TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Tuxtla Gutiérrez INGENIERÍA ELÉCTRICA Ciencias Básicas
Física moderna Unidad 1 Trabajo: Simulación con GeoGebra
Alumnos: Domínguez Pérez Edilberto Gómez Sánchez Roberto Carlos Hernández Hernández Rodolfo Hernandez Ordoñez Marcos Manuel Jonapá López Diego Martínez Ruiz Maximiliano Wenceslao W enceslao Ramos Cirilo Alexander Rodríguez Torrano Brian Edén 4º “A”
Docente: Ing. Martha Luz Paniagua Chávez Tuxtla Gutiérrez, Chiapas, México, 07 de marzo de 2018
1.1. Sistemas de coordenados de referencia (cartesianas, esféricas y cilíndricas).
1). COORDENADAS COORDENADAS CARTESIANAS 1. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano.
a=(5,-2)
b=(4,2)
c=(-3,-1)
d=(-6,-2)
e=(4,4)
f=(5/3,1/2)
Esta grafica se elaboró con forme a los puntos otorgados y colocados anteriormente, la manera de graficar los puntos es empezando a colocar el punto requerido en la sección entrada, se ingresa la coordenada y con eso da resultado el vector de cada coordenada que se ingresa al plano y que se muestra con un color diferente en la imagen anterior, se ve que cada vector esta con un color diferente para poder diferenciar uno del otro.
2.Ca 2.Calcular lcular la d istancia entre los p untos
̅ = 4 4 1 +12 + 3 3 = √ 9+1=√ 9 +1= √ 1010 4 1 +62 + 4 3 = √ 9+16+1=√ ̅ = 4 9 +16+1= √ 2626 4 4 +61 + 4 3 =√25+1=√ ̅ = 4 =√25+1= √ 2626 = 〈,,〉 = 〈,,〉 = 〈,,〉 PROGRAMA
•
GEOGEBRA
COMANDO
•
PUNTOS A-B.C
EJEMPLO
RESULTADO
1-ABRIMOS EL SIGUIENTE PROGRAMA.
2-EMPEZAMOS 2-EMPEZAMOS UBICAR NUESTROS PUNTOS EN GEOGEBRA
3-TENEMOS UBICADOS NUESTROS 3 PUNTOS A-B-C
4-LUEGO VAMOS ALA BARRA DE HERRAMIENTAS (vista) LO PONEMOS EN 3D
5-VISTA EN 3D
6-EMPEZAMOS A MEDIR LA DISTANCIA ENTRE LOS PUNTOS CON SEGMENTOS
7-TRAZAMOS NUESTRO PRIMER PUNTO AL SEGUNDO
8-MEDIMOS LOS TRES PUNTOS CON EL SEGMENTO
3. Ubique los siguientes puntos en el p lano cartesiano.
A=(4,2,3) b=(-2,-1,-4) c=(5,-3,2) d=(-4,3,3) e=(1,-5,3) f=(-3,-3,3)
En este plano las coordenadas de ingresan de la misma manera que en el anterior pero ahora en una vista 3D ya que las coordenadas están en una manera de forma polar ya que tiene que están en un plano de tres ejes, (x, y, z), que estos son característicos del plano en 3D, y le da una vista mejor a los vectores que al igual forma están hechos con colores diferentes.
2). COORDENADAS ESFERICAS
Relación de las coordenadas cartesianas y curvilíneas esféricas
= = = =,°,°
1. El punto
esta expresado en coor denadas esféricas.
Hallar sus coordenadas cartesianas. CALCULAREMOS LA SUMA DE 2 VECTRORES PROGRAMA •
GEOGEBRA
COMANDO •
PUNTOS A-B.C
•
1RECTA SIMULADA
•
=3 45 60
EJEMPLO
RESULTADO
1- UTILIZAREMOS LAS CORDENADAS DE LA SOLUCION DEL PROBLEMA •
•
•
=3 45 60=3 √ =3 √ =3 45 60 3 √ √ =3 √ =3 45 =3 √ =
RESULTADO
•
= 〈3 √ ,3 √ ,3 √ 〉
2-EMPESAMOS A TRAZAR LOS PUNTOS DE LAS CORDENADAS EN NUESTTRO PLANO CARTESIANO
PONEMOS NUESTROS CORCHETES DONDE IRAN EXPRESADAS NUESTRAS CORDENADAS.
UBICACIÓN DE NUESTRO PRIMER PUNTO
CONTINUAMOS CON LAS SIGUIENTE ASÍ SUCESIVAMENTE YA TENEMOS NUESTROS TRES PUNTOS HUBICADOS EN NUESTRO PLANO
AGREGAMOS EL SIGUIENTE COMANDO CON RESPECTO A ( X ) Y EN AUTOMATICO SE CREA UN DESLIZADOR.
OBSERVAMOS SU TRAYECTORIA VERTICAL DESLIZANDOSE DE MANERA CRECIENTE DE UN LADO A OTRO PASANDO POR LOS 3 PUNTOS
2. El punto
=,,
esta expresado en coo rdenadas cartesianas. Hallar
sus coord enadas esféricas. PROGRAMA •
GEOGEBRA
COMANDO
➢
2 DESLIZADORES
➢
CONSTRUIR UN PUNTO DE ORIGEN
➢
CONSTRUIR UNA CIRCUFERENCIA TENGA CENTRO Y RADIO.
➢
VISTA 3D
EJEMPLO
RESULTADO
1- GENERAR DOS DESLIZADORES ➢
PRIMER DELIZADOR VA A VARIAR EL RADIO POR LO TANTO SE LLAMARA:
V.MINIMO 1
V.MAXIMO 5
CREAMOS NUESTRO RADIO
SIGUIENTE DESLIZADOR: DESLIZADOR CON ANGULO DE ROTACION
INCREMENTO 1
2- CONSTRUIR UN PUNTO DE ORIGEN
➢
(0,0)
3- CONSTRUIMOS UNA CIRCUFERENCIA. TENGA UN CENTRO UN RADIO
4-VISTA 3D
NOS VAMOS A COMANDO DE ENTRADA Y PONEMOS LO SIGUIENTE:
DAMOS VALORES ; OBJETO C
ANGULO α
EJE DE ROTACION EjeX
3. Expresa en coordenadas cartesianas los siguientes puntos que están dados en coordenadas esféricas.
=2 = 2 = 4 =2 =0 =0 =2 √ 2 =3 √ =2 =√ 2 = 〈0,√ 2,√ 2〉 =
PROGRAMA •
GEOGEBRA
COMANDO
•
PUNTOS A-B.C
EJEMPLO
RESULTADO
1- ABRIMOS EL SIGUIENTE PROGRAMA
2-HUBICAMOS LOS SIGUIENTES PUNTOS
=2 = 2 = 4 =2 =0 =0 =2 √ 2 =3 √ =
=2 =√ 2 = 〈,√ ,√ 〉
3-FINALIZAMOS AGREGANDO EL SIGUIENTE PUNTO
5-UBICAMOS NUESTRO PUNTOS
3). COORDENADAS CILINDRICAS.
Relación de las coordenadas cartesianas y cilíndricas.
1. El punto
= =,°,
= =
, esta expresado en coordenadas cilíndricas. Halla
sus coordenadas cartesianas.
Para graficar una coordenada cilíndrica y convertirla a coordenadas cartesianas la nos dan el punto en coordenada cilíndrica y es: y se graficaría en una vista grafica 3D ingresando ese punto la gráfica quedaría así:
=6,30°,4
Pero GeoGebra no puede realizar operaciones de conversión a coordenadas cartesianas, se realizaron los cálculos previos y por lo consiguiente se graficó el punto resultante en coordenadas cartesianas que es A= ( ) quedando de la siguiente manera:
3√ 3,3,4
=6 30=6 √ =6 30=6 =4 = 〈3√ 3,3,4〉
=3√ 3 =3
2. El punto
=,°,
esta expresado en coordenadas cilíndricas.
Halla sus coordenadas cartesianas.
Para graficar una coordenada cilíndrica y convertirla a coordenadas cartesianas la nos dan el punto en coordenada cilíndrica y es: ( ). Y se graficaría en una vista grafica 3D ingresando ese punto la gráfica quedaría así:
= 14,60°,11
=14cos60° =14∗ 12 =7 =14 60° =14∗ √ =7∗√ 3
=11 =7,7∗√ 3,11
Pero GeoGebra no puede realizar operaciones de conversión a coordenadas cartesianas, por lo siguiente se graficó el punto resultante en coordenadas cartesianas que es A= ( ) quedando de la siguiente manera.
7,7√ 3,11
3. El punto
= ,,
esta expresado en coo rdenadas cartesianas.
Halla sus coord enadas cilíndric as.
=2 +2 = √ 16 = −− =225° =3
=4
Tomamos el ángulo del tercer cuadrante porque es el que corresponde al punto
2,2 =4,225°,3
El punto p en coordenadas cilíndricas es:
PROGRAMA
•
GEOGEBRA
COMANDO
•
PUNTOS A DE CARTESIANA A CILINDRICAS.
EJEMPLO
RESULTADO
1-ABRIMOS EL PROGRAMA GEOGEBRA
2-CREAMOS NUESTROS DEZLIZADORES UNO PARA RADIO
MINIMO 0
MAXIMO 5
3-CREAMOS NUESTRO PUNTO DONDE IRA LA CIRCUFERENCIA
INCREMENTO 1
4-CREAMOS NUESTRA CIRCUFERENCIA DE NUESTRO CILINDRO DONDE TOMAREMOS EL PUNTO y CENTRO Y EL RADIO ASTA EL PUNTO.
5-CREAMOS NUESTRO SEGUNDO DEZLISADOR PARA LA ALTURA CON ANGULO
MINIMO 0
6-LUEGO NOS VAMOS VISTA 3D
MAXIMO 225°
INCREMENTO 1
7-UBICAMOS NUESTRO PUNTOS CON RESPECTO X Y Y PARA NUESTRA ALTURA
8-VAMOS HERRAMIENTAS A CILINDROS HUBICAMOS NUESTRO RADIO QUE ELABORAMOS CON ANTERIORIDAD Y SEÑALAMOS NUESTROS 2 PUNTOS.
9-POR FINALIZAR NOS QUEDA NUESTRA FIGURA CILINDRICA
DE COORDENADAS ESFERICAS A CILINDRICAS Y VICEVERSA De coordenadas esféricas a cilíndricas
=
=
=
1. Convertir las siguientes coordenadas esféricas a cilíndricas.
=3,30°,45° =3 =30° =45° =330° =1.5 =45° =3 30° =2.598 : =1.5,45°,2.598
2. Convertir las siguient es coordenadas esféricas a cilínd ricas, luego a coordenadas cartesianas.
= = = =,°,° =1660° =13.8564 =50° =1660° =8 : =.,°, Ahora se pasaran a coordenadas cartesianas
=13.85650° =8.906 =13.85650° =10.61 =8 =.,., Como GeoGebra no realiza esta operación so lamente se graficó el resul tado.
De coordenadas cilíndricas a esféricas
= + = = 1. Convertir las siguientes coordenadas cilíndricas a esféricas
= 8,60°,2
=8 =60° =2 = 8 +2 =√ 68 =8.2462 =arctan(82) =arctan4 =75.9637° =60° : =8.2462,75.9637°°,60°
2. Convertir las siguientes coord enadas cilíndric as a esféricas, luego conviértala a rectangulares.
=6,120°,8 =6 =120° =8 = 6 +8 =√ 1 00 =10 =arctan =arctan0.75 =36.8698° =120°
: =,.°,° Ahora se pasara a coordenadas cartesianas.
=10,36.8698°,120° =10120°cos36.8698° =6.928 =10120°sen36.8698° =5.196 =10cos120 =5 =.,.,
1.2. Algebra vectorial (suma y multiplicación de vectores).
SUMA DE VECTORES
1.- Suma los siguientes vectores Entramos al programa de GeoGebra vamos a donde dice vista colocamos lo que es vista grafica 3D
Nos vamos a donde dice entrada y escribimos las coordenadas dichas en este caso todos las coordenadas que ponemos o mas bien los vectores tienen que estar en minúsculas como ejemplo a=(x,x,x).
Y así insertamos todos los vectores
Teniendo los dos vectores a sumar pues tomamos en cuenta este modo a=(x,x,x). y b=(x,x,x). entonces colocamos en entrada nuevamente c=a+b
⃗〈2,4,3〉 〈4,2,5〉 = 〈2+4,42,3+5〉 + = 〈2,2,8〉 + Y
2.- calcula la suma de los siguientes vectores Como ya antes mencionado ponemos en entrada cada uno de los vectores teniendo en cuenta la vista grafica 3D
Esta es una suma de 4 vectores como vectores a, b, c y d después hacer eso colocamos como el ejercicio anterior, pero en este caso seria e= (a+b+c+d) y así nos daría el resultado:
⃗= 〈8,14,6〉 = 〈7,9,2〉 ⃗= 〈2,7,0〉 ⃗ = 〈2,7,4〉 +++ = 〈15,23,0〉 ,
,
y
3. calcula el vector resultante de las fuerzas mostradas a continuación. MULTIPLICACIÓN DE VECTORES (PRODUCTO CRUZ Y PUNTO)
1. Sean los vectores: Entramos al programa de Geogebra nos vamos en vista ponemos vista algebraica, calculo simbólico (CAS) y vista grafica 3D
Vamos a entrada y colocamos los vectores como antes mencionado en los problemas anteriores
Nos vamos a la ventana calculo simbolico o tambien (CAS) y ponemos en esa parte producto vecorial y seleccionamos
Ponemos los vectores asi como pusimos las letras quedaria de este modo producto vectorial (a, b)
Colocamos como un nuevo vector los puntos dado acntinuacion nos queda de esta manera.
2. Calcula el producto cruz con los vectores dados a continuación.
⃗= 〈2+2〉 = 〈+3〉 ⃗= 〈4+65〉 ⃗× =|12 13 12 |=13 12 12 12 +12 13 ⃗× =162+2+61 ⃗× = 〈5+0+5〉 ⃗× ×⃗ =| 54 60 50 |=06 55 54 55 +54 60 ,
y
⃗× ×⃗ = 0302520+300 ⃗× ×⃗= 〈30530〉 Colocamos los vectores como ya antes mencionado en este caso seria hacer dos veces el producto cruz ya que el resulado de a y b seria asi (axb=u) y c seria (cxu=v) teniendo a resultado e como el resultado
Siendo de este modo y al tener u multiplicamos con c
Y en el campo nos queda así
3. Sean los vectores:
⃗= 〈2++4〉 = 〈63+〉 ⃗= 〈4+8+2〉 ,
y
Calcule el siguiente producto cruz:
2⃗× × ⃗
2⃗=2 〈2++4〉 〈4+2+8〉 ⃗= 〈4+8+2〉 = 〈2+4+〉 ⃗2× =|64 32 81|=32 8164 18 +64 32 2⃗× =2+244+48+0 2 × =2652+0 1 2⃗× × 2 ⃗ =| 262 524 10|=524 10262 01+262 524 2⃗× × 12 ⃗ = 520260+104+104 2 × × 12⃗ = 〈5226+208〉 =
Abrimos el problema de Geogebra y en entrada metemos los problemas en este caso eras distintos ya que las coordenadas estan escritas de manera distinta.
2⃗× × ⃗ ⃗= 〈2++4〉 = 〈63+〉 ⃗= 〈4+8+2〉 ,
y
Despues de este paso hacemos todo lo antes mencionado en los ejemplos anteriores despues hacemos la multiplicacion
Hacemos la multiplicacion vectorial donde nos queda de resultado de V
4. Calcule el producto punto de los siguientes vectores.
=<5,4,8> =<9,4,2>
Diríjase a vista y en vista grafica 3D dar clip. (para sacar la gráfica 3D).
Ingresar los vectores en la barra de entrada y oprimir enter. Nota: para ingresar un vector es indispensable escribir en la barra de entrada como: a=(x, y, z), debe ser con una letra minúscula para reconocer que es un vector de manera contraria si es con “A” mayúscula esta lo reconocerá como punto.
Automáticamente aparecerá en la gráfica de la vista. Para calcular el vector punto utilizaremos una hoja de cálculo, de igual forma dirigirse a vista y en calculo simból ico (cas), dar clip o presionar Ctrl+Mayus+K.
Una vez estando en la hoja de cálculo ingresar el siguiente comando Producto ).
Vectorial(,
Y realizar la operación, una vez realizada, activar el punto azul para que lo retome como un vector y lo visualice en la vista 3D.
5. Calcule el producto punto de los siguientes vectores. Escribir en la barra de entrada los vectores A y B. Donde dice vista siempre elegir vista 3D.
