UNIVERZITET U TUZLI
Mašinski fakultet Odsjek: Proizvodno mašinstvo Predmet : CAD/CAM sistemi Tuzla, 20.07.2013. godine
Seminarski rad FEM analiza
Student :
Huskanović Amer II – 344/09
Profesor :
Dr.sc.Samir Butković,doc
1. UVOD Metoda konačnih elemenata je, kao najrazvijeniji i skoro potpuno tačan,
najčešće primenjivan postupak za analizu struktura u mašinstvu. Upotreba ovog metoda omogućava gotovo tačan proračun svih bitnih veličina za funkcionalnost određene mašinske strukture. Teoretske osnove metoda konačnih elemenata su postavljene pedestih godina, ali u praktičnu prim jenu ulazi sa intenzivnijom primjenom računara. Nastao je iz potrebe za izračunavanjem napona i deformacija, a sa razvojem samog metoda povećavao se i broj veličina koje se mogu izračunati u okviru statičke, dinamičke, termičke, elektro magnetne analize... Što se tiče opravdanosti upotrebe MKE, ako se pođe od činjenice da je kod struktura složenih oblika skoro nemoguće na klasičan način izračunati željene veličine ili ih je nemoguće izračunati sa zadovoljavajućom tačnošću, opravdanost upotrebe MKE se ne dovodi u pitanje.
S obzirom na to da se metodom konačnih elemenata dobijaju gotovo tačne vrednosti veličina u strukturi, korist je višestruka. To se pr ije svega odnosi na pouzdanost sistema, ali i na smanjivanje dimenzija dijelova u sistemu što direktno uzrokuje smanjenje potrebnog prostora za ugradnju, manji utrošak materijala, skraćenje vremena ispitivanja prototipa, manju cijenu koštanja po jedinici p roizvoda. Iz neophodnosti upotrebe računara za analizu MKE je proistekao veliki broj programskih paketa za ovu namjenu od kojih mnogi zadovoljavaju skoro sve potrebe
u određenoj oblasti analize dok će neku specifične uslove zadovoljiti bar neki od njih. Bez obzira na njihov kvalitet mora se imati u vidu da je neophodno teoretski dobro poznavati sam MKE kao i oblast iz koje se analiza radi.
1. OSNOVE METODE KONAČNIH ELEMENATA 1.1.
Osnovni pojmovi
Metoda konačnih elemenata (MKE) spada u metode diskretne analize. Zasniva
se na fizičkoj diskretizaciji posmatranog domena. Posmatrani kontinuum sa beskonačnim brojem stepeni slobode se aproksimira diskretnim modelom međusobno povezanih konačnih elemenata sa konačnim brojem stepeni slobode. Suština aproksimacije kontinuma po MKE se sastoji u sledećem: - Posmatrani domen kontinuuma se dijeli na poddomene konačnih dimenzija koji se nazivaju konačnim elementima i zajedno čine mrežu konačnih elemenata ;
-
Konačni elementi su međusobno povezani u konačnom broju tačaka koje se nalaze na konturi elemenata i nazivaju se čvorovi ; Stanje promenljive polja u svakom konačnom elementu se opisuje pomoću
-
interpolacionih funkcija (ili funkcija oblika) ; Interpolacione funkcije su unaprijed zadate funkcije za jedan tip KE i
-
predstavljaju vezu između vrijednosti promenljive polja u bilo kojoj tački KE i vrednosti promenljive polja u čvorovima . Da bi se razumjele osnovne postavke analize MKE, nije potrebno detaljno poznavati
različite discipline teorijske i primijenjene mehanike, ali je neophodno razumjeti neke osnovne pojmove mehanike neprekidnih sredina. To su prije svega pojmovi napona i deformacije, kao i odnosi između ovih veličina, koji se nazivaju konstitutivn im
relacijama. Ovde su oni opisani u najkraćim crtama, dok se detalji mogu naći u literaturi.
1.2.
NAPON
Napon (eng. stress) predstavlja osnovni koncept mehanike kontinuuma i mjera je unutrašnjeg dejstva između materijalnih tačaka kontinuuma. Kada na čvrsto (deformabilno) tijelo ne deluju spoljašnje sile, ono se smatra nedeformisanim, što znači da su kohezione sile između d jelića kontinuuma u
ravnoteži. Kaže se da se tijelo tada nalazi u nenapregnutom stanju. Pod dejstvom spoljašnjih sila tijelo se deformiše sve dok se ne uspostavi ravnoteža između unutrašnjih i spoljašnjih sila. Stanje unutrašnjih sila, poslije početka dejstva spoljašnjih sila, opisuje se naponskim poljem. Slijedi definicija napona za čvrsto (deformabilno) telo.
Slika 1. Prikaz napona Neka na tijelo deluju spoljašnje sile 1 , . . . . Na element materijala površine , u okolini geometrijske tačke , okolni material djeluje posredstvom
površinskih sila. Ovaj elemenat se smatra vrlo malim u odnosu na dimenzije tijela , ali velikim u odnosu na mikrodužine : dimenzije kristala, zrna metala I ( ) sl. Srednji napon , na površini ∆ čija sa normalom n , iznosi : ( )
=
∆ ∆
gdje je ∆ ukupna površinska sila koja d jeluje na površinu ∆ , dok je napon u tački na površini čija je normala n : ( ) = lim
∆→ 0
∆ ∆
=
1.3.
Deformacija
Deformacija (eng. strain) je veličina koja predstavlja mjeru deformisanosti materijala. Ovde se razmatra tenzor male (infinitezimalne) deformacije koji je najjednostavniji za
definisanje, a osnova je za linearnu teoriju konačnih elemenata. Velike deformacije koriste se pri izučavanju problema gdje se materijal značajno deformiše, kao što su obrada plastičnim deformisanjem ili deformisanje elastomjera. Slijedi definicija komponenti tenzora malih deformacija.
Elastično tijelo se pod uticajem sila kreće i deformiše, te mijenja svoj položaj, oblik i zapreminu. Za bilo koju neprekidnu sredinu, posmatra se tačka A unutar djelića kontinuuma B , u kojoj se želi da definiše veličina koja se naziva mala deformacija. Po svojoj prirodi, razlikuju se dvije vrste deformacija: normalna
(linijska deformacija, dilatacija) i smičuća (ugaona, klizanje).
Slika 2.Prikaz deformacija Normalna deformacija u nekom pravcu je, po definiciji, jednaka odnosu priraštaja dužine pravog linijskog segmenta () i njegove početne dužine ( . 2). Ako je, prije deformacije, linijski segment bio u pravcu , onda je njegova linijska deformacija jednaka : =
( )
Skup svih normalnih deformacija u nekoj tački daje sliku o “skaliranju” tijela po različitim pravcima, tj. izduženju i skraćenju linijskih segmenata u posmatranoj tački. Smičuća deformacija (eng . shearing strain) je, po definiciji, promjena ugla između dva početno upravna linijska elementa. Za označavanje komponentnih napona i deformacija često se koriste i oznake iz slijedeće tabele (1).
Naponi Tenzorska notacija
σ11 σ22 σ33 τ23’=σ23 τ31’=σ31
τ12’=σ12
Deformacije
Sažeta notacija σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6
Tenzorska notacija
ε11 ε22 ε33 γ23=2ε23 γ31=2ε31 γ 12=2 ε12
Sažeta notacija ε1 ε1 ε3 ε4 ε5 ε6
Tabela 1 : Oznake koje se koriste za komponentne napone I deformacije, gde su ose nekog koordinatnog sistema
označene brojevima 1,2,3
2. FEM analiza nosača
Na modelu je potrebno provesti ispitivanje metodom konačnih elemenata. Koristit ćemo se opcijama i funkcijama unutar workbencha G e n e r at i v e S t r u c t u r a l A n a l y s i s . Ova aplikacija je namijenjena za korisnike prosječnih zahtjeva. U nekoliko jednostavnih koraka je lako izračunati i zatim analizirati mehanička svojstva modela. Na taj način je moguće u ranom procesu dizajniranja uočiti pogrešku i napraviti potrebne izmjene na vrijeme.
Započinjemo otvaranjem modela kojeg želimo ispitati. U našem slučaju otvaramo model N osač.CATPart.
Uključimo opciju za prikaz materijala Wiew – Customize View – Meterials.
Zatim ulazimo u workbench G e n e r a t iv e S t r u c t u r a l A n a l y s i s putem menija Start – Analysis & Simulation - Generative Structural Analysis. Pri tome se otvara prozor N e w A n a l y s s i s C a s e . Po defaultu je uklučena opcija Static Analysis. Kliknemo na OK i ulazimo u workbench, te se pojavljuju odgovarajuće funkcije.
Na modelu možemo uočiti zelenu oznaku kaja predstavlja parametre za mesh. Ukoliko napravimo dvostruki klik na simbolu pojavi se prozor u kojem je moguće promijeniti parametre (veličinu i gustoću) mesha.
Istovremeno se promijenio i PartEditor. Pojavile su se neke dodatne oznake kako je vidljivo na slici. Također se mogu primjetiti simboli za Update na oznakama , dakle moramo definirati opterećenje, učvršćenje i ostale parametre.
Najprije kliknemo na oznaku R e s t r a i n t s . Zatim kliknemo na ikonu C l a m p , te se otvara prozor Clamp.
Selektiramo 1 površinu prikazanu na slici. U stablu se pojavljuje odgovarajuća oznaka.
Zatim u drvetu selektiramo oznaku L o a d s . Kliknemo na ikonu D i s t r i b u t e d F o r c e i otvara se prozor u kojem definiramo parametre.
U prozor upišemo 250 kao silu koje djeluje u smjeru osi z. Upisujemo – 250 kako bi promijenili smjer. Selektiramo pokazanu stranicu na modelu. Pojavljuju se strelice kao oznaka za silu.
Kliknemo na OK . U stablu se pojavi odgovarajuća oznaka.
Preostaje da kliknemo na ikonu C o m p u t e . CATIA će sada napraviti mesh na modelu i izračunati naprezanja i deformacije u modelu.
U donjem desnom uglu ekrana možemo pratiti tijek procesa računanja. Nakon određenog vremena (ovisno o snazi hardware-a) dobit ćemo rezultate. U stablu nestanu oznake za Update. Također se promijeni boja Restraint -a u plavo.
Nakon proračunavnja dobijamo sljedeće podatke.
Slika 3. Prikaz Von Mises napona Von Missesov napon se često koristi pri određivanju da li materijal kada je podvrgnut nekom naprezanju može izdržati to naprezanje da ne dođe do plastične deformacije.To se posti že izračunavanjem Von Missesovog naprezanja u upoređujući ga sa materijalom i njegovom jačinom, što čini Von Misses kriterij.
Slika 4. Pomijeranje nosača
Slika 4.1 Područje D elastičnog kontinuma
Zadatak teorije elastičnosti, kada se problem formulira po pomacima, odnosno po metodi deformacije, sastoji se u određivanju funkcija pomaka, koje zadovoljavaju uvjete ravnoteže i uvjete na konturi, odnosno diferencijalne jednadžbe i konturne uvjete. Granični zadatak koji je formuliran na ovaj način, u kinematičkom smislu, predstavlja sistem s beskonačnim brojem stupnjeva slobode. Zadatak je da se odredi rješenje ovog graničnog problema pomoću odgovarajućeg diskretnog sistema, sa konačnim brojem stupnjeva slobode, odnosno kao rješenje odgovarajućeg sistema algebarskih jednadžbi. Razmatrano područje D dijeli se na konačan broj malih dijelova – konačnih elemenata, koji su međusobno povezani u određenom broju tačaka, koje se nazivaju čvorovi (slika 4.2.). Ako se pretpostavi da se pomaci u bilo
kojoj tačci konačnog elementa mogu, na određeni način, prikazati u zavisnosti od
pomaka u čvorovima, onda se problem određivanja polja pomaka u području D svodi na određivanje pomaka u čvorovima, a broj pomaka u čvorovima je konačan. Pomaci u čvorovima u području D i na konturi određuju se iz sistema jednadžbi, koje predstavljaju uvjete ravnoteže u čvorovima, uvjete kontinuiteta u čvorovima i konturnih uvjeta na konturi . Ove jednadžbe se mogu formirati na osnovu principa virtualnih pomaka ili na osnovu varijabilnog principa o minimumu potencijalne energije. Kada je poznato polje pomaka, nije teško dobiti polje deformacija i polje napona.
Slika 4.2 Područje D podijeljeno na konačan broj elemenata
Slika 5. Prikaz tenzora napona
Slika 6. Prikaz napona po osi - Prikaz napona po osi ili oznaka u programu = 11 ove komponente nam govore da se sila u smjeru primjenjuje na površinu sa stalnim , to je ravnina i ova sila je okomita.
Slika 7. Prikaz napona po osi - Prikaz napona po osi ili oznaka u programu = 22 ove komponente nam govore da se sila u smjeru primjenjuje na površinu sa stalnim , to je ravnina , i ova sila je okomita.
Slika 8. Prikaz napona po osi - Prikaz napona po osi ili oznaka u programu = 33 ove komponente nam govore da se sila u smjeru primjenjuje na površinu sa stalnim , to je ravnina , i ova sila je okomita. Govore nam o pritisku u odredjenom trenutku ( tačci ) u materijalu.
Slika 9. Prikaz tenzora napona po osi - Prikaz napona u programu oznaka = 12 – komponenta nam govori da se sila u smjeru primjenjuje na površinu sa stalnim , i to je sada ravnina.Međutim ono
sto je važno istaći jeste da je sada riječ o tangencijalnoj sili.
Slika 10. Prikaz tenzora napona po osi - Napon po osi ili u programu njegova = 13 - komponenta nam govori da se sila u smjeru primjenjuje na površinu . Ovo je takođe tangencijalna sila.
Slika 11. Prikaz tenzora napona po osi - Prikaz napona u programu oznaka = 23 – komponenta nam govori da se sila u smjeru primjenjuje na površinu sa stalnim , i to je sada ravnina.Međutim ono
sto je važno istaći jeste da je sada riječ o tangencijalnoj sili. Ona nam govore o posmičnim naprezanjima u određenim tačkama u materijalu.
Slika 12. Prikaz mjesta na kome djeluje maksimalni napon od 1,93 Na kraju je pr ikazana veličina greške Slika 13 . Greške ispod 10% se uzimaju kao validne a samim tim i rezultati su validni i zadovoljavaju.
Slika 13. Prikaz veličine greške
Analiza je pokazala da nosač može izdržati nanesena opterećenja od 250 N te u skladu s tim da može bez problema obavljati njemu predviđenu funkciju.
Zaključak Osnovni pristup MKE u analizi pojedinih elemenata, da se analizom dijelova
zaključuje o cjelini, je poznati induktivni pristup, koji se primjenjuje u mnogim područjima znanosti. Kod inženjerskih i drugih problema kod kojih se opća rješenja ne mogu dobiti u zatvorenom obliku induktivni pristup je od posebnog značaja. MKE prvo je počela imati primjenu u oblasti proračuna inženjerskih konstrukcija. Rješenja koja dobijemo MKE su približna ili aproksimativna rješenja. Zato treba postaviti pitanje njihove tačnosti, stabilnosti i konvergencije. Sa praktičnog stajališta treba znati sa koje su strane približna rješenja u odnosu na tačno rješenje, odnosno da li su dobijeni rezultati na strani sigurnosti.
Pod pojmom tačnosti ovdje se podrazumijeva bliskost približnog rješenja tačnom, odnosno odstupanje približnog od tačnog rješenja, dok se pod stabilnošću podrazumijeva stabilnost u numeričkom odnosno proračunskom procesu kod određivanja rješenja. Ako se razlika između uzastopnih rješenja sukcesivno smanjuje, postupak je konvergentan. O konvergenciji MKE zaključuje se na osnovu analize rezultata u zavisnosti od promjene određenih parametara, kao što su veličina i broj konačnih elemenata, ili broj članova ili interpolacionih funkcija u približnom rješenju. Dokazom o konvergenciji daje se odgovor i na pitanje o njegovoj stabilnosti, pošto je po pravilu, za konvergentno rješenje numerički postupak stabilan. Greške u MKE, po svojoj priro di mogu biti dvojake: greške diskretizacije, koje predstavljaju razliku između realne geometrije tijela i njegove aproksimacije sastavom konačnih elemenata; i greške interpolacionih funkcija, koje predstavljaju razliku između stvarnog polja nepoznatih funkcija i njihove aproksimacije pomoću polinoma. Greške diskretizacije se smanjuju povećanjem broja konačnih elemenata odnosno smanjenjem njihove veličine, one teže nuli.
