
p) ê 1 exp ç Jpi t ÷ú Wei ø û è ë
- Ecuación proporciona el influjo del acuifero en función del timepo para una caida de presión constante (pi – p), en el contacto.
MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Observación 1: Con el pasar del tiempo el caudal proporcionado por el acuifero: q = J ( pi
p) exp çè
Jp ö i Wei t ø
Disminuye exponencialmente tendiendo a cero. O sea, el influjo dado por: We =
Wei ( pi pi
Tiende a un valor máximo.
é
æ
ë
è
p) ê 1 exp ç
Jpi ö ù t ÷ú Wei ø û
MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Observación 1: Con el pasar del tiempo el caudal proporcionado por el acuifero: q = J ( pi
p) exp çè
Jp ö i Wei t ø
Disminuye exponencialmente tendiendo a cero. O sea, el influjo dado por: We =
Wei ( pi pi
Tiende a un valor máximo.
é
æ
ë
è
p) ê 1 exp ç
Jpi ö ù t ÷ú Wei ø û
MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Observación 2: En la práctica la caida de presión en el contacto no es constante y: We = Wei ( pi pi
p) éê 1 exp æç Jpi t ö÷ùú Wei ø û è ë
No es directamente aplicable. En caso de tener mas de un pozo se tiene el caso del método de superposición.
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE EFECTOS - Aplica a las ecuaciones diferenciales lineares. - Cualquier combinación linear de soluciones de este tipo de ecuación también es una solución de la ecuación. - Ecuación de la difusividad hidráulica es una ecuación diferencial parcial. - Aplicada al tiempo y espacio.
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE EFECTOS
MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Observación 2: Fetkovich mostró una forma de utilizar la ecuación previa cuando la presión varia en el contacto, sin realizar la superposición. El influjo durante el primer intervalo (Δt1) puede ser expresado por: We1 =
Wei ( pi pi
æ Jpi ö t1 ÷ú è Wei øû
p1 ) ê1 exp ç
ë
Donde p1 es la medida de las presiones en el contacto en el intervalo de tiempo Δt1
MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Observación 2: Para el segundo intervalo de tiempo (Δt2): We2 =
Wei pi
pa1
æ Jpi
p2 ê1 exp ç
)ë
(
è Wei
ö
t2 ÷ú
øû
Donde pa1 es la presión media del acuifero al final del primer intervalo de tiempo y es calculada a partir de la ecuación de balance de material en el acuifero. æ
pa1 = pi ç1
è
We1 ö ÷ Wei ø
Y p2 es la media de la presion en el contacto en el intervalo de tiempo Δt2
MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Observación 2: Para un intervalo de tiempo Δtn Wen =
Wei
(p
æ Jpi
an
1
pn ) ê1 exp ç
i
=
pi çç1
è
è Wei æ We Wej ÷÷ = pi ç1 è Wei ø ë
p pan 1
ö
tn ÷ú
1
Wei
n 1
å j =1
pn =
n 1
øû ö ÷ ø
pn 1 + pn 2
Fetkovich mostró para diferentes geometrias que su metodo produce resultados semejantes al modelo de Van Everdingen & Hurst para acuiferos finitos.
MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Observación 3: Al utilizar el indice de productividad del acuifero, J, para flujo permanente, se admite que el acuifero sea realimentado de modo que lae igual presión externo se mantiene constante a pi.en su limite La condición de flujo permanente implica que no hay limite para el influjo maximo, esto es, Wei infinito. qº
dWe dt
=
J ( pi
p)
MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Observación 3: Cuya integral es el influjo acumulado: t
We = J ò ( pi
p) dt
0
Es un caso particular del modelo de Fetkovich.
MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Observación 4: Indice de productividad del acuifero, J. Condición de fluxo
Acuifero radial J=
Pseudopermanente
Permanente
Acuifero Lineal
2p fkh é
r ö 3ù m ê ln ç e ÷ ú 4û è rD ø ë
J=
J=
3khw
2 p fkh æ
r ö m ln ç e ÷ è rD ø
J=
mL khw
mL
MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Observación 4: Para otras geometrias, el indice de productividad para el regimen pseudopermanente puede ser definido como: 2 p fkh
J=
m ln æç 4 A 2 ö÷ 2
è
CAr0
ø
Donde CA es el factor de forma (Tabla K.3), A es el área del acuifero, γ es la exponencial de la cte de Euler (γ = 1,78108) y r0 es el radio del reservorio. En la tabla K.3 el tiempo adimensional tDA es definido como:
t DA =
kt m ct A
MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) Resuelva el ejemplo anterior utilizando el modelo de Fetkovich:
MODELO DE HURST MODIFICADO – DESCRITO POR PIRSON (1958) El caudal de agua proporcionado por el acuífero: p p dWe C i dt
log ct
Donde C y c cte. El influjo acumulado: t
We C
pi p 0 log ct dt
Constante C y c son estimadas: ajuste historico
MODELO DE CARTER-TRACY (1960) Aplicable
a cualquier geometría de flujo, desde que se conozca la solución para la presión adimensional en función del tiempo.
No
requiere de la aplicación del principio de superposición.
MODELO DE CARTER-TRACY (1960) Influjo acumulado: t Dj
We t Dj U p
0
dWD t D d d
Donde tD es tiempo adimensional definido para cada geometría de acuífero, U constante de influjo de agua, p(tD)=pi – p(t D) caída de presión en el contacto, WD(tD) influjo de agua acumulado adimensional, variable de integración y j discretización del tiempo. Apendice L para U y tD
MODELO DE CARTER-TRACY (1960) Valor
de influjo acumulado We
We t Dj
We t Dj
1
aj
1
t Dj
t
Dj 1
aj-1
cte. Intervalo entre tDj-1 y tDj el influjo varia linealmente con el tiempo t Dj
U p 0
dWD (t D ) e tDj 1 a j 1 t Dj t Dj 1 d W d
Aplicando la transformada de Laplace
Uu p u WD u
We t Dj 1 a j 1t Dj 1 u
a j 1 u2
MODELO DE CARTER-TRACY (1960)
También se tiene
Donde pD(tD) solución para la presión adimensional en la fase
1 u p D (u )WD (u ) 2 u
interna deun uninflujo acuífero produciendo a caudal WD(tD) es adimensional para el caso constante de presióny constante en el contacto. 1 p u We t Dj 1 a j 1t Dj 1 u p D (u ) a j 1 p D (u ) U 1 p tDj We t Dj 1 a j 1t Dj 1 p´D t Dj aj 1 p D t Dj U p´D(tDj) derivada de la presión adimensional en relación al tiempo adimensional
MODELO DE CARTER-TRACY (1960) a j 1
We t Dj
Up (t Dj ) We t Dj 1 p´D t Dj p D tDj t Dj 1p´D t Dj
We t Dj We t Dj 1
We t Dj
1
a j 1 t Dj t Dj
Up t Dj We t Dj 1 p´D t Dj p D tDj t Dj 1p´D t Dj
1
t
Dj
t Dj 1
Ecuación para el cálculo de influjo acumulado
MODELO DE CARTER-TRACY (1960) La
función pD(tD) representa la presión adimensional en la cara interna del acuífero produciendo a q cte. En acuífero lineal infinito (transiente) la presión adimensional p D t D 2 Acuífero
tD
radial infinito p D tD
1
ln tD
2
0,80907
MODELO DE CARTER-TRACY (1960) Resolver
el ejercicio anterior usando el modelo de Carte-Tracy
MODELO DE LEUNG (1986) Aplicables a
acuíferos finitos Flujo del acuífero hacia el reservorio es régimen pseudopermanente Ventaja
en relación al modelo de Van Everdingen & Hurst (método computacionales) Modelo Pseudopermanente (PSS model) Modelo Pseudopermanente Modificado (MPSS model)
COMPARACIÓN DE LOS MODELOS MODELO
We (m3)
Error (%)
Van Everdingen & Hurst
146190
-
Fetkovich
148841
+1,8
Carter-Tracy
160705
+9,9
PSSS Leung
148181
+1,4
MPSS Leung
146329
+0,1
