SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO.
EN 1876, Alberto Castigliano anuncio un teorema que permite encontrar cualq cualquie uierr compo compone nente nte de defe defexió xión n de una una estru estructu ctura ra a parti partirr de la energ energía ía de deor deormac mación ión de la misma misma!! Al aplica aplicarl rlo o a las las reacc reaccio iones nes redundantes de una estructura indeterminada, se obtiene un corolario que que se cono conoce ce tamb tambi" i"n n como como segu segund ndo o teor teorem ema a de Cast Castig igli lian ano! o! El teorema original dice# $%a componente de defexión del punto de aplicación de una acción sobre una estructura, en la dirección de dic&a acción, se puede obtener e'al e'alua uand ndo o la prim primer era a deri deri'a 'ada da par parcial cial de la ener energí gía a inte interrna de deormación de la estructura con respecto a la acción aplicada!( El teorema es aplicable tanto a uer)as como a momentos, obteni"ndose en el primer caso la componente de defexión en la dirección de la uer)a * en el segundo la rotación en el plano del momento! +ara demostrarlo se puede utili)ar la 'iga de la gura -!7, en la que se supone que existe una relación lineal entre cargas * defexiones! En la parte .a/ de la misma se considera que las uer)as + * 0 se &an aplicado gradual * simultneamente * la defectan seg2n la línea de tra)os! En 'irtud del supuesto de linealidad entre cargas * defexiones, el traba3o externo reali)ado, que es igual a la energía interna de deormación, esta dada por# W =
P ∆ p 2
+
Q ∆Q 2
4i se le a5ade al sistema una peque5a carga d+ con la misma dirección * sentido de la carga + original, se producir una defexión adicional seg2n se indica en la parte .b/ de la misma gura! A su 'e) resulta un traba3o adicional #
p d ∆¿
¿
dP ¿ dW = P ( d ∆ p ) +¿
* si se desprecia el producto de las dos dierenciales dic&o traba3o se reduce a # dW = P ( d ∆ p ) ++ Q ( d ∆ Q )
El mismo estado nal se podría &aber obtenido aplicando desde el principio .pdp/ * 0, gradual * simultneamente! Es e'idente que en tal caso se obtendría de una 'e) la posición defectada de la parte .b/ de la gura * en consecuencia el traba3o total externo estaría dada por #
(
W T =
P + dP 2
)
Q
( ∆ P +d ∆ p ) + 2 (∆Q + d ∆Q )
que al desperdiciar de nue'o el producto de dos dierenciales se con'ierte en # d∆ Q (¿¿ Q ) 2
P ∆ p P ( d ∆ p) dP Q ∆Q + +∆ P + +¿ W T = 2
pero
W =
2
2
2
dW =W T −W por consiguiente, de las ecuaciones
P ∆ p 2
+
d∆ Q (¿¿ Q )
Q ∆Q
*
2
2
P ∆ p P ( d ∆ p) dP Q ∆Q W T = + +∆ P + +¿ 2
se obtiene# d∆ Q (¿¿ Q ) 2
P ( d ∆ p ) dP + ∆ P +¿ dW = 2
2
2
2
2
espe3ando a&ora de la ecuación
dW = P ( d ∆ p ) ++ Q ( d ∆ Q ) #
d∆ Q (¿¿ Q )=dW − p (d ∆ p)
¿
9eempla)ando este 'alor resulta#
= p ( d ∆ p ) + ∆ p ( dP )+ dW − p ( d ∆ p )
2 dW
* despe3ando ∆ p =
dW dP
0ue era lo que se quería demostrar, pues el &ec&o de &aber mantenido a 0 constante, equi'ale matemticamente a deri'ar parcialmente con respecto a ! +or lo tanto, el teorema de Castigliano se puede expresar en general así# ∆ p =
∂W ∂P
4i el signo de la respuesta da negati'o quiere decir que la defexión es opuesta al sentido de la acción con respecto a la cual se tomo la deri'ada! 4i se quiere a'eriguar la defexión en un punto donde no &a* aplicada ninguna acción, o en una dirección distinta de la acción aplicada, sencillamente se aplica una acción imaginaria en el sitio * dirección deseados &asta encontrar la deri'ada parcial de la energía de deormación# luego la acción imaginaria se iguala a cero! :eneralmente se a&orra tiempo si la deri'ación se eect2a antes de integrar las expresiones que dan la energía de deormación como se ilustra a continuación! Estas expresiones deducidas aparecen en el cuadro -!1 para acilitar su utili)ación!
+or consiguiente, si se quiere a'eriguar una defexión lineal en una armadura, basta con aplicar# ∂ (∆ P )a= ∂P
∑
2
S L = 2 AE
L ∑ S ( ∂∂ SP ) AE
%as defexiones lineales por fexión estn dadas por# ∂ (∆ P )f = ∂P
∫
2
( )
M dx ∂ M dx = M ∂ P EI 2 EI
∫
El eecto de corte es# ∂ (∆ P )v = K ∂P
∫
2
( )
V dx ∂V dx = K V ∂ P AG 2 AG
∫
* el de torsión# ∂ (∆ P )t = ∂P
∫
2
( )
T dx ∂T dx = T ∂ P JG 2 JG
∫
4i se quiere a'eriguar rotaciones, en el lado i)quierdo de las expresiones anteriores se escribiría θ * las deri'adas parciales se tomarían con respecto a un momento aplicado en el punto de la rotación deseada! En todos los casos es mu* importante dar a las uer)as internas los signos apropiados! El ;eorema de Castigliano se puede aplicar a cualquier componente de reacción! 4i se tiene en cuenta que la defexión correspondiente es nula, es claro que en tal caso los lados derec&os de las ecuaciones anteriores debern dar cero! Esta obser'ación constitu*e el corolario del teorema * resulta mu* 2til para e'aluar las reacciones redundantes en estructuras estticamente indeterminadas! COROLARIO:
deri'ada parcial de la energía interna de deormación de una estructura cargada, con respecto aun componente de reacción, es igual a cero(! 4i se presta atención el signicado matemtico del enunciado anterior * se aplica a una estructura indeterminada, el corolario puede expresarse en una orma alterna# $En cualquier estructura indeterminada a cargas los 'alores de las redundantes deben ser tales que &agan mínima la energía total interna de deormación elstica que resulta de la aplicación del sistema de cargas dado(! Aplicando en esta orma da origen al ="todo del traba3o mínimo, que resulta mu* eecti'o para anali)ar estructuras articuladas indeterminadas * en la ormulación de las matrices de rigide) utili)adas en el anlisis matricial de estructuras! No puede, sin embargo, ser utili)ados para determinar esuer)os debidos a errores de abricación, cambios de temperatura o corrimientos de los apo*os!
