Compendio de Ciencias II-10D
Álgebra
PRODUCTOS NOTABLES II
4
•
Aplica utiliza los productos notables para poder reducir y calcular el valor de espresiones más complejas.
•
Relaciona y opera correctamente las identidades condicionales.
El álgebra de los árabes Por sus conquistas después de 622 d.C. durante el siglo 8, los árabes conocieron la matemática de los babilonios, los griegos y de los hindúes, y la tradujeron, elaboraron, y desarrollaron. Mohammed ben Musa de Khwarizmi, que fue llamado Al–Khwarizmi, escribió aproximadamente en 825 la obra "Al-jabr w'al muqabalah". Karpinski se basa en una traducción latina de Robert of Chester (1145). El título se puede traducir como "completar y reducir", que son operaciones muy importantes en la solución de ecuaciones. Nuestra palabra algoritmo también viene de AlKhwarizmi. Su libro de cálculo empieza con "Dixit algoritmi..." en latín. Sobre el motivo de su trabajo dice AlKhwarizmi:
Secciones cónicas del álgebra de Omar Khayyam (1079)
Aunque la ciencia de los árabes en su punto de partida puso mucha importancia en lo práctico, pero especialmente Abu Kamil también pone importancia en partes teóricas. Prueba varias identidades algebraicas "nuevas" como:
a a 2 a b a2 b 2 ; ; a b a b 2 ab b ab b a ab bajo fuerte influencia de la teoría de inconmensurables de Euclides (Libro X de sus 'Elementos').
39
Compendio de Ciencias II-10D
Álgebra
PRODUCTOS NOTABLES II
Diferencia de cuadrados 2
(a+b)(a – b) = a – b
Identidad de Steven
2
2
(x+a)(x + b) = x +(a+b)x+ab
Suma y diferencia de cubos
Igualdades condicionales
2
2
3
3
2
2
3
3
• (a+b)(a – ab+b ) = a +b
Si a+b+c = 0
• (a – b)(a +ab+b ) = a – b
2
2
2
• a +b +c = –2(ab+bc+ac) 3
3
3
• a +b +c = 3abc Forma particular 2
3
• (a+1)(a – a+1) = a +1 2
3
• (a – 1)(a +a+1) = a – 1
Equivalencias adicionales • (a+b+c)( ab+bc+ac) =( a+b)(b+c)(a+c)+abc 3
3
3
2
2
2
• a +b +c – 3abc = (a+b+c)(a +b +c – ab – bc – ac)
I.
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Transponiendo las posiciones de cada región:
a
a b a b a 2 b 2
a
S1 2
b b
S1
S2
b
b
a
S1 + S2 = (a+b)(a – b) ... (II)
S2 2
2
Se cumple: S1 + S2 = a – b ... (I)
40
b
(I) = (II):
a b a b a 2 b 2
a–b
Compendio de Ciencias II-10D II.
Álgebra
IDENTIDAD DE STEVEN a)
Igualdades condicionales Si a + b + c = 0, se cumplen las siguientes relaciones:
( x a)( x b) x 2 (a b) x ab
3 2 b) (x a)(x b)(x c) x (a b c)x (ab ac bc)x abc
III.
a 2 b 2 c 2 2(ab bc ca)
•
(x + 3)(x + 5) =
•
(x – 5)(x + 2) =
•
(x + 7)(x – 3) =
•
(x + 2)(x + 3)(x – 1) =
Equivalencias adicionales
•
(x – 5)(x – 2)(x + 1) =
•
(a+b+c)(ab+bc+ca) = (a+b)(b+c)(c+a) + abc
•
(a+ b)(b+ c)(c+ a)= ab(a+ b)+bc(b+ c)+ ca(c+a)+2abc
•
(a – b)(b – c)(c – a) = ab(b – a) + bc(c–b)+ca(a – c)
•
a +b +c – 3abc = (a+b+c)(a +b +c – ab – bc – ac)
a 3 b 3 c 3 3abc
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
a b a ab b 2
2
a
3
b
3
3
3
3
2
2
2
Propiedades válidas para números reales
a b a 2 ab b 2 a 3 b 3
1.º Si A 2n B 2n C 2n 0; n
Forma particular
ABC0
2.º Si 2n A 2n B 2n C 0; n A B C 0
a 1 a 2 a 1 a 3 1
3.º Si
m
A m B m C (D n E n F n )
Siendo m n números pares
a 1 a 2 a 1 a 3 1
ABC0 DEF 0
1.
Si x + y + z = 0, reducir:
P
z 3 x 3 y 3 x 3 y3 z 3 xyz xyz
P
3 xyz 3 xyz
x y 3 y z 3 x z 3
P
xyz
A) 5 D) –3
B) –1 E) 4
C) –2
Rpta.: D
Resolución: Del dato:
2.
3
3
Si a – b = a – b, calcular:
x y z x y z 0 y z x x z y
a2 b 2 2 2ab
En P:
P
z 3 x 3 y 3
A) 1/2 D) 1/8
B) 1/3 E) 1
C) 1/4
xyz
41
Compendio de Ciencias II-10D
Álgebra Resolución:
Resolución: 2 a b3 a b
Del dato:
Aplicando Steven:
a b a 2 ab b 2 a b 2
x 2 x 7 2 x 2 x 2 x 2 x 12
M
2
a + ab + b = 1 2
2
Hacemos: x + x = a
2
a + b = 1 – ab En: E
1 ab 1 2 1 ab 2 Rpta.: A
3.
Sabiendo que x =
M
1.
M
a 7 2 a 2 a 12
M
a 2 14 a 49 a 2 14 a 24
M 25 5
x 2 x 7 2 x 1 x 2 x 3 x 4
A) 4
B) 5
D) 2
E) 1
a 2 14a 49 a 2 14a 24
3 2 , calcular:
Rpta.: B
C) 3
Calcular:
5.
Reducir:
x3 8
E 5 3 5 3 7 2 7 2
2
x 2x 4
x3 8 2
x 2x 4
Rpta.: 7 2.
Efectuar:
Rpta.: 2x 6.
F 7 3 7 3 11 2 11
Obtener el resultado de:
2
F
x 3 27 2
x 3x 9
x 3 27 2
x 3x 9
Rpta.: 11 3.
Rpta.: 2x
2
Si x + 5x = 6, calcular:
7.
3
3
2
E = (x+2)(x+3)(x+1)(x+4)
a b 1 b a ab
Rpta.: 120 4.
2
Si a – b = a + ab +b , calcular:
Rpta.: 2
2
Si x + 7x = –2, calcular: 8.
(x+5)(x+2)(x+4)(x+3) Rpta.: 80
3
3
2
2
Si a + b = a – ab + b , calcular:
a b 1 b a ab Rpta.: –2
42
Compendio de Ciencias II-10D 9.
Álgebra
Si a+b+c = 0 y abc = –2, calcular: 2
2
13. Calcular el valor de: 2
a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 T ab ac bc bc ac ab
(a+b)c + (b+ c)a + (a+c)b
Rpta.: 6 para a = 5 3 , b = 2 5 y c = 10. Si a + b + c = 0, reducir:
E
3 2. Rpta.: –6
a3 b3 c 3 3 abc
14. Reducir: Rpta.: 6
E
x y 3 y z 3 z x 3 x y y z z x
11. Si x + y + z = 0, reducir:
Rpta.: 3
2
F
2
x y y z x z
2
z 2 x 2 y2
15. Calcular el valor de E. Rpta.: 1
E
x 2 x 2 x 2 4 x 4 16 x 8 256 216
16
Rpta.: x
12. Si x + y + z = 0, calcular:
E
x 2 y2 z 2 xy xz yz
16. Obtener el resultado de: F
Rpta.: –2
64
x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16 1 x32 1 1 Rpta.: x
1.
Obtener el resultado de:
E 7 A) 1 D) 7 2.
A) 2x 2x D) 3
2 7 2 3 2 3 2 B) 3 E) 6
C) 2
4.
3
B) x/2 2
E) x 3
Si a + b = a+b, calcular:
a 2 b2 1 ab
2
Si x + 8x = 2, calcular: A) 1 D) 4
E = (x+2)(x+6)(x+1)(x+7) A) 120 D) 126
C) 3x
B) 64 E) 124
B) 2(a+b) E) ab
C) 3
C) 100 5.
Si a+b+c = 0 y abc = 4, calcular: 2
2
2
E = (a+b)c + (b+c)a + (a+c)b 3.
Reducir:
E
x 3 64 x 2 4 x 16
x 3 64
A) –4 D) –12
B) –6 E) –8
C) –5
x 2 4 x 16
43
Compendio de Ciencias II-10D
Álgebra 6.
Si m+m+p = 0, calcular:
F
9.
Si a+b+c = 0 y abc = 5, calcular: 4
m 2 n2 p 2
A) –3
B) –1/2
D) –1
E) –8
4
4
P = ab(a+b) + bc (b+c) + ac(a+c)
m n 2 m p 2 m p 2
C) –2
A) 75
B) 25
C) 125
D) 100
E) –25
10. Si x+y+z =0, reducir: 7.
Si a = 7 2 , b = 2 5 y c =
5 7,
A
x y 2 z 2 x z 2y 2 y z 2 x 2 x2 y2 z2
calcular:
a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 E ab bc ac bc ac ab
8.
A) –1/6
B) –6
D) 12
E) –12
16 2
x 3 x 3 x 2 9 x 4 81 x 8 38 316
B) 7
D) 10
E) 9
11. Si a =
P
Obtener el valor de: E
44
C) 6
A) 1/9
C) –9
2 , b = 2 2 y c = 3 2 , calcular:
a 2 b 2 c 2 ab bc ac 2 a b c 2 a 2 b2 c 2 A) 16
B) 12
D) 20
E) 24
2
2
C) 22
2
12. Si x z + y x + z y = 0, calcular:
A) x
B) x
x D) 2
x E) 3
C) 2x
K
x3 y3
y3 z3
A) 1
B) 2
D) 5
E) 7
z3 x3
; xyz 0 C) 3
•
Compendio de Ciencias II-10D Alumno(a) : ______________________________________________________________
•
Curso
:
____________________________________________ • Aula : __________
•
Profesor
:
______________________________________________________________
1.
Calcular:
6.
Reducir:
E 13 11 13 11 15 7 15 7
2.
A) 3
B) 4
D) 9
E) 10
E
C) 7
Álgebra
a b 3 b c 3 c a 3 a b b c c a
A) 3
B) 2
D) 1/2
E) 1/3
C) 1
2
Si x + 6x = 3, calcular:
7.
Indicar el valor de:
E = (x+1)(x+5)(x+2)(x+4) A) 16
B) 44
D) 88
E) 77
C) 100
E
32
x 5 x 5 x 4 5 4 x 8 58 x16 516 5 32 2
A) x
B) x
D) 2x 3.
a 2 ab b 2 B) a
D) ab
E) a/b 3
2
8.
2
Si x + 7x = 2, calcular:
a 2 ab b 2
2
A) 2a
3
a3 b3
E = (x+1)(x+4)(x+3)(x+6)+1
C) a
A) 117
B) 116
D) 112
E) 118
C) 114
2
Si a + b = a – ab+b , calcular:
9.
Si a+b+c = 0, calcular:
1 b a
5.
E) x
Efectuar:
a3 b3
4.
C) x/2
4
A) 2
B) a
D) b
E) ab
E C) 1
Si a+b+c = 0, calcular:
A) 2
B) –2
D) 1/2
E) 1/4
B) 3
D) 1
E) 5
C) –1/2
10. Si a+b+c = 6, calcular:
a3 b3 c 3 a2 b2 c 2 abc ab ab ab A) 4
a b c b c a a c b ab bc ac
C) 2
a 13 b 23 c 3 3 a 1b 2 c 3 A) 1/2
B) 1/3
D) 3
E) 2
C) 1
45
Compendio de Ciencias II-10D
Álgebra
DIVISIÓN POLINÓMICA
5
•
Calcula y obtiene el cociente y el residuo de una división algebraica.
•
Relaciona y diferencia el método de Horner y la regla de Ruffini según el grado del divisor.
Euclides (Siglo IV – III a.C.) Matemático griego, llamado por Ptolomeo, rey de Egipto, a la Biblioteca de Alejandría, donde había creado un gran centro cultural, su cometido consistía en reunir todos los conocimientos matemáticos existentes. Euclides realizó esta labor mediante una serie de grandes complicaciones, la más notable de las cuales se titula 'Elementos'. Se trata de 13 volúmenes de los cuales, los cuatro primero se refieren a la geometría plana; el V y VI, a las proporciones geométricas; los tres siguientes son aritméticos; el X trata de los números racionales; y los tres últimos de la geometría del espacio.
46
Compendio de Ciencias II-10D
Álgebra
DIVISIÓN POLINOMIAL
Algoritmo de Euclides D=d·q+R
Identidad fundamental de la división D(x) d(x) · q( x) +R(x)
División exacta
División inexacta
D(x) d(x) · q(x) ; R(x) 0
D(x) d(x) · q( x)+R(x) ; R(x) 0
q(x): cociente entero
q(x): cociente no entero
Propiedades • º|D(x)| º|d(x)| > º|R(x)| 0 • º|q(x)| = º|D(x)| – º|d(x)| 0 • º|R(x)| º|d(x)| – 1
Método de Horner Su utilidad es muy frecuente debido a que el diagrama establecido por Horner, facilita el proceso operativo.
Regla de Ruffini Es un caso particular del método de Horner y se aplica para divisores de primer grado. D(x) ax + b
ESQUEMA D
D I V I D E N D O
I
ESQUEMA ax+b = 0
V
Coef. dividendo
x=– b a
S O
Coef. cociente falso Residuo x b = 0
R COCIENTE
RESIDUO
Coef. cociente
47
Compendio de Ciencias II-10D
Álgebra
ANÁLISIS EUCLIDIANO
Ejemplos explicativos
Generalidades
1.
2
Dividir (x + 3x + 4) entre (x – 2). Efectuando por el método clásico:
La división como cuarta operación de las Matemáticas, se origina con la división entera de números naturales, que con la sucesiva aplicación de los sistemas numéricos, se extiende también para números enteros, racionales y reales. Todas estas sustentadas por el ALGORITMO DE EUCLIDES.
x 2 + 3x + 4 x – 2 –x 2 + 2x
x+5
5x + 4 –5x + 10
D d q R
14
Mediante el cual se establece el esquema, el procedimiento y la exposición de las propiedades inherentes de esta operación. En el álgebra elemental, la visión euclidiana de esta operación se caracteriza por el proceso finito de las transformaciones sucesivas en la búsqueda del cociente y la obtención del residuo (si es que lo tuviera), como condiciones necesarias y suficientes para terminar de dividir.
Dados dos polinomios D(x) y d(x) de grados m y n respectivamente (m n) llamados dividendo y divisor; dividir D(x) entre d(x) consiste en hallar otros dos polinomios q(x) y R(x) denominados cociente y residuo, donde el grado de R(x) es menor que el grado del emisor o R(x) = 0, si es que la operación fuera exacta, de tal manera que estas expresiones verifiquen la identidad fundamental de la división entera, establecida por Euclides.
residuo
Según la identidad, podemos expresarlo así:
x 2 3 x 4 ( x 2)( x 5) 14 D
2.
d
3
R
q
2
Dividir (x + 8) entre (x – 2x + 4). De igual manera, por el procedimiento tradicional: x3
+8
–x 3 + 2x 2 – 4x
El álgebra, como generalización de la aritmética, utiliza como elementos de la división a los polinomios, cuyas características nos permite establecer ciertos procedimientos prácticos como la de Guillermo Horner y reglas para casos triviales como el aporte significativo de Paolo Ruffini, así como la obtención directa del residuo, según la contribución de Renato Descartes. Definición
cociente
x 2 – 2x + 4 cociente
x+2
2
2x – 4x + 8 –2x 2 + 4x – 8 0
residuo
Expresándolo como la identidad, se tiene:
x 2 8 ( x 2 2 x 4)( x 2) D
q
d
Como se puede observar, el residuo es nulo. El ejemplo 1 nos representa a una división inexacta y el 2 a una división exacta. Por esto, dependiendo del residuo, las divisiones se clasifican de ese modo.
CLASES DE DIVISIÓN 1.
División exacta Si el residuo de la división, es un polinomio idénticamente nulo. Es decir R(x ) 0, luego se tendrá:
D(x ) d( x) q(x ) Identidad fundamental de la división entera Dados los polinomios dividendo D(x), divisor d(x), cociente q(x) y residuo R(x), establecidos por la definición, se cumple la identidad:
D(x) d(x ) q(x ) R( x) Conocido universalmente como el algoritmo de Euclides, desde el punto de vista algebraico.
Al cual se le denomina "algoritmo de la divisibilidad", cuyo equivalente racional, también se puede expresar así:
D( x) q( x) d( x ) Donde q(x) es el cociente entero que se genera de la división exacta de los polinomios D(x) y d(x). Del ejemplo 2 anterior; se tiene:
x3 8 2
x 2x 4 48
x2
Compendio de Ciencias II-10D 2.
División inexacta Si el residuo de la división no es polinomio idénticamente nulo, es decir R(x ) 0. Por esto, se tendrá
D(x ) d(x ) q( x) R(x ) ,
como d(x ) 0; su equivalente racional será:
D(x ) R( x) q( x) Q(x ) d( x) d( x ) donde Q(x) es cociente no entero de la operación. Del ejemplo 1 anterior, se tiene:
x2 3x 4 14 x5 x2 x2 La característica más importante de un polinomio es su grado y si queremos relacionar los elementos de una división entera, tendremos que establecer propie-
Álgebra Esto significa que el residuo, también puede ser de primer grado o de grado cero. 2.
Dato
ºD 2 ax 2 bx c 5 3 ºd 5 mx nx px p
como º D º d ; la división no se puede realizar y ésta se deja como aparece, considerándose como una fracción algebraica.
División de polinomios cualesquiera En este caso debemos tener en cuenta todos los principios de una división euclídea y que el proceso de la operación lo vamos a realizar con respecto a una variable tomada como referencia, al cual se le denomina ordenatriz de la división. Para dividir polinomios existen diversos métodos, cuyos procedimientos presentan reglas particulares que facilitan
dades entre los grados de los elementos de dicha ope-
la resolución a continuación algunos criterios para efectuar
ración. Para lo cual mencionaremos los fundamentos
una división.
básicos que definen a una división cualquiera. MÉTODO DE GUILLERMO HORNER PROPIEDADES DE GRADO EN UNA DIVISIÓN Establezcamos la siguiente simbología convencional:
ºD
:
grado del dividendo
ºd
:
grado del divisor
ºq
:
grado del cociente entero
ºR
:
grado del residuo
Es el criterio equivalente del método de los coeficientes separados, y por ello, este procedimiento requiere las mismas condiciones. Su utilidad es muy frecuente, debido a que el diagrama establecido por Horner, facilita el proceso operativo. A continuación expongamos en síntesis la metodología general. Dividir:
a0 x m a1 x m 1 a2 x m 2 a3 x m 3 ... am
Con respecto a una variable definamos los siguientes principios de una división euclídea: 1. º D(x ) º d(x ) º R( x) 0
b0 x n b1x n1 b2 x n 2 b3 x n3 ... bn donde m n y los coeficientes principales:
a0 0 y b0 0
2. º q( x) º D( x) º d(x ) 3. º R(x ) º d(x ) 1 De esta última relación de orden, se deduce que:
máxº R(x ) º d( x) 1 Ejemplos explicativos 1.
Procedimientos para dividir 1.º Los polinomios dividendo y divisor deben estar ordenados en forma decreciente con respecto a una variable (ordenatriz) y completados con ceros si es que faltase algún término. 2.º
En el diagrama de Horner se disponen los coeficientes del dividendo en forma horizontal, y los del divisor de manera vertical. Con respecto a estos últimos, el primer coeficiente con su propio signo y los demás con signo cambiado.
3.º
La línea divisora del diagrama que separa los coeficientes del cociente de los del residuo, se traza to-
Dado:
x10 ax 7 bx 4 cx 2 d
º D 10
x 3 mx 2 n
ºd 3
Se puede deducir que: •
El grado del cociente º q 10 3 7.
•
El máximo grado del residuo es uno menos que la del divisor, es decir máx º R 3 1 2.
mando en cuenta el grado del divisor. Es decir:
# columnas R(x)= º d(x ) n
49
Compendio de Ciencias II-10D
Álgebra 4.
Se realiza el siguiente esquema de coeficientes: D
REGLA DE PAOLO RUFFINI Es un caso particular del método de Horner; y se utiliza
D I V I D E N D O
I
para dividir un polinomio de cualquier grado entre un divi-
V
sor de primer grado o transformable a él, tal como:
I
a0 x n a1x n1 a2 x n 2 ... an1 x an ax b
S O
y se realiza el siguiente esquema:
R COCIENTE
RESIDUO
ax + b = 0
COEF. D I V I D E N D O
x=– b a
Ejemplos aplicativos
a
1. Dividir:
De acuerdo al valor del coeficiente principal a del divisor, se estudian dos casos:
Del esquema de Horner, se tiene: 2 10 17 –3 5
–18
–15
13 5 –6
5
1
1.
14 –19
•
25 –3
2
6
RESIDUO
COEF. COCIENTE
10 x 5 17 x 4 18 x 3 13 x 2 14 x 19 2x2 3x 5
COEF. COCIENTE FALSO
er
caso: Divisor de la forma x + b Si el coeficiente a = 1, el procedimiento simplificado
10
de Ruffini generará directamente el cociente y el resi-
–18
30
6
11
duo de la operación. Veamos: Dada la división:
Cociente
Se obtiene:
Residuo
3
a0 x n a1 x n1 a2 x n 2 a3 x n 3 ... an xb
2
q(x) = 5x + x + 2x + 6 R(x) = 6x + 11
Regla: x b 0 x b Ejemplos aplicativos
7 6 5 3 2 2. Dividir 6 x 4 x 3 x 9 x 8 x 5 . 3 2 3 x 2x 1
1. Dividir:
Del mismo modo, tendremos: 3
6
–2
4 –4 0
0 1
3
3x5 7x 4 4 x 2 5 x 6 x2
0
0
–19
0 2 0 0 3 –2 0
0 0 0 9
1
–6 0
3
1
3
2 0
8
Regla: x 2 0 x 2
0 0
3 2
–7
0
4
5
–6
6 –2 –4
0
10
5
4
3 –1 –2 2
0
0
0
Los elementos de la división obtenidos son: Cuyos resultados se muestran: 4
2
Cociente: q(x) = 2x + x + 3 2
Residuo: R(x) = 3x + 8
50
Cociente: q(x) 3 x 4 x 3 2 x 2 5 Residuo: R( x ) 4
Compendio de Ciencias II-10D
Álgebra
2. Dividir:
2. Dividir:
x 5 2bx 4 b(a 2b)x 3 (a 3 b 3 )x 2 ax ab xab Regla: x a b 0 x a b 1 a–b
2b
ab+2b 2
2 2
2
a–b
a –b
1 a+b
a +ab+b
2
12 x 6 19 x 5 13 x 4 12 x 3 15 x 16 3x 4 Regla: 3 x 4 0 x
3
a +b
3
a
ab
a –b
0
2
a –ab
0
a
a
3
3
12 4 3
19 –16
2
13
4 3
12
0 15
–4 –12
0
16
0
–20 –4
12
3
9
0
0 15
4
1
3
0
0
2 Resultados obtenidos: 4
3
2
2
2
Cociente: q(x)=x +(a+b)x +(a +ab+b )x +a
Resultan: 5
2
5
4
3
Cociente: Q(x) = 4x + x + 3x + 5
Residuo: R(x) = a
Residuo: R(x) = –4 o
2. caso Ejercicios •
Divisor de la forma ax + b
Dividir:
Si el coeficiente a 1, se tendrá:
8 x 18 2 x15 4 x 9 5 x 6 9 x 3 2
a0 x n a1 x n1 a2 x n 2 a3 x n 3 ... an ax b Regla: ax b 0 x
b a
4 x3 1 Como 18; 15; 9; 6 y 3 son múltiplos de tres, se tiene:
8( x 3 )6 2( x 3 )5 4(x 3 )3 5( x 3 )2 9(x 3 ) 2 4x3 1
Ejemplos aplicativos
3
Sustituyendo x = y: 5 4 1. Dividir 6 x 5 x 7 x 4 . 2x 1
Regla: 2 x 1 0 x
6
6 5 3 2 Resulta 8 y 2y 4 y 5 y 9y 2 4y 1
1 2
Regla: 4 y 1 0 y
5
0
0
–7
4
3
4
2
1
–3
6
8
4
2
–6
1
3
4
2
1
–3
1 2
1 4
8 –2
0
4
–5
9
–2
2
0
0
1
–1
2
0
0
4
–4
8
0
4 3 8
2
Se obtiene los elementos de la operación:
El cociente verdadero será:
q(y)
q '(y) 2y 5 y 2 y 2 4
q(x ) 3 x 4 4 x 3 2 x 2 x 3
Es decir: q(x) 2 x15 x 6 x 3 2
R(x ) 1
Como es exacta R(x) = 0.
51
Compendio de Ciencias II-10D
Álgebra
1.
Siendo:
3.
Si la división:
x 4 2 x 5 3 x 3 ax 2 bx c 3
x 3x 2 una división exacta, hallar el valor de a + b + c. A) 68 D) 16
B) 72 E) 66
C) 74
es exacta, calcular la suma de los coeficientes de su cociente.
b
A) 0 D) 4 Resolución:
Resolución:
1 –2 –3 0
1
3
6
0 –21
–a
c
–4 0 14 54
2 –2
n3 x 5 7nx 3 (n2 6)x 2 n(n 1) nx 2
2
7 –18
0
0 –36 0
n3
0
–2n
4n
6
–2n
4
n n3 –2n
2
–3n
2
–2n
0
n
–2
0
–2n
–3
n
n2– n
Como es exacta n2 n 4 0
n 2 n 4
Coef. del cociente
a b c 72
Determinar m si el resto de la división:
n2 2n 3 n 2 2 n n5
Rpta.: B
Coef. del cociente = 4 5 9
2
5 x 8 x mx 2 x 7 x3
Coef. del cociente 9
es 5.
Rpta.: E
A) 17 B) 18 D) 21 E) 23 Resolución: Aplicando método de Ruffini: Igualamos: x 3 0
C) 19
x 3
Tener en cuenta que R = 5.
5 –3 5
8
–m
2
–7
–15
21
–6
12
–7
2
–4
5
Se completa a partir del residuo los respectivos círculos para luego obtener: –m + 21 = 2
m 19 Rpta.: C
52
0
n
c 36 0 c 36
3
n2– 6
2
b 14 0 b 14
4
–7n 2
2 n
a 50 0 a 50
2.
C) –4
2 Igualamos nx + 2 = 0 x . n
Si es exacta, el R 0.
B) 9 E) –9
Compendio de Ciencias II-10D
1.
Álgebra
Obtener el cociente de: 5
10. Calcular b – a si la división:
4
3
2
12 x x 2 x 13 x 5 x 3
1
24 x 4 41x 3 31x 2 ax b
2
3x x 3x 2
2
Rpta.: 4x –x–3
8 x2 5x – 4 es exacta. Rpta.: 46
2.
Indicar el residuo de:
3x5 5x 4 4 x 3 9 x 2 6 x 5
11. Al efectuar la división:
x 3 2x 2 x 1 2 Rpta.: x +4x+2 3.
Dar la suma de coeficientes del residuo.
m 1 x 4 m 2 x 3 m m3 x 2 3 x – m 1 se obtiene como residuo 30. Calcular el coeficiente principal del cociente.
6 x5 4 x 2 4 x 4 1 7 x
Rpta.: 5
x2 3x3 1 4 x Rpta.: 10 4.
Indicar la suma de coeficientes del cociente.
5 x 2 x 4 x 2x 5 2 x 2 x 2x 3 3
12. Encontrar la suma de coeficientes del cociente en la siguiente división:
ax 4 4 a a 2 x 3 3a 4 x 2 7 ax 7a 2 x – a 1 si el resto es 56.
Rpta.: 2 5.
Indicar el término independiente del cociente.
x 4 5 x 3 2 x 2 3 x 25 x2
13. Si la división es exacta:
A x 4 B x 3 10 x 2 2 x 4 Rpta.: 21
6.
Rpta.: 48
2x 2 5 x 2 calcular A+B. Rpta.: 13
Obtener el término independiente del cociente.
5 x 4 4 x 3 3x 2 5 x 7 x 1
14. Si la división es exacta:
A x 4 B x 3 2 x 2 7 x 12
Rpta.: 1
3x 2 x 4 7.
Dar el término lineal del cociente. 4
3
calcular A+B.
2
Rpta.: –5
2x 7 x 4 x x – 4 2x 3 Rpta.: –1 8.
15. Indicar la suma de coeficientes del cociente si el residuo de la siguiente división:
Obtener el término cuadrático del cociente. 4
3
21x 4 41x 3 23 x 2 mx 16 3x 5
2
3 x 2 x 2x 7 x 1 3x 1
es 4. Rpta.: –1
9.
La siguiente división:
Rpta.: 67 16. Calcular a si el residuo de la división:
2 x 4 7 x 3 16 x 2 A x B
x 3 ax 2 ax a 2 x a 2
2x 2 3 x 4 deja como resto 13x + 3. Calcular A+B.
es 5a+11. Rpta.: 45
Rpta.: 3
53
Compendio de Ciencias II-10D
Álgebra
1.
Luego de dividir:
8. 3
Si el residuo de la siguiente división:
2
x 5x 6x 7
4 x 4 2 x 3 2 x 2 ax – 5 2x 1
2
x 3x 2 indicar el cociente.
2.
es –4, calcular a.
A) x+5
B) x+1
D) x – 1
E) x+10
C) x+2
A) x – 2
5x 2 6x 2 B) x – 3
D) x – 1
E) x+8
D) 2
E) 1
C) –1
Al efectuar:
2 x 4 5 x 3 ax a x2 x 1 el residuo es –3. Calcular a.
3 x 5 2 x 4 3 x 2 7 x – 11 x2 B) 59 C) 70
D) 71
9.
C) x+1
Indicar el residuo en:
A) 56
4.
B) –2
Obtener el residuo luego de dividir:
5 x5 x 4 6 x 3 7 x 3
3.
A) –5
E) 79
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
10. En la división:
2 x 4 3 2 x 3 12 x 2 3 2 x 2 x 2
Luego de dividir:
10 x 6 19 x 5 12 x 4 17 x 3 8 x 2 6 x 15 2x 3 indicar la suma de coeficientes del cociente. A) 1
B) 0
D) 3
E) 4
C) 3
C) 2
calcular la suma de coeficientes del cociente. A) 3 2
B) 5 2
D) 2 2
E)
C) 6 2
2
11. En el esquema de Horner, calcular: 5.
Si la división:
E = (m+n+p) – (a+b+c) 4
3
2
Ax B x 5 x 7 x 4
1
x 2 2x 1 es exacta, calcular A+B.
6.
A) 9
B) 6
D) 8
E) 10
m C) 7
m
mx 3 mx 2 m2 m3 m x m x m 1 es 16, calcular m.
7.
B) 6
D) 3
E) 4
A) 5
B) 6
D) 7
E) 16
54
E) 14
d
–2 p
c
f g
h
4
–3
C) 4
ax 51 2bx 2b a x 1 sea 161 y el residuo valga 16.
x3 2x2 x 3 es exacta, calcular a+b+c. D) 15
9
b
12. Calcular el valor de a para que la suma de coeficientes del cociente de la división:
x 5 x 4 3 x 3 ax 2 bx c
B) 16
–1
C) 2
Si la división:
A) 18
a
e
2
Si el residuo de la división:
A) 8
3
C) 19
A) 4
B) 1
D) 3
E) 5
C) 2
•
Compendio de Ciencias II-10D Alumno(a) : ______________________________________________________________
•
Curso
:
____________________________________________ • Aula : __________
•
Profesor
:
______________________________________________________________
1.
Indicar la suma de coeficientes del cociente.
6.
Luego de dividir:
6 x 4 25 x 3 18 x 2 24 x 4 2x 1
3x5 5x4 4 x3 5 x2 3x 4 x 3 x2 3x 2
2.
A) 10
B) 8
D) 4
E) 3
3.
indicar el residuo y el término independiente del cociente.
C) 5
A) 2 y 8 D) 0 y –4
Obtener el residuo de:
2x4 3x3 5x 2 x 2 x 1 A) 7
B) 1
D) 3
E) 5
7.
C) –2 y 8
Calcular m si la división es exacta.
6 x 3 3 x 2 mx 15 2x 3 A) –2 D) 1
B) –1 E) 2
C) 0
Hallar A + B si la división es exacta. 8.
Si al dividir:
x 2 3x 2 A) –4
B) 3
D) 20
E) 2
4 x 4 2x 3 6 x 2 A x B 2x 2 x 1
C) 4
el resto es 5x+2, calcular A – B.
Determinar el valor de k para que el coeficiente del término lineal del cociente de la división tenga un valor de 45.
A) 1 D) –1 9.
A) 9
B) 3
D) 6
E) 12
C) 4
B) 2 E) 3
C) –2
Si el residuo de la división:
mx 4 mx 3 m3 m2 x 2 mx m2 x m 1
2 x 5 6 x 3 kx 2 7 x3
5.
B) 0 y –8 E) 4 y –4
C) 2
x 4 3 x 3 2x 2 A x B
4.
Álgebra
es de la forma 3m – 6, calcular n. A) 5 D) 1/5
B) 5/2 E) 1/2
C) 2/5
Si la división:
A x 4 B x3 6 x 2 4 x 1
10. Si el resto de la división:
2 x5 5 x 4 5 x 3 A x 2 B x C
2x2 x 1
x3 3x 2 x 4
es exacta, calcular A+B. A) 5
B) 2
D) 7
E) 1
es 10, calcular A+B+C. C) –5
A) 5 D) 1
B) 3 E) –5
C) 2
55
Compendio de Ciencias II-10D
Álgebra
TEOREMA DEL RESTO Y RESTOS ESPECIALES
•
Calcula y obtiene el residuo o resto de una división algebraica.
•
Utiliza y aplica la suma y diferencia de cubos para poder obtener restos especiales.
Desarrollar los siguientes sudokus:
Sudoku #1
Sudoku #2
5
2
7
6 2
9 6
4 9 8 8 7
9 8 2
8
6 9
6 3 7 5 3
56
7 1 3 3 5
5 1 4
5
2 5
8
7
7 8 2
5 7
2
6
2
8 7 1 3 5
6 1
9 6
4
4 5
8
5 7
6
8 7
2 6 6 4
5 9 6 8 7 1 2
6
Compendio de Ciencias II-10D
Álgebra
TEOREMA DEL RESTO Y RESTOS ESPECIALES
Se aplica cuando el divisor tiene la forma d(x) = ax + b y en forma general tener en cuenta: º|R(x)| º|d(x)| – 1
RESTOS ESPECIALES
TEOREMA 1
TEOREMA 2
Si: D(x) d(x) · q(x) + R(x)
Si: D(x) d(x) · q( x) + R(x) D(x) S(x)
[D(x) · S(x)] [d(x) · S(x)]·q(x)+R(x)·S(x) R'(x) R(x)=
R'(x) ; S(x) 0 S(x)
d ( x) S( x)
· q(x)+
R(x) S(x) R'( x)
R(x) = R'(x) · S(x) ; S(x) 0
TEOREMA DE RENATO DESCARTES
Ejemplo explicativo
(Teorema del resto)
Calcular el residuo de dividir:
6 x5 9x 4 4 x 2 8 x 5 2x 3
El residuo P(x) entre (ax + b), se calcula al evaluar dicho polinomio P(x), cuando su variable x asume el valor de
b . a
De acuerdo al teorema, se trata de evaluar el polinomio:
Demostración:
Para x
5
Por la identidad fundamental de la división, se tiene:
2
2 , es decir: 3 5
P(x) (ax b) q(x) R( x) Evaluando la identidad para x
b : a
b b P 0 q R a a Finalmente:
4
P(x) = 6x + 9x + 4x + 8x + 5
b R P (l.q.q.d.) a
4
2
3 3 3 3 3 P 6 9 4 8 5 2 2 2 2 2 Esto nos conducirá a la obtención del residuo. Efectuando, resulta:
R
729 29 36 24 5 16 16 4 2
R 9 12 5 2
57
Compendio de Ciencias II-10D
Álgebra Generalización del teorema del resto Si el divisor de la operación es de grado arbitrario, se establece la siguiente regla general: Para determinar el residuo de una división cualquiera, primeramente, el divisor deberá igualarse a cero, y a partir de esta igualdad se despejará una relación conveniente, el cual se reemplazará directamente en el dividendo. El resultado de este reemplazo, nos representará el residuo de la división. Teniendo en cuenta que el máximo grado del residuo es uno menos que la del divisor.
º R( x) º d( x) 1
Recordando:
Ejemplo 1: Calcular el resto de dividir:
4x
121
7x
Regla: x + 1 = 0
84
5x 8x x 1
18
121
84
2
Reduciendo: R = 4a + 4 Como es exacta: 4a + 4 = 0
a 1
RESTOS ESPECIALES Teorema N.º 1 En toda división de polinomios, si al dividendo y al divisor se les multiplica por un polinomio de grado no nulo, el residuo quedará multiplicado por dicho polinomio; es decir, resultará alterado. Mientras que el cociente seguirá siendo el mismo. Veamos:
D( x) d( x) q(x) R( x)
6x 9
Multiplicando m.a.m. por S(x), tal que S(x ) 0 :
x) S( x) D(x ) S( x) d( x) S(x ) q(x) R(
33
+ 7(–1)
3
R = 64 – 48 + 4(a – 7) + 16
5
R'( x)
Reemplazando en el dividendo, se tiene: R = 4(–1)
5
R = 2(2) – 6(2) + (a – 7)(2) + 16
Por definición: 33
x = –1
El residuo se obtiene al evaluar el dividendo, para dicho valor, así:
– 5(–1)
18
+ 8(–1)
5
+ 6(–1) – 9
R = –4 + 7 + 5 + 8 – 6 – 9
De la identidad, observamos que:
R( x) resto verdadero R'( x) resto falso o aparente
Por lo tanto, el resto es R = 1. Se deduce que:
R( x)
Ejemplo 2: Ejemplo explicativo:
Determinar el resto de la división:
16 x 7 24 x 5 10 x 6 7 x 3 22 x 4 9 2
Regla: x – 2 = 0
P
5 x 74 6 x 31 4
2
x2 x 1
x =2 2
2 2
2 3
2
2 2
P = 16(x ) x – 24(x ) x + 10(x ) – 7(x )x – 22(x ) + 9 R = 128x – 96x + 80 – 14x – 88 + 9 Finalmente R = 18x + 1.
Para qué valor de a, la siguiente división:
2 x 5 6 x 3 (a 7)x 2 16 x2
2
Aplicar el teorema del resto con el divisor (x – x + 1), es muy complicado. Busquemos un artificio que nos permita trabajar con un divisor más simple. 2
3
Como: (x – x + 1)(x +1) = x + 1 Multipliquemos al dividendo y al divisor por (x + 1), así:
Efectuando, resulta:
5 x 75 5 x 32 6 x 31 4 x 4 P x3 1 Tener en cuenta que esta es una nueva división, cuyo residuo es R'. Por el teorema del resto, se tiene:
es exacta.
58
Resolución:
5 x 74 6 x 31 4 x 1 x 1 x2 x 1
Ejemplo 3:
Regla: x – 2 = 0
Determine el residuo de dividir:
x2 2
En el dividendo debemos buscar todos los x posibles, para lo cual, cada uno de los términos se tienen que descomponer convenientemente, tal como sigue: 2 3
R'(x ) ; S( x) 0 S(x )
x2
x 3 1 0 x 3 1
Compendio de Ciencias II-10D
Álgebra
3
En P, busquemos todos los x posibles, así: 3 25
3 24 2
3 10 2
3 10
P = 5(x ) + 5(x ) x + 6(x ) x + 6(x ) x – 4x – 4
Ejemplo explicativo: Determinar el residuo de dividir:
(x 3 8)( x 2 4)
3
Sustituyendo x por (–1), resulta el resto falso o aparente: 2
x2 x 2
2
R' = –5 + 5x + 6x + 6x – 4x – 4
Resolución:
2
Reduciendo: R' = 11x + 2x – 9 Nos interesa el resto verdadero. Por el teorema 1, se tiene:
R
Descomponiendo el dividendo por los productos notables: 3
R' 11x 2 2 x 9 (11x 9)( x 1) x 1 x 1 x 1
2
x + 8 = (x + 2)(x – 2x + 4) 4
x – 4 = (x +2)(x – 2)
Por lo tanto: R = 11x – 9 y factorizando el divisor, la división propuesta queda así: Teorema N.º 2 En toda división de polinomios, si al dividendo y al divisor se les divide entre un polinomio de grado no nulo, el residuo quedará dividido entre dicho polinomio; es decir, resultará alterado. Mientras que el cociente seguirá siendo el mismo. Veamos:
( x 2)2 (x 2 2 x 4)( x 2) ( x 1)(x 2)
Es evidente que al dividendo y al divisor debemos dividirlo entre (x – 2). La nueva división cuyo residuo es R', será:
( x 2)2 ( x 2 2 x 4) x 1
Por definición: D( x) d( x) q(x ) R( x) Dividiendo m.a.m. por S(x), siendo S( x) 0:
Por el teorema del resto:
D(x ) d(x ) R(x ) S( x) S(x ) q(x) S(x ) R'( x)
x +1 = 0
R = R' (x – 2) = 7(x – 2)
R(x) resto verdadero Por lo tanto:
R'(x) resto falso o aparente
1.
R = 7x – 14
R(x ) R( x)' S( x); S( x) 0
Calcular el resto de:
Utilizando la equivalencia tenemos:
x 3 x 5 x 1 x 3 2
1 1 15 3 2 14 2 2 28 2 30
2
x 2x 1 A) 10 D) 30
x = –1
Por el teorema 2, el resto verdadero será:
De la cantidad, observamos que:
Se deduce que:
B) 50 E) 40
C) 20
Rpta.: D
Resolución: Utilizando el teorema del resto: 2
Se iguala la expresión: x – 2x – 1 = 0
2.
Indicar el residuo de:
2
x 3 3 x 2 5 1 x 3 x 2
Se obtiene la expresión: x – 2x = 1 Transformando el numerador:
x x x 3 5 x 1 3 2 2 2 x 2 x 15 x 2x 3 2
A) 2x+1
B) 2x – 4
D) 2x+4
E) 2x+6
C) x+3
59
Compendio de Ciencias II-10D
Álgebra Resolución: Aplicando el algoritmo de Euclides:
D( x) = d( x)q( x) + R( x) ax b 1.er grado
D(x) x 3 3 x 2 5 1 3 5 d( x) x 3 x 2 x 3 x 2 1 x 3 x 2 q( x) ax b q( x) q(x ) R(x) ax b 3
5
x = 3 0 + 1 + 1 = (0)(1)q(x) + 3a + b 2 = 3a+b ..... (I) 3
5
x = 2 (–1) + 0 + 1 = (–1)(0)q(x) + 2a+b 0 = 2a + b .... (II)
3a b 2 2a b 0 a = 2 b = –4
R(x) = ax+b = 2x – 4 Rpta.: B
3.
Calcular el residuo de:
Calculando el resto aparente:
x13 x 7 2
2
2
R' x = x + x + 2x + x + x +2
2
x x 1 A) 2x+2 D) 2x+7
B) 2x+1 E) x+5
C) x+3
2
R' x = 2x + 4x +2 Factorizando por aspa simple:
Resolución:
2
R' x = 2x + 4x + 2 = (2x +2)( x +1)
Multiplicando por (x+1):
x 1 x13 x 7 2 x 1 x x 1 2
x14 x 8 2 x x13 x 7 2 3
x 1
Igualando el divisor a cero:
2x
2
1x
1
Resto real =
3
3
x + 1 = 0 x = –1
Resto aparente Expresión multiplicada
Transformando el dividendo: 3 4
2
3 2
2
3
3 2
(x ) · x + (x ) · x + 2x +(x ) · x + (x ) · x + 2 3
Resto real =
2 x 2 x 1 x 1
= 2x+2
Reemplazando el valor de x en: 4 2
2 2
4
2
(–1) x + (–1) x + 2x + (–1) x + (–1) x + 2
60
Rpta.: A
Compendio de Ciencias II-10D
1.
Álgebra
Calcular el residuo de:
9. 8
Hallar el residuo en:
x 6 9 x 5 7 19 x 6 x 5
x 3 7 x 2 x 7 x 2 x2
Rpta.: 2x+8
Rpta.: 0 2.
10. Calcular el residuo de:
Obtener el residuo de:
x 2 5 x 14 6 x 2 x 1
x 3 6 x 2 3 x 12 2 x4
Rpta.: 2x+3
Rpta.: 20 3.
11. Si al dividir un polinomio entre (x – 1) y (x+2) el resto es 3 y 9 respectivamente, calcular el resto que se obtendría al dividirlo entre (x – 1)(x+2).
Calcular el resto de:
x 2 x 4 x 5 x 3 17 x 2 7x 1
Rpta.: –2x+5
Rpta.: 82 4.
12. Si al dividir un polinomio entre (x+3) se obtiene como resto –2 y cuando se divide entre (x – 4) el resto es 5.
Indicar el residuo de:
x 3 x 4 x 2 x 5 1
Calcular el resto que se obtendrá al dividir P(x) entre (x+3)(x – 4).
x 2 7x 8 Rpta.: 9 5.
Calcular el resto de:
Rpta.: x+1 13. Obtener el residuo de:
x13 3 x 7 2 x 6 x 5 4 x 2 3
x 20 x10 2
x3 2
x2 x 1
2
Rpta.: 6x +28x+11 6.
Dar el residuo de:
Rpta.: 1 14. Indicar el resto de:
5
4
3
2
x 2x 3 x x 1
x15 x 9 1
x3 3
x2 x 1
2
Rpta.: 4x +6x+10 7.
Calcular a si el residuo de la división es –6. 5
4
5 x 5ax 7 x 1 xa
Calcular a si el residuo de la división es 9. 4
3
15. Dar el valor del residuo de:
x12 x 7 1 Rpta.: 1
8.
Rpta.: –1
x2 x 1 Rpta.: x+2 16. Calcular el residuo de:
2
2 x 3 x x ax 1 x 1
x10 x 6 1 Rpta.: 4
x2 x 1 Rpta.: x+2
61
Compendio de Ciencias II-10D
Álgebra
1.
Obtener el residuo de:
A) x+1
x 15 x 3 4 x 6 x2 A) 12 D) 10 2.
B) 8 E) 11
B) 1
2
D) x – x+1 8.
C) 9
E) x +x+1
Obtener el resto de:
x11 x 7 3 x2 x 1
Indicar el resto:
x 2 x 3 x 4 x 1 2 x 2 5x 1 A) 32 D) 39
C) x – 1
2
B) 37 E) 35
C) 31
9.
A) 2
B) 1
C) 2x – 2
D) x – 1
E) x+1
Hallar el resto de:
x13 3 x7 2 x 6 x 5 4 x 2 3 3.
Calcular el resto:
x14 2 x10 x 5 2 x 4 x 3
A) 24x+11
B) 35x – 9
x3 1
C) 12x+10
D) 30x+5
2
A) 2x +5x – 1 2
D) 2x +5x+3 4.
x2 2
2
B) x +3x+2
2
C) 2x +x+3
E) 36x – 11
2
E) x +5x+3
Obtener el valor de a si el residuo es 124. 2 x 5 3 x 4 ax 2 x2
10. Al dividir un polinomio P(x) de tercer grado separadamente entre (x–1); (x–2); (x+2) y (x+1), se obtiene como residuo: 6; 24; –12 y 0 respectivamente. Indicar el polinomio 3
2
3
2
3
2
A) 4x +5x – x – 2 A) 7 D) 4 5.
B) 2 E) 5
C) 3
C) 4x +2x +x – 3
2
3
2
D) 4x +3x +3x+1
E) 4x +5x +x – 2
Obtener el residuo de:
x 2 15 x 3 16 5 x 3 x 2 x 3 A) 5x+4 D) 5x+2
3
B) 3x +5x +x+2
B) 5x+3 E) 5x
11. Calcular el valor de
m si al efectuar: p
x 551 x113 mx7 p
C) 5x+1
x3 x 2 x 1 2
6.
Sea P(x) un polinomio tal que al dividirlo entre x – 1 se obtiene como resto 4 y al dividirlo entre x – 3 se obtuvo como resto 6. Indicar el resto al dividirlo entre (x – 1)(x – 3). A) x D) x+2
B) x+1 E) x+3
C) x+5
se obtiene como residuo el polinomio 6x – 7x+1. A) 4
B) 3
D) 1
E) 5
12. Si el resto de
x100 2 7.
Indicar el residuo de:
2
x x 1
62
x2 x 1
es ax – b y el resto de
es cx+d, calcular
a bc d .
A) 2
B) 3
C) 4
D) 9
E) 5
x2 x 1
x14 x 5 4
x 72 x 1
C) 2
•
Compendio de Ciencias II-10D Alumno(a) : ______________________________________________________________
•
Curso
:
____________________________________________ • Aula : __________
•
Profesor
:
______________________________________________________________
1.
Indicar el residuo de:
6.
Obtener el resto de:
x 1 4 x 2 3 x 3 2 x 1
x 3 20 x 2 17 2 x 3 x 2
x3
2.
A) 14
B) 11
D) 12
E) 14
C) 15
Obtener el residuo de:
7.
x 1 x 5 x 4 x 2 2 x 2 6x 4
3.
A) 6
B) 1
D) 4
E) 3
C) 2
Dar el residuo de:
8.
A) 2
B) 3
D) 7
E) 8
4.
B) 36
D) 31
E) 32
A) 2x+3
B) x+1
D) 3x+2
E) x+5
Indicar el resto de:
x2 x 1
C) 38
5
9.
A) x+1
B) 3x
D) 2x
E) 2x+1
Calcular el valor del residuo.
x13 x 7 1
x3 1 A) –5x +4x D) –5x+4
5.
2
B) 5x – 4x
C) 3x – x
E) –3x +2
Calcular a si el residuo de la división es 119. 3
x2 x 1
2
2
5
A) 2x
B) 2x+1
D) 3x–2
E) x
B) 3
D) 5
E) 6
C) 2x–1
10. Indicar el resto de:
2
3 x 2 x – x ax 1 x2 A) 2
C) x
3
3x 5x 2x x 2 2
C) 2x+1
x 8 x7 1
Calcular el valor del residuo de: 7
C) 5
Al dividir el polinomio P(x) entre los binomios (x– 4) y (x – 2) se obtiene como residuo 9 y 5 respectivamente. Calcular el residuo de dividir P(x) entre (x–4) (x–2).
2x4 3x2 4 x 2 x2 A) 35
Álgebra
x6 x5 1 x2 x 1
C) 4 A) –x – 5
B) – x – 1
D) –x + 7
E) –x – 4
C) –x + 3
63
Compendio de Ciencias II-10D
Álgebra
CLAVES
AUTOEVALUACIÓN 1
2
3
4
5
6
E
D
A
A
D
D
7
8
9
10
11
12
B
B
A
E
C
C
CLAVES
AUTOEVALUACIÓN 1
2
3
4
5
6
C
D
E
B
D
E
7
8
9
10
11
12
C
E
B
C
B
D
CLAVES
AUTOEVALUACIÓN
64
1
2
3
4
5
6
D
B
D
E
A
E
7
8
9
10
11
12
B
A
B
A
D
A
