Rumus-Rumus Trigonometri
Rumus-Rumus Trigonometri Matematika Peminatan XI IPA
2017/2018 SMA Kolese Loyola
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 1
Rumus-Rumus Trigonometri
Daftar Isi A. Rumus Jumlah dan Selisih Sudut ................................................................. 3 1. Sinus Jumlah dan Selisih Sudut ................................................................ 3 2. Kosinus Jumlah dan Selisih Sudut ............................................................ 8 3. Tangen Jumlah dan Selisih Sudut ........................................................... 11 B. Rumus-Rum Rumus-Rumus us Sudut Ganda Ganda .......................... .................................................... ............................................ .................. 14 C. Rumus Perkalian Fungsi Trigonometri....................................................... 18 D. Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Trigonometri ........................................ 22 E. Aplikasi Aplikasi Trigonome Trigonometri tri ................................................ .......................................................................... ............................... ..... 26
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 2
Rumus-Rumus Trigonometri A. Rumus Jumlah dan Selisih Sudut 1. Sinus Jumlah dan Selisih Sudut sin
Gambar 1
Perhatikan ACD pada Gambar 1 sin
AD
cos
CD
AC x b sin .
AC t b cos .
x
b
t b
sehingga
sehingga
Perhatikan BCD pada Gambar 1 sin
BD
BC y a sin . cos
CD
BC t a cos .
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
y
t
a
a
sehingga
sehingga
Halaman 3
Rumus-Rumus Trigonometri Luas ABC adalah L ABC
1 2
a b sin .
Luas ACD adalah L ACD
1 2
1
1
2
2
1
1
2
2
CD AD t x a cos b sin .
Luas BCD adalah L BCD
1 2
CD BD t a
b cos a sin .
Karena L ABC L ACD L BCD , maka 1 2
1
1
2
2
a b sin a cos b sin b cos a sin
sehingga diperoleh 1 2
1
1
2
2
a b sin a b sin cos a b cos sin .
Jadi, sin sin cos cos sin . Sementara itu, untuk rumus sin dapat diperoleh dengan mensubtitusikan bentuk . sin sin
sin cos cos sin sin cos cos sin Jadi, sin sin cos cos sin .
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 4
Rumus-Rumus Trigonometri Contoh 2.A.1
a. Hitunglah nilai sin 75 tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri. b. Diketahui sin A B
3 4
dan sin A B
1 2
. Hitunglah
sin A cos B .
Jawab a.
sin 75 sin45 30
sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 2
1
6
4
1 4
1
2
4
6 2
Jadi, sin 75
1
4
6 2 .
b. sin A B sin A cos B cos A sin B
3
sin A B sin A cos B cos A sin B
1
2 sin A cos B
Jadi, sin A cos B
5 8
4
2
5
sin A cos B
5
+
4 8
.
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 5
Rumus-Rumus Trigonometri Latihan 2.A.1
1. Hitunglah nilai sin 83 jika cos 37
4 5
.
2. Hitunglah nilai eksak dari sin 22 cos 23 sin 23 cos 22 . 3. Tunjukkan bahwa sin15 4. Diketahui sin x y
m 1 3
3 1 2 2
.
dan sin x cos y n 1 , tentukan nilai
3 cos x sin y .
Contoh 2.A.2
Tentukan himpunan penyelesaian dari sin x
1 3 sin x 6 6 2
dalam selang 0 x 2 . Jawab Dengan menggunakan rumus sinus untuk jumlah atau selisih sudut, persamaan tersebut dapat ditulis kembali sebagai berikut.
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 6
Rumus-Rumus Trigonometri 1 sin x cos cos x sin sin x cos cos x sin 3 6 6 6 6 2 1 1 1 1 1 3 sin x cos x 3 sin x cos x 3 2 2 2 2 2 cos x
1 2
3
Karena cos x cos
6
, maka x
6
k 2 dan x
6
k 2 sehingga
diperoleh himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah
11 , 2 , . 6 6 6 6 Latihan 2.A.2
Tentukan himpunan penyelesaian dari sin x
sin x 1 4 4
dalam selang 0 x 2 .
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 7
Rumus-Rumus Trigonometri 2. Kosinus Jumlah dan Selisih Sudut cos
Gambar 2
ACB
2
2
Luas ABC Luas ADC Luas BDC 1 2
1 1 ab cos cos ab sin sin 2 2 2
ab sin
Jadi, cos cos cos sin sin . Untuk mendapatkan rumus cos dapat diperoleh dengan mensubtitusikan bentuk . cos cos
cos cos sin sin cos cos sin sin Jadi, cos cos cos sin sin .
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 8
Rumus-Rumus Trigonometri Contoh 2.A.3
a. Hitunglah nilai cos 75 tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri b. Jika cos A B
1 2
dan sin A sin B
1
, tentukan nilai
5
tan A tan B .
Jawab a.
cos 75 cos45 30
cos 45 cos 30 sin 45 sin 30 1 2
1 4
1 2
2
6
1 4
2
1 2
1 2
3
1
4
6
2
2
b. cos A B cos A cos B sin A sin B cos A cos B cos A B sin A sin B tan A tan B
sin A sin B cos A cos B
1 5 7
10
1 10
5 7
1 2
1 5
7 10
2 7
Latihan 2.A.3
1. Tentukan nilai cos
12
tanpa menggunakan kalkulator.
2. Jika cos A B m 2 dan sin A sin B
1
m
, tentukan nilai
tan A tan B .
3. Hitunglah nilai dari cos 45 cos165 cos 285 .
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 9
Rumus-Rumus Trigonometri 4. Gunakan identitas kosinus sudut jumlah atau selisih untuk
membuktikan identitas cos x 5. Diketahui tan dengan 0
2
4 3
dengan
sin x .
2
2
dan cos
1 2
3
. Tentukan nilai dari cos dan
cos .
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 10
Rumus-Rumus Trigonometri 3. Tangen Jumlah dan Selisih Sudut tan Rumus tangen jumlah dan selisih sudut tan
tan tan 1 tan tan
, tan
tan tan 1 tan tan
Latihan 2.A.4
Buktikan rumus tangen jumlah dan selisih sudut diatas.
Contoh 2.A.4
a. Jika tan 6 p , nyatakan tan 234 dalam p . b. Tentukan nilai untuk perbandingan trigonometri tan 80 tan 55 1 tan 80 tan 55
.
Jawab. a.
tan 6 tan240 6 tan 240 tan180 60 tan 60
3
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 11
Rumus-Rumus Trigonometri tan 6 tan240 6
b.
3 p 1 3 p
tan 240 tan 6 1 tan 240 tan 6
3 p
1 3 p
1 tan 80 tan 55
1 3 p
1 3 p 1 3 p
3 3 p p p
tan 80 tan 55
2
2
3
3 4 p p 1 3 p
2
3
2
tan80 55 tan135
tan180 45 tan 45 1 Latihan 2.A.5
1. Jika tan 7 p , nyatakan tan142 dalam p . 2. Tentukan nilai untuk perbandingan trigonometri tan 340 tan 25 2 tan 25 tan 340 2
.
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 12
Rumus-Rumus Trigonometri Latihan 2.A.6
1. Diketahui cos A
1 4
dan sin B
1 3
3 dengan A sudut di
kuadran III dan B di kuadran II. Tentukan nilai tan A B dan tan A B .
2. Diketahui sebuah segitiga ABC,
sin A
8 17
, cos B
4 5
, untuk A
dan B sudut lancip. Tentukan nilai tan C . 3. Buktikan
sina b tan a tan b
cos a cos b .
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 13
Rumus-Rumus Trigonometri B. Rumus-Rumus Sudut Ganda Untuk setiap sudut berlaku rumus-rumus berikut. 1. sin 2 2 sin cos
cos 2 sin 2 2. cos 2 2 cos 2 1 1 2 sin 2 3.
tan 2
2 tan 1 tan 2
Latihan 2.B.1
Buktikan rumus-rumus sudut ganda diatas.
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 14
Rumus-Rumus Trigonometri Contoh 2.B.1
a. Diketahui sin A
4 5
untuk A sudut tumpul. Tentukan sin 2 A ,
cos 2 A , dan tan 2 A .
b. Buktikan bahwa 2 cos acos 12 a sin 12 a 2 cos a sin 2a . 2
Jawab. a. Dengan menggunakan rumus sin 2 A cos 2 A 1 , diperoleh
4
2
16
cos A 1 sin A 1 2
cos A
2
3 5
9
sehingga 1 25 25 5 3
cos A karena A di kuadran II. Dengan 5
demikian, diperoleh: sin 2 A 2 sin A cos A 2
4 3
24
5 5 25 2
2
9 16 7 3 4 2 2 cos 2 A cos A sin A 25 25 25 5 5 sin 2 A 24 24 tan 2 A 257 cos 2 A 25 7
b. Ruas kiri 2 cos acos 12 a sin 12 a
2
2 cos acos 2 12 a 2 cos 12 a sin 12 a sin 2 12 a
2
2 cos a1 sin 2a 2 cos a 2 cos a sin a 2 cos a sin 2a
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 15
Rumus-Rumus Trigonometri Latihan 2.B.2
1. Jika tan 2 A
2m 1 m
2
, maka tentukan cos 2 A dan sin 2 A .
2 2 2. Diketahui cos A sin A
24 25
, untuk A sudut lancip. Tentukan
nilai dari sin A . 3. Jika tan A 2 dan A di kuadran III, hitung nilai sin 2 A , cos 2 A , dan tan 2 A . Terletak di kuadran berapakah sudut 2A?
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 16
Rumus-Rumus Trigonometri Latihan 2.B.3
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari tan 2 x tan x 0 untuk 0 x 360 . 2. Tentukan semua nilai x yang memenuhi persamaan cos 2 x 4 sin x 5 0 untuk 0 x 360 . cos sin 4
3. Buktikan bahwa 4. Buktikan bahwa
4
1 tan 4
tan x sin x 2 tan x
cos 4 .
x cos 2 . 2
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 17
Rumus-Rumus Trigonometri C. Rumus Perkalian Fungsi Trigonometri Untuk setiap sudut dan berlaku rumus-rumus berikut. 1. 2 sin cos sin sin 2. 2 cos sin sin sin 3. 2 cos cos cos cos 4. 2 sin sin cos cos Latihan 2.C.1
Buktikan rumus-rumus perkalian fungsi diatas.
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 18
Rumus-Rumus Trigonometri Contoh 2.C.1
a. Nyatakan 2 sin a cos 3a dalam bentuk jumlah/selisih. b. Sederhanakan bentuk 2 cos 75 sin15 . Jawab. a.
2 sin a cos 3a sina 3a sina 3a
sin 4a sin 2a sin 4a sin 2a b. 2 cos 75 sin15 sin75 15 sin75 15 sin 90 sin 60 0
1 2
1 2
Latihan 2.C.2
Tentukan hasil dari 1. 8 cos 82,5 sin 37,5 2. 8 sin 50 cos 40 2 sin10 cos 20 3. 2 cos 5 A cos 7 A 4.
3 sin 80 sin160 sin 320
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 19
Rumus-Rumus Trigonometri Latihan 2.C.3
Tunjukkan bahwa 1. 8 sin 20 sin 40 sin 80 3 . 2. cosa b cosa b cos2 a sin2 b . 3.
sin45 A cos45 B
cos45 A sin45 B cos A B
4. 2 sin x cos3 x 2 sin3 x cos x sin 2 x .
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 20
Rumus-Rumus Trigonometri Latihan 2.C.4
Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap persamaan berikut untuk 0 x 360 . 1. sin x 45 sinx 45 2 2. sin x 120 sinx 120
1 2
3
3. cos x 45 cosx 45 2 4. cos x 120 cosx 120
1 2
3
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 21
Rumus-Rumus Trigonometri D. Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Trigonometri Untuk setiap sudut dan berlaku rumus-rumus berikut. 1. sin x sin y 2 sin 12 x y cos 12 x y 2. sin x sin y 2 cos 12 x y sin 12 x y 3. cos x cos y 2 cos 12 x y cos 12 x y 4. cos x cos y 2 sin 12 x y sin 12 x y Latihan 2.D.1
Buktikan rumus-rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri diatas.
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 22
Rumus-Rumus Trigonometri Contoh 2.D.1
a. Nyatakan bentuk sin 6 x sin 2 x dalam bentuk perkalian. b. Sederhanakan bentuk cos105 cos15 . Jawab. a.
sin 6 x sin 2 x 2 sin 12 6 x 2 x cos 12 6 x 2 x
2 sin 12 8 x cos 12 4 x 2 sin 4 x cos 2 x b. cos105 cos15 2 sin 12 105 15 sin 12 105 15 2 sin 12 120 sin 12 90 2 sin 60 sin 45 1 1 1 2 3 2 6 2 2 2
Latihan 2.D.2
Tentukan nilai dari 1. sin170 sin10 2. sin 44 sin 22 3. cos125 cos 55 4. cos 200 cos 20
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 23
Rumus-Rumus Trigonometri Latihan 2.D.3
Buktikan identitas berikut. 1. 2. 3. 4.
sin 7 x sin 5 x cos 7 x cos 5 x sin x sin 2 x cos x cos 2 x
1
cot x
cos 3 x cos 5 x sin 3 x sin x
tan x
2
2 sin 2 x
sin x sin 2 x sin 3 x cos x cos 2 x cos 3 x
tan 2 x
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 24
Rumus-Rumus Trigonometri Latihan 2.D.4
Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap persamaan berikut untuk 0 x 360 . 1. 2. 3. 4.
sin 2 x sin x 0 cos 2 x cos x 0 sin 4 x sin 2x 0 cos 4 x cos 2x 0
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 25
Rumus-Rumus Trigonometri E. Aplikasi Trigonometri Contoh 2.E.1
Sebuah balon udara terbang secara vertikal. Pada pukul 10.00, sudut elevasi antara balon udara dan dasar tanah adalah 30°. Satu jam kemudian, sudut elevasi antara balon udara dan dasar tanah berubah menjadi 75°. Jika jarak antara balon udara dan tempat pengukuran sudut sebelum balon udara itu terbang adalah 150m, berapa selisih ketinggian balon udara antara pukul 10.00 dan 11.00? Jawab.
DAB 30 , CAB 75
CAD CAB DAB 75 30 45 Tinggi balon udara pada pukul 10.00 adalah DB. DB AB
tan DAB tan 30
DB AB tan 30 150
1 3
3 m
Tinggi balon udara pada pukul 11.00 adalah BC. BC AB
45° 30°
tan DAB CAD tan 75
BC AB tan30 45
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 26
Rumus-Rumus Trigonometri BC AB
tan 30 tan 45 1 tan 30 tan 45 3 3
150
1
150
3 3
1 3
3
150 1
3 3 3 3
3 3
150
3 3 3 3
150
3 3 3 3
3
3 3 3 3
3
150
96 3 3 93
150
12 6 3 6
150 2 3 m Selisih ketinggian balon udara antara pukul 10.00 dan 11.00 adalah CD.
CD BC DB
150
2 3 150 13
1 150 2 3 3 6 2 3 150 3
50
3
3
6 2 3
300 100 3 m
Jadi, selisih ketinggian balon udara antara pukul 10.00 dan 11.00 adalah
300 100 3 m.
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
Halaman 27
Rumus-Rumus Trigonometri Latihan 2.E.1
1. Seorang anak berdiri memandang sebuah bendera yang terpasang di atap sebuah bangunan. Tinggi pengamatan anak tersebut adalah 165 cm dan jarak anatar bangunan dan anak tersebut adalah 5 m. Jika sudut elevasi antara anak tersebut dengan ujung tiang bendera adalah 75°, berapa tinggi tiang bendera tersebut? 2. Sebuah helikopter berada pada ketinggian 2001.5m di atas permukaan tanah dan seorang anak berdiri tepat di bawahnya. Anak tersebut berdiri tepat di hadapan sebuah gedung. Ia mengamati puncak gedung dengan tinggi pengamatan 150 cm. Jika sudut elevasi antara anak dan puncak gedung 15° dan sudut depresi antara helikopter dan puncak gedung 60°, tentukan tinggi gedung tersebut. 3. Dua gedung dihubungkan oleh sebuah jembatan. Tinggi gedung A adalah 150 m, sudut depresi antara atap gedung A dengan dan atap gedung B adalah 30°, dan sudut depresi antara atap gedung A dengan dasar gedung B adalah 15°. Tentukan tinggi gedung B. 4. Getaran sebuah kawat ditentukan oleh persamaan
t x t x cos2 . Tunjukkan bahwa T T
y 2 A cos 2
persamaan
tersebut 2 t 2 x cos y 4 A cos . T
ekuivalen
dengan
LC~2017/2018~XI IPA~Matematika Peminatan~Bab 2
persamaan
Halaman 28