TRIGONOMET RIA -MARZOABRIL-MAYO-ABRIL-MAYO EUROAMERICANO PRIMARIA
TRIGONOMETRIA
6º PRIM.
EUROAMERICANO
TRIGONOMETRIA
6º PRIM.
EUROAMERICANO
TRIGONOMETRIA
6º PRIM.
EUROAMERICANO
TRIGONOMETRIA
6º PRIM.
TRIGONOMETRÍA (Del gr. τριγονοµετρια ) f. parte de las matemáticas que trata del cálculo de los elementos de los triángulos planos y esféricos.// esférica. La que trata de los triángulos esféricos.// Plana. La que trata de los triángulos planos.
Historia de la Trigonometría Se remonta a las matemáticas Egipcias y Babilónicas, siendo los egipcios los primeros en usar las medidas en grados, minutos y segundos para la medida de ángulos. Siendo Hiparco, un astrónomo de Nicea, creó una tabla trigonométrica para resolver triángulos. A continuación tenemos una biografía de Hiparco, considerado el padre de la Trigonometría.
Biografía de Hipanco Nació en el año de 190 a. C. en Nicea Bithynia (ahora Turquía). Se conoce muy poco sobre su vida. Hiparco se considera como el primer astrónomo científico. Prácticamente toda la información que se conoce de Hiparco proviene de Almagesto de Claudio Ptolomeo. Sólo ha sobrevivido uno de sus trabajos llamado Commentary on Aratus and Eudoxus el cual no es precisamente de sus principales labores. Este fue escrito en tres libros: en el primero nombra y describe las constelaciones, en el segundo y tercero publica sus cálculos sobre la sálida y entrada de las constelaciones, al final del tercer libro da una lista de estrellas brillantes. En ninguno de los tres libros Hiparco hace comentarios sobre matemáticas astronómicas. No utilizó un sólo sistema de coordenadas sino un sistema mezclado de varios tipos de ellas. Realizó importantes contribuciones a la trigonometría tanto plana como esférica, publicó la tabla de cuerdas, temprano ejemplo de una tabla trigonométrica. El propósito de ésta era proporcionar un método para resolver triángulos. También introdujo en Grecia la división del círculo en 360 grados. Para crear su tabla trigométrica, comenzó con un ángulo de 71º y yendo hasta 180 º con incrementos de 71º, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero si se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r=60º, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal de los babilonios. En astronomía descubrió la presesión de los equinoccios; describió el movimiento aparente de las estrellas fijas cuya medición fue de 46'' muy aproximada al actual de 50.26''. Calculó la duración del año con una precisión de 6.5 y minutos; calculó un periodo de eclipses de 126.007 días y una hora; calculó la distancia de la luna basándose en la observación de una eclipse el 14 de marzo de 190 a. C., su cálculo fue entre 59 y 67 radios terrestres el cual está muy cerca del real (60 radios); desarrolló un módelo teórico del movimiento de la luna basado en epiciclos. Elaboró el EUROAMERICANO
TRIGONOMETRIA
6º PRIM.
primer catálogo celeste que contenía aproximadamente 850 estrellas diferenciándolas por su brillo en seis categorías o magnitudes, probablemente este trabajo fue utilizado por Ptolomeo como base para su propio catalogo celeste. Sobre este último tuvo gran influencia y al rechazar la teoría heliocéntrica de Aristarco de Samos fue el precursor de los trabajos geocéntricos de Ptolomeo.
TRIGONOMETRÍA ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO - SISTEMA DE MEDIDAS
ANGULARES
ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS
Definición: Es aquel que se genera por la rotación de un rayo, que gira al rededor de un punto
→ OA (vértice) desde una posición inicial hasta una posición final
→ OB
B
φ O
A
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Elementos del ángulo trigonométrico
1. Sistema Sexagesimal:
Es aquel sistema que tiene como unidad el grado
sexagesimal, el cual se define como la 360ava parte del ángulo de una vuelta.
Las subunidades del grado sexagesimal son: *
El minuto sexagesimal
*
El segundo sexagesimal
1' 1''
Sus equivalencias son:
2.
1º
=
60'
1'
=
60''
1º
=
3600''
Sistema Radial: Es aquel sistema cuya unidad es el RADIAN, el cual se define como:
EUROAMERICANO
TRIGONOMETRIA
6º PRIM.
" El ángulo central de una circunferencia que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio"
A r r
1 r ad
O
L A B = r
r B
1.
Convertir a minutos sexagesimales. a)
2.
b)
12º
c)
10º
c)
10'
Convertir a segundos sexagesimales. a)
3.
4º
20'
b)
35'
Convertir a minutos sexagesimales. a)
1º 20'
b)
3º 45'
c)
12º
10'
4.
Convertir a grados sexagesimales. a)
4800'
b)
720'
c)
900' EUROAMERICANO
TRIGONOMETRIA
5.
Si a=30' , Calcular a + b
6º PRIM.
b=1º
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.
Convertir a minutos sexagesimales. 5º
a)
300'
2.
Convertir a grados sexagesimales. 1800'
a)
24º
3. a)
Convertir a minutos sexagesimales. 6º 24' 181' b) 180' c) 324'
4.
Simplificar T
=
b)
b)
250'
30º
c)
240'
36º
d)
350'
e)
500'
d)
35º
e)
28º
d)
284'
e)
384'
d)
22
e)
16
6º 40' 25'
a)
20
5.
Calcular el valor de "M ": M
c)
=
b)
25
c)
18
5º15'+ 6º 25'
EUROAMERICANO
TRIGONOMETRIA a)
28
b)
6º PRIM.
22
c)
25
d)
27
e)
20
CONVERSIÓN DE SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Sabemos
:
Simplificando : ♦
360º = 2π rad 180º =
π rad
Para convertir grados sexagesimales a radianes o viceversa usaremos un factor de conversión.
¿Qué es un factor de conversión? Es una fracción que vale “1” (por que su numerador es igual a su denominador) y sirve para convertir una unidad de medida en otra equivalente.
180º π rad
π rad 180º
I)
Factor de conversión
Factordeconversión
II)
Ejemplos: 1.
Convertir 45º a radianes
Resolución: Para convertir 45º grados radianes, tenemos que eliminar los grados, para ello usamos el 2do factor de conversión, porque tiene los grados en el denominador y se cancelarían.
5 π rad = π 45° × 180º 4 20 4 1
2.
⇒
45º =
π rad
4
Convertir a grupos sexagesimales EUROAMERICANO
TRIGONOMETRIA
6º PRIM.
Resolución: Ahora usaremos el 1er factor de conversión para eliminar los radianes: 36º π rad 180º = 36º × π rad 5 1
⇒
π rad=36º
5
PRÁCTICA 1.
Convertir a radianes. a)
2.
54º
120º
c)
60º
b)
30º
c)
240º
Convertir a sexagesimales
π a) 3
4.
80º
Convertir a radianes a)
3.
b)
π
rad
b) 2
rad
π c) 18
rad
Simplificar:
π E= 5.
rad 3 30º
Calcular el valor de M
π M
=
3
rad + 40º 100º
EUROAMERICANO
TRIGONOMETRIA
6º PRIM.
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.
Convertir al sistema sexagesimal. a)
2.
36º
b)
b)
a)
c)
d)
30º
e)
15º
5
b)
5π
7
d)
5π
5
2π
9
e)
5
Si α = 27º+63º
π c)
π
d) π
6
e)
2
Calcular el valor de " M " M
=
40º
π 9
a)
rad
2
b)
3
c)
5
d)
200º e)
194º
6
e)
8
Convertir a grados sexagesimales:
θ= a) 6.
8
Convertir a radianes α: 7π
5.
34º
2π
π
5
a)
4.
c)
Convertir 72º a radianes
π
3.
35º
π 4
rad +
π 3
rad +
190º b)
π 2
rad
192º c)
195º d)
Convertir a radianes: 140º + 40º
EUROAMERICANO
TRIGONOMETRIA 6π
7π
a)
9
6º PRIM.
b)
9
2π
c)
9
8π
d)
9
e) π
TRIGONOMETRÍA PROBLEMAS PROPUESTOS
Convertir: 3π
1.
5
rad a grados sexagesimales
2π
2.
5
rad a grados sexagesimales
3.
49º a radianes
4.
74º a radianes
5.
60º a radianes
π
6.
6
7.
120º a radianes.
8.
96º a radianes.
a grados sexagesimales
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TRIGONOMETRIA
6º PRIM.
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TRIGONOMETRIA
6º PRIM.
TRIGONOMETRÍA EUROAMERICANO
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6º PRIM.
TARTAGLIA
Niccoló Fontana fue conocido con el apodo de Tartaglia debido a su tartamudez, consecuencia de un golpe en la cabeza durante su infancia. Su apodo está ligado al del triángulo formado por los coeficientes de las sucesivas potencias de un binomio. De familia muy humilde, su genio y su fuerza de voluntad le llevaron a ser un gran matemático. Resolvió una importante ecuación de 3º grado y guardó en secreto sus descubrimientos.
a
c .o
H i p o t e c n u s a
c .a
α b
RECONOCIMIENTO DE LA HIPOTENUSA Y DE LOS CATETOS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO EUROAMERICANO
TRIGONOMETRIA
6º PRIM.
TRIÁNGULO RECTÁNGULO Es aquel que tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos: el lado mayor recibe el nombre de HIPOTENUSA y los dos menores son los CATETOS .
Ejemplo: β
c Determinar el cateto opuesto, el cateto adyacente y la hipotenusa en el a ángulo α.
; para el
α
b
Resolución
Para el H ángulo α
a
*
i p o es cateto t e . a Cateto Opuesto co n u c s a .o . b c Cateto Adyacente ca
→ ( ) → ( ) * c → Hipotenusa ( h) c .a
α
El catetoPara "a" el seángulo oponeβ el ángulo α, entonces
a → Cateto Adyacente ( ca . ) opuesto de: "a".
b → CatetoOpuesto ( co . )
El cateto b es el adyacente del ángulo α,
c → Hipotenusa ( h)
entonces es cateto adyacente: "b".
b
*
La hipotenusa siempre será el segmento que está opuesto al ángulo recto (diagonal).
PRÁCTICA
1.
En el triángulo determinar: Para α. c a α
Cateto Opuesto: _______________ Cateto Adyacente: _______________ Hipotenusa: _______________
b
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TRIGONOMETRIA
2.
6º PRIM.
En el triángulo determinar: Para θ. Cateto Opuesto: _______________ Cateto Adyacente: _______________ Hipotenusa: _______________
p m θ
n
3.
En el triángulo determinar: Para β. Cateto Opuesto: _______________ Cateto Adyacente: _______________ Hipotenusa: _______________
n
m
β
p
4.
En el triángulo determinar: b α
Cateto Opuesto: _______________ Cateto Adyacente: _______________ Hipotenusa: _______________
a c
5.
Para α.
En el triángulo determinar: β
p
m q
Para β. Cateto Opuesto: _______________ Cateto Adyacente: _______________ Hipotenusa: _______________
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TRIGONOMETRIA
6º PRIM.
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.
En el determinar: Para α.
β
H = ________ C.O. = ________
5 3
Para β. H = ________ C.O. = ________
α 4
2.
En el determinar: 15
Para θ. θ
20 25
β
3.
H = ________ C.O. = ________ C.A. = ________
Para β. H = ________ C.O. = ________ C.A. = ________
En el determinar: Para θ.
5
θ 12
H
13
φ
4.
Para φ. = ________
H
= ________
C.O. = ________
C.O. = ________
C.A. = ________
C.A. = ________
En el determinar: Para α. H 7
24
β
α 25
Para β. = ________
H
= ________
C.O. = ________
C.O. = ________
C.A. = ________
C.A. = ________
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TRIGONOMETRIA 5.
6º PRIM.
En el determinar: Para γ . H
30
= ________
H
= ________
40
γ φ
50
6.
Para φ.
C.O. = ________
C.O. = ________
C.A. = ________
C.A. = ________
En el determinar: 6
Para ω.
ω
H 8
10
γ
Para γ . = ________
H
= ________
C.O. = ________
C.O. = ________
C.A. = ________
C.A. = ________
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TRIGONOMETRIA
6º PRIM.
“ C o m p r e n d e r, i m p l i c a d e t o d o s u n a g r a n c a p a c id a d p a r a e n te n d e r a l o tro .
TRIGONOMETRIA M E S D E :
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TRIGONOMETRÍA EUROAMERICANO
TRIGONOMETRIA
6º PRIM.
EL GENIAL PITÁGORAS Contado entre los siete sabios de Grecia, el genial Pitágoras, filosófo y matemático, nació en la Isla de Samos. La fecha está considerada entre 592 y 569 a.C. Se dice que descendía de una familia acomodada,
que
le
procuró
una
amplia
educación, llegando a ser discípulo más ilustre de la Escuela Jónica. Contó entre sus maestros a Ferécides y Anaximandro, que le inculcaron una sabia cultura, ampliándola él con los viajes que realizaba por Egipto y pueblos del Asia Menor, estudiando sus conocimientos religiosos, científicos, políticos y matemáticas. El lema de los pitagóricos era: "Los números rigen al mundo" o "el saber por el saber mismo..." También es muy conocido Pitágoras por su famoso teorema que se refiere al triángulo rectángulo, el cual se enuncia: "El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre sus catetos"
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TEOREMA DE PITÁGORAS Inicialmente se mencionará los lados del triángulo rectángulo.
a c
c
a
yb
: :
Catetos Hipotenusa
b
Entonces el teorema se define como: "El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los Catetos". 2
2
2
c =a +b
Ejemplos: 1.
Calcular la hipotenusa del
ABC.
Resolución: Aplicando el T.P.
A
2
=3 +4
2
= 9 + 16
2
= 25
x x x
x
3
2
x = x =
B
4
2
25
5
C
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TRIGONOMETRIA 2.
Calcular el cateto del
6º PRIM. ABC.
Resolución: Aplicando el T.P.
A
2
202 = x + 16 2
400 = x + 256 20
2
400 – 256 = x
x
2
144 = x 144
B
16
C
= x
12 = x
PRÁCTICA
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