1.8 Algoritmo de Havel-Hakimi
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
Alberto Conejero Conejero y Cristina Jordán Jordán Depto. Matemática Aplicada E.T.S. Ingeniería Informática Universitat Politècnica de València
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
Teorema de Havel-Hakimi ¿Cómo se pueden comprobar si una sucesión es gráfica? Teorema de Havel-Hakimi (1955,1962)
Sea la sucesión decreciente de enteros no negativos s, t1, t2,!., ts, d1, d2,!, dr (s, t1, t2,!., ts, d1, d2,!, dr ) es una sucesión gráfica si y sólo si
(t1-1, t2-1,!., ts-1, d1, d2,!, dr ) es una sucesión gráfica La aplicación reiterada de este teorema da lugar a un algoritmo que permite determinar si una sucesión es o no gráfica y, en caso de serlo, uno de los posibles grafos de los que es su sucesión gráfica.
1.8. El algoritmo de Havel- Hakimi
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Ejemplo ¿Cómo se aplica el Teorema de Havel-Hakimi?
Sea la sucesión decreciente de enteros no negativos 4, 3, 3, 2, 2 (4, 3, 3, 2, 2) es una sucesión gráfica si y sólo si
(3-1, 3-1, 2-1, 2-1) es una sucesión gráfica, que es (2,2,1,1), y esta sucesión es gráfica si y sólo si
(2-1,1-1,1) es una sucesión gráfica. Y lo que queda es (1,0,1). Reordenando y quitando elementos nulos queda (1,1). 1.8. El algoritmo de Havel- Hakimi
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Ejemplo Veamos cómo la aplicación de este teorema permite construir el grafo que tiene a (4,3,3,2,2) como sucesión gráfica:
A
B
C
D
E
4
3
3
2
2
2
2
1
1
! ! !
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1
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1
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1.8. El algoritmo de Havel- Hakimi
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Algoritmo de Havel-Hakimi Algoritmo de Havel-Hakimi
1. Comencemos con una sucesión decreciente de enteros no negativos s, t1, t2,!., ts, d1, d2,!, dr y con un grafo vacío con tantos vértices como números haya en esa sucesión. 2. Eliminamos el número mayor de la lista (el de la izquierda que hemos denotado por s), y restamos una unidad a los s siguientes vértices de la lista, t1, t2,!., ts. Si alguno de los números t 1-1, t2-2,!., ts-1 fuera negativo no existe el grao buscado y la sucesión no es gráfica. 3. Conectamos en el grafo el vértice asociado a s con los vértices asociados a t1, t2,!., ts mediante aristas. 4. Si la lista no es decreciente la reordenamos pero evitando confundir los nombres de los vértices. 5. Volvemos al paso 2 hasta que no queden números en l a lista. 1.8. El algoritmo de Havel- Hakimi
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Ejemplo Nos piden diseñar una red con 7 ordenadores de manera que el número de conexiones de cada uno de ellos sea: 5, 4, 2, 3, 3, 2, 1. ¿Será posible construir una red con las características dadas?
Solución Teniendo en cuenta que: - Cada ordenador se representa con un vértice - (u,v) representa el cable que une el ordenador u con el v, el problema original se transforma en determinar si existe un grafo - no dirigido (porque (u,v) representa una conexión entre ordenadores) - simple (porque no se conecta nunca un ordenador a sí mismo) - que tenga por grados de sus vértices los valores dados Es decir, tenemos que determinar si la sucesión decreciente de números enteros no negativos 5, 4, 3, 3, 2, 2, 1 es una sucesión gráfica o no lo es. 1.8. El algoritmo de Havel- Hakimi
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Ejemplo Parece razonable que SÍ que es una sucesión gráfica dado que: • el número de impares en la sucesión dada, 5, 4, 3, 3, 2, 2, 1 es par • el primer término de la sucesión, 5, es menor estricto que el número de términos de la sucesión, 7. Aplicamos el algoritmo de Havel-Hakimi A
B
C
D
E
F
G
5
4
3
3
2
2
1 1
!
3
2
2
1
1 1
1 1
!
1
1
!
1
1
C
D
F
G
E
1
1
1
1
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1
1
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1.8. El algoritmo de Havel- Hakimi
