Operacion Operacion es Conjun Conjun tistas
SEMANA 3 1. UNIÓN O REUNIÓN ( ) La unión de dos conjuntos “A” y “B” es el conjunto formado por la agrupación de los elementos de “A” con todos los elementos de “B”. Notación: A È B Se define como: A B = {x /x A EJEMPLO ILUSTRATIVO: Si: A = { x/ x Î N Ù 4 < x < 9 } B = { x/ x Î N Ù 0 < x < 6}
x B}
y
U
A
Halle: A È B
.2
.6
RESOLUCIÓN:
.5
Primero determinamos los conjuntos por extensión: A = { 5; 6; 7; 8} B = { 1; 2; 3; 4; 5}
.7
.8
.1 .3 .4
B
Luego, la unión es la totalidad de elementos: A È B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, 8} PROPIEDADES: PROPIEDADES : Idempotencia: Idempotencia: A È A = A Asoc As oc iativ iat iv a: A È (B È C) = (A È B) È C
Elementos neutros: neutros: A È Æ = A A È AC = U Distributiva: Distributiva: A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)
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Conmutativa: Conmutativa: A È B = B È A
Operaciones Conjuntistas
2. INTERSECCIÓN ( ) La intersección de dos conjuntos “A” y “B” es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. Notación: A Ç B Se define como: A B = {x/ x A EJEMPLO ILUSTRATIVO: Si: A = {x/x Î N Ù 5 < x < 11} B = { x/x Î N Ù 8 < x < 14} Halle: A Ç B
x B}
y
RESOLUCIÓN: Primero determinamos los conjuntos por extensión: A = {6; 7; 8; 9; 10} B = {9; 10; 11; 12; 13} Luego, la intersección son los elementos comunes: A Ç B = {9; 10} U
A .6
.11 .9
.12
.10
.7 .8
.13
B
PROPIEDADES: Idempotencia: A Ç A = A Asoc iativ a: A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C
Elementos neutros: A Ç Æ = Æ A Ç AC = Æ Distributiva: A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
Conmutativa: A Ç B = B ÇA
3. DIFERENCIA ( – ) La diferencia de dos conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A”, pero no a “B”. Notación: A – B
EJEMPLO ILUSTRATIVO: Si: A = {x/x Î N Ù 12 < x <17} B = { x/x Î N Ù 15 < x <19}
Se define como : A – B = {x / x A
x B} A
y
.13
Halle: A – B
.14
.17 .16 .18
.15 B RESOLUCIÓN: Como siempre determinamos los conjuntos por extensión: A = {13; 14; 15; 16} B = {16; 17; 18} Luego, la diferencia está conformada por los elementos exclusivos del primer conjunto de la operación: A D B = {13; 14; 15}
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Operacion es Conjun tistas
4. DIFERENCIA SIMÉTRICA ( ) La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A” o “B” pero no a ambos. Notación: A
D B
Se define como: A B = {x / x (A – B) x (B – A) } ó A B = {x / x A x B x (A B)} EJEMPLO ILUSTRATIVO: Si: A = {x/x Î Z+ Ù 32 < x < 39} y B = { 2x/x Î Z+ Ù 16 < x <21} Halle: A D B
A .33
RESOLUCIÓN:
.35 .37
Estimado lector, primero determine los conjuntos por extensión:
.34
.40
.36 .38 B
A = {33; 34; 35; 36; 37; 38} B = {34; 36; 38; 40} Luego, la diferencia simétrica está conformada por los elementos de la unión que no pertenecen a los de la intersección: A – B = {33; 35; 37; 40}
5. COMPLEMENTO (’): El complemento de A, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal U, pero no a “A”. Notación: A’; A ; AC Se define como: A’ = {x/ x U x A} = U – A EJEMPLO ILUSTRATIVO: Si: A = {x/x Î Z Ù 32 < x < 36} U = {x/x Î Z Ù 30 < x < 38} Halle: AC
y
RESOLUCIÓN: Estimado lector, primero determinamos los conjuntos por extensión: U = {31;32; 33; 34; 35; 36; 37} A = {33; 34; 35} Luego, el complemento del conjunto A está formado por los elementos que no pertenecen al conjunto A: A’ = AC = {31;32; 36; 37}
A
.31 .32
15
U
.33
.34
.36
.35
.37
Operaciones Conjuntistas
DIAGRAMAS DE VENN – EULER: Practique el reconocimiento de zonas (en el gráfico que se adjunta) de acuerdo a los siguientes enunciados. Ejercici o 1:
Estudian
Trabajan
a
b
c d
U
Estudian ........................................................ Trabajan ......................................................... Estudian solamente ....................................... Trabajan solamente ....................................... Estudian y trabajan ........................................
Estudian o trabajan ........................................ No estudian .................................................... No trabajan ..................................................... No estudian ni trabajan ...................................
Ejercici o 2: DEPORTISTAS
Fútbol
Baloncesto b
a
c
e d
f g
Practican fútbol.............................................. Practican baloncesto..................................... Practican voley.............................................. Practican fútbol y baloncesto. ...................... Practican fútbol y voley. ................................ Practican voley y baloncesto. ....................... Fútbol y baloncesto exclusivamente. ............ Fútbol y voley exclusivamente. ..................... Voley y baloncesto exclusivamente. ............. Practican fútbol solamente. .......................... Practican voley solamente............................
h Voley
b
Practican baloncesto solamente. .................. Practican un deporte solamente. .................. Practican dos deportes solamente. .............. Por lo menos dos deportes. ......................... Practican los tres deportes. .......................... No practican fútbol......................................... No practican voley. ....................................... No practican baloncesto. .............................. Practican fútbol o baloncesto. ....................... Practican voley o fútbol. ................................ Practican voley o baloncesto..........................
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Operacion es Conjun tistas
GUÍA DE CLASE N° 3 1.
Dados los conjuntos: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} A = {1; 2; 3; 4; 5} B = {2; 3; 5; 6} Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. A) B) C) D) E)
2.
A’ = {6; 7; 8} B’ = {7; 8} A’ Ç B = {6; 7} B’ – A = {4; 7; 8} A’ Ç U = {6; 7; 8}
( ( ( ( (
) ) ) ) )
6.
En una población se sabe que: 46% toman leche, el 38% come huevos y los que sólo comen huevo o los que sólo toman leche son el 56%. ¿Cuál es el porcentaje de los que no toman leche ni comen huevo? A) 36% B) 38 C) 42 D) 28 E) 30
7.
De 205 integrantes de un club deportivo, 110 se inscribieron en fútbol y 70 en natación. Los que se inscribieron en fútbol y natación son la mitad de los que se inscribieron en otros deportes. ¿Cuántos se inscribieron sólo en natación? A) 25 B) 55 C) 45 D) 60 E) 28
8.
De 90 turistas que visitaron Cuzco o Iquitos se sabe que los que visitaron ambas ciudades son la mitad de los que visitaron sólo Cuzco y también son la tercera parte de los que visitaron sólo Iquitos. ¿Cuántos visitaron Cuzco? A) 36 B) 32 C) 45 D) 48 E) 42
9.
De 400 personas que leen por lo menos 2 ó 3 diarios, se observa que 155 leen El Comercio y El Expreso, 260 leen El Comercio y La República y 135 leen La República y El Expreso. ¿Cuántas personas leen los tres diarios? A) 48 B) 56 C) 62 D) 75 E) 81
Si: n(AÇBÇC) = n( A ) = n(B ) = n(C ) 3 4 5 n(AÇB)=n(BÇC)+2=n(AÇC)+1=7 n(AÈBÈC) = 47 Calcule: n[(BDC)-A] A) B) C) D) E)
30 32 33 34 35
3.
De un grupo de 80 alumnos, 40 estudian inglés, 32 francés y 14 otros idiomas. ¿Cuántos estudian inglés y francés? A) 10 B) 8 C) 9 D) 6 E) 4
4.
En una reunión hay 160 personas y en un momento dado se observa que la cuarta parte beben, la quinta parte fuman y la décima parte fuman y beben. ¿Cuántas personas no fuman ni beben? A) 104 B) 96 C) 84 D) 72 E) 62
5.
Mónica comió panetón o chocolate todas las mañanas del mes de diciembre. Si 19 mañanas comió panetón y 26 mañanas comió chocolate. ¿Cuántas mañanas comió sólo uno de los dos? A) 14 B) 17 C) 21 D) 12 E) 10
10. De un grupo de 70 estudiantes, se observa que 15 estudian sólo inglés; 30 estudian francés y 10 sólo francés; 26 estudian alemán y 8 sólo alemán. Además 7 estudian los tres idiomas y 11 estudian otros idiomas. ¿Cuántos estudian inglés? A) 26 B) 28 C) 30 D) 36 E) 41
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Operaciones Conjuntistas
GUÍA DOMICILIARIA N° 3 1. En el último campeonato nacional de atletismo participaron 98 deportistas, de los cuales 22 hombres venían de provincia y 24 mujeres eran limeñas. El número de hombres limeños excedía en 20 al número de mujeres provincianas. ¿Cuántos participantes fueron de provincia? A) 22 B) 38 C) 34 D) 28 E) 36
5. Se realizó una encuesta a un grupo de personas y se sabe que 52 de ellos trabajan, 63 son mujeres, de las cuales 12 estudian pero no trabajan. 6. De los varones, 32 trabajan o estudian y 21 no trabajan ni estudian. ¿Cuántas mujeres no estudian ni trabajan, si 36 varones no trabajan? A) B) C) D) E)
2. En un salón de clases de la UPSMP hay 65 alumnos, de los cuales 30 son hombres, 40 son mayores de edad y 12 señoritas no son mayores de edad. ¿Cuántos hombres no son mayores de edad? A) B) C) D) E)
7. Un Club deportivo tiene 48 jugadores de fútbol, 25 de básquet y 30 de béisbol. Si el total de jugadores es 68 y sólo 6 de ellos figuran en los tres deportes: ¿Cuántos figuran en exactamente en un deporte? ¿Cuántos figuran exactamente en dos deportes?
10 12 13 15 18
A) B) C) D) E)
3. En una escuela de 135 alumnos, 90 practican fútbol, 55 basketball y 75 natación, si 20 alumnos practican los 3 deportes y 10 no practican ninguno. ¿Cuántos practican un deporte y sólo uno? A) B) C) D) E)
39 y 23 39 y 22 22 y 23 22 y 22 21 y 23
8. De un grupo de turismo, 9 conocen Cuzco o Piura, pero no Arequipa. De estos 9 : 8 conocen Cuzco y 4 Piura. Además 25 han visitado Arequipa o Piura, de los cuales 7 conocen Cuzco pero no Piura y 2 han visitado Piura y Arequipa pero no Cuzco. Si 4 turistas conoces las tres ciudades. ¿A cuántos turistas se hizo referencia?
50 55 60 40 65
A) B) C) D) E)
4. A una conferencia internacional asistieron 430 personas. Luego de revisar las fichas de inscripción se supo que 195 eran americanos, 134 europeos y 165 abogados; de estos últimos 58 eran americanos y 62 europeos. ¿Cuántos no eran abogados ni europeos ni americanos? A) B) C) D) E)
16 20 24 32 38
27 29 31 33 30
8. De un grupo de 100 alumnos 49 no llevan el curso de Aritmética y 53 no llevan el curso de Álgebra. Si 27 no llevan los cursos mencionados. ¿Cuántos llevan sólo uno de los cursos?
156 136 128 175 193
A) B) C) D) E)
18
22 26 32 48 50
Operacion es Conjun tistas
9. Durante todas las noches del mes de Octubre. Mónica escucha música o lee un libro. Si escucha música 21 noches y lee un libro 15 noches. ¿Cuántas noches escucha música y lee un libro simultáneamente? A) B) C) D) E)
13. Se hizo una encuesta a 832 personas sobre preferencia respecto a 2 revistas “A” y “B”, obteniéndose: ab leen
5 6 4 3 10
a0b leen ba leen
20 40 80 10 50
· · ·
32 leían A pero no B. 45 leían B pero no C. 33 leían C pero no A.
¿Cuántas no leían ninguna de éstas 3 revistas, si 10 leían las 3 revistas? A) B) C) D) E)
120 240 360 600 720
20 25 30 35 40
15. En un salón de 100 personas, se tomaron 3 exámenes, uno de ciencias, otro de letras y un tercero de música. De los 100 alumnos, 40 aprobaron el de ciencias, 39 el de letras y 48 el de música. 10 aprobaron los tres exámenes, 21 no aprobaron examen alguno, 9 aprobaron el de ciencias y el de letras, pero no música. 19 no aprobaron los de ciencias ni el de letras pero si el de música. Determine cuántos alumnos aprobaron por lo menos 2 exámenes.
12. De un grupo de personas se observa que 29 trabajan y 56 son mujeres, de las cuales 12 estudian. De los varones, 32 trabajan o estudian y 21 no trabajan ni estudian. Si 36 varones no trabajan y 3 mujeres estudian y trabajan. ¿Cuántas mujeres no estudian ni trabajan? A) B) C) D) E)
las 2 revistas juntas.
14. De 150 personas se sabe que:
11. De 840 personas que desean adquirir dos artículos se observa que la cantidad de los que quieren el primer artículo es el séxtuplo de los que solamente quieren el segundo, y la cantidad de los que quieren comprar el primero y el segundo es el doble de los que solamente quieren el primero. ¿Cuántos desean comprar exclusivamente un sólo producto? A) B) C) D) E)
la revista B.
Si todos leen por lo menos una de las dos revistas. Halle “a + b” A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
10. En una encuesta de 150 estudiantes, se sabe que 60 son mujeres, 80 estudian Aritmética, 20 son mujeres que no estudian Aritmética. ¿Cuántos varones no estudian Aritmética? A) B) C) D) E)
la revista A.
21 28 30 35 40
A) B) C) D) E)
19
29 25 30 38 32
Operaciones Conjuntistas
16. Se realizó una encuesta a 120 personas sobre las preferencias de los diarios A; B y C. Los que prefieren A o B son 70; los que prefieren C son 57; 12 solo prefieren A y B; 10 solo A y C; 22 solo B y C. ¿Cuántos no prefieren ninguno de estos diarios, si los que prefieren los tres son 12? A) B) C) D) E)
19. En una reunión se observa que: 13 varones no son profesionales. 10 mujeres son profesionales. · El número de mujeres no · profesionales exceden en 7 al número de varones profesionales. Si en total son 25 profesionales. · ¿Cuántas mujeres no son profesionales? ·
39 40 21 37 27
A) B) C) D) E)
17. En un Departamento de Control de Calidad de un producto se consideran tres defectos A, B y C como los más importantes. Se analizaron 200 productos con el siguiente resultado: 65 productos poseen el defecto A. 63 productos poseen el defecto B. · 82 productos poseen el defecto C. · 40 productos poseen exactamente dos · defectos. 10 productos poseen exactamente tres · defectos. ¿Cuántos productos no poseen ningún defecto?
22 18 26 34 30
·
A) B) C) D) E)
20. A una fiesta asistieron “N” personas, en cierto momento se observa; que:
·
10 20 30 40 50
Halle “N”. A) B) C) D) E)
18. De un grupo de turistas que visitó Cuzco, Trujillo y Arequipa se tiene la siguiente información: Todos los que visitaron Arequipa también visitaron Cuzco, 16 visitaron Arequipa, 28 visitaron Trujillo pero no Cuzco; 72 visitaron Cuzco o Trujillo, 6 visitaron Cuzco y Trujillo pero no Arequipa. El número de turistas que visitó sólo Cuzco es el doble de los que visitó Arequipa y Trujillo. ¿Cuántos visitaron sólo Arequipa y Cuzco? A) B) C) D) E)
Doce mujeres no están bailando. El número de varones que están bailando es el triple del número de varones que no lo hacen; quien a su vez es excedido en 16 al número de mujeres que están bailando.
·
4 5 6 7 8
20
56 68 48 52 64
1–D 6–A 11 – C
2 – C 7–E 12 – D
3–A 8–D 13 – D
4–E 9–A 14 – C
5–A 10 – E 15 – D
16 – E
17 – E
18 – B
19 – A
20 – B
