Resolver TriÁngulos Usando Las Funciones Seno y Coseno

RESOLVER TRIÁNGULOS USANDO LAS FUNCIONES SENO Y COSENO UNIDAD II: FUNCIONES CIRCULARES Y TRIGONOMÉTRICAS

G.FG.11.5.1 J. Pomales / febrero 2010

¿QUÉ ES TRIGONOMETRÍA? • Significado etimológico: – “la medición de los triángulos”

• Es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. • Es el estudio de las funciones fundamentales: seno, coseno, tangente y sus respectivas inversas: cosecante, secante y cotangente.

¿QUÉ HAREMOS HOY? • Repasaremos las partes del triángulo rectángulo y el Teorema de Pitágoras. • Resolveremos triángulos rectángulos usando las funciones básicas del seno (sen) y coseno (cos).

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

TRIÁNGULO RECTÁNGULO La hipotenusa siempre será el lado más largo. Los ángulos distintos del ángulo recto son agudos.

(a,b)

a s u n e t o p i h

o p u e s o t

θ

adyacente 0° < θ < 90°

Recuerden que el ángulo de referencia θ determina los lados opuesto y adyacente llamados catetos

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

(a,b) Observa lo que ocurre al cambiar el ángulo de referencia.

a s β u n e t o p i h

a d y a c e n e t

opuesto 0° <

β < 90°

Los catetos cambian de posición.

TEOREMA DE PITÁGORAS Ejemplo:

TEOREMA DE PITÁGORAS Utilizado para calcular lados desconocidos 2 2 2

a +b =c

a s u n e t o p h i c

(a,b)

b

o p u e s o t

θ

a adyacente 0° < θ < 90°

Si a = 3, b = 4 calcula c

a

2

2

=

c

=

c2

9 + 16 =

c2

2

+b

2

3 +4

±

2

c

25 = 5=

c

Solamente usamos la

2

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

en

cos


• En esta presentación nos limitaremos a conocer las razones trigonométricas del seno y coseno. • Para esto, utilizaremos un triángulo rectángulo ubicado en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas rectangulares.


• Una razón trigonométrica es una razón de las longitudes de dos lados de un triángulo. • Las tres razones trigonométricas básicas son: seno (sen), coseno (cos) y tangente (tan). VÍDEO: Razones trigonométricas en un triángulo a partir de los lados Tiempo: 5.49 min Español

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(a,b)

Relaciones Trigonométricas

b senθ = c a cos θ = c b tan θ = a

c

b

θ

a 0° < θ < 90°

Inversas

c cscθ = b

c sec θ = a a cot θ = b


(a,b)

Relaciones Trigonométricas

Op senθ = Hip Ady cos θ = Hip

Op tan θ = Ady

a s u n e t o p i h θ

adyacente 0° < θ < 90°

o p u e s o t

Sus Inversas

Hip cscθ = Op Hip sec θ = Ady

Ady cot θ = Op

SOH CAH TOA

RESOLVER TRIÁNGULOS

x

b

h

55º 12 cm

VIDEOS EXPLICATIVOS (INGLÉS)

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BASIC TRIGONOMETRY REVIEW

SOH CAH TOA

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RESOLVER TRIÁNGULOS • Cuando decimos que vamos a resolver triángulos lo que haremos será hallar todas las medidas de sus tres lados y tres ángulos. • Obviamente, si tenemos un triángulo rectángulo ya conocemos uno de sus ángulos. ¿Cuál es? • No olvidemos que al utilizar las funciones trigonométricas debemos conocer la medida de uno de sus ángulos agudos y la de uno de sus lados.


x b

h

• Como tenemos dos de los tres ángulos será fácil calcular x • Sabemos que la suma de los tres ángulos en un triángulo es 180º. • Si uno de ellos es 90º, la suma de los otros dos será 90º. Así que:

x = 90 − 55

55º 12 cm

x = 35

• Por lo tanto,

x

= 35º


35º b

h

55º 12 cm

• Como solamente tenemos la medida de uno de sus lados no podremos utilizar el Teorema de Pitágoras. • Así que debemos utilizar una de las funciones trigonométricas para las cuales tengamos todos sus valores. • Si utilizas: – Seno, ¿cuál tiene que ser el ángulo de referencia ? ¿Por qué? – Coseno, ¿cuál tiene que ser el ángulo de referencia ? ¿Por qué?

RESOLVER TRIÁNGULOS Op senθ = Hip θ

= 35º

sen 35 =

35º b

h

12

h

hsen 35 = 12 h h hsen 35 12 = sen35 sen35

h ≈ 20.92 cm

55º 12 cm

Ady cos θ = Hip

= 55º

θ

cos55 =

12

h

hcos55 = 12 h h hcos55 cos 55

=

12 cos 55

h ≈ 20.92 cm

Hacemos una aproximación a la centésima (dos lugares decimales)

¿Cuál prefieres usar? ¿Por qué?

RESOLVER TRIÁNGULOS • Ahora nos falta calcular b. • Si lo deseas podremos utilizar el Teorema de Pitágoras:

35º b ≈17.14

+b

2

12 + b

2

144 + b

2

b

2

a

≈20.92

2 2

55º 12 cm Aunque este valor se pudo haber calculado con la tangente preferimos usar Pitágoras.

b2

=

c

2

= 20.92

2

= 437.6464 −

= 437.6464 + 144 =

293.6464

b ≈ 17.14

cm

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

β c

b

a

CALCULA LOS VALORES DEL SENO Y COSENO De ser necesario aproxima tu contestación a la centésima más cercana.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

= 30º = 60º = 90º = 18º = 25º = 57º

7) 5

12

8) 3.1 8.3

CALCULA EL VALOR X EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES De ser necesario aproxima tu contestación a la centésima más cercana.

9)

10)

8

62 x

15

32º x

11)

x 9 cm

43º Resuelve las partes que falten en cada uno de ellos.

RESUELVE CADA TRIÁNGULO Utiliza la información dada y el triángulo marcado de la izquierda

β c

b

a ASIGNACIÓN Si estás conectado a la Internet busca este documento aquí

12) = 17.8º 13) = 33.7º 14) β = 54º 15) β = 53.21º 16) a = 6.00 17) b = 10.0

c = 3.45 b = 22.4 c = 4.3 b = 23.82 c = 8.46 c = 12.6

REFERENCIAS • PRECÁLCULO Waldo Torres, Publicaciones Puertorriqueñas • PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill Vídeos: ,

,

• • •

Razones trigonométricas en un triángulo a partir de los lados http://matematicasies.com/spip.php?article933 Watch Video on Sine Cosine Tangent – SOHCAHTOA http://www.youtube.com/watch?v=_S35Ht4imhs Trigonometry Functions http://www.youtube.com/watch?v=KiKAJ-JUV14&feature=relat

•

Basic trigonometry review http://www.youtube.com/watch?v=zU02b72cv6E ASIGNACIÓN: • SOHCAHTOA WORKSHEET .

www.mathwarehouse.com/trigonome www.mathwarehouse.com /trigonometry/activities-wor try/activities-worksheets/ ksheets/ SOHCAHTOA _ _worksheet_lesson.pdf worksheet_lesson.pdf

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