Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica
Conducción de calor Transiente: Método de la resist resistencia encia interna despreciable
Conducción de calor transiente Proceso transiente: Proceso en donde la variable dependiente (temperatura) cambia con el tiempo de forma importante.
Proceso transiente
(,,,)
Cambio de T en el tiempo…
Algunos procesos industriales que emplean transferencia de calor transiente: •
Tratamientos térmicos de materiales
•
Fundición
•
Esterilización de alimentos
•
Secado de alimentos
•
Congelación de alimentos
•
Liofilización
•
Cocción de alimentos
•
Inyección de polímeros
El estudio de todos estos procesos requiere el conocimiento de la temperatura cambiando en función del tiempo, lo que en esta sección llamaremos “proceso transiente”.
Conducción de calor transiente La figura muestra: Se tiene un objeto sólido (alimento, pieza mecánica) a temperatura inicial que va a ser enfriado en un líquido que se encuentra a temperatura El proceso de disminución de temperatura del objeto se muestra en la siguiente figura:
( = 0) =
T(t)
Proceso transiente
(,,,)
∞
∞
Proceso con comportamiento exponencial
t
Observaciones:
T(t)
Proceso con comportamiento exponencial
Equilibrio térmico
∞
Al INICIO, el objeto se encuentra a temperatura Al inicio la velocidad de calentamiento ( ) es muy alta, y al FINAL es muy baja. FINALmente, el objeto alcanza el equilibrio térmico con el fluido que lo rodea.
. =
t
INICIO INTERMEDIO
FINAL
Definición del Número de Biot El número de Biot se define como la resistencia por conducción dividida por la resistencia por convección. No tiene dimensiones (unidad de medida) (adimensional)
= = 1 ℎ
ℎ =
es la longitud característica del
problema, y depende de la geometría (de verá mas adelante…)
En concencuencia, si: La resistencia por conducción domina La resistencia por convección domina y la resistencia por conducción es despreciable.
≫ 1 ≪ 1
Definición del Número de Biot Observar la figura: - Cuando Bi<<1, muy baja resistencia por conducción, el calor se transfiere fácilmente y la temperatura aumenta de forma uniforme en todo el espacio ( eje x). Por lo tanto la temperatura solo depende del tiempo T(t) Resistencia interna despreciable. - Cuando Bi>>1, existe resistencia por conducción, por lo tanto existen gradientes de temperatura significativos al interior. La temperatura aumenta de forma no uniforme en el espacio, por lo tanto T(x,t)
Modelo matemático para Resistencia interna desperciable
− = = 0 no entra energía al objeto = = ℎ( − ∞) la energía que sale del objeto es el calor que sale por convección al enfriarse, a través de un área supericial del objeto = = = = : energía por unidad de masa (específica) − =
=
−ℎ( − ∞) =
Ecuación diferencial ordinaria de primer orden no Homogénea. Como la temperatura depende del tiempo T(t) se necesita una condición inicial
= 0 =
−ℎ ( − ∞) =
Solución de la ecuación: Se define una variable:
= − ∞ Diferenciando se obtiene:
= Reemplazando en la ecuación diferencial:
−ℎ = Aplicando separación de variables
− = ℎ
Integrando:
− = ℎ Recordando el número de Biot
Donde:
= − ∞ − = ℎ ln − ℎ = ln
= ℎ
− ∞ = exp − ℎ − ∞
Aplicando exponencial en ambos lados
= exp − ℎ
− ∞ = exp − ℎ − ∞ Recordando el número de Biot
= ℎ
Definiendo la difusividad térmica
í = = í La longitud característica, para este caso, cuando T(t), se define:
=
Definiendo El número de Fourier (tiempo adimensional)
= 2 Ordenando los términos de la ecuación anterior
ℎ = ℎ 2 = ℎ 2 2 = ℎ 2 = 2 = ∙ Por lo tanto, la ecuación queda de la siguiente forma:
− ∞ = exp − ∙ − ∞
Modelo matemático para Resistencia interna desperciable Ecuación diferencial
−ℎ( − ∞) = Condición inicial
= 0 = Solución
− ∞ = exp − ∙ −∞
Limitaciones -Sólo sirve para casos donde Bi<<1. Para ponernos de acuerdo, se utilizará este modelo matemático sólo cuando Bi<0.1 -La temperatura solo depende del tiempo. -Las propiedades se consideran constantes. Cuándo podría usar este modelo sencillo? Cuando tengo bajos números de Biot, lo cual implica:
= ℎ
Materiales con alta conductividad térmica Objetos con baja longitud característica (piezas pequeñas) Coeficiente de convección bajo Siempre calcular el número de Biot antes de resolver un problema, para chequear si se puede utilizar este modelo…
