TUGAS BESAR KOMPUTASI STATISTIK KELAS B 2009 UJI HIPOTESIS (2 SAMPEL)
Oleh: Deni Dwi Wijayanto
(1309100079)
Farisca Susiani
(1309100113)
Dosen:
Dr. rer. pol. Heri Kuswanto, S.
JURUSAN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA
Uji Hipotesis (2 Sampel)
BAB IX UJI HIPOTESIS ( 2 SAMPEL )
Pengujian hipotesis sampel-ganda adalah untuk menggunakan data dari dua sampel yang diperoleh dari dua populasi dan mengetahui apakah ada perbedaan yang secara statistik cukup berarti (significant ) antara parameter-parameter dari kedua populasi tersebut. Untuk memperoleh hasil yang berguna, uji hipotesis sampel-ganda harus memenuhi asumsi sebagai berikut: Data di kedua populasi yang diambil sebagai sampel harus berdistribusi normal. Sumber data pada populasi pertama harus independen terhadap sumber data di populasi kedua (independent sample). (Harinaldi, 2005) Langkah-langkah pengujian hipotesis
a. Menyatakan Hipotesis Awal (H0) dan Hipotesis Alternatif (H1) b. Menetapkan Tingkat Signifikan (α) c. Memilih Uji Statistik d. Menentukan Nilai Kritis e. Menghitung Nilai Hitung dari Uji Statistik f. Membuat keputusan (Dixon & Massey, 1991)
9.1
Uji Hipotesis Beda Dua Variansi dengan Sampel-Ganda Pada uji variansi ini, varians sampel (s2) digunakan untuk mengambil kesimpulan mengenai varians populasi (2). Jadi dalam uji ini diambil sampel acak dari dua populasi, dihitung varians data dari masing-masing sampel, dan hasilnya digunakan sebagai dasar untuk membandingkan varians populasi. Dalam uji dua varians hipotesis awalnya adalah tidak ada perbedaan variabilitas pada kedua populasi. Sedangkan hipotesis alternatifnya adalah terdapat perbedaan berarti antara varians-varians kedua populasi.
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113) (1309100113 )
Page 2
Uji Hipotesis (2 Sampel)
atau
Nilai hitung dari uji statistik F dapat dihitung menggunakan rumus
Dengan nilai-nilai dari uji statistik F dalam bentuk
, yang ditentukan dengan
mengetahui tiga hal berikut:
Tingkat Signifikan, α
Derajat Kebebasan (degree of freedom) untuk sampel yang digunakan
sebagai pembilang dalam statistik uji (
Derajat Kebebasan (degree of freedom) untuk sampel yang digunakan sebagai penyebut dalam statistik uji (
Daerah kritis pada pengujian hipotesis beda dua varians sampel-ganda, yaitu Untuk uji dua arah Tolak hipotesis awal jika
atau
. Sedangkan untuk uji satu arah Tolak Hipotesis awal jika
9.1.1 Algoritma Prosedur Uji Hipotesis Beda Dua Varians Berikut ini akan diuraikan algoritma pada prosedur uji hipotesis beda dua varians.
Mulai
Menginputkan variabel x1 dan x2 (data asal)
Mendefinisikan panjang data
Menyatakan H0 dan H1
Menentukan daerah kritis
Menghitung P value
Menghitung nilai hitung dari uji statistik F
menetapkan nilai alfa
Membuat keputusan
Selesai
Gambar 9.1 Algoritma Prosedur Uji Hipotesis Beda Dua Varians pada Software R
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 3
Uji Hipotesis (2 Sampel)
9.1.2 Function Prosedur Uji Hipotesis Dua Varians Berikut ini akan diuraikan function uji hipotesis dua varians. Function ditulis dalam notepad yang kemudian dipanggil menggunakan perintah source.
Dalam kasus uji hipotesis beda dua varians juga terdapat package jadi di R, yaitu dengan langsung mengetikkan pada command window perintah berikut. var.test(x, y, ratio = 1, alternative = c("two.sided", "less", "greater"),conf.level = 0.95, ...)
x, y
numeric vectors of data values, or fitted linear model objects (inheriting from class "lm").
ratio
the hypothesized ratio of the population variances of x and y.
alternative
a character string specifying the alternative hypothesis, must be
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 4
Uji Hipotesis (2 Sampel) one of "two.sided" (default), "greater" or "less". You can specify just the initial letter. conf.level
confidence level for the returned confidence interval.
9.1.3 Study Kasus untuk Uji Hipotesis Beda Dua Varians Misalkan terdapat data pembelian daging dan sayur di supermarket kawasan Keputih, Kecamatan Sukolilo adalah sebagai beikut: Tabel 9.1 Data Pembelian Meat dan Vegetable (masing-masing)
Meat
Vegetable
10.32
16.47
16.61
1.49
11
4.14
22.86
21.15
15.47
0.47
1.46
1.48
9.03
3.79
11.7
3.61
12.7
15.62
4.51
6.59
8.02
12.4
0.76
13.32
2.97
12.5
18.18
27.78
8.6
26.5
4.03
0.13
17.37
16.2
1.67
21.73
3.58
8.44
6.09
19.7
2.1
14.15
3.65
14.16
3.28
21.46
8.84
1.93
3.85
1.31
0.43
4.33
3.07
4.24
0.7
13.49
4.09
3.54
20.84
13.28
4.46
8.22
5.2
4.1
14.78
3.72
16.98
1.86
3.57
9.18
14.86
13.84
8.1
17
11.62
7.56
14.47
21.17
19.54
17.88
2.73
8.1
2.8
15.94
6.96
10.19
16.2
9.43
9.39
0.15
4.65
0.58
2.3
0.81
2.78
1.54
7.74
3.76
4.61
5.49
1.53
1.75
0.25
1.3
2.78
20.44
10.71
4.9
4.57
9.02
9.72
2.43
7.93
7.14
9.04
13.1
10.3
18.2
22.07
11.28
0.08
9.04
8.61
15.21
4.86
0.97
6.75
25.5
2.71
6.71
8.53
0.22
8.67
10.44
6.72
16.07
12.83
18.29
1.31
5.21
9.26
1.05
5.09
8.21
11.8
8.32
2.47
0.38
4.64
17.94
0.49
16.13
13.72
15.29
18.92
0.38
13.8
16.46
12.8
24.46
12.66
13.94
17.4
5.28
14.81
11.89
5.42
13.66
12.64
3.84
13.78
12.89
12.71
3.33
2.05
6.19
11.8
6.4
9.83
15.77
13.33
18.54
10.25
3.3
5.97
7.16
1.45
18.06
13.69
5.93
18.14
13.97
9.94
9.97
3.15
6.85
8.56
20.06
12.64
15.57
9.79
1.72
14.75
5.28
0.08
7.26
8.9
6.59
19.5
4.19
0.88
2.5
2.48
2.06
3.35
13.47
13.66
1.11
15.41
13.47
2.49
0.44
0.62
4.33
4.02
15.8
3.07
0.08
6.25
1.57
11.32
19.38
13.93
8.79
4.46
8.72
11.54
12.96
4.99
8.65
2.78
2.17
3.89
1.16
4.52
19.66
6.5
14.35
2.7
15.72
1.47
1.55
1.41
3.24
3.54
12.15
12.46
7.87
17.59
7.32
1.96
5.52
1.29
3.73
3.36
8.72
1.83
1.37
3.28
21.03
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 5
Uji Hipotesis (2 Sampel) 0.9
6.46
0.9
1.41
1.33
2.66
20.54
2.54
25.85
15.99
16.48
7.33
15.8
12.23
5.22
19.74
15.85
24.02
4.38
7.05
1.68
12.53
3.49
6.21
0.25
7.47
6.22
0.54
22.43
7.85
Kemudian ingin dilakukan uji beda dua variabilitas, apakah variabilitas pembelian daging lebih rendah daripada variabilitas pembelian sayur, sampel di ambil secara random dari 150 pembeli di supermarket yang berbeda. Pengujian hipotesis menggunakan
taraf
signifikansi
sebesar
5%
atau
0,05.
Langkah-langkah
pengerjaannya adalah sebagai berikut: 1. Buka program R 2. Pindahkan data ke notepad dalam 2 kolom, yaitu kolom meat dan vegetable, kemudian simpan di drive d dengan nama “data.txt” 3. Panggil data dari notepad ke dalam program R dengan cara: Misal diberi nama data = > data = read.table(“d://data.txt”,header=TRUE)
4. Menulis Function seperti di atas dalam notepad dan simpan di drive d dengan nama “varians.txt”
5. Definisikan variabel x1 dan x2 dengan mengetikkan perintah berikut pada command window: > x1 = data$meat > x2 = data$vegetable 6. Panggil fungsi dari notepad ke dalam program R dengan cara: > source(“d://varians.txt”)
> ujiF(data,0,0.05,”less”) Maka akan muncul seperti di bawah ini: ========================== Uji dua varians Ho: sigma1^2 - sigma2^2 = 0 H1: sigma1^2 - sigma2^2 < 0 F hitung = 0.629224 , P-value = 0.002475048 daerah kritik: F hitung < 1.310443 dengan menggunakan alpha = 0.05 Tolak H0, artinya kedua varians tidak identik ========================== Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 6
Uji Hipotesis (2 Sampel) Atau dengan mengetikkan perintah berikut dalam command window yang kemudian juga langsung didapat hasilnya: > var.test(x1,x2,ratio=1,"less")
F test to compare two variances
data: x1 and x2 F = 0.6292, num df = 149, denom df = 149, p-value = 0.002475 alternative hypothesis: true ratio of variances is less than 1 95 percent confidence interval: 0.0000000 0.8245622 sample estimates: ratio of variances 0.629224 Dari perhitungan di atas diketahui bahwa daerah penolakan (daerah kritik) terjadi jika F hitung < 1.310443. Nilai dari F hitung dan P-value itu sendiri masing-masing 0.629224 dan 0.002475048 dengan derajat bebas df1 149 dan df2 149. Karena F hitung berada di daerah kritik dan nilai P-value < 0.05 maka dapat ditarik kesimpulan Tolak H0 yang berarti variabilitas pembelian daging di supermarket lebih kecil daripada variabilitas pembelian sayuran di supermarket.
9.2
Uji Hipotesis Beda Dua Proporsi Tujuan dari hipotesis proporsi dengan sampel-ganda adalah untuk mengetahui apakah terdapat perbedaan yang berarti secara statistik antara proporsi dua populasi dengan menggunakan data sampel. Terdapat dua asumsi yang harus dipenuhi dalam melakukan uji ini. Kedua sampel diambil dari dua populasi yang saling independen Sampel-sampel yang diambil dari masing-masing populasi harus berukuran cukup besar. Apabila proporsi sukses dari suatu populasi adalah p, dapat diasumsikan bahwa distribusi proporsi sampel p adalah normal, jika np dan nq (q: proporsi gagal)
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 7
Uji Hipotesis (2 Sampel) keduanya lebih dari 5 persen. Hipotesis awal dan hipotesis alternative untuk uji hipotesis beda dua proporsi dari kelompok-kelompok independen dapat berbentuk.
dan
Uji Statistik yang digunakan adalah uji Z. Nilai-nilai dari statistik Z dalam bentuk
, dengan α adalah tingkat signifikansi.
Daerah kritis pada pengujian hipotesis beda dua proporsi sampel-ganda, yaitu untuk uji dua arah
Tolak hipotesis awal jika
untuk uji satu arah Tolak Hipotesis awal jika
atau Z
. Sedangkan
.
Andaikan terdapat dua populasi dengan proporsi berturut-turut n1 dan n2, sedangkan banyaknya sampel n1 dan n2, kesalahan baku beda proporsi dapat diperoleh dengan menggunakan rumus.
Jika p1 = p2 rumus di atas dapat diganti menjadi
( ) Nilai hitung dari statistik uji dapat dihitung dengan rumus P1 ˆ
Z=
P2 ( P1 P2 ) ˆ
P1 P2
9.2.1 Algoritma Prosedur Uji Hipotesis Beda Dua Proporsi Berikut ini akan diuraikan algoritma pada prosedur uji hipotesis beda dua proporsi.
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 8
Uji Hipotesis (2 Sampel)
Mulai
Mendefinisikan panjang data
Menyatakan H0 dan H1
Menetapkan nilai alfa
Menghitung Pvalue
Menghitung nilai hitung dari uji statistik Z
Menghitung sigma
Menghitung nilai p1,p2,q1 dan q2
Menetapkan daerah kritis
Membuat keputusan
Selesai
Gambar 9.2 Algoritma Prosedur Uji Hipotesis Beda Dua Proporsi pada Software R
9.2.2 Function Prosedur Uji Hipotesis Dua Proporsi Berikut ini akan diuraikan function uji hipotesis dua proporsi. Function ditulis dalam notepad yang kemudian dipanggil menggunakan perintah source.
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 9
Uji Hipotesis (2 Sampel)
Dalam kasus uji hipotesis beda dua proporsi juga terdapat package jadi di R, yaitu dengan langsung mengetikkan pada command window perintah berikut. prop.test(x,n,p=NULL,alternative=c("two.sided","less","gr eater"),conf.level = 0.95)
x
a vector of counts of successes, a one-dimensional table with two entries, or a two-dimensional table (or matrix) with 2 columns, giving the counts of successes and failures, respectively. x=c(x1,x2) : peluang banyaknya keberhasilan
n
a vector of counts of trials; ignored if x is a matrix or a table. n=c(n1,n2): banyaknya populasi
alternative
a character string specifying the alternative hypothesis, must be one of "two.sided" (default), "greater" or "less". You can specify just the initial letter.
conf.level
confidence level for the returned confidence interval.
9.2.3 Study Kasus untuk Uji Hipotesis Beda Dua Proporsi Misalkan terdapat data lama penggunaan TV dan Radio pada Kecamatan Gedangan, sebagai berikut: Tabel 9.2 Data Lama Waktu Penggunaan TV dan Radio
TV
Radio
6
13
13
13
4
9
8
8
1
0
1
4
2
5
14
2
3
3
5
2
12
7
1
5
4
5
4
5
2
3
0
11
9
2
8
0
1
5
12
12
14
0
9
4
0
4
2
11
3
11
11
2
0
7
7
7
7
11
8
6
3
9
6
11
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
4
10
4
7
8
5
Page 10
Uji Hipotesis (2 Sampel) 7
11
14
0
3
7
9
4
2
1
10
10
12
1
9
9
1
3
5
6
9
3
5
4
10
8
3
8
3
4
6
4
1
4
7
7
9
1
5
3
1
6
14
5
1
5
9
0
0
9
1
4
14
7
3
4
6
2
6
0
0
9
2
12
14
6
8
6
3
0
12
5
2
2
14
2
1
5
2
8
6
6
6
8
0
8
3
7
3
7
4
8
6
12
4
5
9
9
9
2
12
12
10
6
8
3
9
3
4
8
10
8
13
13
3
2
0
6
7
1
13
7
7
3
7
9
7
0
5
10
12
5
8
9
9
7
5
1
7
8
3
5
10
4
3
4
9
7
4
2
4
1
13
3
3
9
7
8
8
2
12
10
7
14
9
1
0
4
2
14
8
14
0
13
6
6
1
9
7
6
9
6
11
8
1
0
3
3
5
6
11
5
13
14
4
0
2
3
9
7
5
9
2
12
9
3
8
3
5
5
10
9
2
9
8
6
10
4
13
11
0
8
8
10 6
1
2 0
3 5
Kemudian akan diuji beda dua proporsi antara lama waktu penggunaan TV dan radio selama yang lebih dari 7 jam dalam sehari, sampel diambil secara random dari 150 orang. Dengan menggunakan tingkat signifikansi 5%, tunjukkan apakah terdapat perbedaan proporsi antara lama waktu penggunaan TV dan radio. Langkah-langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut: 1. Buka program R 2. Pindahkan data ke notepad dalam 2 kolom, yaitu kolom tv dan radio, kemudian simpan di drive d dengan nama “datap.txt” 3. Panggil data dari notepad ke dalam program R dengan cara: Misal diberi nama data = > data = read.table(“d://datap.txt”,header=TRUE)
4. Menulis Function seperti di atas. Function ditulis dalam notepad kemudian di simpan di drive d dengan nama “proporsi.txt”
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 11
Uji Hipotesis (2 Sampel) 5. Definisikan variabel x1 dan x2 dengan mengetikkan perintah berikut pada command window: > x1 = data$tv > x2 = data$radio 6. Panggil fungsi dari notepad ke dalam program R dengan cara: > source(“d://proporsi.txt”)
> ujiprop(data,”two.side”,0.05,7) Keterangan: pada alt hanya dapat di isi dengan “two side” untuk uji dua arah, “less” untuk uji satu arah (<) dan “greater” untuk uji satu arah (>). Sedangkan a merupakan
proporsi lama waktu. Karena dalam contoh uji proporsi lama waktu penggunaan lebih dari 7 jam maka a diisi 7. Maka akan muncul seperti berikut ========================== Uji Proporsi dua sampel ========================== Ho: p1-p2 = 0 H1: p1-p2 =! 0 Z hitung = 4.59518 , P-value = 4.323754e-06 daerah kritik: Z hitung > 1.959964 atau Z hitung < -1.959964 dengan menggunakan alpha = 0.05 Tolak H0, artinya kedua proporsi tidak identik ========================== Dari perhitungan di atas diketahui bahwa daerah penolakan (daerah kritik) terjadi jika Z hitung < -1.959964 atau Z hitung > 1.959964. Nilai dari Z hitung dan Pvalue itu sendiri masing-masing 4.59518 dan 4.323754e-06. Karena Z hitung berada di daerah kritik dan nilai P-value < 0.05 maka dapat ditarik kesimpulan Tolak H0 yang berarti terdapat perbedaan antara proporsi lama waktu penduduk keputih yang menggunakan TV lebih dari 7 jam dalam sehari dengan lama waktu penduduk keputih yang menggunakan Radio yang lebih dari 7 jam dalam sehari.
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 12
Uji Hipotesis (2 Sampel)
9.3
Uji Hipotesis Beda Dua Mean Dalam uji hipotesis mean dengan sampel-ganda, asumsi bahwa kedua populasi
terdistribusi secara normal tetap digunakan. Namun demikian, prosedur uji hipotesisnya dapat mengikuti tahapan yang berbeda yang tergantung pada kondisi sampelnya. Secara umum uji hipotesis ini dapat dibagi menjadi dua, yaitu:
9.3.1 Paired Sample T Test (Uji t-Pasangan untuk Populasi Saling Tergantung) Digunakan untuk membandingkan mean dari suatu sampel yang berpasangan (paired). Sampel berpasangan adalah sebuah kelompok sampel dengan subyek yang sama namun mengalami dua perlakuan atau pengukuran yang berbeda. Uji t-pasangan untuk sampel-sampel yang saling tergantung mengikuti prosedur yang sama dengan uji hipotesis sampel tunggal pada rata-rata yang menggunakan distribusi t. Namun dalam hal ini, uji t tersebut diterapkan pada perbedaan antara nilai-nilai pasangan. Perbedaan-perbedaan ini membentuk himpunan tunggal pengamatan yang diuji dengan prosedur yang biasa. Digunakan asumsi perbedaan nilai pasangan (d) mengikuti distribusi normal. Kemudian uji statistiknya adalah nilai t sampel dengan (n-1) sebagai derajat kebebasan (df). Hipotesis awal dan hipotesis alternatif untuk uji t-pasangan adalah sebgai berikut.
dan
Simpangan baku dari perbedaan nilai pasangan dapat diperoleh dengan menggunakan rumus.
∑ ̅ ̅ ∑ √
Kesalahan baku rata-rata didapat dengan rumus
Dan nilai hitung uji statistik t didapat dengan rumus.
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 13
Uji Hipotesis (2 Sampel) Untuk mengintepretasikan t-test terlebih dahulu harus ditentukan nilai α dan df (derajat kebebasan) serta menentukan daerah kritis. Daerah kritis untuk uji tpasangan sebagai berikut. Untuk uji dua arah
Tolak hipotesis awal jika
Sedangkan untuk uji satu arah Tolak Hipotesis awal jika
atau
.
.
9.3.1.1 Algoritma Prosedur Uji Hipotesis Beda Mean ( Paired Sample) Berikut ini akan diuraikan algoritma pada prosedur uji hipotesis beda dua mean ( paired sample).
Mulai
Mendefinisikan variabel x1 dan x2
Mendefinisikan panjang data
Menyatakan H0 dan H1
Menetapkan daerah kritis
Menampilkan nilai hitung dan Pval
Menghitung Pvalue
Menghitung nilai hitung dari statistik t
Membuat keputusan
Selesai
Gambar 9.3 Algoritma Prosedur Uji Hipotesis Beda Dua Mean ( Paired Sample)
9.3.1.2 Function Prosedur Uji Hipotesis Beda Dua Mean ( Paired
Sample) Berikut ini akan diuraikan function uji hipotesis beda dua mean ( paired sample). Function ditulis dalam notepad.
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 14
Uji Hipotesis (2 Sampel)
Pada R juga disediakan package langsung jadi, yaitu dengan mengetikkan perintah di bawah ini pada command window. t.test(x, y, alternative = c("two.sided", "less", "greater"),mu = 0, paired = TRUE, conf.level = 0.95, ...)
x
a (non-empty) numeric vector of data values.
y
an optional (non-empty) numeric vector of data values.
alternative a character string specifying the alternative hypothesis, must be one of "two.sided" (default), "greater" or "less". You can specify just the initial letter. mu
a number indicating the true value of the mean (or difference in means if you are performing a two sample test).
paired
a logical indicating whether you want a paired t-test.
conf.level confidence level of the interval.
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 15
Uji Hipotesis (2 Sampel)
9.3.1.3 Study Kasus untuk Uji Hipotesis Beda Dua Mean ( Paired
Test) Produktivitas (jumlah unit yang dihasilkan per hari) dari suatu sampel random 10 pekerja dicatat sebelum dan sesudah mengikuti pelatihan. Ujilah hipotesis dengan tingkat signifikansi 10% untuk menentukan apakah rata-rata produktivitas sesudah mengikuti pelatihan lebih besar daripada sebelum mengikuti pelatihan. Berikut ini data yang telah diambil. Tabel 9.3 Data Produktivitas Pekerja Sebelum dan Sesudah Pelatihan
Pekerja
Produk yang dihasilkan per hari Sebelum
Sesudah
1
54
60
2
56
3
Pekerja
Produk yang dihasilkan per hari Sebelum
Sesudah
6
52
58
59
7
56
62
50
57
8
53
55
4
52
56
9
53
54
5
55
56
10
53
64
Langkah-langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut 1. Buka program R 2. Pindahkan data ke notepad dalam 2 kolom, yaitu kolom tv dan radio, kemudian simpan di drive d dengan nama “datapaired.txt”
3. Panggil data dari notepad ke dalam program R dengan cara: Misal diberi nama data = > data = read.table(“d://datapaired.txt”,header=TRUE)
4. Menulis Function seperti di atas. Function ditulis dalam notepad kemudian di simpan di drive d dengan nama “paired.txt” 5. Definisikan variabel x1 dan x2 dengan mengetikkan perintah berikut pada command window: > x1 = data$sebelum > x2 = data$sesudah 5. Panggil fungsi dari notepad ke dalam program R dengan cara: > source(“d://paired.txt”)
> ujiprop(data,0.1,”greater”) Keterangan: pada alt hanya dapat di isi dengan “two side” untuk uji dua arah, “less” untuk uji satu arah (<) dan “greater” untuk uji satu arah (>).
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 16
Uji Hipotesis (2 Sampel) Maka akan didapat hasil sebagai berikut ========================== Uji paired test Ho: miu.d = 0 H1: miu.d > 0 t hitung = 4.750411 , Pval = 0.0005217954 daerah kritik: T hitung > -1.383029 dengan menggunakan alpha = 0.1 Tolak H0 ========================== Atau dengan mengetikkan perintah berikut dalam command window yang kemudian juga langsung didapat hasilnya: > t.test(x2,x1,"greater",mu = 0, paired = TRUE, conf.level = 0.99)
Paired t-test
data: x2 and x1 t = 4.7504, df = 9, p-value = 0.0005218 alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0 99 percent confidence interval: 1.908503
Inf
sample estimates: mean of the differences 4.7 Nilai T hitung lebih besar dari T tabel = -1.383029. Dengan demikian Tolak H0 yang menyatakan perbedaan produktivitas pekerja per hari sesudah dan sebelum pelatihan samadengan nol. Dengan kata lain H1 diterima, yaitu bahwa perbedaan produktivitas pekerja per hari sesudah dengan sebelum pelatihan lebih besar dari nol.
9.3.2 Independent Sample Digunakan untuk membandingkan dua kelompok mean dari dua sampel yang berbeda (independent ). Prinsipnya ingin mengetahui apakah ada perbedaan mean antara dua populasi dengan membandingkan dua mean sampelnya. Independent sample t-test dapat dibedakan lagi menjadi 3, yaitu Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 17
Uji Hipotesis (2 Sampel)
9.3.2.1 Uji Z untuk Populasi yang Independen Suatu uji Z digunakan apabila sampel diambil dari dua populasi yang independen dan terdistribusi normal serta nilai-nilai standar deviasi populasi 1 dan 2
telah diketahui atau ukuran kedua sampel lebih dari 30 (n >= 30).
Dalam uji hipotesis ini hipotesis awal dan hipotesis alternatifnya adalah
̅ ̅ dan
Nilai hitung dari uji statistik uji Z dapat dihitung menggunakan rumus.
Jika simpangan baku populasi tidak diketahui, tetapi ukuran kedua sampel lebih dari 30, kesalahan baku rata-rata dapat didekati dengan simpangan baku sampel,
̅ ̅
dengan rumus
Daerah kritis pada pengujian hipotesis ini, yaitu untuk uji dua arah hipotesis awal jika Hipotesis awal jika
atau Z
Tolak
. Sedangkan untuk uji satu arah Tolak
.
9.3.2.2 Uji t Sampel Ukuran Kecil Jika Uji ini digunakan apabila
Sampel diambil dari dua populasi yang independen dan terdistribusi normal. Nilai-nilai standar deviasi populasi 1 dan 2 tidak diketahui Ukuran sampel n1 dan n2 kecil (n<30) Uji F pada varians menunjukkan bahwa
Prosedur uji hipotesisnya merupakan gabungan prosedur pengujian dua varians dan uji t dengan ketentuan sebagai berikut.
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 18
Uji Hipotesis (2 Sampel)
̅ ̅ dan
Nilai hitung dari uji statistik t dihitung menggunakan rumus
Untuk mengintepretasikan t-test terlebih dahulu harus ditentukan nilai α dan df (derajat kebebasan) serta menentukan daerah kritis. Derajat kebebasan untuk pengujian hipotesis ini adalah v
S S
n1 S 22 n 2
2 1
2 1
n1
2
n1 1
S
2 2
2
n2
2
n2 1
Daerah kritis pada pengujian hipotesis ini diberikan sebagai berikut Untuk uji dua arah
Tolak hipotesis awal jika
atau
Sedangkan untuk uji satu arah Tolak Hipotesis awal jika
9.3.2.3 Uji t Sampel Ukuran Kecil Jika Uji ini digunakan apabila
.
.
Sampel diambil dari dua populasi yang independen dan terdistribusi normal. Nilai-nilai standar deviasi populasi 1 dan 2 tidak diketahui Ukuran sampel n1 dan n2 kecil (n<30) Uji F pada varians menunjukkan bahwa
Prosedur uji hipotesisnya merupakan gabungan prosedur pengujian dua varians dan uji t dengan ketentuan sebagai berikut.
dan
Nilai hitung dari uji statistik t dihitung menggunakan rumus
t
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
x x d 1
2
0
S p 1n 1 n 1 2 Page 19
Uji Hipotesis (2 Sampel)
n 1S n 1S 2
S p 2
Dengan
1
1
2
2 2
n1 n2 2
Untuk mengintepretasikan t-test terlebih dahulu harus ditentukan nilai α dan df (derajat kebebasan) serta menentukan daerah kritis. Derajat kebebasan untuk pengujian hipotesis ini adalah v = n1+n2-2 Daerah kritis pada pengujian hipotesis ini diberikan sebagai berikut Untuk uji dua arah
Tolak hipotesis awal jika
Sedangkan untuk uji satu arah Tolak Hipotesis awal jika
atau
.
.
9.3.2.4 Algoritma Prosedur Uji Hipotesis Beda Mean ( Indepandent
Sample) Berikut ini akan diuraikan algoritma pada prosedur uji hipotesis beda dua mean (independent sample). Mendefinisikan variabel x1 dan x2
Mulai
Menyatakan H0 dan H1
Menghitung Pvalue
Menghitung nilai hitung dari uji statistik Z
Melakukan uji F
Menetapkan daerah kritis
Membuat keputusan
selesai
Menetapkan nilai alfa
Menggunakan conditional untuk n>30 dan n<30
Gambar 9.4 Algoritma Prosedur Uji Hipotesis Beda Dua Mean ( Independent Sample)
9.3.2.5 Function Prosedur Uji Hipotesis Beda Dua Mean ( Independent Sample) Berikut ini akan diuraikan function uji hipotesis beda dua mean (independent sample). Function ditulis dalam notepad yang kemudian dipanggil menggunakan
perintah source.
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 20
Uji Hipotesis (2 Sampel)
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 21
Uji Hipotesis (2 Sampel)
Pada R juga disediakan package langsung jadi, yaitu dengan mengetikkan perintah di bawah ini pada command window. t.test(x,y,alternative=c("two.sided","less","greater"),mu = 0, paired = FALSE, var.equal =FALSE/TRUE, conf.level = 0.95, ...)
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 22
Uji Hipotesis (2 Sampel) x
a (non-empty) numeric vector of data values.
y
an optional (non-empty) numeric vector of data values.
alternative a character string specifying the alternative hypothesis, must be one of "two.sided" (default), "greater" or "less". You can specify just the initial letter. mu
a number indicating the true value of the mean (or difference in means if you are performing a two sample test).
paired
a logical indicating whether you want a paired t-test.
var.equal a logical variable indicating whether to treat the two variances as being equal. If TRUE then the pooled variance is used to estimate the variance otherwise the Welch (or Satterthwaite) approximation to the degrees of freedom is used. conf.level confidence level of the interval.
9.2.3
Study Kasus untuk Uji Hipotesis Beda Dua Mean
( Independent Sample) Misalkan data yang digunakan seperti pada Tabel 9.3, kemudian akan dilakukan uji hipotesis perbedaan dua mean apakah rata-rata pembelian daging sama dengan rata-rata pembelian ikan di beberapa supermarket kawasan Keputih, Kecamatan Sukolilo dengan menggunakan tingkat signifikansi 5%. Tabel 9.4 Data Pembelian Meat dan Fish di beberapa Supermarket
Meat
Fish
10.32
2.1
1.53
2.73
12.66
2.39
5.76
2.4
0.29
0.33
1.46
0.43
9.72
4.65
13.78
3
0.53
1.06
1.62
0.34
8.02
4.46
0.08
9.26
13.33
2.59
0.36
0.53
2.05
2.59
4.03
14.86
8.53
0.49
18.14
4.52
3.07
5.78
4.86
3.76
Langkah-langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut: 1. Buka program R 2. Pindahkan data ke notepad dalam 2 kolom, yaitu kolom meat dan vegetable, kemudian simpan di drive d dengan nama “data.txt”
3. Panggil data dari notepad ke dalam program R dengan cara: Misal diberi nama data = Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 23
Uji Hipotesis (2 Sampel) > data = read.table(“d://data.txt”,header=TRUE)
4. Menulis Function seperti yang di atas dalam notepad kemudian di simpan di drive d dengan nama “mean.txt”
5. Definisikan variabel x1 dan x2 dengan mengetikkan perintah berikut pada command window: > x1 = data$meat > x2 = data$fish 6. Panggil fungsi dari notepad ke dalam program R dengan cara: > source(“d://mean.txt”)
> ujimean(data,0,”two.side”,0.05) Maka akan muncul hasil sebagai berikut: ========================== Uji varians populasi identik atau tidak Ho: sigma1^2 = sigma2^2 H1: sigma1^2 =! sigma2^2 ========================== Tolak H0, artinya sigma1^2 =! sigma2^2 ========================== Uji independent test Ho: Miu1-Miu2 = 0 H1: Miu1-Miu2 =! 0 daerah kritik: T hitung > 2.068638 atau T hitung < -2.068638 t hitung = 3.544262 , P-value = 0.001730327 dengan menggunakan alpha = 0.05 Tolak H0, artinya kedua rata-rata populasi adalah tidak identik ========================== Atau juga dapat menggunakan package jadi di R dengan mengetikkan perintah berikut dalam command window yang kemudian akan langsung didapat hasilnya, seperti di bawah ini.
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 24
Uji Hipotesis (2 Sampel) > t.test(x1,x2,"two.sided",mu = 0, paired = FALSE, var.equal =FALSE, conf.level = 0.95)
Welch Two Sample t-test
data: x1 and x2 t = 3.5443, df = 23.004, p-value = 0.001730 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: 1.930785 7.344215 sample estimates: mean of x mean of y 7.0290
2.3915
Banyak data kurang dari 30 jadi menggunakan independen t-test, tetapi sebelum melakukan uji hipotesis beda dua mean, perlu dilakukan uji hipotesis dua varians untuk mengetahui apakah
. Dari perhitungan di atas diketahui bahwa
maka menggunakan uji hipotesis beda dua mean pada 9.3.2.2. Daerah
penolakan (daerah kritik) terjadi jika T hitung > 2.068638 atau T hitung < -2.068638. Nilai dari T hitung dan P-value itu sendiri masing-masing 3.544262 dan 0.001730327. Karena T hitung berada di daerah kritik dan nilai P-value < 0.05 maka dapat ditarik kesimpulan Tolak H0 yang berarti terdapat perbedaan antara rata-rata pembelian daging dan rata-rata pembelian ikan di beberapa supermarket.
9.3.3 Diagram Alir Prosedur Pengujian Mean Berikut adalah diagram alir tentang prosedur pengujian mean dengan sampel ganda.
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 25
Uji Hipotesis (2 Sampel) Mulai
Y
dan 2 diketahui? 1
Y
T
Kedua sampel independen ?
Gunakan paired t-test (9.3.1)
T Stop Kedua sampel n>30
Gunakan distribusi Z (9.3.2.1)
T
Gunakan uji F untuk menguji
H0 diterima
Y Stop Gunakan s1 dan s2 sebagai pengganti 1 dan 2
Y
Gunakan distribusi t (9.3.2.3)
T
Gunakan distribusi t (9.3.2.2) Stop
Gambar 9.5 Prosedur Uji Mean dengan Sampel-Ganda
9.4 Referensi Walpole, Ronald. E. 1997. Pengantar Statistika edisi ke-3. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. Harinaldi. 2005. Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains. Jakarta: Erlangga. Dixon, Wilfrid. J & Massey, Frank. J. 1991. Pengantar Analisis Statistik edisi ke-4. Yogyakarta : Gadjah Mada University Press. Anonim. 2009. One and Two Sample Hypothesis Testing. www.google.com, 10.06, 07 April 2011. Verzani, John. 2002. SimpleR-Using R for Introductory Statistics. http://www.math.csi.cuny.edu/Statistics/R/simpleR, 10.08, 07 April 2011.
Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)
Page 26
