simplex

Optimización !jemplo" 37ecisiones sobre f ijación ijación de precios4 La 8orporación de 8remas &ent2fricas 4rgánicas produce crema para dientes en dos tamaos, de #<< y #*< mililitros. !l costo de producción de cada tubo de cada tamao es de -
* 

* = 3  −  *

* 

 = 32320 + 3 * − 5 

donde y   son los precios en centavos de los tubos. &etermine los precios maimizar2an las utilidades de la compa2a. 3olución"

 =−  = * +   * =  ** * =  *3 −  * = 3 * − 3 *  =    =  320+3* − 5  = 320  + 3 * − 5   = −3* + 320 320  + 6 * − 5   = * +   * = 60 * = 60 ∙ 3  −  * = 180  − 180 180*  = 90  = 9090 320+3* − 5  = 2882880000++ 270 270* − 450 450   = 180 − 180 180* + 28800800 + 27070 * − 450 450   = 2880 288000 + 9090* − 270 270   = −3* + 320 320  + 6 * − 5  − 28800+90* − 270 270   = −3* + 590 590  + 6 * − 5  − 90 * − 2880 288000 JJ* = −6 * + 6  − 90 = 0 JJ = 59590 + 6 * − 10  = 0

8alculamos las derivadas parciales y determinamos puntos estacionarios

*    y

  que

Optimización

−6   + 6   = 90 *  6* − 10  = −590 c −4 = =125−500 * = 110 110.125 JJ* = −6 JJ = −10 JJJ * = 6 JJ*J  = 6 R !110.125 = ] −66 −106 ^ YR !Y110.125 =  _ −66 −106 _ = 60−36 = 24  0 JJ* 110.125 = −6 < 0 * = 110  = 125  110.125 = −3∙110 +590∙125+6∙110∙125−5∙125   − 90∙110−28800 110.125 = 75725 "* " ""* = *60+  =   −* − *3  *  * 

?ue dan origen al sistema de ecuaciones

3umando las ecuaciones tenemos

G obtenemos el punto estacionario 8alculamos las derivadas de segundo orden para determinar si el punto obtenido es un máimo o m2nimo utilizando el m1todo del 9essiano

La matriz 9essiana queda

G el 9essiano

8omo

!l criterio dice que si

 y

 se obtienen las máimas utilidades que ascienden a

!jemplo" B:ijación óptima de precios de productos que compiten entre s2C La compa2a occidental de dulces produce caramelos en dos tamaos a costos unitarios de #
en donde y   denotan los precios en centavos de los caramelos en los dos tamaos. &etermine los precios  y  que maimizar2an las utilidades semanales de la empresa.

Optimización 3olución" 7rimero obtenemos la función utilidad

 =  −  = * +   * =  *"*  * =  * −  * =  * −  *

 =  "  =  60+* − 3  = 60  +  * − 3   = * −  * + 60  +  * − 3   = 2* −  * + 60  − 3   = * +   * = 10" * = 10 −  * = 10  − 10 *  = 20"  = 2060+* − 3  = 1200+20 * − 60   = 10 − 10 * + 1200+20 * − 60   = 1200+10* − 50   = 2* −  * + 60  − 3  − 1200+10* − 50   = 2* −  * + 110 − 3  − 1200−10 * JJ* = 2  − 2 * − 10 = 0 JJ = 2 * + 110−6  = 0 22* − −62 =* =−11010 c * = = 2025

8alculamos las derivadas parciales y determinamos puntos estacionarios

?ue dan origen al sistema de ecuaciones

?ue da el punto estacionario

8alculamos las derivadas de segundo orden para determinar si el punto obtenido es un máimo o m2nimo utilizando el m1todo del 9essiano

Optimización

JJ* = −2 JJ = −6 JJJ * = 2 JJ*J  = 2 JJ* = −2 < 0 YR !Y110.125 =  _ −22 −62 _ = 12−4 = 8  0

Laramente el punto es un máimo pues

G

!jercicios" Pag 749-751, Matemáticas aplicadas a la Administración  Airya-5°Ed

Optimización Multiplicadores de /agrange.

 ! @A @ H = !"* F  "A dd*""** FF  ""AA  == 00 g e df"* F  "A = 0  !  = ! −h*d* − h d − i−h fdf

3upongamos que tenemos una función  de

 en

.

La cual se quiere optimizar bajo condiciones adicionales representadas por las ecuaciones

7ara determinar un optimo de , construimos la función de Lagrange o Lagrangeano

 h I j @

donde los



 !

 se llaman multiplicadores de Lagrange y los puntos estacionarios de  serán

los puntos estacionarios de

, y tendremos que utilizar algún m1todo para determinar su

calidad de máimo o m2nimo por ejemplo la evaluación. 4tra t1cnica que se ocupa frecuentemente es la despejar una o más variables desde las restricciones y sustituirlas en la función objetivo, consiguiendo una reducción en la dimensión del problema. !jemplo"

" G "G = "  + 2G  + 5"G + 700

3$ostos de producción m)nimos4 5na empresa puede elaborar su producto en dos de sus plantas. !l costo de producir unidades en su primera planta e unidades en la segunda planta está dado por la función conjunta de costo 3i la empresa tiene una orden de suministrar *<< unidades, =cuántas unidades debe producir en cada planta con el objetivo de minimizar el costo total> 3olucion" !n este problema la función objetivo es

"G = "  + 2G  + 8" +10G + 7000 " +G = 500 G G = 500−" G " = "  + 2500−" + 8" +10500−"+ 7000 " = 3"k −2002" +512000

y la condición de pedido es

7odemos despejar una de las variables de esta restricción, por ejemplo

y obtenemos

!sta epresión para  la podemos sustituir en la función objetivo y obtenemos

?ue despu1s de un breve trabajo algebraico nos queda

&eterminamos el o los puntos cr2ticos de la forma tradicional

Optimización

" = 6" −2002 = 0 " = 333.7 " +G = 500 G = 166.3   " = 6  0

que nos da el punto estacionario

podemos determinar que el criterio de la segunda derivada

. 4cupando la restricción

. 7ara determinar si es un máimo o un m2nimo aplicamos

Lo que nos indica claramente que es un m2nimo y el valor de este costo m2nimo es

333.7 = 3∙333.7k−2002∙333.7 +512000 = 177999.67 (l resolver el mismo problema por multiplicadores de Lagrange hacemos lo siguiente"

"Gh = "G − hd"G "G = "  + 2G  + 8" +10G + 7000 d"G = " +G −500 "Gh = "  + 2G +  8" +10G + 7000−h" +G −500 %P = = 2"4G +8−h = 0 +10−h = 0 m l = −" +G −500 = 0

8onstruimos el Lagrangeano donde

La función objetivo y

es la restricción. :inalmente el Lagrangeano queda"

Huscamos puntos estacionarios

Aote que la última ecuación coincide con la restricción original del pedido. +esolviendo, tenemos que de la última ecuación

G = 500−" h 2" +8 = 4G +10 2" +8 = 4500−"+10 2" +8 = 2000−4" +10 6" = 2002 " = 333.7

&e la primera y segunda, podemos igualar por lambda

:inalmente sustituyendo

?ue claramente nos da el mismo punto estacionario que el m1todo anterior.

Optimización