Zdf Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ « Wdfyph Pyfp, LLG
Phyz
1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
8+ Moybvlhw Kczyojvgzoy{ ‗ Hc{ Hc{ pyoilfb zdhz goczhkcw hc fxvhzkoc oy moybvlh kczo ~dkgd ocf oy boyf pkfgfw om kcmoybhzkoc bvwz if kcwfyzfj ~kll dfcgfmoyzd if yfmfyyfj zo hw h moybvlh pyoilfb#
Ihwkg moybvlh pyoilfbw ghc if wol}fj i{ plvnnkcn zdf kcmoybhzkoc zdhz zdf{ pyo}kjf kczo zdf moybvlh wvpplkfj ~kzd zdf xvfwzkoc# 2
0#9 $96 % 8,000 +
—Zdf jkwzhcgf cffjfj moy ghy zo gobf zo h wzhcjwzkll kw nk}fc i{ zdf moybvlh hio}f, ~dfyf kw zdf yhzf om zdf ghy bfhwvyfj kc bklfw pfy dovy, kw zdf iyfhekcn jkwzhcgf om zdf ghy bfhwvyfj kc mffz, hcj kw zdf wlkgecfww om zdf yohj# Wlkgecfww kw bfhwvyfj oc h wghlf om 8 zo 80, ~dfyf 80 yfpyfwfczw h zftzvyf zdhz kw ftzyfbfl{ wlkge hcj 8 h zftzvyf zdhz kw coz wlkge hz hll# Km ghy dhw h iyfhekcn jkwzhcgf om >6 mffz, hcj zdf zftzvyf om zdf yohj dhw h wlkgecfww bfhwvyf om 7, ~dhz ~hw zdf yhzf om ghy pykoy zo iyfhekcn?‛ Hcw~fy 1 60 bpd# Hggoyjkcn zo zdf pyoilfb hio}f, j 2 >6 hcj w 2 7# Plvnnkcn zdkw kcmoybhzkoc kczo zdf pyo}kjfj moybvlh yf}fhlw1 j 2
0#9w $ 96t % 8,000w + t
⇙
>6 2
0#9 Þ 7$96t % 8,000 Þ 7+ t
⇙
>6 2
0#=$96 t % 7,000+ t
Zdvw, ghy G ~hw jyk}kcn hz h yhzf om 60 bklfw pfy dovy, hw1 >6t 2 86t % 7, 000 000
⇙
=0t 2 7,000
⇙
t 2
7,000 =0
2
60
Boyf gobplft moybvlh pyoilfbw omzfc kc}ol}f h }hykhilf zdhz pfymoybw z~o wfphyhzf mvcgzkocw(
—Km bocf{ kw kc}fwzfj hz pfygfcz kczfyfwz, gobpovcjfj hccvhll{, zdf hbovcz om zdf kc}fwzbfcz ~kll zykplf kc hppyotkbhzfl{ >6/ {fhyw# Km Ahgekf kc}fwzw *9,000 kc h locn"zfyb no}fycbfcz iocj zdhz ph{w > pfygfcz kczfyfwz, gobpovcjfj hccvhll{, ~dhz ~kll if zdf hppyotkbhzf hbovcz om zdf kc}fwzbfcz 99 {fhyw lhzfy?‛ Hcw~fy 1 *84,000# ]hykhilf ~ pfymoybw z~o mvcgzkocw ~kzdkc zdf pyoilfb1 $8+ kz yfpyfwfczw zdf kczfyfwz yhzf hz ~dkgd bocf{ kw kc}fwzfj, $9+ kz kw phyz om zdf moybvlh >6/ ~ zdhz jfzfybkcfw do~ locn kz zhefw moy hc kc}fwzbfcz zo zykplf kc }hlvf#
Km Ahgekf‛w iocj ph{w > pfygfcz kczfyfwz, ~ bvwz fxvhl >, hw ~ fxvhlw zdf yhzf hz ~dkgd bocf{ kw kc}fwzfj# Plvnnkcn ~ 2 > kczo zdf pyo}kjfj moybvlh wdo~w zdhz dfy kc}fwzbfcz ~kll zykplf f}fy{ 88 {fhyw, hppyotkbhzfl{, hw >6/> ≄ 88# Hw wvgd, Ahgekf‛w kckzkhl *9,000 kc}fwzbfcz ~kll hppyotkbhzfl{ fxvhl *84,000 hmzfy 99 {fhyw, hw *9,000 ~kll zykplf zo *=,000 hmzfy 88 {fhyw, hcj zdkw *=,000 ~kll zykplf hnhkc zo *84,000 hmzfy 88 boyf {fhyw#
8 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Cozdkcn zo Plvn Kc? ‗ Km h moybvlh xvfwzkoc jofw coz wvppl{ kcmoybhzkoc zdhz {ov ghc wviwzkzvzf kczo kzw moybvlh1
Looe moy vcwzhzfj fxvhzkocw zdhz hyf yflf}hcz zo zdf moybvlh # Zdfwf fxvhzkocw ghc zdfc if plvnnfj kc zo wol}f zdf xvfwzkoc# 8=
9 9
—Zdf moybvlh nk}fc hio}f nk}fw zdf hyfh om h gkygvlhy yfnkoc kc zfybw om kzw jkhbfzfy # Km kw coz h powkzk}f kczfnfy, ~dhz jofw fxvhl?‛ Hcw~fy 1 t 2 ‗4# Zdkw pyoilfb jofw coz wvppl{ hc{ kcmoybhzkoc zdhz ~f ghc wviwzkzvzf kczo kzw moybvlh, ivz kz
jofw yfmfyfcgf z~o vcwzhzfj fxvhzkocw zdhz hyf yflf}hcz zo zdf moybvlh1 $8+ zdf hyfh om h gkyglf 2 jkhbfzfy om h gkyglf 2 9 y # g
9
π y
hcj $9+ zdf
9
Wviwzkzvzkoc om π y moy H hcj 9y moy j kczo zdf moybvlh yf}fhlw1 9 π y
2
8=π $9 y +9
9
⇙
9
y
2
t
8=$:y 9 + 9
⇙
9
t
2
t
=:y 9 9
y
Hw wdo~c iflo~, zdkw fxvhzkoc ghc if mvyzdfy wkbplkmkfj zo wdo~ zdhz t 2 ¸4# Do~f}fy, wkcgf zdf pyoilfb wzhzfw zdhz t kw coz h powkzk}f kczfnfy, t ghc ocl{ fxvhl ‗4# Zdvw1 9
t
2
=:y 9 9
⇙
9
t
y
2 =: ⇙
t 2
¸4
Fxvhlkqkcn Z~o ]hykhilfw ‗ Km h moybvlh fxvhzkoc hwew {ov zo jfzfybkcf zdf }hlvf hz ~dkgd z~o jkwzkcgz }hykhilfw fxvhl ocf hcozdfy1
Wfz zdf z~o }hykhilfw fxvhl zo ocf hcozdfy hcj wviwzkzvzf zdhz kcmoybhzkoc kczo zdf pyo}kjfj moybvlh # G 6 $ ;
79+
—Zdf zfbpfyhzvyf kc jfnyffw Mhdyfcdfkz, , ghc if goc}fyzfj zo zfbpfyhzvyf kc jfnyffw Gflwkvw, , i{ zdf moybvlh nk}fc hio}f# ^dhz kw zdf zfbpfyhzvyf zfbpfyhzvyf hz ~dkgd zdf zfbpfyhzvyf zfbpfyhzvyf kc jfnyffw Gflwkvw kw fxvhl zo zdf zfbpfyhzvyf kc jfnyffw Mhdyfcdfkz?‛ Hcw~fy 1 ‗:0# Zo jfzfybkcf zdf zfbpfyhzvyf hz ~dkgd zdf zfbpfyhzvyf kc jfnyffw Gflwkvw kw fxvhl zo zdf zfbpfyhzvyf kc jfnyffw Mhdyfcdfkz, $8+ lfz M 2 G hcj $9+ wviwzkzvzf zdhz kcmoybhzkoc kczo zdf pyo}kjfj moybvlh# Zdf wviwzkzvzkoc om M moy G yf}fhlw zdf mollo~kcn1 M
2
6 ; $ M ∙ 79+
⇙
; M 6
2
M ∙ 79
⇙
: M 6
2
79
∙
Zdkw fxvhzkoc ghc if mvyzdfy wkbplkmkfj zo wdo~ zdhz zdf zfbpfyhzvyf hz ~dkgd zdf z~o bfhwvykcn w{wzfbw hyf fxvhl kw ‗:0 jfnyffw, hw1 : M 6
2
∙79
⇙
M
2
∙79 ⋆
6 :
2
∙4 ⋆ 6
2
∙:0
9 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Moybvlhw ~kzd Gocwzhczw1 Plvn"Kc Z~kgf( ‗ Hc{ moybvlh zdhz goczhkcw h gocwzhcz ~kll yfxvkyf z~o wviwzkzvzkocw# • Zdf mkywz wviwzkzvzkoc ~kll jfzfybkcf zdf kjfczkz{ om zdf gocwzhcz# Zdf wfgocj ~kll wol}f zdf xvfwzkoc# Ifz~ffc zdf z~o wzfpw, if wvyf zo plvn zdf kjfczkz{ om zdf gocwzhcz ihge kczo zdf moybvlh# —Moy hc ojoy zdhz dhw h wzyfcnzd om 40 olmhgzoy{ vckzw hz kzw wovygf, zdf wzyfcnzd kc olmhgzoy{ vckzw, , om zdf ojoy hz h pokcz bfzfyw myob zdf wovygf kw nk}fc i{ zdf moybvlh 2 96 / 9, ~dfyf kw h gocwzhcz# Km zdf wzyfcnzd om zdf ojoy kw 90 olmhgzoy{ vckzw hz h jkwzhcgf om 80 bfzfyw myob zdf wovygf, ~dhz kw zdf wzyfcnzd om zdf ojoy hz h jkwzhcgf om 90 bfzfyw myob zdf wovygf?‛ Hcw~fy 1 6 olmhgzoy{ vckzw# Hz h jkwzhcgf om 80 bfzfyw myob zdf wovygf, zdf ojoy dhw h wzyfcnzd om 90 olmhgzoy{ vckzw# Zdf wviwzkzvzkoc om zdkw kcmoybhzkoc kczo zdf moybvlh O 2 96 q /b 9 yf}fhlw1
O
2
96q b 9
⇙
90
96q 809
2
9
90$80 +
⇙
2
96q
Zdfyfmoyf, q bvwz fxvhl 40, hw1 9
90$80 +
2
96q
⇙
90$800+
2
96q
90$800+ 96
⇙
2
90$:+
2
40
2
q
Zdf wviwzkzvzkoc om q 2 40 kczo zdf moybvlh yf}fhlw zdhz zdf wzyfcnzd om zdf ojoy hz h jkwzhcgf om 90 mffz myob zdf wovygf bvwz if 6 olmhgzoy{ vckzw, hw1 O
2
96q b 9
⇙
O
2
96$40+ 909
2
⇙
O
2
=00 ‗ 900 ‗ 900
96$40+ 90$90+
2
6 ⋆ 6 ⋆ : ⋆ 90 90 ⋆ 90
2
6
%
—Zdf zozhl jhkl{ gowz , kc jollhyw, om pyojvgkcn vckzw om h gfyzhkc pyojvgz kw nk}fc i{ zdf moybvlh hio}f, ~dfyf kw h gocwzhcz hcj ≪ 800# Km 90 vckzw ~fyf pyojvgfj {fwzfyjh{ moy h zozhl gowz om *=:0, do~ bhc{ vckzw ~kll if pyojvgfj zojh{ km zozhl gowzw hyf zo fxvhl *660?‛ Hcw~fy 1 9# Km 90 vckzw hyf pyojvgfj hz h zozhl gowz om *=:0, zdfc1
G 2
=00q ∙ 900 % t q
⇙
=:0 2
=00$90+ ∙ 900 % t 90
⇙
=:0 2
=00$90+ ∙ 80$90+ % t 90
Zdfyfmoyf, zdf }hlvf om t bvwz if 60, hw1 =:0 2
=00$90+ ∙ 80$90+ % t 90
⇙
=:0 2
90$=00 ∙ 80+ 90
%
t
⇙
=:0 ∙ 6;0 2 60 2
Km t 2 60 hcj zozhl gowzw 2 *660, zdfc 9 vckzw ~kll if pyojvgfj zojh{, hw1 660 2
q + ∙ 900 =00$ q q
%
60
⇙
600q 2 =00q ∙ 900
⇙
q 2
9
7 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
t
Hlzfyfj Moybvlhw ‗ Hc{ xvfwzkoc kc ~dkgd zdf }hlvf om h nk}fc moybvlh kw kcgyfhwfj oy jfgyfhwfj i{ zdf hlzfyhzkoc om kzw }hykhilfw ~kll dfcgfmoyzd if yfmfyyfj zo hw hc hlzfyfj moybvlh# • Zo wol}f wvgd pyoilfbw, pkge }hlvfw moy zdf hlzfyfj }hykhilfw( —Kc zdf moybvlh
2
7 , km kw zykplfj, i{ ~dhz hbovcz kw $9 +9
bvlzkplkfj?‛
Hcw~fy 1 8/;# Zo jfzfybkcf zdf oyknkchl }hlvf om H H, lfz q 2 9, wkcgf 9 kw wbhll hcj fhw{ zo zykplf# Km q 2 9, zdfc H 2 7/8=, hw1 2
7 7 7 2 2 $9 9+9 $:+9 8=
H ~ovlj ifgobf 7/8::, hw1 Km q kw zykplfj zo =, zdf }hlvf om H 2
7 7 7 2 2 $9 =+9 $89+9 8::
Km H H oyknkchll{ fxvhlfj 7/8=, hcj zykplkcn q hlzfyfj zdf }hlvf om H H zo 7/8::, zdfc zdf }hlvf om H H dhw iffc bvlzkplkfj i{ 8/;, hw1 7 ⋆ t 8=
2
7 8::
⇙
t 2
7 8= ⋆ 8:: 7
⇙
t 2
8= 8::
2
: 89
⋆: ⋆ 89
2
8 ;
9, km hcj —Kc zdf moybvlh 2 0#0> hyf iozd kcgyfhwfj i{ >0 pfygfcz, hcj kw jfgyfhwfj i{ 70 pfygfcz, i{ hppyotkbhzfl{ ~dhz pfygfcz ~kll zdf }hlvf om gdhcnf?‛
Hcw~fy 1 60 pfygfcz# Zo jfzfybkcf zdf oyknkchl }hlvf om I, lfz g , j , hcj t hll fxvhl 80, wkcgf 80 kw fhw{ zo kcgyfhwf hcj jfgyfhwf i{ >0 hcj 70 pfygfcz# Zdvw, km g , j , hcj t fxvhl 80, zdf oyknkchl }hlvf om I 2 >00, hw1
0#0>$80+$80+$80+9 2 >00 I 2 0#0>$80+$80+$80+ Km g hcj j hyf kcgyfhwfj i{ >0 pfygfcz, hcj t kw jfgyfhwfj i{ 70 pfygfcz, zdfc g hcj j fxvhl 8>, wkcgf 80$8#>+ 2 8>, hcj t fxvhlw >, hw 80$0#>+ 2 ># Zdvw, zdf cf~ }hlvf om I fxvhlw1 I 2 0#0>$8>+$8>+$>+9 2 0#0>$94;+$:;+
Wkcgf zdfwf cvbifyw hyf jkmmkgvlz zo ~oye ~kzd hcj zdf pyoilfb goczhkcw zdf ~oyj “hppyotkbhzfl{‒, ~f ghc yovcj zdfwf cvbifyw hw mollo~w zo wdo~ zdhz zdf cf~ }hlvf om I kw hppyotkbhzfl{ 8,0601 I ≄ 0#0>$700+$60+ 2 >$7+$60+ 2 8,060
Zdfyfmoyf, km I oyknkchll{ fxvhlfj >00, hcj kcgyfhwkcn g hcj j i{ >0 pfygfcz ~dklf jfgyfhwkcn t i{ 70 pfygfcz hlzfyfj zdf }hlvf om I zo 8,060, hppyotkbhzfl{, zdfc zdf }hlvf om I kcgyfhwfj i{ 60 pfygfcz, hw1 jkmmfyfcgf oyknkchl
≆
760 >00
2
8 9
2
60&
: Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Bvlzkplf Gocwzhczw1 Plvn"kc Zdykgf( $Hj}hcgfj+ ‗ Hc{ moybvlh zdhz goczhkcw bvlzkplf gocwzhczw ~kll yfxvkyf zdyff wviwzkzvzkocw# • Wviwzkzvzkocw $8+ hcj $9+ ~kll fwzhilkwd z~o hjjkzkochl fxvhzkocw zdhz ghc if gobikcfj zo jfzfybkc f zdf kjfczkzkfw om zdf gocwzhczw# 2
‗ $ ‗ : +9
—Hz zkbf 2 0, h zo{ yogefz kw wdoz vp~hyj myob hc kckzkhl dfkndz om = mffz# Vczkl zdf yogefz dkzw zdf nyovcj, kzw dfkndz, kc mffz, hmzfy wfgocjw kw nk}fc i{ zdf fxvhzkoc hio}f, kc ~dkgd hcj hyf powkzk}f gocwzhczw hcj yfpyfwfczw zdf dfkndz om zdf yogefz# Km zdf yogefz yfhgdfw kzw bhtkbvb dfkndz om 80= mffz hz zkbf 2 9#6, ~dhz kw zdf dfkndz, kc mffz, om zdf yogefz hz zkbf z 8?‛ Hcw~fy 1 >0# ^dfc z 2 0, zdf yogefz dhw h dfkndz om = mffz# Lkef~kwf, ~dfc z 2 9#6, zdf yogefz dhw h dfkndz om 80= mffz# Zdf wviwzkzvzkoc om zdkw kcmoybhzkoc kczo zdf moybvlh d 2 h ‗ $ i +9 yf}fhlw z~o fxvhzkocw1 i ‗ :z
$8+ = 2 h ‗ i 9
$9+ 80= 2 h ‗ $ i i ‗ 80+9
Fxvhzkoc $9+ ghc if yf~ykzzfc hw 80= 2 h ‗ i 9 % 90i ‗ 800 i{ wxvhykcn $ i i ‗ 80+ hcj wvizyhgzkcn zdf pyojvgz myob h , hcj fxvhzkoc $8+ ghc if wviwzkzvzfj kczo fxvhzkoc $9+# Jokcn wo yf}fhlw zdhz i 2 80, hw1 80= 2 $ h h ‗ i 9 + % 90i ‗ 800 80= 2 $=+ % 90i ‗ 800 i 2 80 Km i 2 80, zdfc h bvwz fxvhl 80=, wkcgf zdf wviwzkzvzkoc om i 2 80 kczo fxvhzkoc $8+ yf}fhlw zdhz1 = 2 h ‗ $80+9 = 2 h ‗ 800 80= 2 h Km i 2 80 hcj h 2 80=, zdfc zdf yogefz bvwz dh}f h dfkndz om >0 mffz ~dfc z 2 8, wkcgf zdf oyknkchl moybvlh wdo~w zdhz1 d 2 80= ‗ $80 ‗ :+9 d 2 >0
6 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
9+ Mvcgzkocw Kczyojvgzoy{ ‗ Kc zdf bowz ihwkg om zfybw, h mvcgzkoc kw wkbpl{ hc fxvhzkoc kczo ~dkgd hc kcpvz ghc if kcwfyzfj hcj ovz om ~dkgd h goyyfwpocjkcn ovzpvz kw zdfc pyojvgfj# • Mvcgzkocw bh{ looe kczkbkjhzkcn, ivz zdf{ hyf cozdkcn boyf zdhc moybvlh pyoilfbw ~ykzzfc kc h wpfgkhl cozhzkoc( —Mvcgzkoc kw jfmkcfj hw $ + 2 8: %
9#
Km $9 + 2 70, ~dhz kw ocf powwkilf }hlvf om ?‛
• Zdf ef{ zo wol}kcn wvgd pyoilfbw kw zo vcjfywzhcj zdfky cozhzkoc# Kc zdf pyoilfb hio}f, moy fthbplf, zdf cozhzkoc kw wkbpl{ zfllkcn {ov zo yfplhgf hll zdf “ t ‒w ‒w ~kzd “9 q ‒w, ‒w, hcj zo wol}f zdf yfwvlzkcn fxvhzkoc hw km kz ~fyf fxvhl zo 701 8: % $9q +9 2 70 :q 9 2 8= q 2 ¸9 7
—Mvcgzkoc kw jfmkcfj hw $ + 2
‗ # Km $6+ 2 : , ~dhz kw zdf }hlvf om ?‛
• Lkef~kwf, h pyoilfb wvgd hw zdf ocf hio}f kw zfllkcn {ov zo yfplhgf hll zdf “~ ‒w ‒w ~kzd “6‒w, hcj zo wol}f zdf yfwvlzkcn fxvhzkoc hw km kz ~fyf fxvhl zo : t 1 67 ‗ 6 2 : t 890 2 :t t 2 70
Mvcgzkoc Cozhzkoc1 H Glowfy Looe ‗ Hll mvcgzkoc xvfwzkocw ghc if iyoefc jo~c kczo zdyff phyzw1
$8+ Zdf Dfhjfy# $9+ Zdf Moybvlh# $7+ Zdf Kcpvz hcj/oy Ovzpvz# —Lfz zdf mvcgzkoc
if jfmkcfj i{ $ + 2
Dfhjfy
9
% : # Km $9 + 2 8= , ~dhz kw ocf powwkilf }hlvf om ?‛
Moybvlh
Kcpvz
Ovzpvz
Zdf dfhjfy om h mvcgzkoc hl~h{w wzhcjw ifmoyf zdf kckzkhl fxvhl wknc, hcj pyo}kjfw zdf chbf om zdf mvcgzkoc hcj zdf }hykhilf zdhz hc{ nk}fc kcpvzw ~kll yfplhgf#
• Moy fthbplf, kc zdf pyoilfb hio}f, zdf mvcgzkoc kw ghllfj mvcgzkoc d , hw zdf lfzzfy kc myocz om zdf $ t t + kw hc d# 9 Km zdf mvcgzkoc dhj iffc ~ykzzfc n $ $ t t + 2 t % :t , zdf mvcgzkoc ~ovlj dh}f iffc ghllfj mvcgzkoc n #
= Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
• Lkef~kwf, zdf mvcgzkoc kw ghllfj d $ $t +, $q $ b $ t t hw oppowfj zo d $ q + oy d $ b +, ifghvwf zdf fxvhzkoc zo zdf ykndz om zdf d $ t + 9 goczhkcw zdf }hykhilf t # Km zdf fxvhzkoc dhj iffc ~ykzzfc hw z % :z , zdf mvcgzkoc ~ovlj dh}f iffc ghllfj d $ $z z +, wkcgf zdf }hykhilf kc zdf nk}fc fxvhzkoc ~ovlj zdfc if z # t • Kbpoyzhcz1 cozdkcn cffjw zo if jocf ~kzd, oy jocf zo, zdf dfhjfy# H dfhjfy wvgd hw m $ $t + ‗ pyocovcgfj “ m om t ‒ ‗ kw bfyfl{ h pyocovcgfbfcz zdhz wzhzfw zdhz zdf }hlvf om mvcgzkoc m kw jfpfcjfcz vpoc zdf }hlvf om }hykhilf $q t # Lkef~kwf, h dfhjfy wvgd hw n $ q + ‗ pyocovcgfj “ n om q ‒ ‗ kw bfyfl{ h pyocovcgfbfcz zdhz wzhzfw zdhz zdf }hlvf om mvcgzkoc n kw jfpfcjfcz vpoc zdf }hlvf om }hykhilf q #
Zdf fxvhzkoc pyfwfczfj hmzfy zdf dfhjfy om h mvcgzkoc kw zdf moybvlh kczo ~dkgd hc{ nk}fc kcpvzw hyf zo if kcwfyzfj(
• Moy fthbplf, kc zdf pyoilfb hio}f, zdf moybvlh kczo ~dkgd h nk}fc kcpvz ~ovlj if kcwfyzfj kw t 9 % :t , wkcgf t 9 % : t kw zdf fxvhzkoc zdhz mollo~w zdf dfhjfy om zdf mvcgzkoc# • Lkef~kwf, km zdf mvcgzkoc dhj iffc ~ykzzfc d $ $ t t + 2 6t ‗ :, zdf moybvlh kczo ~dkgd h nk}fc kcpvz ~ovlj if kcwfyzfj ~ovlj if 6t ‗ :, wkcgf zdf fxvhzkoc zdhz mollo~w zdf dfhjfy om zdf mvcgzkoc ~ovlj if 6t ‗ :#
Zdf xvfwzkoc poyzkoc om h mvcgzkoc pyo}kjfw fkzdfy zdf kcpvz oy zdf ovzpvz zo zdf moybvlh, oy iozd#
• Zdf kcpvz moy h nk}fc moybvlh kw hl~h{w pyfwfczfj ~kzdkc zdf phyfczdfwfw om zdf xvfwzkoc( Moy fthbplf, zdf pyoilfb hio}f dhw hc kcpvz om 9g , wkcgf zdf xvfwzkoc pyfwfczw zdf zfyb d $9 $9g + # Km zdf xvfwzkoc dhj pyfwfczfj hc $6+ oy hc d $ $t % 8+, zdf kcpvz moy zdf moybvlh ~ovlj dh}f iffc h 6 oy hc t % 8# d $6+ t • Zdf ovzpvz moy h nk}fc moybvlh kw hl~h{w pyfwfczfj hmzfy zdf fxvhl wknc ~kzdkc zdf xvfwzkoc( Moy fthbplf, zdf pyoilfb hio}f dhw hc ovzpvz om 8=g , hw h 8= g kw movcj hmzfy fxvhl wknc ~kzdkc zdf xvfwzkoc# Km zdf xvfwzkoc dhj iffc ~ykzzfc d $9 $9g + 2 80 oy d $9 $9g + 2 g % 4, zdfc zdf ovzpvz om zdf moybvlh ~ovlj dh}f iffc 80 oy g % 4# —Lfz zdf mvcgzkoc
if jfmkcfj i{ $ + 2
9
% : # Km $9 + 2 8= , ~dhz kw ocf powwkilf }hlvf om ?‛
$9g + 2 Hcw~fy 1 g 2 0 oy 9# Zdf pyoilfb dhw hc kcpvz om 9g hcj hc ovzpvz om 8= g , hw zdf xvfwzkoc wzhzfw zdhz d $9 8=g # Zo wol}f zdf pyoilfb, wkbpl{ yfplhgf hll zdf “t ‒w ‒w kc zdf moybvlh ~kzd “9 g ‒w, ‒w, hcj wol}f zdf yfwvlzkcn fxvhzkoc hw km kz ~fyf fxvhl zo 8= g 1 $9g +9 % :$9g + 2 8=g 9 :g % 4g 2 8=g g 9 % 9g 2 :g g 9 ‗ 9g 2 0 g $ g ‗ 9+ 2 0 $g g 2 0 oy 9
> Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
^oyekcn ^kzd Kcpvzw ‗ Zdf mollo~kcn kw h iykfm lkwz om pyhgzkgf xvfwzkocw zo dflp {ov nfz h ifzzfy mffl moy ~oyekcn ~kzd xvfwzkocw zdhz ocl{ goczhkc kcpvzw# —Km mvcgzkoc kw jfmkcfj hw $ + 2 7$ % 9+, ~dhz kw zdf }hlvf om $6+?‛
$6+, wkbpl{ yfplhgf hll zdf “t ‒w ‒w kc zdf moybvlh ~kzd “6‒w1 Hcw~fy 1 98# Zo jfzfybkcf zdf }hlvf om zdf kcpvz m $6+, 7$6 % 9+ 2 7$>+ 2 98 —Km mvcgzkoc kw jfmkcfj hw $ + 2
9
% ;, ~dhz kw zdf }hlvf om $:+ % $7+?‛
$:+ % m $7+, $7+, zdf yfwpfgzk}f }hlvfw om m $:+ hcj m $7+ $7+ bvwz mkywz if ghlgvlhzfj# Hcw~fy 1 :7# Zo jfzfybkcf zdf }hlvf om m m $:+ m $:+ Zo jfzfybkcf m $:+, $:+, wkbpl{ yfplhgf hll zdf “t ‒w ‒w kc zdf moybvlh ~kzd “:‒w# Jokcn wo yf}fhlw zdhz m $:+ $:+ 2 96, hw :9 % ; 2 96# Lkef~kwf, zo jfzfybkcf m $7+, $7+, wkbpl{ yfplhgf hll zdf “t ‒w ‒w kc zdf moybvlh ~kzd “7‒w# Jokcn wo yf}fhlw zdhz 9 m $7+ $7+ 2 84, hw 7 % ; 2 84# Zdvw, m $:+ $:+ % m $7+ $7+ 2 :7, hw 96 % 84 2 :7# —Km mvcgzkoc kw jfmkcfj hw $ + 2
9
% : , ~dhz kw zdf }hlvf om $ ‗ 9+?‛
$ t ‗ 9+, wkbpl{ yfplhgf hll zdf “ q ‒w ‒w kc zdf moybvlh ~kzd “ t ‗ 9‒w1 Hcw~fy 1 t 9 ‗ :# Zo jfzfybkcf zdf }hlvf om n n $ $ t t ‗ 9+9 % :$ t t ‗ 9+ 9 t ‗ :t % : % : t ‗ 4 t 9 ‗ :
^oyekcn ^kzd Ovzpvzw ‗ Zdf mollo~kcn kw h iykfm lkwz om pyhgzkgf xvfwzkocw zo dflp {ov nfz h ifzzfy mffl moy ~oyekcn ~kzd xvfwzkocw zdhz ocl{ goczhkc ovzpvzw# —Lfz mvcgzkoc
if jfmkcfj hw $ + 2 9$
7
‗ 7+# ^dfc $ + 2 ‗=0 ~dhz kw zdf }hlvf om 9 ‗ 7 ?‛
$b + 2 ‗=0 wzhzfw zdhz zdf mvcgzkoc dhw hc ovzpvz om ‗=0 ~dfc hc b kw kcwfyzfj kczo Hcw~fy 1 88# Zdf cozhzkoc d $ b zdf moybvlh# Zo wol}f zdf pyoilfb, mkywz yfplhgf hll zdf “b ‒w ‒w kc zdf moybvlh ~kzd “ b ‒w, ‒w, hcj wol}f zdf yfwvlzkcn fxvhzkoc hw km kz ~fyf fxvhl zo ‗=01 9$ b b 7 ‗ 7+ 2 ‗=0 b 2 ‗7 Km b 2 ‗7, zdf }hlvf om 9 ‗ 7b bvwz fxvhl 88, wkcgf 9 ‗ 7$‗7+ 2 9 ‗ $‗;+ 2 88# —Lfz mvcgzkoc if jfmkcfj hw $ + 2 9 9# Km $ + 2 ‗ , ~dhz kw ocf }hlvf om ?‛ Hcw~fy 1 h 2 0 oy ‗8/9# Zdf cozhzkoc n $ h + 2 ‗ h h wzhzfw zdhz zdf mvcgzkoc dhw hc ovzpvz om ‗ h h ~dfc hc h kw $h kcwfyzfj kczo zdf moybvlh# Zo wol}f zdf pyoilfb, wkbpl{ yfplhgf hll zdf “h ‒w ‒w kc zdf moybvlh ~kzd “ h ‒w, ‒w, hcj wol}f zdf yfwvlzkcn fxvhzkoc hw km kz ~fyf fxvhl zo ‗ h h 1 h 9h 9 2 ‗ h 9h 9 % h 2 0 $9h % 8+ 2 0 ⇙ h 2 0 oy ∙ 8 h $9
9
4 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
^oyekcn ^kzd Kcpvzw - Ovzpvzw ‗ Zdf mollo~kcn kw h iykfm lkwz om pyhgzkgf xvfwzkocw zo dflp {ov nfz h ifzzfy mffl moy ~oyekcn ~kzd xvfwzkocw zdhz goczhkc iozd kcpvzw hcj ovzpvzw# —Lfz mvcgzkoc if jfmkcfj hw $ + 2 9 % 8# Km $:+ 2
9,
~dhz kw ocf }hlvf om ?‛
$:+ 2 { 9 wzhzfw zdhz zdf mvcgzkoc dhw hc ovzpvz om { Hcw~fy 1 { 2 ¸7# Zdf cozhzkoc m $:+ { 9 ~dfc h : kw kcwfyzfj kczo zdf moybvlh# Zo wol}f zdf pyoilfb, wkbpl{ yfplhgf hll zdf “t ‒w ‒w kc zdf moybvlh ~kzd “:‒w, hcj wol}f zdf yfwvlzkcn 9 fxvhzkoc hw km kz ~fyf fxvhl zo { 1 9$:+ % 8 2 { 9 { 2 ¸7 —Lfz mvcgzkoc
if jfmkcfj hw $ + 2 6$ % :+# Km $ 9+ 2 96, ~dhz kw ocf }hlvf om ?‛
$ t Hcw~fy 1 t 2 ¸8# Zdf cozhzkoc q $ t 9 + 2 96 wzhzfw zdhz zdf mvcgzkoc dhw hc ovzpvz om 96 ~dfc hc t 9 kw kcwfyzfj kczo zdf moybvlh# Zo wol}f zdf pyoilfb, wkbpl{ yfplhgf hll zdf “t ‒w ‒w kc zdf moybvlh ~kzd “ t 9‒w, hcj wol}f zdf yfwvlzkcn fxvhzkoc hw km kz ~fyf fxvhl zo 961 6$ t t 9 % :+ 2 96 t 9 2 8 t 2 ¸8
Mvcgzkocw ^kzd Gofmmkgkfczw ‗ Hc{ mvcgzkoc zdhz goczhkcw h gofmmkgkfcz ifmoyf kzw dfhjfy oy kzw kcpvz wdovlj if wkbplkmkfj i{ jk}kjkcn ovz oy bvlzkpl{kcn h~h{ zdhz gofmmkgkfcz( 8 —Lfz mvcgzkoc if jfmkcfj hw $ + 2 9 ‗ 8# Km 9 $
+ 2 :, ~dhz kw zdf }hlvf om ?‛
8 $ d + + : ghc if wkbplkmkfj zo n $ Hcw~fy 1 d 2 48/:# Zdf kcpvz"ovzpvz yflhzkocwdkp om 9 n $ $ d + + 4 i{ bvlzkpl{kcn iozd wkjfw om zdf fxvhzkoc i{ 9# Jokcn wo yfbo}fw zdf gofmmkgkfcz 8/9, hcj yf}fhlw zdhz zdf mvcgzkoc dhw hc 2
2
ovzpvz om 4 ~dfc h d kw kcwfyzfj kczo zdf moybvlh# Zo wol}f zdf pyoilfb, wkbpl{ yfplhgf hll zdf “q ‒w ‒w kc zdf moybvlh ~kzd “ d ‒w, hcj wol}f zdf yfwvlzkcn fxvhzkoc hw km kz ~fyf fxvhl zo 41 9$ d + ∙ 8 9$ d +
2
;
2
↙
d 2
4 d
48 :
2
; 9
—Lfz mvcgzkoc if jfmkcfj hw 9 $ + 2 4 % :# Km : $ + 2 :0, ~dhz kw zdf }hlvf om ?‛
$ a + 2 4 a % : ghc if wkbplkmkfj zo m $ $ a + 2 : a % 9 i{ jk}kjkcn ovz zdf gofmmkgkfcz 9# Hcw~fy 1 9# Zdf mvcgzkoc 9 m $ Lkef~kwf, zdf kcpvz"ovzpvz yflhzkocwdkp om : m $ $ + l l 2 :0 ghc if wkbplkmkfj zo m $ $ + l l 2 80 i{ jk}kjkcn ovz zdf gofmmkgkfcz :# Jokcn wo yf}fhlw zdhz zdf mvcgzkoc dhw hc ovzpvz om 80 ~dfc hc l kw kcwfyzfj kczo zdf moybvlh# Zo wol}f zdf pyoilfb, mkywz yfplhgf hll zdf “ a ‒w ‒w ~kzd “l ‛‛w, ‛‛w, hcj wol}f zdf yfwvlzkcn fxvhzkoc hw km kz ~fyf fxvhl zo 801 :$ + l l % 9 2 80 l 2 9
; Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Mvcgzkocw ^kzd Bvlzkplf Kcpvzw ‗ Gfyzhkc mvcgzkocw goczhkc bvlzkplf kcpvzw# • Zo wol}f wvgd xvfwzkocw, mkywz kcwfyz zdf kckzkhl kcpvz"ovzpvz yflhzkocwdkp# Ocgf zdkw kckzkhl yflhzkocwdkp dhw iffc plvnnfj kc hcj gobpvzfj, kcwfyz kzw wolvzkoc kczo zdf wfgocj kcpvz zo hcw~fy zdf xvfwzkoc# —Lfz mvcgzkoc
g
if jfmkcfj hw $ + 2 : ‗ 87# 87# Km 7 $ + 2 98, ~dhz kw zdf }hlvf om $7 +?‛
$ q $ q Hcw~fy 1 :># Zdf kckzkhl kcpvz"ovzpvz yflhzkocwdkp om 7d $ q + 2 98 ghc if wkbplkmkfj zo d $ q + 2 > i{ jk}kjkcn iozd wkjfw om zdf fxvhzkoc i{ 7# Jokcn wo yfbo}fw zdf gofmmkgkfcz 7, hcj yf}f hlw zdhz zdf mvcgzkoc dhw hc ovzpvz om > ~dfc h q kw kcwfyzfj kczo zdf moybvlh# Zo wol}f zdf pyoilfb, wzhyz i{ yfplhgkcn hll zdf “t ‒w ‒w kc zdf moybvlh ~kzd “q ‒w, ‒w, hcj wol}f zdf yfwvlzkcn fxvhzkoc hw km kz ~fyf fxvhl zo >1 :$ q q + ‗ 87 2 > q26 Km q 2 6, zdfc d $7 $7q + bvwz fxvhl d $86+, $86+, hw d $7 $7 Þ 6+ 2 d $86+# $86+# Zdvw, d $7 $7q + bvwz fxvhl 7;, wkcgf d $86+ $86+ 2 :$86+ ‗ 87 2 :># —Lfz mvcgzkoc if jfmkcfj hw $ + 2 ∑ % 7# Km : $ + 2 9:, zdfc ~dhz kw zdf }hlvf om $: +?‛
$~ + 2 9: ghc if wkbplkmkfj zo n $ $ ~ Hcw~fy 1 ;# Zdf kckzkhl kcpvz"ovzpvz yflhzkocwdkp om : n $ ~ ~ + 2 = i{ jk}kjkcn iozd wkjfw om zdf fxvhzkoc i{ :# Jokcn wo yfbo}fw zdf gofmmkgkfcz :, hcj yf}f hlw zdhz zdf mvcgzkoc dhw hc ovzpvz om = ~dfc h ~ kw kcwfyzfj kczo zdf moybvlh# Zo wol}f zdf pyoilfb, wzhyz i{ yfplhgkcn hll zdf “q ‒w ‒w kc zdf moybvlh ~kzd “~ ‒w, ‒w, hcj wol}f zdf yfwvlzkcn fxvhzkoc hw km kz ~fyf fxvhl zo =1 ∑~ % 7 2 = ~2;
Km ~ 2 ;, zdfc n $: $:~ + bvwz fxvhl n $7=+, $7=+, wkcgf : ; 2 7=# Zdvw, n $: $:~ + fxvhlw ;, wkcgf n $7=+ $7=+ 2 ∑7= % 7 2 ;# t
Mvcgzkocw ^kzd Gocwzhczw ‗ Gfyzhkc mvcgzkocw goczhkc gocwzhczw# • Zo wol}f wvgd xvfwzkocw, kcwfyz zdf kckzkhl kcpvz"ovzpvz yflhzkocwdkp zo jfzfybkcf zdf gocwzhcz# Ocgf zdf gocwzhcz dhw iffc jfzfybkcfj, plvn zdf }hlvf om zdf gocwzhcz ihge kczo zdf moybvlh hcj hcw~fy zdf nk}fc xvfwzkoc# —Lfz zdf mvcgzkoc if jfmkcfj hw $ + 2
7
%
# Km $7+ 2 =0, zdfc ~dhz kw zdf }hlvf om $‗:+?‛
$7+ 2 =0 wzhzfw zdhz zdf mvcgzkoc dhw hc ovzpvz om =0 ~dfc h 7 kw kcwfyzfj kczo zdf Hcw~fy 1 ‗87=# Zdf cozhzkoc m $7+ moybvlh# Zo wol}f zdf pyoilfb, wzhyz i{ yfplhgkcn hll zdf “q ‒w ‒w kc zdf moybvlh ~kzd “7‒w, hcj wol}f zdf yfwvlzkcn fxvhzkoc hw km kz ~fyf fxvhl zo =01 9>t % 7t 2 =0 t 2 9 q + 2 9q 7 % 9q # Zdvw, zdf }hlvf om m m $‗:+ Plvnnkcn t 2 9 ihge kczo zdf moybvlh gdhcnfw zdf mvcgzkoc zo m $ $ q $‗:+ bvwz if ‗87=, wkcgf 9$‗:+7 % 9$‗:+ 2 ‗894 % $‗4+ 2 ‗87=#
80 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Mvcgzkoc ^oyj Pyoilfbw ‗ Mvcgzkocw bh{ hlwo if ftpyfwwfj hw ~oyj pyoilfbw# • Zdf ef{ zo ~oyekcn ~kzd wvgd pyoilfbw kw zo yfbo}f zdf $ t + poyzkoc om zdf dfhjfy( Ocgf {ov‛}f jocf wo, wkbpl{ $8+ jfzfybkcf ~dhz fhgd }hykhilf yfpyfwfczw hcj $9+ plvn zdf kcmoybhzkoc zdhz zdf pyoilfb pyo}kjfw kczo zdf hppyopykhzf wloz om zdf xvfwzkoc# —H dhyj~hyf wzoyf o~cfy jfzfybkcfw zdhz zdf pyomkz moy zdf whlfw om h phyzkgvlhy dhbbfy ghc if jfzfybkcfj i{ zdf mvcgzkoc $ + 2 96∑ ‗ 86, ~dfyf yfpyfwfczw zdf cvbify om dhbbfyw wolj hcj zdf pyomkz# Do~ bhc{ dhbbfyw bvwz if wolj zo nfcfyhzf *880 kc pyomkz?‛ Hcw~fy 1 96 dhbbfyw# Km zdf $ t t + poyzkoc om p p$ t t + kw yfbo}fj, zdf xvfwzkoc goczhkcw z~o }hykhilfw1 p hcj t # Hggoyjkcn zo zdf pyoilfb, p yfpyfwfczw zdf pyomkzw, hcj t zdf cvbify om dhbbfyw wolj# Wkcgf zdf pyoilfb wzhzfw zdhz pyomkzw hyf zo fxvhl *880, yfplhgf p ~kzd 880, hcj wol}f moy t 1
880 2 96∑t ‗ 86 ∑t 2 896/96 2 6 t 2 96 —H gfyzhkc flfgzyockgw gobphc{ nfcfyhzfw h yf}fcvf om jollhyw pfy {fhy, kc bkllkocw# Zdf h}fyhnf pykgf om kzw }hykovw pyojvgzw, kc jollhyw, kw nk}fc i{ zdf mvcgzkoc $ + 2 400 , ~dfyf kw h gocwzhcz# Km zdf gobphc{‛w yf}fcvfw hyf *: bkllkoc h {fhy ~dfc zdf h}fyhnf pykgf om kzw pyojvgzw kw *800, do~ bvgd hccvhl yf}fcvf govlj zdf gobphc{ ftpfgz zo nfcfyhzf km kz ~fyf zo wfz zdf h}fyhnf pykgf om hll kzw pyojvgzw zo *40?‛ Hcw~fy 1 *6 bkllkoc# Km zdf $ c c + poyzkoc om t $ c + kw yfbo}fj, zdf xvfwzkoc goczhkcw zdyff }hykhilfw1 c , t hcj q # $c Hggoyjkcn zo zdf pyoilfb c yfpyfwfczw zdf gobphc{‛w {fhyl{ yf}fcvf $kc bkllkocw+, t zdf h}fyhnf pykgf om kzw pyojvgzw, hcj q h gocwzhcz# Hw zdf pyoilfb wzhzfw zdhz zdf gobphc{‛w {fhyl{ yf}fcvf kw : bkllkoc jollhyw ~dfc kzw h}fyhnf pykgf pfy pyojvgz kw 800 jollhyw, ~f ghc jfzfybkcf q zo if #6 i{ yfplhgkcn t ~kzd 800 hcj c ~kzd :1
800 2 400q /: /: q 2 :00/400 2 0#6 Km q 2 0#6, zdf gobphc{ ~ovlj ftpfgz zo nfcfyhzf *6 bkllkoc pfy {fhy km kz ~fyf zo wfz zdf h}fyhnf pykgf om hll kzw pyojvgzw zo *40, hw t co~ fxvhlw 401 40 2 400$0#6+/c c 2 400$0#6+/40 2 6 —Zdf gowz om bhkczfchcgf moy h bozoyg{glf kcgyfhwfw 90 pfygfcz fhgd {fhy# Km zdf gowz om bhkczfchcgf oc Whll{‛w bozoyg{glf {fhyw myob co~ kw nk}fc i{ zdf mvcgzkoc $ + 2 900 , hcj Whll{ phkj 900 jollhyw kc bhkczfchcgf gowzw zdkw {fhy, ~dhz kw zdf }hlvf om ?‛
+ poyzkoc om g $ $ { + kw yfbo}fj, zdf xvfwzkoc goczhkcw zdyff vceco~cw, g , { , hcj h , ~dfyf g Hcw~fy 1 h 2 8#9# Km zdf $ { yfpyfwfczw zdf gowz om bhkczfchcgf, { zdf cvbify om {fhyw myob co~, hcj h hc vcwpfgkmkfj }hlvf, oy gocwzhcz# Wkcgf zdf pyoilfb wzhzfw zdhz bhkczfchcgf gowzw kcgyfhwf 90 pfygfcz f}fy {fhy, ~f eco~ zdhz 8 {fhy myob co~, zdf gowz om bhkczfchcgf moy Whll{‛w bozoy g{glf ~kll if *9:0, hw zdkw {fhy kz ~hw *900# Kc ozdfy ~oyjw, ~f eco~ zdhz g fxvhlw 9:0 ~dfc { fxvhlw 8# Plvnnkcn zdkw kcmoybhzkoc kczo zdf moybvlh yf}fhlw zdhz h 2 8#9, hw1 9:0 2 900h 8 h 2 9:0/900 2 8#9
88 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Yhcnf hcj Jobhkc ‗ Zdf jobhkc om h mvcgzkoc kw zdf wfz om hll om kzw powwkilf kcpvzw# Zdf yhcnf om h mvcgzkoc kw zdf wfz om hll om kzw powwkilf ovzpvzw# • Moy fthbplf, h mvcgzkoc wvgd hw m $ $ t t + 2 ‗$ t t % 9+: ~ovlj dh}f h jobhkc zdhz kcglvjfw hll yfhl cvbifyw, hw kz kw powwkilf zo kcwfyz hc{ powwkilf }hlvf kczo zdf moybvlh ‗$ t t % 9+:# • Do~f}fy, zdf yhcnf om wvgd h mvcgzkoc ~ovlj kcglvjf ocl{ cfnhzk}f cvbifyw hcj qfyo, hw hc{ }hlvf zdhz ~f kcwfyz kczo zdf moybvlh ‗$ t t % 9+: ghc ocl{ pyojvgf h cfnhzk}f cvbify oy qfyo# 7
—Km mvcgzkoc kw jfmkcfj hw $ + 2 $ % 7+: , ~dhz kw zdf jobhkc om moy ~dkgd $ + kw h yfhl cvbify?‛ 7
Hcw~fy 1 t ≦ ‗7# Hc kcpvz om ‗7 ~kll pyojvgf zdf ovzpvz $0 +: , oy qfyo, ~dkgd kw h yfhl cvbify# Hc kcpvz nyfhzfy zdhc ‗7 ~kll pyojvgf h powkzk}f }hlvf# Wkcgf kz kw hl~h{w powwkilf zo zhef zdf zdyff"movyzdw po~fy om h powkzk}f
cvbify, hc{ kcpvz nyfhzfy zdhc ‗7 ~kll hlwo pyojvgf hc ovzpvz zdhz kw h yfhl cvbify# Hc{ kcpvz lfww zdhc ‗7, do~f}fy, ~kll pyojvgf h cfnhzk}f }hlvf# Wkcgf h cfnhzk}f cvbify pvz zo zdf zdyff" movyzdw po~fy ~kll pyojvgf hc kbhnkchy{ cvbify $yfbfbify, kz kw kbpowwkilf zo pvz hc{ cvbify zo zdf movyzd po~fy hcj oizhkc h cfnhzk}f pyojvgz+, hc{ cvbify lfww zdhc ‗7 ~kll pyojvgf hc kbpowwkilf ovzpvz# Zdvw, zdf jobhkc om mvcgzkoc m bvwz if lkbkzfj zo hll t ≦ ‗7# —Km $ + 2 9 ‗ 8, hcj
kw hc kczfnfy, ~dhz kw zdf yhcnf om mvcgzkoc ?‛
$ q Hcw~fy 1 n $ q + 2 hll ojj cvbifyw# Zdf jobhkc om zdf mvcgzkoc kcglvjfw hll ~dolf cvbifyw, hw kz kw powwkilf zo kcwfyz hc{ powwkilf kczfnfy kczo zdf moybvlh 9q ‗ 8# Zdf yhcnf om mvcgzkoc n , do~f}fy, kw yfwzykgzfj zo ojj cvbifyw ocl{, hw z~o zkbfw hc{ kczfnfy ~kll pyojvgf hc f}fc cvbify, hcj hc{ f}fc cvbify bkcvw ocf ~kll pyojvgf hc ojj cvbify# —^dhz hyf zdf jobhkc hcj yhcnf om $ + 2 $9 %
+7
Hcw~fy 1 t ≦ 0 hcj m $ t + ≦ 4# Wkcgf kz kw kbpowwkilf $ t kbpowwkilf zo zhef zdf wxvhyf wxvhyf yooz yooz om h cfnhzk}f cfnhzk}f cvbify, cvbify, zdf jobhkc jobhkc om
powwkilf kcpvzw moy t kw lkbkzfj zo coc"cfnhzk}f cvbifyw# Dfcgf, t bvwz if nyfhzfy zdhc oy fxvhl zo 0# +7 bvwz fxvhl 4, hw $9 % 0 +7 2 $9 +7 2 4# Hw t nfzw lhynfy, do~f}fy, wo jofw kzw ovzpvz# ^dfc t kw 0, $ 9 % t + Moy fthbplf, hc kcpvz om : pyojvgfw hc ovzpvz om =:, hw $ 9 % : +7 2 $9 % 9+7 2 $:+7# Zdvw, zdf yhcnf om
ovzpvzw om mvcgzkoc m bvwz if fxvhl zo oy nyfhzfy zdhc 4#
89 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Fbifjjfj Mvcgzkocw ‗ Ocf woyz om mvcgzkoc zdhz ghc looe phyzkgvlhyl{ kczkbkjhzkcn kw gobbocl{ eco~c hw zdf fbifjjfj mvcgzkoc# • Fbifjjfj mvcgzkocw hyf fwwfczkhll{ mvcgzkocw ~kzdkc mvcgzkocw# Zdf ef{ zo wol}kcn zdfb kw zo zhef zdfb ocf wzfp hz h zkbf( Hl~h{w wol}f zdf kcwkjf mvcgzkoc mkywz# Ocgf {ov dh}f jocf wo, kcwfyz zdhz hcw~fy kczo zdf ovzwkjf mvcgzkoc# —Zdf mvcgzkocw hcj hyf jfmkcfj hw $ + 2 : ‗ 8 hcj $ + 2 9 % 7# ^dhz kw zdf }hlvf om $ $:++? ‛
kcwkjf mvcgzkoc# mvcgzkoc# Zdf }hlvf om m $:+ bvwz if 86, wkcgf yfplhgkcn hll zdf “ t ‒w ‒w kc Hcw~fy 1 77# Mkywz wol}f zdf kcwkjf m $:+ mvcgzkoc m ~kzd “:‒w yf}fhlw zdhz :$:+ ‗ 8 2 86# Cftz wol}f zdf ovzwkjf mvcgzkoc# Km m $:+ fxvhlw 86, ~f ghc yfplhgf m $:+ $:+ ~kzd 86# Kc ozdfy ~oyjw, n $ $ m $:++ $:++ ghc if m $:+ yf~ykzzfc hw n $86+# $86+# Yfplhgkcn hll zdf “t ‒w ‒w kc mvcgzkoc n ~kzd “86‒w yf}fhlw zdhz n $86+ $86+ fxvhlw 77, hw 9$86+ % 7 2 77# —Zdf mvcgzkocw hcj
hyf jfmkcfj hw $ + 2 :
%
9
hcj $ + 2
9
# ^dhz kw zdf }hlvf om $ $;++? ‛
Hcw~fy 1 =0# Mkywz wol}f zdf kcwkjf kcwkjf mvcgzkoc# mvcgzkoc# Zdf }hlvf om d $;+ $;+ bvwz if =, wkcgf yfplhgkcn hll zdf “ t ‒w ‒w kc mvcgzkoc d ~kzd “;‒w yf}fhlw zdhz 9 ∑; 2 9$7+ 2 =#
Cftz wol}f zdf ovzwkjf mvcgzkoc# Km d $;+ $;+ fxvhlw =, ~f ghc yfplhgf d $;+ $;+ ~kzd =# Kc ozdfy ~oyjw, n $ $d $;++ ghc if d $;++ yf~ykzzfc hw n $=+# $=+# Yfplhgkcn hll zdf “t ‒w ‒w kc mvcgzkoc n ~kzd “=‒w yf}fhlw zdhz n $=+ $=+ fxvhlw =0, hw :$=+ % $=+ 9 2 =0#
Kcpvz Fxvhlkqhzkoc ‗ Pfydhpw fxvhll{ kczkbkjhzkcn hyf pyoilfbw zdhz ~kll dfcgfmoyzd if yfmfyyfj zo hw kcpvz fxvhlkqhzkoc mvcgzkocw# • Kcpvz fxvhlkqhzkoc mvcgzkocw hwe {ov zo jfzfybkcf zdf }hlvf hz ~dkgd ocf mvcgzkoc fxvhlw hcozdfy# Zdf ef{ zo wol}kcn wvgd pyoilfbw kw zo wfz zdf z~o mvcgzkocw fxvhl zo ocf hcozdfy# Km {ov zdfc wol}f moy zdf nk}fc }hykhilf, {ov ~kll dh}f zdf }hlvf hz ~dkgd zdf z~o mvcgzkocw hyf fxvhl( —Zdf mvcgzkocw hcj hyf jfmkcfj hw $ + 2 : ‗ 8 hcj $ + 2 9 % 7# Hz ~dhz }hlvf jofw $ + 2 $ +?‛ Hcw~fy 1 t 2 9# Wfz zdf z~o mvcgzkocw fxvhl zo ocf hcozdfy hcj wol}f moy t 1
:t ‗ 8 2 9 t % 7 9t 2 : t 2 9 —Km $ + 2 9 ‗ 8 hcj $ + 2 6 , moy ~dhz }hlvf om jofw $l
9+ 2 $ +?‛
Hcw~fy 1 l 2 7# Kcwfyz zdf kcpvzw, wfz zdf z~o mvcgzkocw fxvhl zo ocf hcozdfy, hcj wol}f moy l 1
$l l ‗ 9+ 2 6$ l l ‗ 9+ 2 6l ‗ 80 d $
$ + n $ l l 2 9$ + l l ‗ 8 2 9 l ‗ 8
6l ‗ 80 2 9l ‗ 8 7l 2 ; l 2 7
87 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Kcpvz Fxvhlkqhzkoc om Fbifjjfj Mvcgzkocw $Hj}hcgfj+ ‗ Hj}hcgfj kcpvz fxvhlkqhzkoc xvfwzkocw bh{ hwe {ov zo jfzfybkcf zdf }hlvf hz ~dkgd ocf fbifjjfj mvcgzkoc fxvhlw hcozdfy fbifjjfj mvcgzkoc#
g
• Zdf ef{ zo wol}kcn wvgd pyoilfbw kw zo wol}f zdf fbifjjfj mvcgzkocw hcj zdfc wfz zdf z~o yfwvlzw fxvhl zo ocf hcozdfy# Km {ov wol}f moy zdf nk}fc }hykhilf, {ov ~kll dh}f zdf }hlvf hz ~dkgd zdf z~o fbifjjfj mvcgzkocw hyf fxvhl# —Km $ + 2
9,
% 9, hcj $ + 2
moy ~dhz }hlvf om jofw $ $ ++ 2 $ $ ++?‛
Hcw~fy 1 ‗8/9# Wzfp 81 wol}f iozd fbifjjfj mvcgzkocw#
$ $ ++
$ $ ++
Nohl1 kcwfyz i $ $ t $ t t + kczo h $ t 9 Km i $ $ t $t + 2 t % 9, zdfc1 t + 2 t hcj h $ t $ t t9 + % 9 t 9 % 9
+
$ t Nohl1 $ t h $ t + kczo i $ t + kcwfyz Km h $ $ t $t + 2 t 9, zdfc1 t + 2 t % 9 hcj i $ t
plvn t 9 kczo t % 9# wol}f#
$ t t % 9+9 t 9 % :t % :
plvn t % 9 kczo t 9# wol}f#
Wzfp 91 wfz zdf z~o yfwvlzw fxvhl zo ocf hcozdfy1 t 9 % 9 2 t 9 % :t % : ‗9 2 : t t 2 ‗8/9
—Km $ + 2 9 , hcj $ + 2 $ ‗ 8+9, moy ~dhz }hlvf om jofw $ $ ++ 2 $ $ ++?‛ Hcw~fy 1
t 2
8 9
# Wzfp 81 wol}f iozd fbifjjfj mvcgzkocw# $ $ ++
$ $ ++
Nohl1 kcwfyz n $ $ t $ t t + kczo m $ t Km n $ t $t + 2 9t , zdfc1 n $ t + 2 $ t t ‗ 8+9 hcj m $ t
+
$t + kczoNohl1 $t + kcwfyz m $ t n $ t Km m $t + 2 9t hcj n $ $t + 2 $ t m $ t t t ‗ 8+ 9, zdfc1
9$ t plvn $ t t ‗ 8+ 9 t ‗ 8+9 kczo 9t # 9$ t t 9 ‗ 9t % 8+ jkwzykivzf# 9t 9 ‗ :t % 9 wol}f#
$9t ‗ 8+ 9 :t 9 ‗ :t % 8
plvn 9t kczo $ t t ‗ 8+9# wol}f#
Wzfp 91 wfz zdf z~o yfwvlzw fxvhl zo ocf hcozdfy1
9t 9 ‗ :t % 9 2 : t 9 ‗ :t % 8 8 2 9t 9 8/9 2 t 9 t 2
8 9
8: Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Ovzpvz Fxvhlkqhzkoc ‗ Ovzpvz fxvhlkqhzkoc mvcgzkocw pyo}kjf z~o jkwzkcgz kcpvzw hcj hwe {ov zo wflfgz h mvcgzkoc myob zdf mk}f hcw~fy gdokgfw zdhz ~kll pyojvgf hc kjfczkghl ovzpvz moy iozd kcpvzw# • Zdf ef{ zo wol}kcn wvgd pyoilfbw kw zo pkge h }hlvf moy t # Ocgf {ov dh}f jocf wo, wviwzkzvzf zdhz }hlvf kczo zdf nk}fc kcpvzw, hcj wff ~dkgd om zdf mk}f mvcgzkocw pyo}kjfw hc kjfczkghl ovzpvz moy iozd kcpvzw# —Moy ~dkgd om zdf mollo~kcn mvcgzkocw mvcgzkocw kw $ ‗ 8+ 2 $8 ‗ + moy hll ?‛ $h+ $ + 2 8 ‗
$i+ $ + 2
%8
$g+ $ + 2 $8 ‗ +9
$j+ $ + 2
9
‗8
$f+ $ + 2 7
$t ‗ 8+ hcj m $8 $8 ‗ t + yf}fhlw zdhz1 Hcw~fy 1 $j+# Lfz t 2 6# Wviwzkzvzkcn zdkw }hlvf kczo m $ t t ‗ 8+ if vcjfywzooj hw m $:+, 8+ m $ $ t $:+, wkcgf 6 ‗ 8 2 : 9+ m $8 $8 ‗ t + ghc if vcjfywzooj hw m $‗:+, $‗:+, wkcgf 8 ‗ 6 2 ‗:#
Plvnnkcn m $:+ hcj m $‗:+ $‗:+ kczo zdf mk}f hcw~fy gdokgfw mvyzdfy yf}fhlw zdhz hcw~fy gdokgf $j+ bvwz if zdf hcw~fy zo m $:+ zdf xvfwzkoc, hw ocl{ hcw~fy gdokgf $j+ {kfljw hc kjfczkghl ovzpvz moy m $:+ $:+ hcj m $‗6+1 $‗6+1 $:+
$h+ m $ $t + 2 8 ‗ t t $i+ m $ $ t t + 2 t % 8 $g+ m $ $ t +9 t + 2 $8 ‗ t $j+ m $ $t + 2 t 9 ‗ 8 t $f+ m $ $ t t + 2 7t
$‗:+
8 ‗ : 2 ‗7 :%826 $8 ‗ :+9 2 ; $:+9 ‗ 8 2 86 7$:+ 2 89
8 ‗ $‗:+ 2 6 $‗:+ % 8 2 ‗7 $8 ‗ $‗:++9 2 96 $‗:+9 ‗ 8 2 86 7$‗:+ 2 ‗89
—Moy ~dkgd om zdf mollo~kcn mvcgzkocw mvcgzkocw jofw $$ $h+ $ + 2 ∑
$i+ $ + 2 |t
8|
$g+ $ + 2 ‗ 9
$$ Hcw~fy 1 $g+# Lfz t 2 ;# Wviwzkzvzkcn zdkw }hlvf kczo n $$ 9
8+
n $$ $$ t + + + if
9+
n $ $ ∙ t + + ghc
vcjfywzooj hw n $;+, $;+, wkcgf $ ; +9
2
if vcjfywzooj hw n $‗;+, $‗;+, wkcgf ∙ ;
9
79
2
2
+9 + 2 $‗ +?.
$j+ $ + 2 $8 ‗ +9
$" t + + + + hcj n $" t +
jkwwkbklhy jkwwkbklhy jkwwkbklhy kjfczkghl jkwwkbklhy
$f+ $ + 2
%8
yf}fhlw zdhz1
;#
∙;#
Plvnnkcn n $;+ hcj n $‗;+ $‗;+ kczo zdf mk}f hcw~fy gdokgfw yf}fhlw zdhz hcw~fy gdokgf $g+ bvwz if zdf hcw~fy, hw ocl{ n $;+ hcw~fy gdokgf $g+ {kfljw hc kjfczkghl ovzpvz moy n $;+ $;+ hcj n $‗;+1 $‗;+1 $;+
$h+ n $ $ t t + 2 ∑t $i+ n $ $t + 2 |t ‗ 8| t t + 2 ‗ t t9 $g+ n $ $ t $j+ n $ $ t +9 t + 2 $8 ‗ t $f+ n $ $ t t + 2 t % 8
$‗;+
∑; 2 7 |; ‗ 8| 2 4 ‗$;+9 2 ‗48 $8 ‗ ;+9 2 =: ; % 8 2 80
∑ ‗; 2 vcjfmkcfj |$‗;+ ‗ 8| 2 80 ‗$‗;+9 2 ‗48 $8 ‗ $‗;++9 2 800 $‗;+ % 8 2 ‗4
jkwwkbklhy jkwwkbklhy jkwwkbklhy kjfczkghl jkwwkbklhy jkwwkbklhy
86 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Gobplft Ovzpvz Fxvhlkqhzkoc $Hj}hcgfj+ ‗ Gobplft ovzpvz fxvhlkqhzkoc xvfwzkocw z{pkghll{ pyo}kjf z~o jkwzkcgz kcpvzw, fhgd om ~dkgd bh{ goczhkc bvlzkplf }hykhilfw hcj bhzdfbhzkghl opfyhzkocw# • Lkef boyf ihwkg ovzpvz fxvhlkqhzkoc xvfwzkocw, zdf ef{ zo wol}kcn wvgd pyoilfbw kw zo pkge }hlvfw# Ocgf {ov dh}f jocf wo, wviwzkzvzf zdfwf }hlvfw kczo zdf nk}fc kcpvzw, hcj wff ~dkgd om zdf mk}f mvcgzkocw pyo}kjfw hc kjfczkghl ovzpvz moy iozd kcpvzw# —Moy ~dkgd om zdf mollo~kcn mvcgzkocw kw $ $ ‗ + 2 $ $h+ $ + 2
%8
$i+ $ + 2
$g+ $ + 2 $8 ‗ +9
+ ‗ $ +?‛
$j+ $ + 2 |
$f+ $ + 2
9
$l l $ ‗ c + hcj m $ $lb + ‗ m $lc + yf}fhlw zdhz1 Hcw~fy 1 $i+# Lfz l 2 9, b 2 7, hcj c 2 :# Plvnnkcn zdfwf }hlvfw kczo m $ $ b b ‗ l b m $ l c $b b 8+ m $ $ l l$ ‗ ‗ c + ghc if vcjfywzooj hw m $‗9+, $‗9+, wkcgf 9$7 ‗ :+ 2 ‗9# 9+ m $ $ lb + ‗ m $ lc + ghc if vcjfywzooj hw m $=+ $=+ ‗ m $4+, wkcgf 9 Þ 7 2 = hcj 9 : 2 4# lb m $ lc m $4+, t
Plvnnkcn m $‗9+ hcj m $=+ $=+ ‗ m $4+ kczo zdf mk}f hcw~fy gdokgfw yf}fhlw zdhz hcw~fy gdokgf $i+ bvwz if zdf hcw~fy, hw m $‗9+ m $4+ ocl{ hcw~fy gdokgf $i+ {kfljw hc kjfczkghl ovzpvz moy m $‗9+ $‗9+ hcj m $=+ $=+ ‗ m $4+1 m $4+1 $‗9+
$h+ m $ $t + 2 t % 8 t $i+ m $ $ t t + 2 t $g+ m $ $ t +9 t + 2 $8 ‗ t $j+ m $ $t + 2 |t | t $f+ m $ $ t t + 2 t 9
$=+ ‗ $4+
$‗9+ % 8 2 ‗8 $‗9+ 2 ‗9 $8 ‗ $‗9++9 2 ; |‗9| 2 9 $‗9+9 2 :
$= % 8+ ‗ $4 % 8+ 2 ‗9 $=+ ‗ $4+ 2 ‗9 $8 ‗ =+9 ‗ $8 ‗ 4+9 2 ‗9: |=| ‗ |4| 2 ‗9 $=+9 ‗ $4+9 2 ‗94
—Moy ~dkgd om zdf mollo~kcn mvcgzkocw kw $ $h+ $ + 2 7
$i+ $ + 2
9
$g+ $ + 2 $8 ‗ +9
jkwwkbklhy kjfczkghl jkwwkbklhy jkwwkbklhy jkwwkbklhy jkwwkbklhy
+ 2 $ + % $ +?‛
$j+ $ + 2 | % 8
$f+ $ + 2
‗7
$h % + hcj n $ $ h $ i Hcw~fy 1 $h+# Lfz h 2 9 hcj i 2 7# Plvnnkcn zdfwf }hlvfw kczo n $ h % i h + % n $ i + yf}fhlw zdhz1 8+ n $ $h % + ghc if vcjfywzooj hw n $6+, $6+, wkcgf 9% 7 2 6# h % i h + % n $ i + ghc if vcjfywzooj hw n $9+ 9+ n $ $h $ i $9+ % n $7+, $7+, wkcgf h 2 9 hcj i 2 7# Plvnnkcn n $6+ hcj n $9+ $9+ % n $7+ $7+ kczo zdf mk}f hcw~fy gdokgfw yf}fhlw zdhz hcw~fy gdokgf $h+ bvwz if zdf hcw~fy, hw n $6+ ocl{ hcw~fy gdokgf $h+ {kfljw hc kjfczkghl ovzpvz moy n $6+ $6+ hcj n $9+ $9+ % n $7+1 $7+1 $6+
$h+ n $ $ t t + 2 7t $i+ n $ $t + 2 t 9 t t + 2 $8 ‗ t $g+ n $ $ t +9 $j+ n $ $ t t + 2 |t % 8| $f+ n $ $ t t + 2 t ‗ 7
$9+ % $7+
7$6+ 2 86 $6+9 2 96 $8 ‗ 6+9 2 8= |6 % 8| 2 = 6‗729
7$9+ % 7$7+ 2 86 $9+9 % $7+9 2 87 $8 ‗ 9+9 % $8 ‗ 7+9 2 6 |9 % 8| % |7 % 8| 2 > $9 ‗ 7+ % $7 ‗ 7+ 2 ‗8
kjfczkghl jkwwkbklhy jkwwkbklhy jkwwkbklhy jkwwkbklhy
8= Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Bhtkbkqhzkoc Pyoilfbw ‗ Gfyzhkc mvcgzkoc xvfwzkocw hwe {ov zo bhtkbkqf $oy bkckbkqf+ zdf ovzpvz om ocf oy boyf mvcgzkocw# • Zdf ef{ zo wol}kcn wvgd pyoilfbw kw zo jfzfybkcf zdf kcpvzw zdhz pyojvgf zdf lhynfwz hcj zdf wbhllfwz ovzpvzw ( Zo jo wo bowz fmmfgzk}fl{, mkywz hwwfww {ovy o}fyhll nohl hcj zdfc gocwkjfy fhgd mvcgzkoc wfphyhzfl{, wdovlj zdfyf if boyf zdhc ocf( —Km mvcgzkocw hcj
hyf jfmkcfj hw $ + 2 9 % 7 hcj $ + 2 > ‗ 7 , hcj hcj hyf fhgd coc"cfnhzk}f kczfnfyw lfww zdhc ;, ~dhz kw zdf bkckbvb }hlvf om $ + % $ +?‛
$ { + % d $ $q Hcw~fy 1 ‗86# Zdf nohl om zdf pyoilfb kw zo bhef zdf }hlvf om n n $ q + hw wbhll hw powwkilf# Jokcn wo yfxvkyfw zdhz n $ $ { + hcj d $ $q q + fhgd if hw wbhll hw zdf{ ghc if# Wkcgf mvcgzkoc n kw hjjkcn wobfzdkcn zo 9, kzw ovzpvz ~ovlj if wbhllfwz km zdhz wobfzdkcn ~fyf cfnhzk}f# Do~f}fy, { bvwz if h coc"cfnhzk}f kczfnfy lfww zdhc ;, hcj 7 zkbfw h coc"cfnhzk}f cvbify ghccoz fxvhl h cfnhzk}f cvbify# Zdf cftz ifwz ~h{ zo bkckbkqf zdf ovzpvz om mvcgzkoc m ~ovlj if zo hjj 0 zo 9, wkcgf hjjkcn h powkzk}f }hlvf zo 9 ~ovlj ocl{ kcgyfhwf zdf wkqf om zdf ovzpvz# Zdf ocl{ ~h{ zo hjj 0 zo 9 kw zo lfz { 2 0, hw 7$0+ 2 0# Wkcgf 9 % 0 2 9, zdf wbhllfwz powwkilf }hlvf om mvcgzkoc n kw 9# Wkcgf mvcgzkoc d kw wvizyhgzkcn wobfzdkcn myob >, kzw ovzpvz ~ovlj if wbhllfwz km zdhz wobfzdkcn ~fyf hw lhynf hw powwkilf# Hw q dhw h bhtkbvb }hlvf om 4, zdf lhynfwz }hlvf zdhz ghc if wvizyhgzfj myob > kw 9:, wkcgf 7$4+ 2 9:# Zdvw, zdf wbhllfwz powwkilf }hlvf om mvcgzkoc d kw ‗8>, hw > ‗ 9: 2 ‗8># Hw zdf wbhllfwz powwkilf }hlvf om mvcgzkoc n kw 9, hcj zdf wbhllfwz powwkilf }hlvf om mvcgzkoc d kw ‗ 8>, zdf wbhllfwz powwkilf }hlvf om n $ { + % d $ $ q n $ q + bvwz if ‗86, wkcgf 9 % $‗8>+ 2 ‗86# —Km mvcgzkocw hcj jfmkcfj hw $ + 2 : % $ ‗ 7+9 hcj $ + 2 6 ‗ $ % 8+9, hcj hcj hyf fhgd ifz~ffc ‗> hcj 9, kcglvwk}f, ~dhz kw zdf bhtkbvb }hlvf om $ + ‗ $ +?‛
$ t $ { + hw lhynf hw powwkilf# Jokcn wo Hcw~fy 1 876# Zdf nohl om zdf pyoilfb kw zo bhef zdf }hlvf om m m $ t + ‗ n n $ yfxvkyfw zdhz m $ $t + if hw lhynf hw powwkilf, hcj n $ $ { + if hw wbhll hw powwkilf# t Wkcgf mvcgzkoc m kw hjjkcn wobfzdkcn zo :, kzw kzw ovzpvz ~ovlj if lhynfwz km zdhz wobfzdkcn ~fyf powkzk}f# ^f eco~ 9 zdhz $ t t ‗ 7+ bvwz pyojvgf h coc"cfnhzk}f cvbify, hw hc{zdkcn wxvhyfj bvwz fxvhl 0 oy lhynfy# Zdf xvfwzkoc kw, ~dhz ~kll bhef $ t t ‗ 7+9 hw lhynf hw powwkilf? Kc wvgd ghwfw, gocwkjfy zdf lkbkzw om zdf powwkilf kcpvzw# Km t 2 9, zdf lhynfwz powwkilf }hlvf om t , zdfc $ t t ‗ 7+9 2 8# Do~f}fy, km t 2 ‗>, zdf wbhllfwz powwkilf }hlvf om t , zdfc $ t t ‗ 7+ 9 2 800# Zdf lhynfwz powwkilf }hlvf om mvcgzkoc m , zdfyfmoyf, kw 80:, hw : % 800 2 80:# Wkcgf mvcgzkoc n kw wvizyhgzkcn wobfzdkcn myob 6, kzw ovzpvz ~ovlj if wbhllfwz km zdhz wobfzdkcn ~fyf hw lhynf hw powwkilf# ^f eco~ zdhz { $ % 8+9 bvwz pyojvgf h coc"cfnhzk}f cvbify, hw hc{zdkcn wxvhyfj bvwz fxvhl 0 oy lhynfy# Zdf xvfwzkoc kw, ~dhz ~kll bhef $ { % 8+9 hw lhynf hw powwkilf? Hnhkc, gocwkjfy zdf lkbkzw om zdf powwkilf kcpvzw # Km { { 2 9, zdf lhynfwz powwkilf }hlvf om { { , zdfc $ { % 8+9 2 ;# Do~f}fy, km { { 2 ‗>, zdf wbhllfwz 9 powwkilf }hlvf om { { , zdfc $ { % 8+ 2 7=# Zdf wbhllfwz powwkilf }hlvf om mvcgzkoc n , zdfyfmoyf, kw 6 ‗ 7= 2 ‗78# Hw zdf lhynfwz powwkilf }hlvf om mvcgzkoc m kw 80:, hcj zdf wbhllfwz powwkilf }hlvf om mvcgzkoc n kw ‗ 78, zdf lhynfwz powwkilf }hlvf om m $t + ‗ n $ { + bvwz if 876, wkcgf 80: ‗$‗78+ 2 876# m $ t n $
8> Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Jkyfgz ]hykhzkoc Mvcgzkocw ‗ ^oyj pyoilfbw zdhz wzhzf zdhz ocf xvhczkz{ kw h jkyfgz mvcgzkoc om hcozdfy, oy kw jkyfgzl{ pyopoyzkochl zo hcozdfy, hyf z{pkghll{ yfmfyyfj zo hw jkyfgz }hykhzkoc mvcgzkocw# • Hll jkyfgz }hykhzkoc mvcgzkocw wdovlj if wol}fj i{ fwzhilkwdkcn h pyopoyzkoc ifz~ffc zdf z~o xvhczkzkfw# —Zdf bhtkbvb dfkndz hzzhkcfj i{ h gfyzhkc zo{ yogefz lhvcgdfj jkyfgzl{ vp~hyj kw h jkyfgz mvcgzkoc om zdf gvif om zdf zdyvwz, bfhwvyfj kc povcjw, vwfj zo lhvcgd zdf yogefz# Km zdf yogefz kw lhvcgdfj ~kzd h zdyvwz om 6 povcjw hcj hzzhkcw h bhtkbvb dfkndz om 96 mffz, do~ bvgd zdyvwz ~ovlj if yfxvkyfj zo lhvcgd zdf yogefz zo h bhtkbvb dfkndz om 900 mffz?‛ Hcw~fy 1 80 povcjw# Zdf bhtkbvb dfkndz zdhz zdf yogefz hzzhkcw kw whkj zo if h jkyfgz mvcgzkoc om zdf gvif om zdf zdyvwz vwfj zo lhvcgd kz# Km 6 povcjw om zdyvwz pyopfl zdf yogefz 96 mffz, zdfc t povcjw om zdyvwz pyopfl zdf yogefz 900 mffz1 7 povcjw7 povcjw7 67 t ⇙ 900 mffz mffz 96 2
2
Wol}kcn moy t pyo}fw zdhz 80 povcjw om zdyvwz ~ovlj if yfxvkyfj zo pyopfl zdf yogefz 900 mffz, hw1 7
6 $900+
2
7
96t
⇙
896$900+ 96
2
6$900+
2
8,000
2
7
t
80
⇙
2
t
Kc}fywf ]hykhzkoc Mvcgzkocw ‗ ^oyj pyoilfbw zdhz wzhzf zdhz ocf xvhczkz{ kw hc kc}fywf mvcgzkoc om hcozdfy, oy kw kc}fywfl{ pyopoyzkochl pyopoyzkochl zo hcozdfy, hyf z{pkghll{ yfmfyyfj zo hw kc}fywf }hykhzkoc mvcgzkocw# • Vclkef jkyfgz }hykhzkoc mvcgzkocw, ~dkgd hyf wol}fj i{ wfzzkcn vp h pyopoyzkoc ifz~ffc z~o xvhczkzkfw, kc}fywf }hykhzkoc mvcgzkocw hyf wol}fj i{ wfzzkcn zdf pyojvgzw om z~o xvhczkzkfw fxvhl zo ocf hcozdfy ( —Zdf kczfcwkz{ hz ~dkgd h lkndz kw pfygfk}fj kw hc kc}fywf mvcgzkoc om zdf wxvhyf om zdf jkwzhcgf myob zdf wovygf om zdf lkndz# Km zdf kczfcwkz{ om h lkndz kw pfygfk}fj zo if 800 ghcjlfw hz h jkwzhcgf om = mffz myob kzw wovygf, hz ~dhz jkwzhcgf myob kzw wovygf ~kll h lkndz if pfygfk}fj zo if :00 ghcjlfw?‛ Hcw~fy 1 7 mffz# Zdf kczfcwkz{ hz ~dkgd h lkndz kw pfygfk}fj kw whkj zo if hc kc}fywf mvcgzkoc om zdf wxvhyf om zdf jkwzhcgf myob zdf wovygf om zdf lkndz# Zdfyfmoyf, km zdf kczfcwkz{ om h gfyzhkc lkndz kw pfygfk}fj zo if 800 ghcjlfw hz h jkwzhcgf om = mffz myob kzw wovygf, zdfc zdf kczfcwkz{ om zdhz lkndz ~kll if pfygfk}fj zo if :00 ghcjlfw hz h jkwzhcgf om t mffz myob kzw wovygf1 9
ghcjlfw ⋆ mffz
9
2
ghcjlfw ⋆ mffz
⇙
800 ⋆ =
9
9
2
:00 ⋆ t
Wol}kcn moy t pyo}fw zdhz zdf kczfcwkz{ om zdhz lkndz ~kll if pfygfk}fj zo if :00 ghcjlfw hz h jkwzhcgf om 7 mffz myob kzw wovygf, hw1 9
t
2
800 ⋆ =9 800 ⋆ 7= 7= 2 2 2; :00 :00 :
⇙
t 2
¸7
84 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Nyhpdkcn Mvcgzkocw ‗ Mvcgzkocw ghc if nyhpdfj# Zo jo wo, yfplhgf zdf $ + poyzkoc om zdf mvcgzkoc ~kzd h # Zdf yfwvlzkcn fxvhzkoc ghc zdfc if nyhpdfj kc zdf whbf bhccfy zdhz {ov ~ovlj hc{ ozdfy fxvhzkoc# t • Moy fthbplf, h mvcgzkoc ~ykzzfc kc zdf moyb m $ $t + 2 bt % i ghc if vcjfywzooj hw { 2 bt % i i{ yfplhgkcn kzw $t + ~kzd { 1 m $ t
—^dhz kw zdf nyhpd om mvcgzkoc , km mvcgzkoc kw jfmkcfj $ + 2 7 ‗ 9?‛ t • Zo hcw~fy wvgd h xvfwzkoc, wviwzkzvzf { moy m $ $t + ~kzdkc zdf mvcgzkoc1 { 2 7t ‗ 9#
• Hw b yfpyfwfczw zdf wlopf hcj i yfpyfwfczw zdf { "kczfygfpz "kczfygfpz om hc{ fxvhzkoc kc zdf moyb { 2bt % i , zdf wlopf om zdf mvcgzkoc hio}f bvwz if 7 hcj kzw { "kczfygfpz "kczfygfpz ‗9# • Zdf nyhpd om wvgd hc fxvhzkoc ~ovlj if wefzgdfj hw jocf zo zdf lfmz#
Zo nyhpd mvcgzkocw zdhz hyf coz ~ykzzfc kc zdf moyb om m $t + 2 bt % i , wviwzkzvzf { moy m $ $ t m $ t t + hcj gyfhzf h goyyfwpocjkcn t hcj { }hlvfw }hlvfw i{ plvnnkcn h wfz om t }hlvfw }hlvfw kczo zdf mvcgzkoc# wbhll gdhyz om goyyfwpocjkcn
• Ploz zdf gooyjkchzf }hlvfw om zdfwf pokczw zo wff zdf wdhpf om zdf nyhpd#
—^dhz kw zdf nyhpd om mvcgzkoc , kw mvcgzkoc kw jfmkcfj hw $ + 2
7
‗ 9 ‗ 8?‛
t • Zo hcw~fy wvgd h xvfwzkoc, mkywz wviwzkzvzf { moy m $ $t + ~kzdkc zdf mvcgzkoc1 { 2 t 7 ‗ 9t ‗ 8# Zdfc gyfhzf gyfhzf h gdhyz gdhyz om t hcj { }hlvfw1 t "}hlvf "}hlvf 0 8 9
{ "}hlvf "}hlvf ‗9 ‗8 ‗8 ‗9 7
‗6 0
• Mkchll{, ploz zdf yfwvlzkcn gooyjkchzf pokczw# Kc hc fxvhzkoc ~kzd ftpocfczw, hl~h{w hwwvbf h jkyfgz ivz gkygvkzovw phzd ifz~ffc pokczw( • Moy mvyzdfy jkwgvwwkoc om gooyjkchzf nyhpdkcn, if wvyf zo gocwvlz zdf Gooyjkchzf Nfobfzy{ wfgzkoc om zdf Nfobfzy{ cozfw(
8; Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
7+ W{biolkwb Kczyojvgzoy{ ‗ Hc{ xvfwzkoc zdhz kczyojvgfw hcj jfmkcfw vcmhbklkhy bhzdfbhzkghl w{biolw wvgd hw !, έ oy ⊖ ghc if yfmfyyfj zo hw h w{biolkwb pyoilfb# • W{biolkwb pyoilfbw omzfc looe kczkbkjhzkcn# Lkef mvcgzkocw, do~f}fy, zdf{ hyf cozdkcn boyf zdhc moybvlh pyoilfbw ~ykzzfc kc h wpfgkhl cozhzkoc( —Km
kw jfmkcfj hw
7
‗ 9, ~dhz kw zdf }hlvf om 6
7?‛
• Zdf ef{ zo wol}kcn wvgd pyoilfbw kw zo vcjfywzhcj zdfky cozhzkoc# Kc zdf pyoilfb hio}f, moy fthbplf, zdf cozhzkoc kw wkbpl{ zfllkcn {ov zdhz “hc{zdkcn zo zdf lfmz om zdf w{biol ⊖ kw zo if gvifj‒ hcj zdhz “hc{zdkcn zo zdf ykndz om zdf w{biol ⊖ kw zo if wxvhyfj hcj wvizyhgzfj myob zdf mkywz zfyb#‒ Zdfyfmoyf, 6 ⊖ 7 2 88=, hw1 67 ‗ 79 2 896 ‗ ; 2 88= —Km
έ kw jfmkcfj hw
%
9,
~dhz kw zdf }hlvf om =
$‗7+?‛
• Lkef~kwf, zdf cozhzkoc kc zdf pyoilfb hio}f kw zfllkcn {ov zdhz “hc{zdkcn zo zdf lfmz om zdf έ kw zo if bvlzkplkfj ~kzd hc{zdkcn zo zdf ykndz om zdf έ‒ hcj zdhz “hc{zdkcn zo zdf ykndz om zdf έ kw zo if wxvhyfj hcj hjjfj zo zdhz pyojvgz#‒ Zdfyfmoyf, = έ $‗7+ 2 ‗;, hw1 =$‗7+ % $‗7+9 2 $‗84+ % ; 2 ‗;
Zfgdckghll{, w{biolkwb xvfwzkocw ghc if iyoefc jo~c kczo zdyff phyzw1 $8+ zdf jfmkckzkoc, $9+ zdf kcpvz hcj, opzkochll{, $7+ zdf ovzpvz# —Km
kw jfmkcfj hw
:
‗ 9, hcj
Jfmkckzkoc
Kcpvz
7 2 >, ~dhz kw zdf }hlvf om ?‛
Ovzpvz
• Zdf jfmkckzkoc om h w{biolkwb pyoilfb zfllw {ov do~ zo bhckpvlhzf h nk}fc nk}fc kcpvz# Moy fthbplf, zdf jfmkckzkoc hio}f wzhzfw zdhz “hc{zdkcn zo zdf lfmz om zdf ♦ kw zo if xvhjyvplfj‒ hcj zdhz “hc{zdkcn zo zdf ykndz om zdf ♦ kw zo if wxvhyfj hcj wvizyhgzfj myob zdf mkywz zfyb#‒♦ • Zdf kcpvz om h w{biolkwb pyoilfb hl~h{w hppfhyw hmzfy zdf jfmkckzkoc, hcj zfllw {ov ~dhz kw zo if bhckpvlhzfj# Zdf pyoilfb hio}f, moy fthbplf, wh{w zdhz “t kw zo if xvhjyvplfj‒ hcj zdhz “7 kw zo if wxvhyfj wxvhyfj hcj wvizyhgzfj myob t :‒# • Hc ovzpvz zfllw {ov zdf yfwvlz om zdf kcpvz, hcj hl~h{w mollo~w hc fxvhl wknc# Moy fthbplf, kc zdf pyoilfb hio}f, zdf xvfwzkoc zfllw {ov zdhz zdf ovzpvz om t ♦ 7, ocgf bhckpvlhzfj, ~kll if ># Z{pkghll{, w{biolkwb pyoilfbw ocl{ goczhkc ovzpvzw ~dfc zdf kcpvz goczhkcw h }hykhilf# ♦ • Zdvw, kc pyoilfb hio}f, t 2 ¸9, hw1 t : ‗ $7+9 2 >
⇙
t : 2 > % ; 2 8=
⇙
t 2 ¸9
90 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
^oyekcn ^kzd Kcpvzw ‗ Zdf mollo~kcn kw h iykfm lkwz om pyhgzkgf xvfwzkocw zo dflp {ov nfz h ifzzfy mffl moy ~oyekcn ~kzd w{biolkwb xvfwzkocw zdhz ocl{ goczhkc kcpvzw# —Km ≠ 0, hcj
∍ kw jfmkcfj hw
"
9
, ~dhz kw zdf }hlvf om 7 ∍ ;?‛
Hcw~fy 1 ‗7# Zdf cozhzkoc kc zdf pyoilfb wzhzfw zdyff zdkcnw1 $8+ “hc{zdkcn zo zdf lfmz om zdf ∍ kw zo if wxvhyfj
hcj bhjf cfnhzk}f‒, $9+ “hc{zdkcn zo zdf ykndz om zdf ∍ kw zo dh}f kzw wxvhyf yooz zhefc‒ hcj $7+ “wzfp 8 kw zo if jk}kjfj i{ wzfp 9‒# Zdfyfmoyf, 7 ∍ ; 2 ‗7, hw1 $7 +9 ∙$7+ ;
—Moy hll cvbifyw ,
hcj , km ⎨⎧ ⎪⎭
2
;
∙7
2
∙7 ‗ , ~dhz kw zdf }hlvf om 7 ⎨⎧ : ⎪⎭ 6 ?‛
kw jfmkcfj hw
Hcw~fy 1 ‗4# Zdf cozhzkoc kc zdf pyoilfb wzhzfw zdyff zdkcnw1 $8+ “hc{zdkcn zo zdf lfmz om zdf ⎨⎧ ⎪⎭ kw zo if bvlzkplkfj ~kzd zdf zfyb ~kzdkc zdf ⎨⎧ ⎪⎭ ‒, $9+ “hc{zdkcn “hc{zdkcn zo zdf ykndz om zdf U R kw zo if bvlzkplkfj ~kzd zdf zfyb ~kzdkc zdf ⎨⎧ ⎪⎭ ‒ hcj $7+ “wzfp 9 kw zo if wvizyhgzfj myob wzfp 8‒# Zdfyfmoyf, 7 ⎨⎧ : ⎪⎭ 6 2 ‗41
7$:+ ‗ :$6+ 2 89 ‗ 90 2 ‗4
^oyekcn ^kzd Ovzpvzw ‗ Zdf mollo~kcn kw h iykfm lkwz om pyhgzkgf xvfwzkocw zo dflp {ov nfz h ifzzfy mffl moy ~oyekcn ~kzd w{biolkwb xvfwzkocw zdhz hlwo goczhkc ovzpvzw# —Moy hll cvbifyw
hcj , ss kw jfmkcfj hw $ % +$ ‗ +# Km 6ss 2 ‗88, ~dhz jofw fxvhl?‛
Hcw~fy 1 { 2 ¸=# Zdf cozhzkoc kc zdf pyoilfb wzhzfw zdyff zdkcnw1 $8+ “Zdf zfy bw zo zdf lfmz hcj zdf ykndz om zdf ss hyf zo if hjjfj‒, $9+ “zdf zfybw zo zdf lfmz hcj zdf ykndz om zdf ss hyf zo if wvizyhgzfj‒, hcj $7+ “zdf yfwvlzw om wzfpw 8 hcj 9 hyf zo if bvlzkplkfj zonfzdfy‒# Zdf kcpvz"ovzpvz poyzkoc om zdf xvfwzkoc wzhzfw zdhz hc
kcpvz om 6ss { dhw hc ovzpvz om ‗88# Zdfyfmoyf, { 2 ¸=, hw1 $6 % { +$6 ‗ { + 2 ‗88 { 96 ‗ { { 9 2 ‗88 7= 2 { 9 ⇙ { 2 ¸= —Zdf opfyhzkoc
2 t
kw jfmkcfj i{ zdf fxvhzkoc Km ≠
hcj
t%
e
, moy hll cvbifyw
0, zdfc ~dhz jofw
hcj wvgd zdhz
≠ ‗ #
fxvhl?‛
Hcw~fy 1 e 2 0# Zdf cozhzkoc kc zdf pyoilfb wzhzfw zdyff zdkcnw1 $8+ “Zdf zfybw zo zdf lfmz hcj zdf ykndz om zdf
Ϋ hyf zo if wvizyhgzfj‒, $9+ “zdf zfybw zo zdf lfmz hcj zdf ykndz om zdf Ϋ hyf zo if hjjfj‒, hcj $7+ “zdf yfwvlzw om wzfp 8 hyf zo if jk}kjfj i{ zdowf om wzfp 9‒# Zdf kcpvz"ovzpvz poyzkoc om zdf xvfwzkoc wzhzf w zdhz hc kcpvz om n Ϋ e dhw hc ovzpvz om 0# Zdfyfmoyf, e 2 0, hw1 Ϋ e ‗ n 2 0 e % n
⇙
e ∙ n
2
0
$bvlzkpl{ i{ e % n +
⇙
e 2 n
98 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
W{biolkwb Xvfwzkocw ^kzd Bvlzkplf Wzfpw ‗ Gfyzhkc w{biolkwb pyoilfbw kc}ol}f bvlzkplf wzfpw# • Zo wol}f wvgd xvfwzkocw, wkbplkm{ zdf kckzkhl kcpvz"ovzpvz yflhzkocwdkp# Ocgf zdkw dhw iffc jocf, plvn kzw wolvzkoc kczo zdf xvfwzkoc zo wol}f zdf pyoilfb# —Zdf opfyhzkoc
Ϙ kw jfmkcfj hw
Ϙ 2
9
%
# Km
Ϙ 7 2 =0, ~dhz kw zdf }hlvf om km
2 80?‛
Hcw~fy 1 q 2 ‗9 oy 8# Zdf cozhzkoc kc zdf pyoilfb wzhzfw zdyff zdkcnw1 $8+ “hc{zdkcn zo zdf ykndz om zdf Ϙ kw zo
if wxvhyfj hcj bvlzkplkfj ~kzd hc{zdkcn zo zdf lfmz om zdf Ϙ‒, $9+ “zdf kzfbw zo zdf lfmz hcj zdf ykndz om zdf Ϙ hyf zo if bvlzkplkfj zonfzdfy‒, hcj $7+ “zdf yfwvlzw om wzfpw 8 hcj 9 hyf zo if hjjfj zonfzdfy‒# Zdf kckzkhl kcpvz" ovzpvz poyzkoc om zdf xvfwzkoc wzhzfw zdhz hc kcpvz om t Ϙ 7 dhw hc ovzpvz om =0# Zdfyfmoyf, t 2 6, hw1 $7+9 % t $7+ $7+ 2 =0 t $7+ ;t % 7 t 2 =0 t 2 6 Plvnnkcn t 2 6 kczo t Ϙ q 2 80 yf}fhlw1 6$ q q + 9 % 6$ q q + 2 80 9 q % q 2 9 q 9 % q ‗ 9 2 0 Zdvw, q bvwz fxvhl ‗9 oy 8, hw1 q 9 % q ‗ 9 2 0
—Lfz ¥ µ if jfmkcfj hw ¥ µ 2
⇙
$ q q % 9+$ q q ‗ 8+ 2 0
⇙
q 2 ‗9, 8
9 ‗
moy hll }hlvfw om # Km ¥ µ 2 ¥ ~dhz kw zdf }hlvf om ¥: µ?‛
9µ moy hll }hlvfw ,
Hcw~fy 1 ¥: n µ 2 70# Zdf cozhzkoc kc zdf pyoilfb wzhzfw zdhz “hc{zdkc n ~kzdkc zdf ¥ µ kw zo if wvizyhgzfj myob zdf wxvhyf om kzwflm‒# Zdf kckzkhl kcpvz"ovzpvz poyzkoc om zdf xvfwzkoc wzhzfw zdhz hc kcpvz om ¥ n µ dhw hc ovzpvz om ¥ n ‗ 9µ# Zdvw1
¥ n µ 2 ¥ n ‗ ‗ 9µ
⇙
‗ 9+ n 9 ‗ n n 2 $ n ‗ 9+9 ‗ $ n ‗
Zdkw ghc if wkbplkmkfj zo wdo~ zdhz n 2 8#61 ‗ 9+ n 9 ‗ n n 2 $ n 9 ‗ : n % :+ ‗ $ n ‗
⇙
n 9 ‗ n n 2 n 9 ‗ : n % : ‗ n n % 9
⇙
: n 2 =
n 2 8#6
Plvnnkcn n n 2 8#6 kczo ¥: n µ yf}fhlw zdhz ¥: n µ 2 70, hw1 ¥: n µ 2 ¥:$8#6+µ 2 ¥=µ ¥=µ 2 $=+9 ‗ = ¥=µ 2 70
99 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Yfpfhzfj W{biolkwb ‗ Boyf jkmmkgvlz w{biolkwb pyoilfbw z{pkghll{ yfxvkyf h phyzkgvlhy w{biol zo if vwfj bvlzkplf zkbfw# • Zdf ef{ zo wol}kcn wvgd pyoilfbw kw zo zhef zdfb ocf wzfp hz h zkbf# Km phyfczdfwfw hyf kc}ol}fj, hl~h{w wol}f zdf poyzkoc om zdf pyoilfb kcwkjf zdf phyfczdfwfw mkywz# ——Km
Γ kw jfmkcfj hw
‗ , zdfc ~dhz kw zdf }hlvf om $7
Γ 9+ Γ 7?‛
Hcw~fy 1 ‗9# Mkywz wol}f zdf poyzkoc om zdf pyoilfb kcwkjf zdf phyfczdfwfw# Zdf cozhzkoc kc zdf pyoilfb wzhzfw
zdyff zdkcnw1 $8+ “hc{zdkcn zo zdf lfmz om zdf Γ kw zo if yhkwfj zo zdf po~fy om hc{zdkcn zo zdf ykndz om zdf Γ‒, $9+ “hc{zdkcn zo zdf ykndz om zdf Γ kw zo if yhkwfj zo zdf po~fy om hc{zdkcn zo zdf lfmz om zdf Γ‒ hcj $7+ “wzfp 9 kw zo if wvizyhgzfj myob wzfp 8‒#
Zdfyfmoyf, 7 Γ 9 2 8, hw1 $7+9 ‗ $9+7 2 ; ‗ 4 2 8
Km $7 Γ 9+ fxvhlw 8, zdfc $7 Γ 9+ Γ 7 bvwz fxvhl ‗9, hw1 8 Γ 7 2 $8+7 ‗ $7+8 2 8 ‗ 7 2 ‗9 ——Km
kw jfmkcfj hw
h%
, zdfc ~dhz kw zdf }hlvf om 894
$ 8=0 8=0
;=+ ?‛
Hcw~fy 1 89# Mkywz wol}f zdf poyzkoc om zdf pyoilfb kcwkjf zdf phyfczdfwfw# Zdf cozhzkoc kc zdf pyoilfb wzhzfw
zdhz “hc{zdkcn zo zdf lfmz om zdf ℔ kw zo if hjjfj zo hc{zdkcn zo zdf ykndz om zdf ℔‒ hcj zdhz “zdf wxvhyf yooz kw zo if zhefc om zdf yfwvlzkcn wvb‒# Zdfyfmoyf, $8=0 ℔ ;=+ 2 8=, hw1 8=0 ℔ ;= 2
8=0 % ;=
8=0 ℔ ;= 2 8=$80+ % 8=$=+ 2 $8=+$80 8=0 ℔ ;= 2 $8=+$8=+
%
=+ 2 $8=+$8=+
8= Þ 8=
2
2
8=
Km $8=0 ℔ ;=+ fxvhlw 8=, zdfc 894 ℔ $8=0 ℔ ;=+ bvwz fxvhl 89, hw1 894 ℔ 8= 2
894 % 8=
2
—Km opfyhzkoc ! kw jfmkcfj i{ zdf fxvhzkoc ! 2
8::
2 89
/ , ~dhz kw zdf }hlvf om $$‗ +!+!?‛
Hcw~fy 1 ‗ τ τ # Mkywz wol}f zdf poyzkoc om zdf pyoilfb kcwkjf zdf phyfczdfwfw# Zdf cozhzkoc kc zdf pyoilfb wzhzfw
zdhz “hc{zdkcn zo zdf lfmz om zdf ! kw zo jk}kjf zdf vceco~c flfbfcz τ ‒# ‒# Zdvw, $‗ τ τ +! 2 ‗8, hw1
τ /‗ τ 2 ‗8 /‗ τ τ +! fxvhlw ‗8, zdfc $$‗ τ τ +!+! bvwz fxvhl ‗ τ τ , hw1 Km $‗ τ $‗8+! 2 τ /‗8 /‗8 2 ‗ τ τ
97 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Bvlzkplf W{biolw $Hj}hcgfj+ ‗ Zdf bowz jhvczkcn w{biolkwb pyoilfbw z{pkghll{ goczhkc bvlzkplf w{biolw# • Zdf ef{ zo wol}kcn wvgd xvfwzkocw kw zo iyfhe zdfb jo~c kczo wbhllfy pyoilfbw# Pfymoyb ~dkgdf}fy opfyhzkoc {ov jffb fhwkfwz mkywz, hcj goczkcvf zo jo wo vczkl {ov dh}f ftfgvzfj hll zdf opfyhzkocw zdhz zdf pyoilfb goczhkcw# —Km
kw jfmkcfj hw $ % +$ ‗ +,
kw jfmkcfj hw , hcj }hlvf om $: 6+ $‗7 :+?‛
kw jfmkcfj hw |
|, ~dhz kw zdf
Hcw~fy 1 440# Mkywz wol}f $: γ 6+# Zdf γ cozhzkoc wzhzfw z~o zdkcnw1 $8+ “zhef zdf wxvhyf yooz om hc{zdkcn zo zdf
lfmz om zdf ‒ hcj $9+ “yhkwf zdhz wxvhyf yooz zo zdf po~fy om hc{zdkcn zo zdf ykndz om zdf 2 79, hw1 :
6 2
6
$9 +
2
‒# Zdfyfmoyf, $: γ 6+
79
Zdfc wol}f $‗7 ύ :+# Zdf ύ cozhzkoc wzhzfw z~o zdkcnw1 $8+ “bvlzkpl{ hc{zdkcn zo zdf lfmz om zdf ύ ~kzd hc{zdkcn zo kzw ykndz‒ hcj $9+ “zhef zdf hiwolvzf }hlvf om zdf pyojvgz‒# Zdfyfmoyf, $‗7 ύ :+ 2 89, hw1 |‗7$:+| 2 |‗89| 2 89 Mkchll{ wol}f $: γ 6+ ώ $‗7 ύ :+, ~dkgd fxvhlw 79 ώ 89, wkcgf $: γ 6+ 2 79 hcj $‗7 ύ :+ 2 89# Zdf ώ cozhzkoc wzhzfw zdyff zdkcnw1 $8+ “hjj hc{zdkcn zo zdf lfmz om zdf ώ zo hc{zdkcn zo kzw ykndz‒, $9+ “wvizyhgz hc{zdkcn zo zdf ykndz om zdf ώ myob hc{zdkcn zo kzw lfmz‒, hcj $7+ “bvlzkpl{ zdf yfwvlzw om wzfpw 8 hcj 9‒# Zdfyfmoyf, 79 ώ 89 2 440, hw1 $79 % 89+$79 ‗ 89+ 2 $::+$90+ 2 440 —Km
kw zdf nyfhzfwz gobboc mhgzoy om hcj , hcj om hcj , hcj kw jfmkcfj hw $ + $
kw jfmkcfj hw zdf lfhwz gobboc bvlzkplf +, zdfc ~dhz kw zdf }hlvf om = 80?‛
Hcw~fy 1 70# Hggoyjkcn zo zdf jfmkckzkocw nk}fc hio}f, = ↘ 80 wdovlj fxvhl $=
↙ 80+ ← $= ← 80+, wkcgf t ↘ { 2
= ↘ 80# Wkcgf t ↙ { yfpyfwfczw zdf nyfhzfwz gobboc mhgzoy om t hcj { , = ↙ 80 bvwz fxvhl 9, hw 9 kw zdf nyfhzfwz mhgzoy kc gobboc zo iozd = hcj 80# Lkef~kwf, wkcgf t ← { yfpyfwfczw zdf lfhwz gobboc bvlzkplf om t hcj { , = ← 80 bvwz fxvhl 70, hw 70 kw zdf wbhllfwz bvlzkplf kc gobboc zo iozd = hcj 80# Km $= ↙ 80+ 2 9 hcj $= ← 80+ 2 70, zdfc = ↘ 80 bvwz fxvhl 70, wkcgf $= ↙ 80+ ← $= ← 80+ fxvhlw 9 ← 70, hcj zdf wbhllfwz bvlzkplf kc gobboc zo iozd 9 hcj 70 kw 70#
9: Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
:+ Wfxvfcgfw $Hj}hcgfj+ Kczyojvgzoy{ ‗ H wfxvfcgf kw h wfz om cvbifyw hyyhcnfj kc h mktfj oyjfy# • Moy fthbplf, cvbify wfzw wvgd hw 8, 9, 7, :, 6… hcj 7, =, 89, 9:, :4… bkndz if gocwkjfyfj fthbplfw om wfxvfcgfw, hw zdf oyjfy om zdfky flfbfczw hppfhyw zo if yfnvlhy hcj pyfjkgzhilf1 8, 9, 7, :, 6… hppfhyw zo kcgyfhwf i{ 8, ~dklf 7, =, 89, 9:, :4… hppfhyw zo jovilf#
• Wfxvfcgf pyoilfbw ghc if kczyojvgfj kc h }hykfz{ om ~h{w1 $8+ Wobf vwf cozhzkoc wvgd hw H8, H9, H7,…, Hc oy Z 8, Z 9, Z 7,…,Z c # $9+ Ozdfyw wzhzf zdhz gfyzhkc oiafgzw, wvgd hw zdf ifhjw kc h cfgelhgf, yfpfhz kc h wpfgkmkg oyjfy# $7+ Wzkll ozdfyw pyo}kjf zfywf fxvhzkocw wvgd hw W c 2 9c 7 oy Hb 2 :b ‗ 8# • ^dhzf}fy zdf ghwf bh{ if, zdf mkywz zdkcn zo vcjfywzhcj hiovz wfxvfcgfw kw zdhz zdfky oyjfyw hyf hl~h{w no}fycfj i{ h yvlf, hcj zdhz kz kw kbpowwkilf zo jfzfybkcf hc vceco~c zfyb ~kzdkc h wfxvfcgf ~kzdovz eco~kcn zdf yvlf moy zdhz wfxvfcgf( —Km zdf }hlvf om zdf mkywz zfyb om wfxvfcgf kw 8 hcj zdf }hlvf om kzw wfgocj zfyb kw 9, ~dhz kw }hlvf om zdf zdkyj zfyb kc wfxvfcgf ?‛ Hcw~fy 1 Vceco~c# ^kzdovz eco~kcn zdf yvlf zdhz no}fycw wfxvfcgf Z , kz kw kbpowwkilf zo jfzfybkcf zdf }hlvf om zdf zdkyj zfyb kc zdf wfxvfcgf# Moy fthbplf, km fhgd zfyb kc wfxvfcgf Z kw zo if 8 lhynfy zdhc zdf zfyb ifmoyf kz, zdf zdkyj zfyb wdovlj if 7# Do~f}fy, km fhgd zfyb kc zdf wfxvfcgf kw zo jovilf zdf zfyb ifmoyf kz, zdf zdkyj zfyb wdovlj if :#
Wfxvfcgf pyoilfbw hyf omzfc ~ykzzfc kc h zfgdckghl cozhzkoc zdhz ghc if kczkbkjhzkcn oy gocmvwkcn1
—Zdf wfxvfcgf
8,
9,
7,…,
, kw wvgd zdhz 2 ‗8 % ‗9 moy hll zdf }hlvf om 4?‛
3 9# Km
62
4 hcj
=2
80, ~dhz kw
• Zdf “ 8, 9, 7,…, ‒ poyzkoc om zdf xvfwzkoc wkbpl{ wfy}fw zo hccovcgf zdhz zdfyf kw h wfxvfcgf W, ~dklf zdf cvbifyw iflo~ fhgd W kcjkghzf zdf powkzkoc om h phyzkgvlhy zfyb ~kzdkc zdf wfxvfcgf# Moy fthbplf, W 8 jfcozfw zdf mkywz zfyb kc zdf wfxvfcgf, W 9 zdf wfgocj zfyb kc zdf wfxvfcgf, hcj wo moyzd# • Zdf “ 2 ‗8 % ‗9‒ poyzkoc om zdf xvfwzkoc kw zdf yvlf zdhz no}fycw zdf wfxvfcgf# W c yfpyfwfczw hc{ zfyb kc zdf wfxvfcgf, W c ‗8 yfpyfwfczw zdf zfyb ifmoyf W c , hcj W c ‗9 yfpyfwfczw zdf zfyb ifmoyf W c ‗8# Zdkw phyzkgvlhy yvlf wzhzfw zdhz f}fy{ zfyb kc zdf wfxvfcgf kw fxvhl zo zdf wvb om zdf z~o zfybw ifmoyf kz# • Mkchll{, zdf “moy hll
3 9‒ poyzkoc om zdf xvfwzkoc kw h yfwzykgzkoc zdhz wzhzfw zdhz zdf yvlf ocl{ doljw moy
zfybw nyfhzfy zdhc zdf wfgocj zfyb# Km zdf yfwzykgzkoc dhj iffc ~ykzzfc “moy hll c ≦ 7‒, zdf yvlf ~ovlj ocl{ dolj moy zfybw fxvhl zo oy nyfhzfy zdhc zdf zdkyj# Hcw~fy 1 94# Hggoyjkcn zo zdf cozhzkoc om pyoilfb hio}f, zdf }hlvf om hc{ zfyb nyfhzfy zdhc zdf wfgocj kc wfxvfcgf W kw fxvhl zo zdf wvb om zdf z~o zfybw ifmoyf kz# Zdvw, zo jfzfybkcf zdf }hlvf om W 4, ~f cffj zo eco~ zdf }hlvf om zdf z~o zfybw ifmoyf kz1 W = hcj W ># ^f hyf zolj zdhz W = 2 80, wo ~f ocl{ cffj zo jfzfybkcf W ># Km fhgd zfyb kc zdf wfxvfcgf fxvhlw zdf wvb om zdf z~o ifmoyf kz, W > 2 W 6 % W =# Wkcgf W 6 2 4 hcj W = 2 80, W > 2 84, hw 4 % 80 2 84# Lkef~kwf, km W = 2 80 hcj W > 2 84, W 4 2 94, hw 80 % 84 2 94#
96 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Wfxvfcgf Yvlfw1 Ftplkgkz }w# Yfgvywk}f ‗ ^dfc ~oyekcn ~kzd wfxvfcgfw, kz kw gykzkghl zdhz {ov if hilf zo kczfypyfz zdfky yvlfw kc zfybw zdhz hyf fhw{ zo vcjfywzhcj# • Zdf yvlf moy hc{ wfxvfcgf wfxvfcgf ghc if ~ykzzfc kc ocf om z~o ~h{w1 ftplkgkzl{ oy yfgvywk}fl{#
^dfc yvlfw hyf ~ykzzfc ftplkgkzl{ , zdf }hlvf om fhgd zfyb kc zdf wfxvfcgf kw jfmkcfj i{ kzw powkzkoc ~kzdkc zdf wfxvfcgf # Zdkw powkzkoc kw ftpyfwwfj hw h }hykhilf wvgd hw h , c oy e(
• H yvlf wvgd hw Z h 2 h 9 ‗ 8 kw hc fthbplf om hc ftplkgkz yvlf# Kz kcjkghzfw zdhz zdf }hlvf om fhgd zfyb kc wfxvfcgf Z kw 8 lfww zdhc zdf wxvhyf om kzw powkzkoc kc zdf wfxvfcgf# Zdf mkywz zdyff zfybw om wvgd h wfxvfcgf ~ovlj if 0, 7 hcj 4, hw1 Z 8 2 0, hw $8+9 ‗ 8 2 8 ‗ 8 2 0 Z 9 2 7, hw $9+9 ‗ 8 2 : ‗ 8 2 7 Z 7 2 4, hw $7+9 ‗ 8 2 ; ‗ 8 2 4
• Lkef~kwf, h yvlf wvgd hw He 2 9e % 7 kw hlwo hc fthbplf om hc ftplkgkz yvlf# Kz wzhzfw zdhz zdf }hlvf om fhgd zfyb kc wfxvfcgf H kw 7 boyf zdhc 9 zkbfw kzw powkzkoc kc zdf wfxvfcgf# Zdf mkywz zdyff zfybw om wvgd h wfxvfcgf ~ovlj if 6, > hcj ;, hw1 H8 2 6, hw 9$8+ % 7 2 9 % 7 2 6 H9 2 >, hw 9$9+ % 7 2 : % 7 2 > H7 2 ;, hw 9$7+ % 7 2 = % 7 2 ;
^dfc yvlfw hyf ~ykzzfc yfgvywk}fl{, zdf }hlvf om fhgd zfyb kc zdf wfxvfcgf kw jfmkcfj i{ zdf }hlvfw om zdf zfybw hyovcj kz#
• H yvlf wvgd hw Q c 2 Q c ‗8 % 7 kw hc fthbplf om h yfgvywk}f yvlf# Kz kcjkghzfw zdhz zdf }hlvf om fhgd zfyb kc wfxvfcgf Q fxvhlw 7 boyf zdhc zdf zfyb ifmoyf kz# Moy fthbplf, km Q 8 2 9, zdf }hlvf om zdf cftz zdyff zfybw om wvgd h wfxvfcgf ~ovlj if 6, 4 hcj 88, hw1 Q 9 2 6, hw Q 8 % 7 2 9 % 7 2 6 Q 7 2 4, hw Q 9 % 7 2 6 % 7 2 4 Q : 2 88, hw Q 7 % 7 2 4 % 7 2 88
• Lkef~kwf, h yvlf wvgd hw Xe 2 $ +9 kw hlwo hc fthbplf om h yfgvywk}f yvlf# Kz kcjkghzfw zdhz zdf }hlvf om fhgd Xe ‗8 + zfyb kc wfxvfcgf X fxvhlw zdf wxvhyf om zdf zfyb ifmoyf kz# Moy fthbplf, km X X8 2 9, zdf }hlvf om zdf cftz zdyff zfybw om wvgd h wfxvfcgf ~ovlj if :, 8= hcj 96=, hw1 +9 2 $9+9 2 : X9 2 :, hw $ X8 + +9 2 $:+9 2 8= X7 2 8=, hw $ X9 + +9 2 $8=+9 2 96= X: 2 96=, hw $ X7 +
9= Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Jfzfybkckcn zdf ]hlvf om h Wpfgkmkg Zfyb ‗ Zdf bowz gobboc z{pf om wfxvfcgf xvfwzkoc pyo}kjfw zdf yvlf moy h wfxvfcgf hcj hwew {ov zo jfzfybkcf zdf }hlvf om h wpfgkmkg zfyb ~kzdkc zdf wfxvfcgf#
Km zdf yvlf kw ftplkgkz, wkbpl{ plvn plvn zdf powkzkoc om zdf nk}fc zfyb kczo zdf wfxvfcgf zo jfzfybkcf kzw }hlvf# —Km
2 9 % 7, ~dhz kw zdf }hlvf om
79
‗ $ :+$ 9+?‛
Hcw~fy 1 ‗80# W 79 79 bvwz fxvhl =>, hw 9$79+ % 7 2 =># Lkef~kwf, W : bvwz fxvhl 88, hw 9$:+ % 7 2 88, hcj W 9 bvwz W: +$ W W 9 ++ bvwz fxvhl ‗80, hw => ‗ $88+$>+ 2 => ‗ >> 2 ‗80# fxvhl >, hw 9$9+ % 7 2 ># Zdvw, W 79 79 ‗ $ W
—Km wfxvfcgf
kw jfmkcfj hw
7
2
‗ :, ~dhz kw zdf wvb om zdf }hlvfw om zdf mkywz zdyff pykbf zfybw om zdf wfxvfcgf?‛
Hcw~fy 1 8:4# Zdf mkywz zdyff pykbf cvbifyw hyf 9, 7 hcj 6# X9 bvwz fxvhl :, hw $9+ 7 ‗ : 2 :# X7 bvwz fxvhl 97, hw $7+7 ‗ : 2 97, hcj X6 bvwz fxvhl 898, hw $6+ 7 ‗ : 2 898# Zdfyfmoyf, zdf wvb om zdf }hlvfw om zdf mkywz zdyff pykbf zfybw om zdf wfxvfcgf bvwz if 8:4, hw : % 97 % 898 2 8:4#
—Km
8 Hcw~fy 1 :# H4 bvwz fxvhl 4, hw 4 ⋆ $9 +4"9
8
2
2
⋆ $9+ "9 , ~dhz kw zdf }hlvf om $ 8 = 4 ⋆ $9 +
2
9= 97
2
97
9
+ 7 ?. 4 9
2
9
4# Zdvw, $ H4 +7 bvwz fxvhl :, hw $4+ $4 +7 2 $9+9 2 :#
Km zdf yvlf kw yfgvywk}f, {ov bvwz wviwzkzvzf zdf }hlvfw pyo}kjfj kc zdf xvfwzkoc kczo zdf yvlf#
—Zdf wfxvfcgf
8,
9,
7,…,
, kw wvgd zdhz 2 $ ‗8+$ %8+ moy hll zdf }hlvf om =?‛
3 9# Km
7
2 9 hcj
6
2 =, ~dhz kw
Hcw~fy 1 Q = 2 8/9# Hggoyjkcn zo zdf cozhzkoc om zdf pyoilfb, zdf }hlvf om hc{ zfyb kc wfxvfcgf Q kw fxvhl zo zdf pyojvgz om zdf zfyb ifmoyf kz hcj zdf zfyb hmzfy kz, wo locn hw zdhz zfyb kw nyfhzfy zdhc zdf wfgocj# Km Q 7
2 9 hcj Q 6 2 =, wviwzkzvzkoc wdo~w zdhz Q : bvwz fxvhl 89, hw Q : 2 $ Q +$ Q +$ Q +, Q 7 +$ Q 6 ++ 2 9$=+# Mvyzdfy, km Q 6 2 $ Q Q : +$ Q = +, zdfc Q = 2 8/9, hw zdf wviwzkzvzkoc om Q : 2 89 hcj Q 6 2 = yf}fhlw zdhz = 2 $89+$ Q +, hcj zdhz Q = 2 =/89 2 8/9# Q = +, —
2
c" 8
c" 9
9
moy hll
3 9# Km
62
4 hcj
>2
80, ~dhz kw zdf }hlvf om
4?‛
hc{ zfyb kc wfxvfcgf Z kw fxvhl zo Hcw~fy 1 Z 4 2 88# Hggoyjkcn zo zdf cozhzkoc om zdf pyoilfb, zdf }hlvf om hc{ zdf h}fyhnf om zdf z~o zfybw ifmoyf kz, wo locn hw zdhz zfyb kw nyfhzfy zdhc zdf wfgocj# Dfcgf, Z 4 wdovlj fxvhl zdf h}fyhnf om Z > hcj Z =, avwz hw Z > wdovlj fxvhl zdf h}fyhnf om Z = hcj Z 6# Km Z > 2 80 hcj Z 6 2 4, zdfc Z = 2 89, hw1 Z > 2
Z = % Z 6 9
⇙
80 2
Z = % 4 9
⇙
90 2 Z = % 4
Lkef~kwf, km Z = 2 89, hcj Z 4 2 zdf h}fyhnf om Z > hcj Z =, zdfc Z 4 2 88, hw1 Z 4 2
Z > % Z = 9
⇙
Z 4 2
80 % 89 2 88 9
9> Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Kjfczkm{kcn hc Vceco~c Zfyb ‗ Hcozdfy gobboc z{pf om wfxvfcgf xvfwzkoc pyo}kjfw zdf yvlf moy h wfxvfcgf hcj zdf }hlvf om hc vceco~c zfyb , hcj hwew {ov zo kjfczkm{ ~dkgd zfyb kc zdf wfxvfcgf dhw zdhz }hlvf#
Km zdf yvlf kw ftplkgkz, wfz zdf yvlf om zdf wfxvfcgf fxvhl zo zdf }hlvf om vceco~c zfyb# —Km
2 7 ‗ 9, hcj
2 8=, ~dhz kw zdf }hlvf om ?‛
Hcw~fy 1 c 2 =# Zdf yvlf om zdf wfxvfcgf kw 7c ‗ 9 hcj zdf }hlvf om zdf vceco~c zfyb kw 8=# Wfzzkcn zdf z~o fxvhl yf}fhlw zdhz c 2 =, hw1
7c ‗ 9 2 8= —Km wfxvfcgf
kw jfmkcfj hw
⇙
c 2 =
2 $9+ ‗ , ~dkgd zfyb kc zdf wfxvfcgf dhw h }hlvf om 8/8=?‛
Hcw~fy 1 Zdf :zd zfyb# Zdf yvlf om zdf wfxvfcgf kw $9+ ‗ hcj zdf }hlvf om zdf vceco~c zfyb kw 8/8=# Wfzzkcn zdf z~o fxvhl yf}fhlw zdhz z 2 :, hw1 $ 9+
—Km
∙ z 2
8 8=
8 9
⇙
z
2
2 88 % 7, hcj
8 9:
⇙
9
:
2
9
z
⇙
:
2
z
2 8=4, ~dhz kw zdf }hlvf om ?‛
Hcw~fy 1 h 2 86# Zdf yvlf om zdf wfxvfcgf kw 88h % 7 hcj zdf }hlvf om zdf vceco~c zfyb kw 8=4# Wfzzkcn zdf z~o fxvhl yf}fhlw zdhz h 2 86, hw1
88h % 7 2 8=4
⇙
h 2 86
Km zdf yvlf kw yfgvywk}f, mlfwd ovz zdf wfxvfcgf vczkl zdf }hlvf om zdf jfwkyfj zfyb hppfhyw# —
2
z‗ 8
% :# Km
9
2 7 hcj
2 86, ~dhz jofw fxvhl?‛
cozhzkoc om zdf pyoilfb, fhgd zfyb kc wfxvfcgf wfxvfcgf X kw : boyf zdhc zdf zfyb Hcw~fy 1 z 2 6# Hggoyjkcn zo zdf cozhzkoc ifmoyf kz# Km X X9 2 7, zdfc X7 2 >, X: 2 88, hcj X6 2 86# Zdvw z 2 6, hw zdf 6zd zfyb kc wfxvfcgf X fxvhlw 86# —Wfxvfcgf
kw jfmkcfj hw
2$
‗8+
9#
Km
8
2 :, ~dkgd zfyb kc zdf wfxvfcgf dhw h }hlvf om 96=?‛
cozhzkoc om zdf pyoilfb, pyoilfb, fhgd zfyb kc kc wfxvfcgf W fxvhlw zdf wxvhyf Hcw~fy 1 Zdf 7yj zfyb# Hggoyjkcn zo zdf cozhzkoc 9 9 om zdf zfyb ifmoyf kz# Km W8 2 :, zdfc W9 2 $:+ 2 8=, hcj W7 2 $8=+ 2 96=# Zdvw zdf 7yj zfyb kc zdf wfxvfcgf fxvhlw 96=# —
2
c% 8
% 6# Km
88
2 99 hcj
2 ‗7, ~dhz jofw
fxvhl?‛
Hcw~fy 1 c 2 8=# Hggoyjkcn zo zdf cozhzkoc om zdf pyoilfb, fhgd zfyb kc wfxvfcgf Z kw 6 boyf zdhc zdf zfyb hmzfy kz# Km Z 88 88 2 99, zdfc Z 89 89 2 8>, Z 87 87 2 89, Z 8: 8: 2 >, Z 86 86 2 9, hcj Z 8= 8= 2 ‗7# Zdvw c 2 8=, hw zdf 8=zd zfyb kc wfxvfcgf Z fxvhlw ‗7#
94 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Yflhzkocwdkpw ^kzdovz ]hlvfw ‗ Boyf jkmmkgvlz wfxvfcgf pyoilfbw pyo}kjf zdf yvlf moy h wfxvfcgf hcj kcmoybhzkoc hiovz zdf yflhzkocwdkp ifz~ffc z~o oy boyf zfybw ~kzdkc zdf wfxvfcgf, ivz coz zdfky hgzvhl }hlvfw#
Zo wol}f wvgd pyoilfbw, lhifl zdf lo~fwz oy zdf dkndfwz zfyb kc zdf wfxvfcgf wfxvfcgf vczkl {ov dh}f lhiflfj hll zdf wpfgkmkfj zfybw#
hcj mlfwd ovz zdf
• Jokcn wo ~kll hllo~ {ov zo wfz vp hc fxvhzkoc zo wol}f moy t # Zdf }hlvf om t ghc zdfc if wviwzkzvzfj kczo zdf wfxvfcgf zo kjfczkm{ zdf bkwwkcn }hlvf# —
2 7$
‗8+#
Km
‗
:
8
2 69, zdfc ~dhz jofw
9
fxvhl?‛
Hcw~fy 1 Z 9 2 =# Wkcgf zdf pyoilfb pyo}kjfw zdf yflhzkocwdkp ifz~ffc Z : hcj Z 8, ivz coz zdfky hgzvhl }hlvfw, lfz Z 8 2 t # Km Z 8 2 t , hcj fhgd zfyb kc wfxvfcgf Z kw zdyff zkbfw zdf zfyb ifmoyf kz, zdfc Z 9 2 7t , Z 7 2 ; t hcj Z : 2 9>t # Zdvw, km Z : ‗ Z 8 2 69, zdfc t bvwz fxvhl 9, hw1 Z : ‗ Z 8 2 69 9>t ‗ t 2 69 t 2 9
Km t 2 9, hcj Z 9 2 7t , zdfc Z 9 bvwz fxvhl =, hw 7$9+ 2 =# —
2
%8
% 9# Km
4
%
;
‗
80
2 89, ~dhz jofw
88
fxvhl?‛
Hcw~fy 1 A 88 88 2 :# Zdf pyoilfb pyo}kjfw zdf yflhzkocwdkp ifz~ffc A 4, A ;, hcj A 80 80, ivz coz zdfky hgzvhl }hlvfw# Wkcgf fhgd zfyb kc wfxvfcgf A kw z~o boyf zdhc zdf zfyb hmzfy kz , lfz A 80 80 2 t , A ; 2 t % 9, hcj A 4 2 t % :# Km A 4 A 80 % A ; ‗ A 80 2 89, zdfc t bvwz fxvhl = hw1 A 4 % A ; ‗ A A 80 80 2 89 $ t t % :+ % $ t t % 9+ ‗ t 2 89 t % = 2 89 t 2 =
Km t 2 =, zdfc A 4 2 80, A ; 2 4, A 80 80 2 =, hcj A 88 88 2 :# —
2 9$
+# Km
2 :$
‗8+
hcj
9
%
7
2 90, ~dhz jofw
:
fxvhl?‛
Hcw~fy 1 P : 2 894# Wkcgf zdf pyoilfb pyo}kjfw zdf yflhzkocwdkp ifz~ffc [ 9 hcj [ 7, ivz coz zdfky hgzvhl }hlvfw, lfz [ 8 2 t # Km [ 8 2 t , hcj fhgd zfyb kc wfxvfcgf [ kw movy zkbfw zdf zfyb ifmoyf kz, zdfc [ 9 2 :t hcj [ 7 2
8=t # Zdvw, km [ 9 % [ 7 2 90, zdfc t bvwz fxvhl 8, hw1 [ 9 % [ 7 2 90 :t % 8=t 2 90 t 2 8
Km t 2 8, zdfc zdf mkywz movy zfybw kc wfxvfcgf [ bvwz if 8, :, 8=, hcj =:# Wkcgf fhgd zfyb kc wfxvfcgf P kw z~kgf zdhz om wfxvfcgf [ , zdf mkywz : zfybw om wfxvfcgf P bvwz if 9, 4, 79, hcj 894# Zdfyfmoyf, P : 2 894#
9; Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Wfxvfcgfw ^kzdovz Yvlfw1 Kczyojvgzoy{ ‗ Wobf wfxvfcgf pyoilfbw jo coz pyo}kjf zdf yvlfw zo zdfky wfxvfcgfw, ivz wzkll yfxvkyf {ov zo jfzfybkcf zdf }hlvfw om ocf oy boyf vceco~c zfybw ~kzdkc zdfb# • ^dfc ~oyekcn ~kzd wvgd pyoilfbw, hl~h{w yfbfbify zdhz {ov ghccoz jfzfybkcf zdf yvlf moy h wfxvfcgf myob zdf nk}fc cvbifyw hlocf# Moy fthbplf, nk}fc h wfxvfcgf W , ~dfyf W 8 2 8 hcj W 9 2 9, kz kw zfbpzkcn zo hwwvbf zdhz zdf yvlf moy zdf wfxvfcgf kw wkbpl{ W c 2 c , hcj zdhz W 7 2 7, W : 2 :, hcj wo moyzd# • Wvgd h gocglvwkoc, do~f}fy, ~ovlj if pyfwvbpzvovw, hw zdf yvlf moy h wfxvfcgf zdhz ifnkcw W 8 2 8 hcj W 9 2 9 govlj avwz hw fhwkl{ if W c 2 c 9 ‗ 9c % 9, ~dfyf W 7 2 6 hcj W : 2 80# • Zo jfzfybkcf zdf }hlvf om hc vceco~c zfyb kc h wfxvfcgf ~dowf yvlf kw vcwzhzfj, {ov bvwz if zolj wobfzdkcn wpfgkmkg hiovz zdf wfxvfcgf, wvgd hw zdf jkmmfyfcgf ifz~ffc wvggfwwk}f zfybw kw gocwzhcz, oy zdf yhzko ifz~ffc wvggfwwk}f zfybw kw gocwzhcz( • Kc zdkw yfnhyj, kz kw kbpoyzhcz zdhz {ov vcjfywzhcj zdf bfgdhckgw om z~o phyzkgvlhy z{pfw om wfxvfcgfw1 lkcfhy wfxvfcgfw hcj ftpocfczkhl wfxvfcgfw#
Hc{ wfxvfcgf kc ~dkgd zdf jkmmfyfcgf ifz~ffc hc{ z~o gocwfgvzk}f zfybw kw zdf whbf kw gobbocl{ eco~c hw h lkcfhy wfxvfcgf# Zdf cvbify wfz 6, 80, 86, 90 govlj if gocwkjfyfj hc fthbplf om h lkcfhy wfxvfcgf, hw zdf jkmmfyfcgf ifz~ffc hc{ z~o om kzw gocwfgvzk}f zfybw kw 6#
Hc{ wfxvfcgf kc ~dkgd zdf yhzko ifz~ffc hc{ z~o gocwfgvzk}f zfybw kw zdf whbf kw gobbocl{ eco~c hw hc ftpocfczkhl wfxvfcgf# Zdf cvbify wfz 7, =, 89, 9: govlj if gocwkjfyfj hc fthbplf om hc ftpocfczkhl wfxvfcgf, hw zdf yhzko ifz~ffc hc{ z~o om kzw gocwfgvzk}f zfybw kw 9#
Wfxvfcgfw ^kzdovz Yvlfw1 Lkcfhy Wfxvfcgfw ‗ ^dfc ~oyekcn ~kzd lkcfhy wfxvfcgfw zdhz lhge yvlfw, {ov ghc jfzfybkcf zdf }hlvf om hc{ zfyb i{ govczkcn zdf cvbify om “bo}fw‒ {ov dh}f zo bhef zo no myob h zfyb zdhz {ov eco~ zo zdf zfyb zdhz {ov hyf looekcn zo mkcj( —Km zdf jkmmfyfcgf ifz~ffc hc{ z~o gocwfgvzk}f zfybw kc wfxvfcgf 84, ~dhz kw zdf }hlvf om 74?‛
kw gocwzhcz, hcj
6
2 86 hcj
=
2
gocwfgvzk} f zfybw kc wfxvfcgf W kw gocwzhcz, Hcw~fy 1 W 74 74 2 88:# Wkcgf ~f hyf zolj zdhz zdf jkmmfyfcgf ifz~ffc gocwfgvzk}f hcj zdhz zdf jkmmfyfcgf ifz~ffc W 6 hcj W = kw 7, zdf }hlvf om W 74 74 bvwz if ;= boyf zdhc zdf }hlvf om W =, hw zdfyf hyf 79 “bo}fw‒ om 7 myob W = zo W 74 74, hcj 79 7 2 ;=# Zdvw W 74 74 2 88:, wkcgf W = 2 84, hcj 84 % ;= 2 88:# t
—
68
2 787 hcj
60
2 78=# Km wfxvfcgf
kw lkcfhy, ~dhz kw zdf }hlvf om
=?‛
Hcw~fy 1 [ = 2 ::4# Wkcgf ~f hyf zolj zdhz wfxvfcgf [ kw lkcfhy, hcj zdhz [ 60 60 kw 7 boyf zdhc zdf zfyb ifmoyf kz, zdf }hlvf om [ = bvwz if 879 boyf zdhc zdf }hlvf om [ 60 60, hw zdfyf hyf :: “bo}fw‒ om 7 myob [ 60 60 zo [ =, hcj :: 7 t
2 879# Zdvw [ = 2 ::4, wkcgf [ 60 60 2 78=, hcj 78= % 879 2 ::4# —Km
:
2 89 hcj
96
2 ;=, ~dhz kw zdf }hlvf om
;
km wfxvfcgf
kw lkcfhy?‛
Hcw~fy 1 Z ; 2 79# ^f hyf zolj z~o zdkcnw1 $8+ wfxvfcgf Z kw lkcfhy, hcj $9+ zdfyf hyf 98 “bo}fw‒ myob Z : zo Z 96 96# Wkcgf zdf jkmmfyfcgf ifz~ffc Z : hcj Z 96 96 fxvhlw 4:, fhgd om zdf 98 “bo}fw‒ myob Z : zo Z 96 96 bvwz fxvhl :, hw 4:/98 2 :# Hw zdfyf hyf 6 “bo}fw‒ om : myob Z : zo Z ;, zdf }hlvf om Z ; bvwz if 79, wkcgf 90 % 89 2 79#
70 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Wfxvfcgfw ^kzdovz Yvlfw1 Ftpocfczkhl Wfxvfcgfw $Hj}hcgfj+ ‗ Hw bfczkocfj hio}f, hc{ wfxvfcgf kc ~dkgd zdf yhzko ifz~ffc gocwfgvzk}f zfybw kw gocwzhcz kw gobbocl{ eco~c hw hc ftpocfczkhl wfxvfcgf# • Hll ftpocfczkhl wfxvfcgfw ghc if ~ykzzfc kc zdf moyb moyb Hc 2 H8$ Y Y + c ‗8, ~dfyf Hc 2 zdf }hlvf om hc{ zfyb kc zdf wfxvfcgf, Y 2 zdf yhzko ifz~ffc hc{ z~o gocwfgvzk}f zfybw, hcj H8 2 zdf mkywz zfyb om zdf wfxvfcgf# • Gocwkjfy zdf wfxvfcgf, 7, =, 89, 9:, :4# Zdf yvlf zdhz no}fycw kz govlj if ~ykzzfc hw Hc 2 7$9+c ‗8, wkcgf kzw mkywz zfyb kw 7 hcj zdf yhzko ifz~ffc zdf }hlvf om kzw zfybw kw 9# Wkbklhyl{, zdf yvlf moy zdf 6, 86, :6, 876, :06 govlj if ~ykzzfc hw Hc 2 6$7+c ‗8, wkcgf kzw mkywz zfyb kw 6 hcj zdf yhzko ifz~ffc zdf }hlvf om kzw zfybw kw 7#
^dfc ~oyekcn ~kzd ftpocfczkhl wfxvfcgfw zdhz lhge yvlfw, {ov bvwz kjfczkm{ zdf yvlf om zdhz wfxvfcgf kc oyjfy zo jfzfybkcf mvyzdfy }hlvfw ~kzdkc kz#
—Km zdf mkywz zfyb kc wfxvfcgf kw 80, hcj zdf yhzko ifz~ffc hc{ z~o gocwfgvzk}f zfybw kc zdf wfxvfcgf kw :, ~dhz kw zdf }hlvf om zdf mkmzd zfyb om zdf wfxvfcgf?‛ Hcw~fy 1 Z 6 2 9,6=0# Wkcgf zdf mkywz zfyb kc wfxvfcgf Z kw 80 hcj zdf yhzko ifz~ffc kzw zfybw kw hl~h{w :, kzw yvlf ghc if ~ykzzfc hw Z c 2 80$:+c ‗8# Zdf mkmzd zfyb kc wvgd h wfxvfcgf ~ovlj if 9,6=0, hw1
80$:+6‗8 2 80$:+: 2 80$96=+ 2 9,6=0
Km h pyoilfb pyo}kjfw zdf }hlvf om zdf 8wz zfyb kc h wfxvfcgf, ivz coz zdf yhzko ifz~ffc kzw zfybw, plvn hc{ }hlvf hc{ }hlvf zdhz zdf pyoilfb jofw pyo}kjf kczo zdf moybvlh Hc 2 H8$ Y Y + c ‗8 zo jkwgo}fy zdf yhzko# —Kc ftpocfczkhl wfxvfcgf
, km
8
2 : hcj
7
2 8::, ~dhz kw zdf }hlvf om
:?‛
zdf }hlvf om zdf 7yj zfyb kc wfxvfcgf X kw 8::, zdf yhzko om zdf wfxvfcgf bvwz if =, hw1 Hcw~fy 1 X: 2 4=:# Wkcgf zdf }hlvf 8:: 2 :$ Y Y + 7‗8 Y 2 = Km zdf mkywz zfyb om wfxvfcgf X kw : hcj zdf yhzko ifz~ffc kzw zfybw kw =, zdf }hlvf om X X: bvwz if 4=:, hw1 :$=+:‗8 2 :$=+7 2 :$98=+ 2 4=:
Lkef~kwf, km h pyoilfb pyo}kjfw zdf yhzko om h wfxvfcgf, ivz coz kzw 8wz zfyb, plvn hc{ }hlvf zdhz zdf pyoilfb jofw pyo}kjf kczo zdf moybvlh Hc 2 H8$ Y Y + c ‗8 zo jkwgo}fy }hlvf om zdf 8wz zfyb#
—Kc wfxvfcgf , km
6
2 :4= hcj zdf yhzko ifz~ffc wvggfwwk}f zfybw kw hl~h{w 7, ~dhz kw zdf }hlvf om 7?‛
Hcw~fy 1 W 7 2 6:# Wkcgf zdf }hlvf om zdf 6zd zfyb kc wfxvfcgf W kw :4=, zdf }hlvf om zdf 8wz zfyb bvwz if =, hw1
:4= 2 W 8$7+6‗8 W 8 2 = Km zdf mkywz zfyb om wfxvfcgf W kw = hcj zdf yhzko ifz~ffc kzw zfybw kw 7, zdf }hlvf om W 7 bvwz if 6:, hw1 =$7+7‗8 2 =$7+9 2 =$;+ 2 6:
78 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Wfykfw $Hj}hcgfj+ ‗ Zdf wvb om zdf zfybw kc hc{ wfxvfcgf kw eco~c hw h wfykfw# wfykfw# H wfykfw ghc hl~h{w if ghlgvlhzfj hw locn hw kzw wfxvfcgf kw mkckzf#
Zo jfzfybkcf zdf wfykfw om h lkcfhy wfxvfcgf, $8+ zhef zdf h}fyhnf om zdf mkywz hcj lhwz zfybw om zdf wfxvfcgf, hcj $9+ bvlzkpl{ zdhz h}fyhnf i{ zdf cvbify om zfybw kc zdf wfxvfcgf#
—Zdf wfxvfcgf
8,
9,
7,…,
, kw wvgd zdhz
2 7 % 9 moy hll
< 98# ^dhz kw zdf wvb om wfxvfcgf wfxvfcgf ?‛
Hcw~fy 1 =>0# Hggoyjkcn zo zdf wzhzfbfcz “moy hll c < 98‒, zdfyf hyf 90 zfybw kc wfxvfcgf W # Hw fhgd zfyb kc W fxvhlw z~o boyf zdhc zdyff zkbfw kzw powkzkoc kc zdf wfxvfcgf, W 8 bvwz fxvhl 6, hw 7$8+ % 9 2 6, hcj W 90 90 bvwz
fxvhl =9, hw 7$90+ % 9 2 =9# Zdvw, zdf wvb om wfxvfcgf W bvwz if =>0, hw kzw mkywz hcj lhwz zfybw hyf 6 hcj =9, hcj kz goczhkcw 90 zfybw1 ⎕ ⎓ ⎜ 6 % =9 ⎟ ⎜ ⎟ $90+ 2 =>$80+ 2 =>0 ⎜⎒ 9 ⎟ ⎠ —Zdf wfxvfcgf
8,
9,
7,…,
, kw wvgd zdhz 2 ‗8 % 80 moy hll 80 < wvb om zdf wfxvfcgf?‛
< 9=# Km
88
2 4, ~dhz kw zdf
Hcw~fy 1 8,8>0# Hggoyjkcn zo zdf wzhzfbfcz “moy hll 80 < c < 9=‒, zdfyf hyf 86 zfybw kc wfxvfcgf Z # Wkcgf fhgd zfyb kc zdf wfxvfcgf fxvhlw 80 boyf zdhc zdf zfyb ifmoyf kz, Z 96 96 bvwz fxvhl 8:4, hw zdfyf hyf 8: “bo}fw‒ om 80 myob Z 88 88 zo Z 96 96, hcj 8:$80+ % 4 2 8:4# Zdvw, zdf wvb om wfxvfcgf Z bvwz if 8,8>0, hw kzw mkywz hcj lhwz zfybw hyf 4 hcj 8:4, hcj kz goczhkcw 86 zfybw1 ⎕ ⎜ ⎜ ⎜ ⎒
4
8:4 ⎓ ⎟ ⎟ $86+ 2 >4$86+ 2 8,8>0 9 ⎟ ⎠
%
Zo jfzfybkcf zdf wfykfw om hc ftpocfczkhl wfxvfcgf, vwf zdf moybvlh
W c
2
H8$8 ∙ Y c +
8 ∙ Y
#
• W c 2 zdf wvb om zdf mkywz c zfybw, Y 2 zdf yhzko ifz~ffc wvggfwwk}f zfybw, hcj H8 2 zdf 8wz zfyb# —Km fhgd zfyb kc wfxvfcgf
fxvhlw zdyff zkbfw zdf zfyb ifmoyf kz, hcj mkywz = zfybw om zdf wfxvfcgf?‛
8
2 6, ~dhz kz zdf wvb om zdf
Hcw~fy 1 8,490# Wkcgf zdf mkywz zfyb om wfxvfcgf Z kw 6, hcj zdf yhzko ifz~ffc zdf zfybw om zdf wfxvfcgf kw 7, zdf wvb om zdf mkywz = zfybw om zdf wfxvfcgf bvwz if 8,490, hw1 6$8 ∙ 7= +
2
6$ ∙>94+
8∙7
—Kc wfxvfcgf , km
6
2
∙9
6$7=:+
2
8,490
2 8=0 hcj zdf yhzko ifz~ffc wvggfwwk}f zfybw kw hl~h{w 9, ~dhz kw zdf wvb om zdf mkywz : zfybw om zdf wfxvfcgf?‛
Hcw~fy 1 860# Zo jfzfybkcf zdf wvb om zdf wfxvfcgf, ~f bvwz mkcj zdf }hlvf om kzw mkywz zfyb# Wkcgf zdf }hlvf om zdf 6zd zfyb kc wfxvfcgf W kw 8=0, hcj zdf yhzko om zdf wfxvfcgf kw 9, zdf }hlvf om zdf 8wz zfyb bvwz if 80, hw1
8=0 2 W 8$9+6‗8
⇙
8=0 2 W 8$8=+
⇙
W 8 2 80
Km zdf 8wz zfyb om wfxvfcgf W kw 80, hcj zdf yhzko om kzw zfybw kw 9, zdf wvb om zdf mkywz : zfybw bvwz if 860, hw1 80$8 ∙ 9 : + 8∙ 9
2
80$ ∙86+
∙8
2
80$86+
2
860
79 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Yfpfhzkcn Wfxvfcgfw ‗ Hc{ wfxvfcgf ~dowf zfybw yfpfhz kc h mktfj hcj yfnvlhy oyjfy ghc if yfmfyyfj zo hw h yfpfhzkcn wfxvfcgf# • Moy fthbplf, zdf cvbify wfz 8, 7, 6, 8, 7, 6… govlj if gocwkjfyfj hc fthbplf om h yfpfhzkcn wfxvfcgf , hw zdf zfybw om zdf wfxvfcgf hppfhy zo yfpfhz kc zdf oyjfy 8, 7, 6# Lkef~kwf, h wzykcn om ifhjw hyyhcnfj kc zdf yfgvyykcn phzzfyc yfj, nyffc, ilvf hcj ilhge govlj hlwo if gocwkjfyfj hc fthbplf om h yfpfhzkcn wfxvfcgf, hw zdf oyjfy om zdf ifhjw yfpfhzw kc h mktfj bhccfy# • Bowz yfpfhzkcn wfxvfcgf xvfwzkocw hwe {ov zo jfzfybkcf zdf }hlvf om h gfyzhkc zfyb ~kzdkc zdf wfxvfcgf# Zdf ef{ zo wol}kcn wvgd pyoilfbw kw hw mollo~w1 $8+ Zfhwf ovz zdf wfxvfcgf vczkl {ov wff kz yfpfhz, hcj govcz zdf cvbify om zfybw zdhz yfpfhz# $9+ Jk}kjf zdf plhgf cvbify om zdf zfyb zdhz {ov hyf wffekcn zo kjfczkm{ i{ zdf cvbify om zfybw movcj kc wzfp 8# • Zdf yfbhkcjfy ~kll jfzfybkcf zdf }hlvf om {ovy zfyb ( Moy fthbplf, km {ovy yfbhkcjfy kw 7, {ovy zfyb ~kll dh}f zdf whbf }hlvf hw zdf 7yj zfyb kc zdf wfxvfcgf# Km {ovy yfbhkcjfy kw 8, {ovy zfyb ~kll dh}f zdf whbf }hlvf hw zdf 8wz zfyb kc zdf wfxvfcgf# Km {ov dh}f co yfbhkcjfy, zdf }hlvf om {ovy zfyb ~kll dh}f zdf whbf }hlvf hw zdf lhwz zfyb om zdf yfpfhzkcn wfxvfcgf# —Zdf mkywz zfyb kc wfxvfcgf kw ># Fhgd f}fc"cvbifyfj f}fc"cvbifyfj zfyb kw 9 lfww zdhc zdf pyf}kovw zfyb hcj fhgd ojj"cvbifyf j zfyb, hmzfy zdf mkywz, kw ‗8 zkbfw zdf pyf}kovw zfyb# Moy fthbplf, zdf wfgocj zfyb kw > ‗ 9, hcj zdf zdkyj zfyb kw $‗8+ 6# ^dhz kw zdf }hlvf om zdf =7yj zfyb om zdf wfxvfcgf?‛
f}fc"cvbifyfj zfyb kw 9 lfww zdhc zdf zfyb Hcw~fy 1 ‗6# Wkcgf zdf 8wz zfyb kc wfxvfcgf W kw >, hcj fhgd f}fc"cvbifyfj ifmoyf kz, zdf 9cj zfyb kc zdf wfxvfcgf bvwz if 6# Lkef~kwf, km fhgd ojj"cvbifyfj zfyb kw ‗8 zkbfw zdf zfyb ifmoyf kz, zdf 7yj zfyb kc zdf wfxvfcgf bvwz if ‗6# Zdf :zd zfyb kc zdf wfxvfcgf ~ovlj zdfc if 9 lfww zdhc zdf 7yj zfyb, hcj wo moyzd# Zfhwfj ovz, wfxvfcgf W wzhyzw hw mollo~w1 >, 6, ‗6, ‗>, >, 6, ‗6, ‗ >, >, … Wkcgf wfxvfcgf W yfpfhzw f}fy{ :zd zfyb, hcj =7 : dhw h yfbhkcjfy om 7, zdf =7yj zfyb kc zdf wfxvfcgf ~kll dh}f zdf whbf }hlvf hw zdf 7yj zfyb, ~dkgd kc zdkw ghwf kw ‗6# þ
—Km wfxvfcgf
kcmkckzfl{ yfpfhzw zdf phzzfyc 6, :, 7, 6, :, 7,…, ~dhz kw zdf 900zd zfyb om zdf wfxvfcgf?‛
Hcw~fy 1 :# Wkcgf wfxvfcgf Z yfpfhzw f}fy{ 7yj zfyb, hcj 900 7 dhw h yfbhkcjfy om 9, zdf 900zd zfyb kc zdf wfxvfcgf ~kll dh}f zdf whbf }hlvf hw zdf 9cj zfyb, ~dkgd kc zdkw ghwf kw :# þ
—H gfyzhkc nhyjfc dhw h ifj om mlo~fyw hyyhcnfj kc zdf yfpfhzkcn phzzfyc yowf, jhkw{, kykw, zvlkp# Km zdf ifj dhw fthgzl{ >= mlo~fyw, hcj zdf lfmzbowz mlo~fy kw hc kykw, ~dhz kw zdf ifj‛w ykndzbowz mlo~fy?‛
kc zdf yfpfhzkcn oyjfy Hcw~fy 1 Jhkw{# Wkcgf zdf lfmzbowz mlo~fy kc zdf ifj kw hc kykw, hcj zdf mlo~fyw hyf hlkncfj kc yowf, jhkw{, kykw, zvlkp, zdf mkywz ckcf mlo~fyw kc zdf kc oyjfy myob lfmz zo ykndz bvwz if hw mollo~w1 kykw, zvlkp, yowf, jhkw{, kykw, zvlkp, yowf, jhkw{, kykw,… Hw zdkw phzzfyc yfpfhzw f}fy{ :zd zfyb, hcj >= : dhw co yfbhkcjfy, zdf ykndzbowz om zdf >= mlo~fyw bvwz if h jhkw{, wkcgf zdf lhwz mlo~fy kc zdf yfpfhzkcn oyjfy kykw, zvlkp, yowf, jhkw{ kw hlwo h jhkw{# þ
77 Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
Phzzfycw ^kzdkc Wfxvfcgfw ‗ If h~hyf zdhz wobf wfxvfcgf pyoilfbw ftpfgz {ov zo yfgonckqf h phzzfyc ~kzdkc zdf zfybw om zdhz wfxvfcgf# • Km zdf gobpvzhzkochl poyzkoc om {ovy wfxvfcgf xvfwzkoc wffbw ftgffjkcnl{ gobplft, zfhwf ovz zdf mkywz 6 oy = zfybw om zdf wfxvfcgf hcj looe moy h phzzfyc ~kzdkc zdf zfybw# —Km
2 : , ~dhz kw zdf vckzw jknkz om
68?‛
Hcw~fy 1 :# Wkcgf :68 kw ftgffjkcnl{ jkmmkgvlz zo gobpvzf, zfhwf ovz zdf mkywz 6 zfybw om zdf wfxvfcgf hcj looe moy h phzzfyc kcwzfhj1
:, 8=, =:, 96=, 8,09:, :,0;=, … Cozf zdhz f}fy{ ojj"cvbifyfj zfyb kc wfxvfcgf Z fcjw kc h :, hcj zdhz f}fy{ f}fc"cvbifyfj zfyb fcjw kc h =# Wkcgf Z 68 68 kw hc ojj"cvbifyfj zfyb, kz wdovlj fcj kc h :( 2 6= % =89 , ~dhz kw zdf vckzw jknkz om
—Km
=?‛
Hcw~fy 1 8# Hggoyjkcn zo zdf cozhzkoc om zdf pyoilfb, H= wdovlj fxvhl 67= % =>9# Wkcgf iozd zfybw hyf ftgffjkcnl{ jkmmkgvlz zo gobpvzf, looe moy phzzfycw ~kzdkc zdf yfwpfgzk}f po~fyw om 6 hcj = kcwzfhj1
Po~fyw om 6
Po~fyw om =
6, 96, 896, =96, 7,096, …
=, 7=, 98=, 8,97=, …
Cozf zdhz f}fy{ po~fy om fcjw kc h 6, hcj zdhz f}fy{ po~fy om = fcjw kc h =# Zdfyfmoyf, 67= wdovlj fcj kc h 6, hcj =>9 wdovlj fcj kc h =# Hw wvgd, 67= % =>9 wdovlj fcj kc h 8, hw 6 % = 2 88# ⎕
⎓
⎜ ⎟ —Moy f}fy{ kczfnfy myob 8 zo 90 kcglvwk}f, zdf zd zfyb om h gfyzhkc wfxvfcgf jfmkcfj hw $"8+ %8 ⎜⎜⎜ 8 ⎟ ⎟ ⎟ # Km ⎒ : ⎠ kw zdf wvb om zdf mkywz 80 zfybw kc zdf wfxvfcgf, zdfc wdovlj dh}f ~dkgd om zdf mollo~kcn }hlvfw?‛
$h+
3 8 $i+
8 < 9
<8
$g+
8 < :
<
8 9
$j+
0<
<
8 :
$f+
<0
Hcw~fy 1 $j+# Wkcgf zdf wvb om zdf mkywz 80 zfybw om zdf wfxvfcgf ~ovlj if jkmmkgvlz zo gobpvzf, zfhwf ovz zdf mkywz mf~ zfybw om zdf wfxvfcgf hcj looe moy h phzzfyc kcwzfhj1 8 8 8 8 ,∙ , ,∙ ,### : 8= =: 96=
Cozf z~o zdkcnw1 $8+ zdf wvb om zdf mkywz z~o zfybw om zdf wfxvfcgf kw lfww zdhc 8: ivz nyfhzfy zdhc 0, hcj $9+ f}fy{ zfyb hmzfy zdf wfgocj hjjw hjj w oy wvizyhgzw h }hlvf zdhz kw wo zkc{ hw zo if kcwknckmkghcz# Zdfyfmoyf, zdf wvb om mkywz 90 zfybw om zdf wfxvfcgf wdovlj if nyfhzfy zdhc 0 ivz lfww zdhc
8 :
#
7: Gop{ykndz 9088 s Wdfyph Pyfp, LLG s ~~~#wdfyphpyfp#gob Wdfyph Bhzd “Ikilf‒ s Phyz TK1 Moybvlhw, Mvcgzkocw, W{biolkwb - Wfxvfcgfw
