DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS ´ CARRERA DE INGENIER´IA MECATRONICA TRABAJO PREPARATORIO DE F´ISICA 2.2 Tema: ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO Nicol´as as Carvajal - Erik Chicaiza Curso: A109 NRC: 1784 07/06/2015 1. Consultar sobre • Rozamiento
est´ atico atico y din´ amico amico por deslizamiento en una superficie horizontal:
El rozamiento entre dos superficies en contacto ha sido aprovechado por nuestros antepasados m´as as remotos para hacer fuego frotando maderas. En nuestra ´epoca, epoca, el rozamiento tiene una gran importancia econ´ omica, se estima que si se le prestase mayor atenci´on omica, on se podr´ po dr´ıa ıa ahoraho rrar much´ much´ısima ısim a energ´ ene rg´ıa ıa y recurs rec ursos os econ´ eco n´ omicos. omicos. Hist´oricamente, oricamente, el estudio del rozamiento comienza con Leonardo da Vinci que dedujo las leyes que gobiernan el movimiento de un bloque rectangular que desliza sobre una superficie plana. Sin embargo, este estudio pas´ o desapercibido. En el siglo XVII Guillaume Amontons, f´ısico franc´es, es, redescubri´ o las leyes del rozamiento estudiando tudiando el deslizam deslizamien iento to seco de dos superficies superficies planas planas.. Las conclusio conclusiones nes de Amonto Amontons ns son esencialmente las que estudiamos e studiamos en los libros de d e F´ısica ısica General: Gene ral:
– La fuerza de rozamiento se opone al movimiento de un bloque que desliza sobre un plano. – La fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza normal que ejerce el plano sobre el bloque. – La fuerza de rozamie rozamient ntoo no depende del area a´rea aparente de contacto. El cient cie nt´´ıfico ıfic o franc´ fra nc´es es Cou Coulomb lomb a˜ nadi´ nadi´o una propiedad m´ as: as: Una vez empezado empezado el movimie movimiento nto,, la fuerza de rozamie rozamient ntoo es independien independiente te de la velocidad. velocidad. La explic explicaci´ aci´ on de que la fuerza de rozamiento es independiente del area a´rea de la superficie aparente de contacto es la siguiente:
En la figura, se muestra un bloque arrastrado por una fuerza F horizontal. Sobre el bloque act´ uan el peso (mg), la fuerza normal (N) que es igual al peso, y la fuerza de rozamiento (Fk) entre el bloque y el plano sobre el cual desliza. Si el bloque desliza con velocidad constante la fuerza aplicada F ser´ a igual a la fuerza de rozamiento por deslizamiento Fk. Podemos investigar la dependencia de Fk con la fuerza normal N. Veremos que si duplicamos la masa m del bloque que desliza colocando encima de ´este otro igual, la fuerza normal N se duplica, la fuerza F con la que tiramos del bloque se duplica y por tanto, Fk se duplica. La fuerza de rozamiento por deslizamiento Fk es proporcional a la fuerza normal N. F k = mkN La constante de proporcionalidad (mk) es un n´ umero sin dimensiones que se denomina coeficiente de rozamiento cin´etico. El valor de mk es casi independiente del valor de la velocidad para velocidades relativas peque˜ nas entre las superficies, y decrece lentamente cuando el valor de la velocidad aumenta.
Fuerza de rozamiento est´atico Tambi´ en existe una fuerza de rozamiento entre dos ob jetos que no est´ an en movimiento relativo
Como vemos en la figura, la fuerza F aplicada sobre el bloque aumenta gradualmente, pero el bloque permanece en reposo. Como la aceleraci´ on es cero la fuerza aplicada es igual y opuesta a la fuerza de rozamiento Fs. F = F s La m´axima fuerza de rozamiento corresponde al instante en el que el bloque est´ a a punto de deslizar. F smax = msN La constante de proporcionalidad ms se denomina coeficiente de rozamiento est´ atico.
Los coeficientes est´ atico y cin´etico dependen de las condiciones de preparaci´ on y de la naturaleza de las dos superficies y son casi independientes del ´area de la superficie de contacto. •
Rozamiento est´ atico y din´amico por deslizamiento en una superficie inclinada y el cuerpo se desliza hacia abajo: Rozamiento en un plano inclinado Rozamiento est´atico
Si sobre una l´ınea horizontal r, se tiene un plano inclinado un a´ngulo , y sobre este plano inclinado se coloca un cuerpo con rozamiento, se tendr´ an tres fuerzas que intervienen: P : el peso del cuerpo vertical hacia abajo seg´ un la recta u, y con un valor igual a su masa por la aceleraci´ on de la gravedad: P = mg. N : la fuerza normal que hace el plano sobre el cuerpo, perpendicular al plano inclinado, seg´ un la recta t F r : la fuerza de rozamiento entre el plano y el cuerpo, paralela al plano inclinado y que se opone a su deslizamiento. Si el cuerpo est´a en equilibrio, no se desliza, la suma vectorial de estas tres fuerzas es cero:
P + F r + N = 0
Lo que gr´ aficamente ser´ıa un tri´ angulo cerrado formado por estas tres fuerzas, puestas una a continuaci´ on de otra, como se ve en la figura:
El peso puede descomponerse en una componente normal al plano Pn y una componentes tangente al plano Pt y la ecuaci´on anterior puede escribirse componente a componentes simplemente como: P t F r 0 ) + ( ) + ( ) = 0 0 P n N ±µe N Psinα ( ) = −( ) Pcosα N
(
Dividiendo la primera componente entre la segunda se obtiene como resultado:
sinα = tanα = ±µe cosα El coeficiente de rozamiento est´ atico es igual a la tangente del a´ngulo del plano inclinado, en el que el cuerpo se mantiene en equilibrio sin deslizar, ello permite calcular los distintos coeficientes de rozamiento, simplemente colocando un cuerpo de un material concreto sobre un plano inclinado del material con el que se pretende calcular su coeficiente de rozamiento, inclinando el plano progresivamente se observa el momento en el que el cuerpo comienza a deslizarse, la tangente de este a´ngulo es el valor del coeficiente de rozamiento. Del mismo modo conocido el coeficiente de rozamiento entre dos materiales podemos saber el a´ngulo m´aximo de inclinaci´on que puede soportar sin deslizar.
Rozamiento din´ amico
En el caso de rozamiento din´ amico en un plano inclinado, se tiene un cuerpo que se desliza, y siendo que est´ a en movimiento, el coeficiente que interviene es el din´amico , as´ı como una fuerza de inercia Fi, que se opone al movimiento, el equilibrio de fuerzas se da cuando:
P + F r + N + F i = 0 descomponiendo los vectores en sus componentes normales y tangenciales se tiene: P n = N yP t − F r = F i teniendo en cuenta que: F r = µ d N P = mg F i = ma y como en el caso de equilibrio est´ atico, se tiene: P n = Pcosα P t = Psinα Con estas ecuaciones se determina las condiciones de equilibrio din´ amico del cuerpo con fricci´ on en un plano inclinado. Si el cuerpo se desliza sin aceleraci´on (a velocidad constante) su fuerza de inercia Fi ser´a cero, y se puede ver que: Psinα = µ d Pcosα Esto es, de forma semejante al caso est´ atico:
sinα = tanα = µ d cosα Con lo que se puede decir que el coeficiente de rozamiento din´ amico µd de un cuerpo con la superficie de un plano inclinado, es igual a la tangente del a´ngulo del plano inclinado con el que el cuerpo se desliza sin aceleraci´ on, con velocidad constante, por el plano. •
Rozamiento est´ atico y din´amico por deslizamiento en una superficie inclinada cuando el cuerpo se desliza hacia arriba Movimiento del bloque a lo largo del plano (hacia arriba)
La ecuaci´ on del movimiento del bloque que cuelga de masa m2 es: m2 g − T = m 2 a La ecuaci´ on del movimiento del bloque de masa m1 que desliza hacia arriba es: T − m1 gsen? − F r = m 1a La reacci´ on del plano vale N − m1 gcosθ = 0 y la fuerza de rozamiento F r = µN Despejamos la aceleraci´ on: a = g
m2 − m1 senθ − µm1 cosθ m2 + m1
Movimiento del bloque a lo largo del plano (hacia abajo)
La fuerza de rozamiento cambia de sentido. Cambiamos el signo la fuerza de rozamiento en la f´ormula de la aceleraci´on.
a = g
m2 − m1 senθ − µm1 cosθ m2 + m1
Alternativamente, podemos volver a plantear las ecuaciones del movimiento a partir del esquema de la figura.
El bloque de masa m1 est´ a en reposo sobre el plano inclinado En este caso la tensi´on de la cuerda es igual al peso T = m 2g La fuerza de rozamiento se opone a la resultante de las otras dos fuerzas opuestas: La tensi´on de la cuerda m2g La componente del peso m1gsen?
La componente del peso es menor que la tensi´on de la cuerda, la fuerza de rozamiento se opone a que el cuerpo se mueva a lo largo del plano inclinado hacia arriba. Si m2 g > m1gsenθ entonces m2g − m1 gsenθ − F r = 0 (1)
La componente del peso es mayor que la tensi´ on de la cuerda, la fuerza de rozamiento se opone a que el cuerpo se mueva hacia abajo. Si m2 g < m1gsenθ entonces m2g − m1 gsenθ + F r = 0 (2) La fuerza de rozamiento es nula para el a´ngulo θ que cumple que m2g = m 1 gsenθ
Cuando el bloque de masa m1 empieza a deslizar a lo largo del plano Variando el a´ngulo de inclinaci´ on θ del plano inclinado llega un momento en el que el bloque empieza a deslizar, en ese momento la fuerza de rozamiento alcanza su valor m´aximo: F r = µN = µm 1 gcosθ Vamos a determinar el o los ´angulos de plano inclinado para los cuales el bloque de masa m1 va a empezar a deslizar a lo largo de dicho plano Llamando m = m 2 /m1 , la ecuaci´on de equilibrio de fuerzas (1) se escribe: m − senθ − µcosθ = 0
Teniendo en cuenta que cos 2 θ = 1 − sen2 θ. Despejando cosθ y elevando al cuadrado, nos queda la ecuaci´ on de segundo grado en senθ.
(1 + µ2 )sen2 θ − 2msenθ + (m2 − µ2 ) = 0 La misma ecuaci´on de segundo grado se obtiene a partir de la ecuaci´ on de equilibrio de fuerzas (2)
m ± µ 1 − m2 + µ2 senθ = 1 + µ2 La ecuaci´ on de segundo grado tiene dos ra´ıces reales siempre que el discriminante sea positivo: 1 − m2 + µ2 ≥ 0 Para que las dos ra´ıces reales sean positivas se tiene que cumplir que la ra´ız m´ as peque˜ na sea positiva, esto es:
m ≥ µ 1 − m2 + µ2 Elevando al cuadrado ambos miembros, obtenemos la desigualdad equivalente: m≥µ El discriminante es siempre positivo para m < 1 es decir, para m 2 < m1 En cambio, si m > 1, es decir, si m2 > m1 las ra´ıces reales existen si µ2 ?m2 − 1 2. Simule la ca´ıda de un cuerpo en un plano inclinado utilizando el siguiente link http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/animaciones_files / wroz.swf
Var´ıe el coeficiente de rozamiento por deslizamiento y d´ıgame que observa Al elevar el coeficiente de rozamiento y disminuir el ´angulo de inclinaci´ on, el esquiador no se mover´ a ya que la componente del peso en el eje x es menor que la fuerza de rozamiento.
3. Preguntas ¿C´ omo act´ ua la fuerza de rozamiento en los autos de f´ormula 1 cuando est´ a en movimiento en un circuito? Las ruedas de un auto f´ormula 1 tienen un ´angulo que no es perpendicular al suelo. Esto ayuda a que la rueda, cuando se encuentra en una curva, y gracias a la fuerza de rozamiento que evita que el auto se salga de su trayectoria, tenga una mayor superficie de contacto con el suelo, ya que deforma un poco la rueda. En ese caso la fuerza centr´ıpeta es la misma que la fuerza de rozamiento. 4. En el siguiente sistema de la figura encuentre el m´ınimo coeficiente de fricci´on est´ atica entre los dos bloques.
P = 500N ΣF x+ = ma 500 − Psen(30) = ma 500 − 500sen(30) = ma m a = 5 2 s
ΣF x = ma 500cos(30) − F r = ma 500cos(30) − µmg = ma 500cos(30) − µ50 ∗ 10 = 50 ∗ 5 µ =
500cos(30) − 250 500 µ = 0.3660
