Criterios de convergencia Clas Clasif ific icar ar una seri seriee es dete determ rmin inar ar si conver converge ge a un númer número o rea reall o si si diver diverge ge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).
Condición del resto
Para que una serie
sea divergente, una condición suficiente es que
. Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.
Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)
Sea una serie
, tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).
Si existe
con
, el Criterio de D'Alembert establece que:
si L si L < < 1, la serie converge. si L si L > > 1, entonces la serie diverge. si L si L = = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.
Criterio de Cauchy (raíz enésima)
Sea una serie
, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe , siendo
Entonces, si:
L < 1, la serie es convergente. L > 1 entonces la serie es divergente. L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.
Criterio de Raabe En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.
Sea una serie
, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe
, siendo Por tanto, si L > 1, entonces la serie es convergente y si L < 1, la serie es divergente Tened cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raíz.
Criterio de la integral de Cauchy Si f ( x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f (n) = an para todo n, entonces
converge si y sólo si
es finita.
Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie
converge si y sólo si la integral
converge.
Criterio de condensación de Cauchy
Sea una serie monótona de números positivos decrecientes. sólo si la serie
converge si y
converge.
Criterio de Leibniz
Una serie de la forma (con si se cumplen las siguientes condiciones: a)
) se llama alternada. Tal serie converge
para n par y n impar
b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que:
Si esto se cumple, la serie serie diverge.
es condicionalmente convergente de lo contrario la
Nota:Se debe descartar primero la convergencia absoluta de criterio, usando los criterios para series positivas.
antes de aplicar este
Criterios de convergencia comparativos Son aplicables en caso de disponer de otra serie tal que se conozca su condición, tal como la divergencia para la serie geométrica con razón (en valor absoluto) mayor que 1, | z | > 1. Entonces:
Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss ) Si
Si
converge
Si
diverge
converge diverge
Criterio de comparación por paso al límite del cociente
Entonces:
Si L = 0 y
converge
converge
Si y diverge diverge En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).
Tipos de convergencia Convergencia absoluta
Una serie alternada an converge absolutamente si
es una serie convergente. Se demuestra que una serie que converge absolutamente, es una serie convergente
