Segitiga Pascal dan Kombinasi Sebetulnya,
dapat ditemukan dari perkalian secara langsung. Dengan mudah,
kita bisa mengekspansikan
,
, dan selanjutnya seperti di bawah karena
pangkatnya cukup kecil. = = =
=
=
=
Perhatikan pola dari suku-suku
. Pasti selalu dimulai dari suku
. (ni
sebetulnya merupakan merupakan perjanjian saja!. "alu, suku berikutnya, pangkat dari a akan berkurang #, namun namun pangkat dari dari b akan naik sebesar sebesar #. $adi, dapat dideskripsika dideskripsikan n sebagai berikut. =
.
%
.
%
.
% ... %
.
%
.
.
"alu, untuk menentukan koe&isien (c ( c! tiap suku kita dapat menggunakan segitiga Pascal. '''''''''''''''''''''## ''''''''''''''''''''' ''''''''''''''''''## '''''' '''''''''''''''''' ''''''## ''''''''''''' '''''''''''''== == koe&isien untuk '''''''''''''''## ''''' ''''''''''''''' ''''') ) '''''' ''''''## '''''''''' ''''''''''== == koe&isien untuk '''''''''''''## '''' ''''''''''''' ''''* * ''''' '''''* * '''''' ''''''## ''''''' '''''''== == koe&isien untuk '''''''''''## ''' ''''''''''' '''+ + ''''' ''''' '''''' ''''''+ + '''' ''''## ''''' '''''== == koe&isien untuk '''## ''' ''' ''' '''' ''''# # '''' ''''# # ''''' ''''' '''' ''''## ''' '''== == koe&isien untuk ''''''## '''' '''''' '''' ''' '''# # '''' '''') ) ''''' '''''# # '''' '''' ''' '''## ' == koe&isien untuk /amun, cara di atas hanya dipakai untuk pangkat yang kecil (sedikit!. Sulit untuk menjabarkan segitiga Pascal untuk baris yang sangat banyak (untuk pangkat yang besar!. $adi, kita kita gunakan kombinasi. kombinasi. 0ara untuk untuk mengekspansikan mengekspansikan dengan kombinasi inilah yang disebut teorema binomial. Hubungan kombinasi dengan teorema binomial Dalam aljabar, kita tahu bahwa = Penjabaran dari
. merupakan perkalian dari * &aktor.
= "alu, kita pilih bagian yang ingin kita kalikan dari ketiga &aktor itu. 1isalnya, jika kita memilih
a
dari setiap &aktor dan mengalikannya, maka kita peroleh
memilih a dari &aktor pertama,
a
aaa.
$ika kita
dari &aktor kedua dan b dari &aktor ketiga kemudian
mengalikannya, maka kita peroleh aab, dan seterusnya. Sehingga semua kemungkinan pemilihan baik a maupun b dari masing-masing &aktor adalah aaa2 aab2 aba2 abb2 baa2 bab2 bba2 bbb $ika dikalikan menjadi3
2
2
2
2
2
2
2
$ika semua suku-suku diatas dijumlahkan, maka hasilnya adalah 4ilangan * yang merupakan koe&isien dari
muncul dari pemilihan a dari ) &aktor
dan b dari # &aktor sisanya. 5al ini bisa dilakukan dalam sama bisa dilakukan untuk memperoleh koe&isien
atau
cara. 0ara yang
yang dalam hal ini merupakan
pemilihan a dari &aktor dan b dari * &aktor lainnya yang dapat dilakukan dalam atau
cara, dan seterusnya.
1elalui hubungan kombinasi dengan teorema binomial, maka kita dapat merumuskan ulang rumus teorema binomial sebagai berikut3 =
atau
=
Kedua rumus di atas identik, hanya beda penulisan simbol C saja.
"atihan 1. Ekspansikan Jawab: Jika memakai cara rumit, bisa saja kita menghitung dengan cara mengalikan sebanyak 6 kali. Tapi, karena rumit, kita gunakan teorema binomial. =
.
!ngat bahwa
.
.
.
.
.
.
= . . . . . . + 6 + 15. + 20. + 15. + 6. """""" = #erhatikan si$at%s$at yang timbul dari penjabaran tersebut: 1. &anyaknya suku adalah 'n1( = 61 = ). *. Jumlah dari eksponen a dan b dalam setiap suku adalah n.
. +
*. Ekspansikan Jawab: Tidak berbeda jauh dengan soal sebelumnya. Jika memakai simbol =
.
"""""" = """""" = 10
, anggap a = , b = .
5.2.
.
+
10.4.
+ 40
. .
+ 80
+
+ 80
, dan n=5. .
10.8.
.
+
. .
5.16.
+
32
+ 32
+. Ekspansikan Jawab: oal di atas, tak jauh berbeda dengan soal nomor *... -==males bikin soal. Jika memakai simbol , anggap a = , b = , dan n=5. = """""" """"""
=
5.2.
=
10
+
10.4.
+
40
10.8.
+
5.16.
32
80
+
80
32
#erhatikan jawaban di atas. Ternyata menghasilkan suku%suku ganjil dan genap secara berseling. . &erapakah suku keenam dari ekspansi Jawab: uku keenamnya =
uku keenamnya = uku keenamnya = 3.7.6.
uku keenamnya =
/. &erapakah suku ke% dari ekspansi Jawab: uku ke%=
uku ke%= uku ke%=
uku ke%=
6. &erapakah suku ke%) dari ekspansi Jawab: 0arena pangkatnya /, maka jumlah sukunya hanya ada = /1 = 6. Jadi,
). &erapakah Jawab:
tidak memiliki suku ke%).
suku
yang
mengandung
dari
ekspansi
!ni hanya soal jebakan. #angkat terkecil hasil penjabaran adalah Jadi, ekspansi tidak memiliki suku yang mengandung .
.
. &erapakah koe2sien suku yang mengandung dari ekspansi Jawab: 0ombinasi yang mungkin untuk adalah: = dimana p+q = 10 Note: Di atas, koefsien tidak berpengaruh dalam pembentukan . Jadi dapat dihilangkan.. (i)... p + 3q = 14 dimana p+q = 10 ...(ii) 3ari * persamaan tersebut, gunakan eliminasi4substitusi biasa, sehingga didapat q = 2 dan p = 8 0arena 5=*, maka dari sini kita tahu bahwa suku yang dicari adalah suku ke'*1(=+. 0ita memilih 5 'bukan p( karena 5 merupakan eksponen b dari yang langsung menunjuk ke suku mana penjabaran itu didapat. uku ke%+= uku ke%+=
.4.
uku ke%+= 180 &erarti koe2sien suku yang mengandung 180. . &erapakah
Jawab: 'oal ini
koe2sien
hanya
suku
untuk
yang
mengandung
memperjelas
terbentuk dari kombinasi antara
dari ekspansi
soal
di
dalam
=
ekspansi
sebelumnya
saja(
dan .
= dimana p+q =14 = dimana p+q =14 'i(... p + 2q = 4 dimana p+q =14 ...'ii( etelah kedua persamaan disubstutusi4 di eliminasi, maka didapat
p = 8 dan q=6
5 menunjuk
'elemen kedua dalam
(.
5 = 6. &erarti, kita harus mencari suku ke%'61( = )
uku ke%) = uku ke%) =
uku ke%) = 17 Tentukan koe2sien dari dalam ekspansi . Jawab: 8sumsikan kejadian ini sebagai + akti9itas. #ertama memilih a dari * $aktor diantara 11 $aktor yang bisa dilakukan dalam cara. 0edua, memilih b dari + $aktor diantara $aktor yang bisa dilakukan dalam cara. 0etiga, memilih c dari 6 $aktor diantara 6 $aktor sisanya yang bisa dilakukan dalam cara. Jadi, jika semuanya dikalikan, maka koe2sien untuk didapat. 0oe2sien untuk 11 .
=
&erapakah koe2sien suku
= 4620
dari ekspansi
Jawab: eperti soal sebelumnya, namun di sini hanya ada 1 9ariabel, yaitu . 8rtinya, akan ada banyak kemungkinan yang timbul. ;ogika memecahkan soal ini mirip seperti soal nomor atau . #ertama, kita temukan terlebih dahulu kombinasi yang mungkin untuk membentuk . 0ombinasi yang mungkin untuk membentuk
:
= k . dimana 3i sini, nilai p dapat ditentukan paling akhir 'karena 1
(i)... 5q + 9r = 23 dimana ... (ii) 0arena nilai 5 dan r harus bulat positi$, kita dapat dengan mudah menyelesaikan persamaan 5q + 9r = 23 dengan menggunakan cara persamaan linear diophantine atau cara coba%coba. etelah dikerjakan dengan cara coba%coba, maka didapat hasilnya q = 1 dan r = 2. aka, p = 177%*%1 = 97. 5 x 1 + 9 x 2 = 23
aka,
suku
yg
mengandung
=
""""""""""""""""""""""" = """"""""""""""""""""""" = 49 Jadi, koe2siennya adalah 49. 1* Tentukan .
koe2sien
suku
yang
mengandung
dalam
ekspansi
Jawab: >ara mengerjakan soal ini sama seperti sebelumnya. #ertama, tentukan terlebih dahulu kombinasi yang mungkin untuk . = di mana p+q+r = 15 -p + q + 2r = 5 di mana p+q+r = 15 8da * persamaan yang diperoleh: 2r + q - p = 5 ... 'i( p+q+r = 15 ... 'ii( 0ita harus berusaha mendapatkan pasangan p,5,dan r yang memenuhi kedua kendala itu. &isa dengan menggunakan persamaan linear diophantine atau coba%coba. 3i sini, kita gunakan cara coba%coba. #ertama, ubah persamaan 'ii( menjadi p = 15-q-r lalu substitusikan ke persamaan 'i( 2r + q - (15-q-r) = 5 3r + 2q = 20 0arena nilai r dan 5 harus positi$, maka . ;alu, perhatikan bahwa 2q dan 20 adalah bilangan genap, maka 3r juga haruslah genap. Jadi, kita sekarang mendapatkan kemungkinan r, yaitu 7, *, , dan 6. Jika r = 0 ==? q = 10 ==? p=5 Jika r = 2 ==? q = 7 ==? p=6 Jika r = 4 ==? q = 4 ==? p=7 Jika r = 6 ==? q = 1 ==? p=8 Jadi, jumlah suku yang mengandung =
'3003 180180 450450 5014 ( Jadi, koe2siennya adalah 638647 ..
= 638647
=
1+ Tentukan nilai dari . Jawab: !ngat teorema binomial bahwa: = Jika kita mensubstitusikan a =1 dan b =1, maka hasilnya menjadi berikut: = = Jika kita mensubstitusikan n=*77, maka jawaban dari soal akan diperoleh. = 1 Jika . 8 = banyaknya suku dari ekspansi & = banyaknya suku dari ekspansi aka, berapakah selisih 8 dan &@ Jawab: &anyaknya suku dari ekspansi adalah . 3i rumus di atas, n adalah pangkat, sedangkan v adalah jumlah 9ariabel. == 3i sini, tidak akan dijelaskan penurunan rumusnya. memiliki 9 = dan n=6, maka 8=
= 84. memiliki 9=/ dan n=, maka
&=
= 70.
aka, 8 % & = 84 % 70 = 14. 8rtinya, memiliki
suku
lebih
banyak
daripada
