UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS
FACULT ACULTAD DE CIENCIAS CIENC IAS EMPRESARIALES EMPR ESARIALES Y EDUCACION EDUC ACION ESCUELAS PROFESIONALES ADMINISTRACION Y NEGOCIOS INTERNACIONALES Y CIENCIAS CONTABLES CONTABLES Y FINANCIERAS
INEVESTIGACIÓN INEVEST IGACIÓN OPERATIV OPERATIVA A
MSC. MARIO GAUNA CHINO
TEMA:
Ejercicios y problemas del método grafico
INTEGRANTES:
Diana Guerrero Guerrero Paola Sarchi
SEPTIMO
“B”
Tulcán – Ecuador Ecua dor
TEMA: Ejercicios y problemas del método grafico
OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL •
Resolver problemas mediante el método grafico.
OBJETIVOS ESPECIFICOS •
•
•
Determinar los pasos para desarrollar los problemas mediante el método grafico. Analizar las posibles soluciones que se pueden presentar mediante la aplicación del método grafico en los problemas de pl. Desarrollar problemas de comercio exterior mediante mediante el método método grafico.
JUSTIFICACION El presen presente te inves investig tigaci ación ón se
realiz realizo o con el obje objetiv tivo o
de optimi optimizar zar nuest nuestros ros
conocimientos relacionados problemas del método grafico lo que nos permite tener una visión visión m!s m!s amplia amplia permitien permitiendo do tener en en cuenta cuenta todos todos aspectos aspectos m!s relevantes relevantes a este tema como sus caracter"sti caracter"sticas cas lo lo que contribuy contribuye e a la buena buena formación académica a través de los conocimientos adquiridos. Es por eso que es muy importante el estudio de este tema.
MARCO TEORICO EJERCICIOS MÉTODO GRAFICO
OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL •
Resolver problemas mediante el método grafico.
OBJETIVOS ESPECIFICOS •
•
•
Determinar los pasos para desarrollar los problemas mediante el método grafico. Analizar las posibles soluciones que se pueden presentar mediante la aplicación del método grafico en los problemas de pl. Desarrollar problemas de comercio exterior mediante mediante el método método grafico.
JUSTIFICACION El presen presente te inves investig tigaci ación ón se
realiz realizo o con el obje objetiv tivo o
de optimi optimizar zar nuest nuestros ros
conocimientos relacionados problemas del método grafico lo que nos permite tener una visión visión m!s m!s amplia amplia permitien permitiendo do tener en en cuenta cuenta todos todos aspectos aspectos m!s relevantes relevantes a este tema como sus caracter"sti caracter"sticas cas lo lo que contribuy contribuye e a la buena buena formación académica a través de los conocimientos adquiridos. Es por eso que es muy importante el estudio de este tema.
MARCO TEORICO EJERCICIOS MÉTODO GRAFICO
PROBLEMAS DE PLANTEO METODO GRAFICO GR AFICO FORMULACION DE DIETA #na #na dieta dieta debe debe cont conten ener er
al meno menos s
$% unid unidad ades es de carb carbo&i o&idra drato tos s y '( de
prote"nas. El alimento A contiene ' unidades de carbo&idratos y ) de prote"nas* el alimento + contiene ' unidades de carbo&idratos y $ de prote"nas. ,i el alimento A cuesta $.'( dólares por unidad y el + (.-( dólares por unidad /uantas unidades unidades de cada alimento alimento deben comprarse para minimizar costos0 /u!l es el costo m"nimo0
Ali lime men nto A Ali lime men nto B C$%"o&i#%$to P%ote'n$ 1recio
Z =1.20 x + 0.80 y
2 x
'
'
%$) $.'(
$ ')
'(
F(n)i*n O"+eti,$
+ 2 y ≥ 16
4 x + y ≥ 20
Ret%i))ione
X ; y ≥ 0
•
Di! !o oni"ili#$ #
-
2 x + 2 y ≥ 16
( -
) (
2 y ≥ 16
−2 x
y ≥ 16 −2 x 2'
y ≥ 8 − x
4 x + y ≥ 20
•
-
( <
'( (
y ≥ 20 −4 x
30
20
A
ZBF 10
B -30
-20
x
C 10
-10
20
30
-10
-20
-30
REMPLA/O '(3)x 4 -3x 3)x7x4 3'(738x 4 3$' x 4 3$'238
5 4 -36 5 4 -3)
0 1
-01 Z =1.20 x + 0.80 y
1A 4 9(* '(: 1+ 4 9)* ):
FUNCI2N OBJETIVA
;A 4 $.'( 9(:7(.-( 9'(: 4 $% ;+ 4 $.'( 9):7(.-( 9): 4-22
1/ 4 9-* (:
;+ 4 $.'( 9-:7(.-( 9(: 4=.%(
TOMA DE DECISIONES: ,e debe comprar ) unidades de carbo&idratos y a unidades de prote"nas para tener un costo m"nimo de > -
NUTRIENTES EN FERTILI/ANTES #n agricultor compra fertilizantes que contienen tres nutrientes? A + 5 /. @os requerimientos m"nimos semanales de estos son -( unidades A $'( unidades de + y ')( unidades de /. Existen dos mesclas de fertilizantes de gran aceptación en el mercado LA MESCLA 3 cuesta - soles por bolsa y contiene dos unidades de A % unidades de + y ) unidades de /. LA MESCLA 4 cuesta $( soles por bolsa con ' unidades de A ' de + y doce de /. /u!ntas bolsas debe comprar el agricultor para minimizar el costo y satisfacer su requerimiento de nutrientes0
Me5)l$ I Me5)l$ II Di!oni"ili#$ # Z =8 x + 10 y
N(t%iente A
N(t%iente B
N(t%iente C
P%e)io
' ' -(
% ' $'(
) $' ')(
$(
F(n)i*n O"+eti,$
2 x + 2 y ≥ 80 6 x
+ 2 y ≥ 120
4 x + 12 y ≥ 240
X ; y ≥ 0
Ret%i))ione
•
-
( )(
)( (
2 x
+2 y ≥ 80 − 2 x
2 y ≥ 80
y ≥ 80 −2 x 2'
y ≥ 40− x
•
6 x
+ 2 y ≥ 120
2 y ≥ 120−6 x
y ≥ 120 −6 x / 2
-
( '(
%( (
y ≥ 60 −3 x
-
( %(
'( (
4 x
+ 12 y ≥ 240
12 y ≥ 240
y ≥ 240
3)x
3)x2$'
y ≥ 20 −4 / 12 x
60
A
40
B !BF 20
C -60
-40
-20
20
40
D
60
-20
-40
-60
REMPLA/O
)(3x 4 %(38x
5 4 )(36
x
3x78x4 %(3)( 'x 4 '(
5 4 )(3$(
0 67
8 0 37 REMPLA/O Z =8 x + 10 y
)(3x 4 '(3)2$'x 3x7)2$'x4 '(3)( 3$'x7)x 4 ')(3)-( 3-x 43')( 6 43')(23- 8 0 67
5 4 )(36 5 4 )(38(
0 37
FUNCI2N OBJETIVA
1A 4 9(* %(: 1+ 4 9$(* 8(:
;A 4 - 9(:7$( 9%(: 4 %(( ;+ 4 - 9$(:7$( 98(: 4$$((
PC 0 967 37;
/C 0 <967;=37 937; 0617>>
1D 4 9%(* (:
;D 4 -9%(:7$( 9(: 4)-(
TOMA DE DECISIONES: El agricultor debe comprar 8 bolsas de mezcla B y $( bolsas de mezcla BB para tener un costo m"nimo de > 8)(
E-TRACCION DE MINERALES #na compaC"a extrae minerales de una mina el nmero delibras de los minerales Ay + que pueden extraerse de cada tonelada de la mina $ y ' se dan en la tabla siguiente junto con los costos por tonelada de las minas?
MINERAL A MINERAL B COSTO POR
MINA 3
MINA 4
$(( @b '(( @b <( dólares
'(( @b <( @b %( dólares
TONELADA ,i la compaC"a debe producir al menos 8(( @b de A y '<(( @b de + /uantas toneladas de cada mina deben procesarse con el objetivo de minimizar el costo0 /u!l es el costo m"nimo0
,i la compaC"a debe producir al menos 8((( lb de A y '<(( de + /u!ntas toneladas de cada mina deben procesarse con el objetivo de minimizar el costo0 /u!l es el costo m"nimo0
ineral A ineral +
Coto
Min$ I
Min$ II
$((lb '((lb <(
'((lb <( lb %(
Z =50 x + 60 y 100 x + 200 y
+
200 x 50 y
Ret%i))ione
X ; y ≥ 0
•
-
100 x + 200 y
( 8(
$< (
200 y ≥ 3000
≥ 3000
−100 x
y ≥ 3000 −100 x 2'(( y ≥ 15 −0.5 x
•
y ≥ 50 −4 x
-
( $'.<
<( (
+
200 x 50 y
≥ 2500
50 y ≥ 2500
−200 x
REMPLA/O $<3(.
8(((lb '<((lb
F(n)i*n O"+eti,$
≥ 300 (
≥ 2500
Di!oni"ili#$ #
5 4 <(3)6 5 4 <(3)9$(: 5 4 <(3)(
8 0 37
0 37 Z =50 x + 60 y
FUNCI2N OBJETIVA
1A 4 9(* <(: 1+ 4 9$(* $(:
;A 4 <(9(:7%( 9<(: 4 8(((
/B 0 ?7937;=@7 937; 03377
Series 1 Series 2 f(x)=15-0.5X
60
Shade 1
A
Shade 1
40
f(x)=50-4X Shade 2
!BF
Shade 2
20
B -60
-40
-20
x
20
C 40
60
-20
-40
-60
TOMA DE DECISIONES: Deben procesarse $( toneladas de la mina B y $( toneladas de la mina BB para tener un costo m"nimo de >$$((
COSTO DE CONSTRUCCION #na compaC"a qu"mica est! diseCando una planta para producir dos tipos de pol"meros 1$ y 1'. @a planta debe tener una capacidad de producción de almenos $(( unidades de 1$ y )'( unidades de 1' cada d"a. Existen dos posibles diseCos para las c!maras principales de reacción que se incluir! en la planta. /ada c!mara de tipo A cuesta %((((( dólares
y es capaz de producir $(
unidades de 1$ y '( unidades de 1' por d"a el tipo + es un diseCo m!s
económico cuesta 8((((( dólares y es capaz de producir ) unidades de 1$ y 8( unidades de 1' por d"a. A causa de los costos de operación es necesario tener al menos ) c!maras de cada tipo en la planta. /u!ntas c!maras de cada tipo deben incluirse para minimizar el costo de construcción y satisfacer el programa de producción requerido0 9suponga que existe un costo m"nimo:.
Cm$%$ A
Cm$%$ B
Di!oni"ili#$ #
$( '( %(((((
) 8( 8(((((
$(( )'(
Pol'me%o P3 Pol'me%o P4 Utili#$# Z =600000 x + 300000 y
10 x
F(n)i*n O"+eti,$
+ 4 y ≥ 10 (
20 x + 30 y
≥ 420
Ret%i))ione
X ; y ≥ 0
•
-
( $(
'< (
10 x
+ 4 y ≥ 100 −10 x
4 y ≥ 100
y ≥ 100 −10 x 2) y ≥ 25 −5 / 2 x
•
-
20 x + 30 y
≥ 420
( '8.8
$) (
30 y ≥ 420
−20 x
y ≥ 420−20 x 28(
y ≥ 14 −2 / 3 x
Series 1 Series 2 f(x)=25-2.5X
30
Shade 1
A
Shade 1
20
10
f(x)=14-0.6X
!BF
B
Shade 2 Shade 2
x -30
-20
-10
10
20
C
30
-10
-20
-30
REMPLA/O '<3<2'x 4 $)3'28x $<(3$<64 -)3)6 3$
80@ Z =600000 x + 300000 y
5 4 '<3<2'6 5 4 '<3<2' 9%: 5 4 '<3$<
0 37 FUNCI2N OBJETIVA
1A 4 9(* '<:
;A 4 %(((((9(:78((((( 9'<: 4 F<(((((
PB 0 9@ 37;
/B 0 @777779@;=677777 937; 0 @@77777>>
1/ 4 9'8.8* (:
;/ 4 %(((((9'8.8:78((((( 9(: 4 $8=-((((
TOMA DE DECISIONES: ,e debe incluir % c!maras de tipo A y $( c!maras de tipo + para tener un costo m"nimo de > %G%((.(((
#na compaC"a de fletes maneja env"os para dos empresas A y + localizadas en la misma ciudad. @a empresa A env"a cajas que pesan 8 Hg y tienen un volumen de ' pies8* la empresa + env"a cajas de $ pie 8 que pesan
como + env"an al mismo destino. El costo de transporte por cada caja de A es de > (.F< y el de + es de >(.<(. @a compaC"a de fletes tiene un camión con ')(( pies8 de espacio para carga y una capacidad m!xima de ='(( Ig. En un trayecto elabore un programa para saber cu!ntas cajas de cada empresa debe transportar este camión de modo que la compaC"a de fletes reciba un ingreso m!ximo.
Em!%e$ A Em!%e$ B Di!oni"ili#$#
M$$
Pie Vol(men
8 < ='((
' $ ')((
(.F< (.<(
M$8imi5$% Z =0.75 x + 0.50 y
,ujeta a? $: ':
$: ':
3 x + 5 y 2 x
≤ 9200
+ y ≤ 2400
3 x + 5 y
≤ 9200
5 y ≤ 9200
3
8:
$(:
−3 x
y =1840 − x 5
$$:
2 x
+ y ≤ 2400
$': y ≤ 2400 −2 x $8: y =2400 −2 x
1;
<:
-
(
;
-: $
%: 8(
=: (
Utili#$#
31;
$<:
-
(
$%: $'
$-:
3;
$=:
')
(
Zona Factibl
'(: '$: '%: x =400
44;P(nto C '8: '):
2400−2 x =1840 −
5
x
'F:
3
4<; 4;Reem!l$5$%
5
8(:
−2 x + x =1840−2400 −7
'<:
3
5
8$: y =2400 −2 x x =−560
8': y =2400 −2 ( 400 ) 88: y =1600
8): 8<: 8%: 8F: Z ( A )= 0.75 ( 0 )+ 0.50 ( 0 ) 8-: Z ( A )=¿ ( 8=: )(: Z ( B )=0.75 ( 0 ) + 0.50 ( 1840 ) )$: Z ( B )=920 )':
)8: Z ( C ) =0.75 ( 400 ) + 0.50 ( 1600 ) )): Z ( C ) =1100 )<: Z ( D )=0.75 ( 1200 ) + 0.50 ( 0 ) )%: z ( D ) =900 )F: )-: )=: Tom$ #e De)iione: @a empresa A debe transportar )(( cajas para lo cual la compaC"a recibe un ingreso de >8(( y la empresa + debe transportar $%(( cajas para que reciba un ingreso de -(( y de esta manera la compaC"a pueda obtener una utilidad m!xima de $$(( usd. <(:@a empresa 1roducto Katural est! considerado elaborar un nuevo bocadillo bajo en grasa. ,era una mezcla de dos tipos de cereales cada uno de los cuales tiene diferentes caracter"sticas de fibra grasa y prote"nas.
@a
siguiente tabla muestra estas caracter"sticas de nutrición para una onza de cada tipo de cereal. <$: <': 53)
<): FIBRA
DIETÉTICA %(: A %): B
<<: 9GRAMOS; %$:' %<:$.<
<%: GRASA
<-: PROTENA
S <=: 9GRAMOS; %8:) %F:8
%-: %=:@os requerimientos de nutrición de 1roducto Katural exigen que cada onza del nuevo alimento contenga al menos $.Fg de prote"nas. El costo del cereal A es >(.('( por onza y el costo del cereal + es >(.('< por onza. 1roducto Katural desea determinar cu!nto de cada cereal se necesita para producir $ onza del nuevo producto alimentario con el menor costo posible. Lormule un modelo de programación lineal para esta situación.
7; 3;Minimi5$%
7)
F8: FIBRA
F<: GRASA
DIETÉT
F%: 9GRAM
ICA
OS;
FF: PROTE
F=: COS
NAS
TOS
F-: 9GRAM
F): 9GRAM
OS;
OS; -(: A
-$:'
-<: B
-':'
-%:$.<
=(: Di!oni"i
-F:8
=$:$.F
=':'.-
-8:)
-):(.('
--:8
( -=:(.('
=8:8.%
=):
li#$# =<: =%: Z =0.020 x + 0.025 y =F:,ujeta a? $: ': =-:
2 x
+ 1.5 y ≥ 1.7
2 x + 3 y 4 x
≤ 2.8
+ 3 y ≤ 3.6
==: $:
2 x + 1.5 y
':
≥ 1.7
− 2 x
8:
$$:
y =1.13 −1.33 x
$': <:
-
(
;
-:
(
3;
$(:
1.5 y ≥ 1.7
1;
(.
%: $. =:
2 x + 3 y
≤ 2.8
$-:
$=:
$.
(
'(:
− 2 x
3 y ≤ 2.8
'$:
$8: y =0.93 −0.66 x
'':
4 x + 3 y
≤ 3.6
3 y ≤ 3.6
−4 x
'8:
31;
$<:
$%:
-
(
(.
y =1.2 −1.33 x
'):
4?;No e8ite ol()i*n *!tim$ '%: 'F:@a compaC"a 1 M J fabrica y vende productos. Dic&a compaC"a obtiene una ganancia de >$'( por cada unidad que vende de su producto$ y de >)( por cada unidad de su producto '. @os requerimientos en términos de &oras de trabajo para la fabricación de estos productos en los tres departamentos de producción se enumeran de manera resumida en la siguiente tabla. @os supervisores de estos departamentos &an estimado que tendr!n las siguientes disponibilidades de &oras de trabajo durante el próximo mes? -(( &oras en el departamento $ %(( &oras en el departamento ' y '((( &oras en el departamento 8. ,uponiendo que la compaC"a este interesas en maximizar las ganancias desarrolle usted el modelo de programación lineal correspondiente. !)
'=: DEPART
8(: DEPART
8$: DEPART
8': U
AMENTO
AMENTO
AMENTO
TI
3
4
6
LI D A D
88: P%o#(
8):$ &ora
8<:$ &ora
8%:' &oras
8F:>
)to 3
$'
8-: P%o#(
)$:8 &oras
( )':>
)%:'(((
)( )F:
8=:' &oras
)to 4 )8: Di!o
)(:8 &oras
)):-(( &oras
)<:%(( &oras
ni"ili#
&oras
$# )-: )=: Z =120 x + 40 y <(:,ujeta a? $: ': 8: $: <$: <':
x + 2 y ≤ 800
x + 3 y ≤ 600 2 x
+ 3 y ≤ 2000
x + 2 y ≤ 800
− x
2 y ≤ 800
y = 400−
': %(:
x
x + 3 y ≤ 600
− x
3 y ≤ 600
%$:
y =200 −
2 x + 3 y
%=:
≤ 2000
− 2 x
3 y ≤ 2000
x
2
8:
F(:
3
2
y =666.66 − x
?6; ?@; <=:
<): (
<<: -( <-: (
@4; @?; %-:
%8: ( %%: '(
3
%): %( %F: (
3; 1; FF:
F': ( F<: %%
F8: == F%: (
F-: F=: -(: -$: -': -8:A 4 9( * (: -):+ 4 9( * '((: -<:/ 4 9-(( * (: -%:
Zona Factible
-F: --: Z ( A )=120 ( 0 )+ 40 ( 0 ) -=: Z ( A )=¿ ( =(: =$: Z ( B )=120 ( 0 ) + 40 ( 200 ) =': Z ( B )=8000 =8: =): Z ( C ) =120 ( 800 ) + 40 ( 0 ) =<: Z ( C ) =96000 =%: =F: =-: Tom$ #e De)iione: 1ara maximizar las ganancias la empresa debe elaborar -(( productos del $ y con ello se obtiene una ganancia de =%((( dólares. ==:
$((:
/omo parte de una iniciativa de mejoramiento de la calidad los
empleados de J M 1 complementan un programa de capacitación de tres d"as en trabajos en equipo y un programa de capacitación de dos d"as en solución de problemas.
El gerente de mejoramiento de la calidad &a
solicitado que este aCo se ofrezcan al menos - programas de capacitación en trabajo de equipo y al menos $( en capacitación en solución de problemas. Adem!s la administración de nivel ejecutivo &a especificado que deben ofrecerse al menos '< programas de capacitación en este periodo.
J M 1 emplea un asesor para impartir los programas de
capacitación. Durante el siguiente aCo el asesor tiene -) d"as de tiempo de capacitación disponible. /ada programa de capacitación de trabajo en equipo cuesta >$((( y cada programa de capacitación sobre solución de problemas cuesta > -((. Lormule un modelo de programación lineal que pueda usarse para determinar la cantidad de programas de capacitación sobre trabajo en equipo y la cantidad de programas de capacitación sobre solución de problemas que deben ofrecerse para minimizar el costo total. $($:
376;
"#)
ASE SOR
371;
ADM
37?;
INISTRAD
COS TO
OR T%$" $+o en E(i!o $$(: Sol( )i*n #e !%o"lem$ $$): Di! oni"ili#$# $(%:
$(F:
-
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$'.<
$(=:
$(((
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$(
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$'.<
$$8:
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$$-: $$=: $'(:
Z =1000 x + 800 y
$'$: $'':
,ujeta a?
$$%:
$
$$F:
8 x
$: ':
+ 10 y ≥ 84
12.5 x + 12.5 y
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$'8: $: ': 8:
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≥ 84
10 y ≥ 84
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y =8.4 −0.8 x
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?; <; $$: $': $8:
F: $(
%: ( =: -.
$(: (
12.5 x
+12. y ≥ 1
12.5 y ≥ 1−12.5 x
y=
1 12.5
– x
31; 3;
$<: ( $-: (.
$%: (. $=: (
'(: '$: '': '8:
Zona Factibl e
'): '<: '%: Z =1000 x + 800 y 'F: Z ( A )=1000 ( 0 )+ 800 ( 8.36 ) '-: Z ( A )= 6688 '=:; 9+: 4 $(((9(: 7 -((9<: 8(: Z ( B )=4000 8$: 8':Joma de decisiones? 1ara minimizar el costo total se deben dar ( programas de capacitación de equipo de trabajo y < programas de capacitación de solución de problemas. D!ndonos un costo total de )((( dólares. 88: 8):
6?;PROBLEMAS METODO GRAFICO APLICADOS AL COMERCIO E-TERIOR 6@; 8F: 3. Disponemos de '$(.((( euros para invertir en bolsa. Kos recomiendan dos tipos de acciones. @as del tipo A que rinden el $(N y las del tipo + que rinden el -N. Decidimos invertir un m!ximo de $8(.((( euros en las del tipo A y como m"nimo %(.((( en las del tipo +. Adem!s queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en +. /u!l tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el m!ximo interés anual0 8-:,olución 8=:Es un problema de programación lineal. • •
@lamamos 8 a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A @lamamos a la cantidad que invertimos en acciones de tipo +
)(: )$:
14;In,e%i
16;Ren#i
*n 11;Ti!o A 1;Ti!o B
)<:6 )-:5
miento )%:($x )=:((-y
<(: <$:'$((((
($x7((-y
<': <8:/ondiciones que deben cumplirse 9restricciones:? <): <<: <%:
%':Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible 9conjunto de puntos que cumplen esas condiciones:. %8: %): r $ %<: -
r ' 9paralela a O5: %%:
r 8 9paralela a O6: F':
F8:
F): 8
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( =-: ==:@a región factible es la pintada de amarillo de vértices A + / D y E
$((: $($:
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A 9( %((((: + 9$'(((( %((((: /9$8(((( %<(((: D9$8((((
-((((: y E9( '$((((: $(8:
@a función objetivo es*
$():
F98 ;0 738=77<
$(<:
,i dibujamos la curva L9x y: 4( 9en rojo: y la desplazamos se puede
comprobar gr!ficamente que el vértice mas alejado es el D !o% t$nto e
l$ ol()i*n *!tim$. $(%:
/omprobarlo anal"ticamente 9es decir comprobar que el ,$lo%
m8imo #e l$ (n)i*n o"+eti,o F se alcanza en el vértice D:. $(F: $(-: $(=:
4. En una pasteler"a se &acen dos tipos de tartas para
comercializarlas en /olombia? Pienesa y Real. /ada tarta Pienesa necesita un cuarto de relleno por cada Hg. de bizcoc&o y produce un beneficio de '<( 1ts mientras que una tarta Real necesita medio Hg. de relleno por cada Hg. de bizcoc&o y produce )(( 1tas. de beneficio. En la pasteler"a se pueden &acer diariamente &asta $<( Hg. de bizcoc&o y <( Hg. de relleno aunque por problemas de maquinaria no pueden &acer mas de $'< tartas de cada tipo. /u!ntas tartas Pienesas y cuantas Reales deben vender al d"a para que sea m!ximo el beneficio0 $$(:
,olución
$$$:
En primer lugar &acemos una tabla para organizar los datos?
334;
T
i!o
336;
331;
33?;
33@;
NK
Bi5)o)
Relleno
Benei)i
&o 33;
T
.
o
$$-:
$$=:
$'(:
$'$:
x
$.x
('<(x
'<(x
$'8:
$'):
$'<:
$'%:
y
$.y
(<((y
)((y
Viene $ 344; . Re$l
T
34;
$'-:
$'=:
$8(:
$<(
<(
$8$:
$8':
F(n)i*n o"+eti,o 9&$ (e o"tene% ( m8imo; ? f9x y:4'<(x7 )((y ,ujeta a las siguientes condiciones 9restricciones del problema:?
$88:
/onsideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la
región factible? $8):
1ara
$8<:
$8%:
6 $8F:
5 $8-:
(
$
$8=:
$)(:
'
(
(.'
$)$: $)':
1ara x 7 y 4$<(
$)8:
311; 31?; 8
$)%: $)F: (
$
$)-: $)=: $
(
$<(: $<$:
@a otras dos son paralelas a los ejes
$<':
Al eje O5
x4$'<
$<8:
Al eje Ox
y 4$'<
$<):
5 las otras restricciones 9x e y mayor o igual a cero: nos indican que
las soluciones deben estar en el primer cuadrante $<<:
@a región factible la &emos coloreado de amarillo?
$<%:
3?; 3?<;
En)ont%emo lo ,%ti)e:
$<=: $%(:
El O9((: el A9$'< (: y el D9( $((: se encuentran directamente
9son las intersecciones con los ejes coordenados: $%$:
,e observa que la restricción y
$%':
Resolviendo el sistema?
$%8:
es redundante 9es decir Qsobra:
por reducción obtenemos y4<( x4$((
3@1;
Ot%o ,%ti)e e el !(nto C9377 ?7;
$%<:
5 el ltimo vértice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema?
$%%:
67y4$<(
$%F:
64$'<
C($ ol()i*n e: -034? 04? B934? 4?;
$%-: $%=: $F(:
@os vértices de la región son O9((: A9$'<(: +9$'<'<: y /9$((<(:
y D9($((: $F$:
,i dibujamos el vector de dirección de la función objetivo f9x
y:4'<(x7
)((y
Saciendo '<(x7 )((y 4( y439'<(2)((:x43$'
$F):
6 $F<:
5 $F%:
( $FF:
( $F-:
'
3 $ ' <
$F=:
$-(: $-$:
,e ve gr!ficamente que la solución es el punto 9$(( <(: ya que es
el vértice m!s alejado
$-':
9El ltimo que nos encontramos al desplazar la rectas '<(x7)((y4
(: $-8:
@o comprobamos con el método anal"tico es decir usando el teorema
que dice que si existe solución nica debe &allarse en uno de los vértices $-):
@a unción objetivo era? f9x y:4'<(x7)((y sustituyendo en los
vértices obtenemos •
f9$'<(:48$.'<( f9$'<'<:48$.'<(7$(.(((4)$.'<(
•
9377?7;04?.777=47.77701?.777
•
f9($((:4)(.(((
•
$-<: $-%:
El m!ximo beneficio es )<.((( y se obtiene en el punto 9$(( <(:
$-F:
/onclusión? se tienen que vender $(( tartas vienesas y <( tartas
reales. $--:
3<;
ABSTRAC
37; $=$:
Bs an algebraic met&od and it is used to solve problems of lineal
programming as to maximize and to minimize t&e function objective. $=':
J&is algebraic met&od is very efficient it is used generall operations
liIe t&e multiplication sum subtraction of applied lines to t&e basic arit&metic T&at alloTs to be solved several restrictions Tit& different variables and different equations sometimes taIing into account t&at it exists an i number total of incognito similar to t&e i number of variables but it is but effective T&en it is to solve problems t&at &ave but incognito t&at equations $=8:
J&e steps to build t&e main simplex are?
$=): • • •
Ue build t&e objective function Ue build t&e restrictions t&at can be determined Ue build t&e c&arts simplex
$=<:
Bf it exists negative indicators t&e column it is located t&e one t&at t&e
value appears but negative t&is column you t&e pivotea $=%:
Divide eac& positive entrance above it lines &er among dotted of t&e
column c&oose t&e value but small t&at calls you pivoteo. $=F:
arI t&e entrance column pivoteo t&at corresponds to t&e quotient
but small of t&e previous step t&is it is t&e entrance pivoteo t&e variable t&at alone it is t&at t&at t&is to t&e left of t&e line pivots. $=-:
Bt uses t&e operations of t&e pivoteo T&ere t&e pivoteo s&ould be a
value of $ and t&e ot&er of t&is column Till be made zero. $==:
Bn t&e left side of t&is c&art t&e variable t&at t&is it replaces to t&e
variable t&at comes out. '((: '($:
474;
476;
CONCLUSIONES
El método gr!fico se utiliza para la solución de problemas de 1@ representando geométricamente a las restricciones condiciones técnicas y el objetivo. @os pasos necesarios para realizar el método son nueve los mismos que permiten determinar el desarrollo y la forma de estructurar el método grafico. ediante el método grafico se puede encontrar regiones factibles y no factibles las cuales ayudan a la toma de decisiones
de los problemas
planteados ya sean de comercio exterior.
471; 47?;
RECOMENDACIONES
El modelo se puede resolver en forma gr!fica si sólo tiene dos variables. 1ara modelos con tres o m!s variables el método gr!fico es impr!ctico o imposible. •
,i la región factible no es acotada este método puede ser erróneo? soluciones óptimas siempre existen cuando la región factible est! acotada pero pueden no existir en el caso no acotado. ,i la región factible no es acotada estamos minimizando una función objetiva cuyos coeficientes son no negativos entonces existe una solución dado por este método.
•
Es importante
que los estudiantes conozcamos los pasos que se deben
seguir para resolver los problemas mediante el método grafico para as" evitar posible errores al momento de obtener la solución que se desea.
47@;
47; 47<; 47;
LINOGRAFIA •
437;
htl!rincon"el#a$o!co%in#e&ti$acion'"e'o(eracione&!htl )))!eio!u#a!e&%*ricar"o%io%introio!("+ htt(,%%)))!in#e&ti$acion"eo(eracione&!net
