RUANG HASIL KALI DALAM DENGAN 4 TEOREMA
A. Definisi Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor V adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan bilangan Real U ,V dengan tiap pasang dari dar i vektor U dan dalam vektor V. Memenuhi 4 aksioma untuk semua
U , V dan W dalam
V dan K skalar, yaitu :
1. U .V = V .U aksioma simetris 2. U + V ,W = U .W + V .W aksioma aksioma activitas 3. K .U .V = K. U .V aksioma homogenitas 4. V .V 0 dan
V . V
=0
aksioma aksioma positifitas, positifitas, jika dan hanya jika
V
= 0
Sebuah ruang vektor rill dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan Ruang Hasil Kali Dalam Rill. Contoh
soal:
1. Misal u = (u1, u2), v = (v1,v2) adalah vektor vektor pada R2. Tunjukan bahwa
= 5u1v 1 + 2u2v2 adalah ruang ha sil kali dalam. Jawab: (a) = 5u v1 + 2u2v2 = 3 v 1 u 1 + 2 v2 u2 = (b) Jika w = (w 1,w2), maka = 5(u1 + v 1)w 1 + 2(u2 + v2)w2 = 5u1w 1 + 5v 1w 1 + 2u2w2 + 2v2w2 = (5u 1w 1 + 2u2w2) + (5v 1w 1 + 2v2w2) = < u,w > + (c) = 5(k u 1)v 1 + 2( k u2)v2 u2)v2 = k (3 v 1 u1 + 2 v2 u2) = k
(d) = 5v1v 1 + 2v2v2 2 2 = 5v1 +2v2 0 dan = 5v1v 1 + 2v2v2 =
2
5v 1 + 2v2
2
jika hanya jika v1 = v2 = 0 atau v = 0. jadi, < u,v > = 5u1v1 + 2u2v2 adalah ruang hasil kali dalam .
B.
SIFAT-SIFAT (TEOREMA)
Jika U , V dan W adalah vektor - vektor pada ruang has il dalam dan k sebarang skalar maka : 1. = = O 2. = 3.< U .K V> = K Contoh
1.
soal:
Diketahui
= rd + tf dengan u = (r ,s,t ) dan v = (d ,e,f ). Apakah tersebut merupakan hasil kali dalam ? Jawab : (a) = rd + tf = dr + ft =
(terpenuhi)
(b) Misalkan w = (g ,h,i) = ((r + d , s + e, t + f ), (g ,h,i)) = (r + d )g + (t + f )i = (r g + ti) + (d g + fi) = + (terpenuhi) (c) = (k rd + k tf ) = k (rd + tf ) = k 2
(terpenuhi) 2
(d) = (u.u) = (r + t ) 0
(terpenuhi)
dan 2
2
= (r + t ) = 0 tidak selalu u =(0,0,0), karena nilai u =(0,b,0) dengan b0, maka nilai < u,u> = 0 ( tidak terpenuhi )
Karena aksioma positivitas tidak terpenuhi, maka = rd u=(r ,s,t ) dan v = (d ,e,f ) bukan merupakan hasil kali dalam.
+
tf dengan
