Problemas capítulo 2
1 Determine el ciclo o periodo de vida de los siguientes generadores congruenciales. a)
X x +1
X 0
21
a c m
21 15 31 X x +1
= (21
X 0
+ 15) mod (31) con
= (21
X 0
+ 15) mod (31)
22 12 1" 11 2" ! # 1 0 15 20 1 5 2 2! 23 2 2# 3 1# 10 $ 2$ 1! 30 25 13 " 1$ 21
0.33333 0.! 0.#33333 0.3#### 0."#### 0.133333 0.2 0.5#### 0 0.5 0.#### 0.03333 0.1### 0." 0.$ 0.# 0.0### 0.$### 0.1 0.53333 0.33333 0.2### 0."3333 0.!### 1 0.$3333 0.!3333 0.3 0.# 0.
X 0
ri
= 21
=
X i / (m-1)
22
0.3333
%l ciclo de vida es de 31
b)
X x +1
X 0
a c m
13 " 12$
X x +1
= (13
= (13
X 0
X 0
+ ") mod (12$) con
+ ") mod (12$)
100 2" 2 35 $0 25 $ 12 12! $5 "0 2 10! $1 3$ 11" 20 13 50 1" 0 " 12#
0.$! 0.22$3 0.015 ! 0.255 0.#2"" 0.1"#$ 0.#1!1 1 0."#3 0.##"2 0.0$# # 0.2125 0.$1$$ 0.#3 0.2""2 1 0."30 0 0.15! 0.1023 # 0.3"3 0.1!"# 0 0 0.00$ ## 0.""21
ri
X 0
=
=7
X i
/ (m-1)
22
0.3333
%l ciclo de vida es de 31
b)
X x +1
X 0
a c m
13 " 12$
X x +1
= (13
= (13
X 0
X 0
+ ") mod (12$) con
+ ") mod (12$)
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ri
X 0
=
=7
X i
/ (m-1)
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25 0.$!0 0.3!#! 5# 0.5!33 0.0$ ! 0.0$## 0.1$$" 0.511$ 0.#1 # 0.$110 2 0.535! 0."$!2 0.1# 0.023# 0.3" 5 0."52 0.3#22 0.!$0 0.2!! 0.!13 2 0.!5## 0."#$5 0.5##" 2 0.3$5$ 0.0!2 0.#$50 0."133 0.$5$2 0.1!1 0."055 0.55" 0.$2# 0.!01 0.#220 ! 0.0"!! 0.2"13 0.$3!# 0.$!25
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%l ciclo de vida es de 12$ con m=&
c) =
X x +1
(1 X 0 ) mod (31) con
X 0
= 23
X 0
a m 1" 13 ! # " 2" 2$ 11 1 1 10 15 2# $ 12 1$ 2 25 22 2 3 20 30 1! 21 1# 2! 5 23
23 1 31
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%l ciclo de vida es de 30
d ¿ X x + 1
X 0
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' 13$ 3 12! 2!5 110 231 "# 21 $2 203 #$ 1$" 5! 15 !0 1#1 2# 1!
=
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X 0
) mod (25#) con x Q = 1
12 133 25! 11" 2!0 105 22# "1 212 1"$ #3 1$! !" 10 35 15# 21 1!2 12$ 2!" 11!
05" 0.0!05 $$2 0.5215# $#3 0.""#0 $!3 0.!#### ## 0."!11 #! 0.!11# !1 0.$$#2 !51 0.35#$# 25 0.$313 255 0.301"# 0$ 0.#! 05" 0.2!05 $$2 0.215# $#3 0.1"215 #$# 0.##### ## 0.1325 !" 0.#11# !1 0.0$235 2"! 0.55#$# 25 0.02!5 0"$ 0.501"# 0$ 0."#! 05" 0.!!05 $$2
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0."215# $#3 0.3"215 #$# 0.$#### ## 0.3325 !" 0.$11# !1 0.2$235 2"! 0.5#$# 25 0.22!5 0"$ 0.01"# 0$ 0.125! "02 0.#!05 $$2 0.11#! 0# 0.5"215 #$# 0.0#2! 51 0.5325 !" 0.00$! 31! 0.!$235 2"! 0."5#$# 25 0.!2!5 0"$ 0."01"# 0$ 0.325! "02 0.$!05 $$2 0.31#! 0# 0."215
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#$# 0.2#2! 51 0.325 !" 0.20$! 31! 0.#$235 2"! 0.152"! 11$ 0.#2!5 0"$ 0.0"$03 "22 0.525! "02 0.0!313 25 0.51#! 0# 0.""215 #$# 0.!#2! 51 0."325 !" 0.!0$! 31! 0.$$235 2"! 0.352"! 11$ 0.$2!5 0"$ 0.2"$03 "22 0.25! "02 0.2!313 25 0.1#! 0# 0.1$$23 52" 0.##2! 51
3! 155 20 1!1 # 12 2!$ 113 23! "" 220 $5 20# 1 1"2 5 1$ !3 1#! 2" 150 15 13# 1
0.13333 333 0.#0$! 31! 0.0$!3 13 0.552"! 11$ 0.02352 "!1 0.!"$03 "22 0."25! "02 0.!!313 25 0."1#! 0# 0.3$$23 52" 0.$#2! 51 0.33333 333 0.$0$! 31! 0.2$!3 13 0.52"! 11$ 0.22352 "!1 0.#"$03 "22 0.1#$#2 !5 0.#!313 25 0.1132 5!" 0.5$$23 52" 0.05$$2 353 0.53333 333 0.003"2
122 2!3 10$ 22" "! 215 $0 201 ## 1$ 52 13 3$ 15" 2! 1!5 10 131 252 11 23$ 103 22!
15 0.!$!3 13 0."52"! 11$ 0.!2352 "!1 0.$"$03 "22 0.3#$#2 !5 0.$!313 25 0.3132 5!" 0.$$23 52" 0.25$$2 353 0.3333 333 0.203"2 15 0.#$!3 13 0.1!"01 "#1 0.#2352 "!1 0.0"!11 #5 0.5#$#2 !5 0.03"21 5#" 0.5132 5!" 0."$$23 52" 0.!5$$2 353 0."3333 333 0.!03"2 15 0.$$!3 13
$" 210 5 1"# #1 1$2 ! 1#$ 33 15! 1" 1!0 5 12# 2! 112 233 "$ 21" $! 205 0 1"1 5#
0.3!"01 "#1 0.$2352 "!1 0.2"!11 #5 0.#$#2 !5 0.23"21 5#" 0.132 5!" 0.1$!31 33 0.#5$$2 353 0.12"!1 1# 0.#03"2 15 0.0!50 "$ 0.5!"01 "#1 0.01"#0 $! 0.!"!11 #5 0."#$#2 !5 0.!3"21 5#" 0."132 5!" 0.3$!31 33 0.$5$$2 353 0.32"!1 1# 0.$03"2 15 0.2!50 "$ 0.!"01 "#1 0.21"#0
1 !2 1#3 2$ 1!" 1! 135 0 121 2!2 10 22$ "3 21! " 200 #5 1$# 51 12 3 15$ 23 1!!
$! 0.#"!11 #5 0.1#!0 5$$ 0.#3"21 5#" 0.10"$0 3"2 0.5$!31 33 0.05!"0 1"# 0.52"!1 1# 0 0.!!50 "$ 0."!"01 "#1 0.!1"#0 $! 0.$"!11 #5 0.3#!0 5$$ 0.$3"21 5#" 0.30"$0 3"2 0.$!31 33 0.25!"0 1"# 0.2"!1 1# 0.2 0.#!50 "$ 0.1!50" $0! 0.#1"#0 $! 0.0"01" #0$ 0.5#!0 5$$
" 130 251 11# 23 102 223 $$ 20" ! 1"5 #0 1$1 !# 1# 32 153 1$ 13" ! 125 2!# 111 232 "
0.0352" !12 0.50"$0 3"2 0."$!31 33 0.!5!"0 1"# 0."2"!1 1# 0.! 0.$!50 "$ 0.3!50" $0! 0.$1"#0 $! 0.2"01" #0$ 0.#!0 5$$ 0.2352" !12 0.0"$0 3"2 0.1$03" 21# 0.#5!"0 1"# 0.125!" 02 0.# 0.005$ $2! 0.5!50" $0! 0.015#$ #2 0.!"01" #0$ 0."#!0 5$$ 0.!352" !12 0."0"$0 3"2 0.3$03"
21$ $3 20! #" 1"0 55 1# !1 1#2 2 1!$ 13 13! 255 120 2!1 10# 22 "2 213 $ 1"" #! 1$5
21# 0.$5!"0 1"# 0.325!" 02 0.$ 0.205$ $2! 0.!50" $0! 0.215#$ #2 0.#"01" #0$ 0.1#0$ !31 0.#352" !12 0.105$$ 235 0.5$03" 21# 0.050"$ 03" 0.525!" 02 1 0.!05$ $2! 0."!50" $0! 0.!15#$ #2 0.$"01" #0$ 0.3#0$ !31 0.$352" !12 0.305$$ 235 0.$03" 21# 0.250"$ 03" 0.25!" 02
50 11 3# 15 22 1!3 $ 12" 250 115 23# 101 222 $ 20$ 3 1"! 5" 1$0 !5 1## 31 152 1
0.1"#0 $!3 0.#05$ $2! 0.1!11 #! 0.#15#$ #2 0.0$#2 !51 0.5#0$ !31 0.0313 255 0.505$$ 235 0."$03" 21# 0.!50"$ 03" 0."25!" 02 0.3"#0 $!3 0.$05$ $2! 0.3!11 #! 0.$15#$ #2 0.2$#2 !51 0.#0$ !31 0.2313 255 0.05$$ 235 0.1#! 05" 0.#50"$ 03" 0.1215# $#3 0.5"#0 $!3 0.0####
## %l ciclo de vida es de 25# on & = m siendo m el modulo
2.
3.Programe en una hoja de cálculo la generación automática de números pseudo aleatorios con el método de cuadrados medios. Genere una muestra de 50 números con la semilla 5 735, determine con un ni!el de aceptación de "0# si son uni$ormes entre 0 %.
n 1 2 3 ! 5 # $ " 10 11 12 13 1! 15 1# 1 1$ 1" 20
&'()0*2 '0=53 32$"02 5 25 "2!5# $"02 0! #031"3 2!5# # 31" 101#1 1# 30"# "5$521 30"# # 3!2!5" 5$52 0! #0!##$ 2!5" 1 !## 2115# 2"!122 115 5 $$5$5 "!12 !! 3!30!! 5$5 !" "2#5"3 30!! # 002$ 2#5" 1 02 !"2$0! $#11$! "2$0 00 1!01$5 11$! # 1#1!!3 !01$ 2! 20$22! 1!!3 " $22 #5#$!
)
r
$"02
0.$"02
2!5#
0.2!5#
31" 1# 30"#
0.031" 0.01# 0.30"#
5$52
0.5$52
2!5"
0.2!5"
!## 115
0.0!## 0.115
"!12
0."!12
5$5
0.5$5
30!!
0.30!!
2#5"
0.2#5"
02 "2$0
0.002 0."2$
11$!
0.11$!
!01$
0.!01$
1!!3
0.1!!3
$22 5#$
0.0$22 0.5#$
21
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22
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23
5!05
2!
21!0
25
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2#
5"3#
2
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2$
5#"#
2"
!!!!
30
!"1
31
1150
32
3225
33 3!
!00# !$0
35
30!0
3#
2!1#
3 3$
$30 5#"
3"
23#
!0
#!53
!1
#!12
!2
113
!3
2"2
!!
5#3
!5
1$2"
52!# 2! 5!051 # 2"21!0 25 !5"#0 0 335"3# 1# 3523#0 "# 55#"#0 0 32!!!! 1# 1"!"1 3# 5#1150 $1 132250 0 10!00# 25 1#0!$0 3# 230!00 "2!1#0 0 5$305 # 005#" 00 323#1 5#!53 # !1#!12 0" !1113 !! 12"2# " $5#32 " 321$2" 2" 33!52! 1
2!#
0.2!#
5!05
0.5!05
21!0
0.21!
5"#
0.5"#
5"3#
0.5"3#
23#0
0.23#
5#"#
0.5#"#
!!!!
0.!!!!
!"1
0.!"1
1150
0.115
3225
0.3225
!00#
0.!00#
!$0 30!0
0.0!$ 0.30!
2!1#
0.2!1#
$30
0.$3
5#" 23#
0.05#" 0.23#
#!53
0.#!53
#!12
0.#!12
113
0.113
2"2
0.2"2
5#3
0.5#3
1$2"
0.1$2"
3!52
0.3!52
!# ! !$ !" 50
n= 50 m=10
11"1#3 3!52 0! "1#3 0."1#3 $3"#05 "1#3 #" "#02 0."#02 "#02 "21"$! 1"$! 0.1"$! 0! 1"$!interval 3"3#25 "3#2 0."3#2(%ii) o # i %i=n*m ,*%i "3#2-000 $#!0 #!0 0.#! 010) !! 5 0.$ -010 020) 5 0.$ -020 030) " 5 3.2 -030 0!0) 5 5 0 -0!0 050) 3 5 0.$ -050 0#0) 5 0.$ -0#0 00) 3 5 0.$ -00 0$0) 2 5 1.$ -0$0 0"0) 2 5 1.$ -0"0 100) 5 5 0 50 10.$ +-
2
( E −O )
m
%l estadístico
2
r ∑ =
X 0 =
i
1
i
i
i
Ei
=10.8
correspondiente de la /icuadrada
es menor 2
X 0.1,9 =14.68
al
estadístico
. %n consecuencia
no se puede rec/aar ue los nmeros r i siguen una distribucin uni4orme.
/.
5.enere la secuencia de aleatorios del generador congruencial ' i+1 = (1'i) mod(35) con ' 0 = 1# 6 e4ecte lo ue se indica7 a) 8ealice la prueba de corridas arriba 6 aba9o. b) 8ealice la prueba de corridas arriba 6 deba9o de la media.
a)
a= 'o= m= ' 71
r
;0110 1 01010 1# 0110 35 11<
0.213!$ 315 0.1151# /% $5! 0.15!!" 55 !3$ 0."!101 335 12! 0.#2#!0 223 !!" 0.35112 %25 3# b) 0.$#235 307 "55 0.05#1 20 := "$ ; 000110101001100 0."$033 3/" 0< 0$ 0.!1011 %/1 23# 0.03#51 %3 #$5 " o' 0.5$0 20" 10 n0' $#5 # n%' 0.5#!1 202 53 0.1!15 12 3 0.331!# %% 0# 0.!#"10 %17 112
2."
3.2
1.$#"23 0$
omo 1$#"230$ cae dentro del intervalo 1"# no se puede rec/aar ue los nmeros del con9unto ri son independientes
Problema >tilice la prueba de p?er con nivel de aceptacin de "5@ para comprobar la /iptesis de ue los nmeros de la siguiente lista son aleatorios
AD 1P AD A AD 1P AD 1P AD AD 1P
AD AD AD AD 2P AD 1P A 1P AD 1P
ategorí a AD 1P 2P A P Σ
Oi
52 !! # $ 0
= ."01
1P AD 2P AD A AD AD 1P AD AD AD
Ei
55.!! !.52 2." 3."# 0.11
1P AD AD 1P AD AD A 1P A 1P 1P
1P 1P AD AD A AD 1P AD 1P 1P AD
( E −O ) i
i
2
∕ E i
0.213!!$ 0.2#0! 3.0"12 !.121#1# 0.11
2P A 1P 1P A 1P AD AD AD AD 1P
AD AD 1P 1P AD AD 1P 1P 1P 1P 1P
el estadístico "01" es menor ue B, = 110 siendo este el estadístico c/i cuadrado por lo tanto se acepta ue los nmeros del con9unto
ri
son independientes
.
%0. etermine con la prue4a de corridas arri4a a4ajo si los 50 números de la ta4la son independientes con un ni!el de aceptación de "0 por ciento.
0.#0# " 0.!!1 1 0.!02 " 0.1"2 # 0.#3#
0.531 # 0.$1" 5 0.25! " 0.02# # 0."5! 3
0.052 " 0.352 1 0.100 3 0.5#" # 0.53$ 5
0.!13 1 0.$0# $ 0.552 3 0.50 ! 0.25 !
0.2"" 1 0.10# 2 0.1$" 0.$5! 2 0.23" #
0.#$! $ 0.53$ ! 0.$2 5 0.#0! 5 0.3!# $
0.$2" 1 0."2$ 0.!!3 " 0.22# " 0.!10 5
0.123 3 0."5 ! 0.#05 # 0." 0 0.51! 3
0.2!" 0.2 1 0.$31 0 0.33 $ 0.201 !
0."!$ 1 0.53 " 0.!0 " 0.12$ ! 0.""0 0
Para probar la independencia de los nmeros de un con9unto de ri primero es preciso 4ormular la siguiente /iptesis7 C07 los nmeros del con9unto rson independientes. C17 los nmeros del con9unto rno son independientes.
Prue4a e orridas rri4a 4ajo alcular el valor esperado la variana del nmero de corridas 6 el estadístico E0 mediante las ecuaciones7 2n
uC =
−1
3
0
2
σ C =
16 n −29
0
90
| |
z 0=
C 0 −uC
0
2
σ C
0
onsiderando la secuencia de los 50 nmeros de la tabla ue se dio arriba la secuencia de unos 6 ceros es7
0 1 0 0 1
0 0 0 1
0 0 0 1 0
1 1 1 1 0
0 0 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 0 0 1
0 0 1 1 1
1 0 1 0 0
1 0 0 0 1
:e determina ue el nmero de corridas de la secuencia es 0 = 2$ &=50. uC =
2 n−1 3
0
2
σ C
=
16 n −29 90
0
(
16 50 =
)
−
=
29 =
90
2 (50 )− 1 3
=33
8.5666
| || |
z 0=
C 0 −uC
0
σ C
0
=
28− 33 8.5666
=0.58366
&ivel De Fceptacin7 "0@ entonces G= 10@=0.10 Z α = Z 0.10 = Z 0.05 = 1.645 2
2
Tabla Normal de Z
1JG G
"0# %0# %.1/ 5 1.2$2
Z α 2
EG
"2@ $@ 1.51
"!@ #@ 1.$$1
"5@ 5@ 1."#0
"#@ !@ 2.05!
"@ 3@ 2.10
"$@ 2@ 2.32#
""@ 1@ 2.5#
1.!05
1.555
1.#!5
1.51
1.$$1
2.05!
2.32#
:iendo7 1G= &ivel de con4iana omo el estadístico E 0= 0.5$3## es menor ue el valor de la tabla normal de E=1.#!5. :e conclu6e ue no se puede rec/aar los nmeros del con9unto ri son independientes. %s decir ue los nmeros son aptos para usarse en la simulacin.
11. Determine con la prueba de corridas arriba 6 deba9o de la media si los 50 nmeros de la tabla son independientes con un nivel de aceptacin de "0 por ciento. 0.#3 51 0.!2 1 0."! "$ 0.3# !1 0.$5 5"
0.02 2 0.!$ 55 0."3 23 0.03 5# 0.2 $0
0.02 2 0.20 2$ 0.02 #5 0.21 $1 0. $"
0.3$ 2 0.1# 1$ 0.!# "# 0.0$ ## 0.1 !#
0.0# 5" 0.53 3# 0. 30 0.#0 $5 0.## 3
0.3# $3 0.3 $ 0."# 0 0.!! #$ 0.0# $
0.22 0 0.3# 0 0.5 00 0.05 3" 0.5! "!
0.3 23 0.## 3 0.52 5" 0."3 11 0.15 0!
0.!0 $$ 0.1$ #! 0.52 #" 0.31 2$ 0.$3 "
0.21 3" 0.# 3! 0.5! 0# 0.15 #2 0.2" "5
:= ;110001100101001101011100111111000010010011 10101010< o=2$
no=2!
n1=2# H0=25.
I20 =
E0 =
omo 020$113 cae dentro del intervalo 1#!5 no se puede rec/aar ue los nmeros del con9unto ri son independientes
Problema nmero 13
enere en una /o9a de cKlculo 200 nmeros aleatorios en una misma columna usando la 4uncin predeterminada FL%FA8M (o 8F&D). opie estos valores 6 ubíuelos en la siguiente columna pero des4asKndolos una posicin. opie el ltimo de los valores en el lugar ue ued vacío al principio 6 /aga una grKNca de relacin X= Y. O:e observa ue los datos estKn uni4ormemente dispersos
0.12" 0""3 0.1#0! 2"3" 0.#2!0 25"2 0.$152 0#31 0.$51# 05#$ 0.22 !0#5 0.$#53 15!# 0.#3"" "3 0.$51 !11" 0.0!05 11! 0.012$ $"5" 0.5121
0.12" 0""3 0.1#0! 2"3" 0.#2!0 25"2 0.$152 0#31 0.$51# 05#$ 0.22 !0#5 0.$#53 15!# 0.#3"" "3 0.$51 !11" 0.0!05 11! 0.012$
302! 0.!$#0 52$" 0.$53$ ## 0.1!!$ "023 0.15"1 2!2 0.1"!0 #3!3 0.$22$ !10 0.$#32 "0! 0.!#5 0$$3 0.!"0 !"2 0.35! 5$31 0.##0! 121 0.3# !$ 0.5#0# #"5 0."" #!15 0.!$!0 15 0.02## 525 0.51" ##$ 0.0151 33! 0."$11 !!# 0.531 "02# 0.3$2 "52! 0.!2!# !51! 0.$11 35""
$"5" 0.5121 302! 0.!$#0 52$" 0.$53$ ## 0.1!!$ "023 0.15"1 2!2 0.1"!0 #3!3 0.$22$ !10 0.$#32 "0! 0.!#5 0$$3 0.!"0 !"2 0.35! 5$31 0.##0! 121 0.3# !$ 0.5#0# #"5 0."" #!15 0.!$!0 15 0.02## 525 0.51" ##$ 0.0151 33! 0."$11 !!# 0.531 "02# 0.3$2 "52! 0.!2!# !51!
0.5"5! "!3 0.1"$ 1!2 0.$0 3""! 0.3$0# "5$! 0.!""3 301" 0.2"30 055 0.0200 "51 0.22# #!5 0.33!" 0!" 0.23$ !23! 0."235 21$2 0.$"5# #325 0.2505 #"$ 0.$$05 3! 0.##" 25 0.5$!# $#2 0.5$11 "31 0.$3"0 "21$ 0.1!!0 023# 0.$1# 111" 0.051$ 5!5 0.!2$ 1!22 0.$1"$ "21# 0.#321
0.$11 35"" 0.5"5! "!3 0.1"$ 1!2 0.$0 3""! 0.3$0# "5$! 0.!""3 301" 0.2"30 055 0.0200 "51 0.22# #!5 0.33!" 0!" 0.23$ !23! 0."235 21$2 0.$"5# #325 0.2505 #"$ 0.$$05 3! 0.##" 25 0.5$!# $#2 0.5$11 "31 0.$3"0 "21$ 0.1!!0 023# 0.$1# 111" 0.051$ 5!5 0.!2$ 1!22 0.$1"$
$"15 0.!!!# !32 0.532 32! 0.5$"0 #!! 0.!"1! 50$5 0.$2!$ 151 0.$01 151 0.1"$3 503$ 0.223" $"3 0.1#0# 003" 0.31 "$ 0.35"3 "353 0.5203 "555 0.0512 0##1 0.""5 51"# 0.$2! $$5" 0.$25# "51 0.1#!2 2" 0.232 1352 0.!$3 13" 0.0#"3 03"5 0.#2!0 "25 0.$""0 3055 0.5#$$ 0""1
"21# 0.#321 $"15 0.!!!# !32 0.532 32! 0.5$"0 #!! 0.!"1! 50$5 0.$2!$ 151 0.$01 151 0.1"$3 503$ 0.223" $"3 0.1#0# 003" 0.31 "$ 0.35"3 "353 0.5203 "555 0.0512 0##1 0.""5 51"# 0.$2! $$5" 0.$25# "51 0.1#!2 2" 0.232 1352 0.!$3 13" 0.0#"3 03"5 0.#2!0 "25 0.$""0 3055
0.$33 #"15 0.1153 $50# 0.1#! $10 0.#12# $1! 0.12$5 !$! 0.!55! 333 0.3#!5 223 0.1!"0 3#0! 0.!011 32$ 0.$2"3 50#5 0.110" 0#5$ 0.0!3$ !25 0.230 2$02 0.232 #311 0."$2 #5! 0.$0"$ 1"#" 0.5$05 $5 0.$$1$ 5!3$ 0.5!0# #!$" 0."3"2 $1" 0.!$00 "2$ 0.553 !!$ 0.#122 #$3 0.!3!3
0.5#$$ 0""1 0.$33 #"15 0.1153 $50# 0.1#! $10 0.#12# $1! 0.12$5 !$! 0.!55! 333 0.3#!5 223 0.1!"0 3#0! 0.!011 32$ 0.$2"3 50#5 0.110" 0#5$ 0.0!3$ !25 0.230 2$02 0.232 #311 0."$2 #5! 0.$0"$ 1"#" 0.5$05 $5 0.$$1$ 5!3$ 0.5!0# #!$" 0."3"2 $1" 0.!$00 "2$ 0.553 !!$ 0.#122
#0$ 0.000# 021 0.##23 #315 0.!55" 2!"" 0.!02 "$33 0.02#$ 3!#3 0.131" 35"$ 0.#2$# $512 0."!#1 $$2 0.522" #"3 0.5330 12!3 0."31 3"5 0.0122 2" 0.100 3!!$ 0.!002 30 0.32"$ "1!! 0.251! "3"3 0.10 5$5 0.$023 113 0.51# 2"3" 0.$510 20!" 0.!2"3 05" 0.!"#5 055 0.0210 !5
#$3 0.!3!3 #0$ 0.000# 021 0.##23 #315 0.!55" 2!"" 0.!02 "$33 0.02#$ 3!#3 0.131" 35"$ 0.#2$# $512 0."!#1 $$2 0.522" #"3 0.5330 12!3 0."31 3"5 0.0122 2" 0.100 3!!$ 0.!002 30 0.32"$ "1!! 0.251! "3"3 0.10 5$5 0.$023 113 0.51# 2"3" 0.$510 20!" 0.!2"3 05" 0.!"#5 055
0.53!! 3!3 0.112$ #$21 0.#1! $0 0."!#" "3! 0.1$#2 0"5" 0.00"! #02 0.$#50 $$# 0.#5!0 2!3 0.3$!5 $11 0.0!21 205! 0.##22 !10! 0.0!!0 3" 0.$$53 0532 0.$5!! "2"" 0.0!3 "$!" 0.352 1"# 0.152 252 0.322 $0! 0.5$"3 023 0.#2$# $""5 0.0!$# 01 0.2005 $"1 0."!$5 23 0.#153
0.0210 !5 0.53!! 3!3 0.112$ #$21 0.#1! $0 0."!#" "3! 0.1$#2 0"5" 0.00"! #02 0.$#50 $$# 0.#5!0 2!3 0.3$!5 $11 0.0!21 205! 0.##22 !10! 0.0!!0 3" 0.$$53 0532 0.$5!! "2"" 0.0!3 "$!" 0.352 1"# 0.152 252 0.322 $0! 0.5$"3 023 0.#2$# $""5 0.0!$# 01 0.2005 $"1 0."!$5
3$5# 0.10!# 33"5 0.2$!! 02 0."#"3 ##$ 0."0" 5235 0.05" #$5 0.1!3# 3351 0.$0$ 0"$# 0.10" 0"5! 0."03 1# 0.001! "33# 0.5#31 0!" 0.32"2 !#21 0.!2!1 1!3 0."3" 53!# 0.#3$5 ""25 0.5""# #$$ 0.!31" 1"3 0.32"3 #0# 0."$03 251 0.#221 010# 0.#"$5 !22 0.0!3$ !"" 0.3231 2!2
23 0.#153 3$5# 0.10!# 33"5 0.2$!! 02 0."#"3 ##$ 0."0" 5235 0.05" #$5 0.1!3# 3351 0.$0$ 0"$# 0.10" 0"5! 0."03 1# 0.001! "33# 0.5#31 0!" 0.32"2 !#21 0.!2!1 1!3 0."3" 53!# 0.#3$5 ""25 0.5""# #$$ 0.!31" 1"3 0.32"3 #0# 0."$03 251 0.#221 010# 0.#"$5 !22 0.0!3$ !""
0.15$1 5! 0.521! !0# 0.13!5 "$#2 0.$$1 50#5 0.3112 "221 0.#0# "153 0.$10$ #13 0.22!! #0!" 0.13# 0#23 0.21#5 ""# 0.5!! $1# 0.020$ 0!33 0.50$1 21"# 0.1500 #$32 0.3"$0 12 0.321" ""$ 0.022 !0$ 0."5"2 "012 0.0"13 5#25 0.52! $!" 0."20$ 50"$ 0."32 #55 0.3132 51" 0.015!
0.3231 2!2 0.15$1 5! 0.521! !0# 0.13!5 "$#2 0.$$1 50#5 0.3112 "221 0.#0# "153 0.$10$ #13 0.22!! #0!" 0.13# 0#23 0.21#5 ""# 0.5!! $1# 0.020$ 0!33 0.50$1 21"# 0.1500 #$32 0.3"$0 12 0.321" ""$ 0.022 !0$ 0."5"2 "012 0.0"13 5#25 0.52! $!" 0."20$ 50"$ 0."32 #55 0.3132
5!#$
51" 0.015! 5!#$
1.2
1
0.$
eje
0.#
0.!
0.2
0 0
0.2
0.!
0.#
0.$
1
1.2
eje
%/.
15. >n mQtodo multiplicativo miBto genera 1"500 nmeros de 3 dígitos de los cuales 13$21 tienen todos sus dígitos di4erentes 5!#! pares 6 215 tercias. alcule el error respecto de las 4recuencias esperadas ba9o la prueba p?er.
6G8 8i
i
(i9
:; 6 %P
13$51 5!#! 215
6
8i*<=i 1!0!0 2.5!!23 0 52#5 .52155 !5 1"5 2.0512$ 205 12.110 03
3521 3"#01 !00
',=
.$15
%l estadistico 1211003 es ma6or ue B, = $15 por lo tanto no se acepta ue los numeros del con9unto ri son independientes
%1. l reali>ar la prue4a pó?er a 50 números aleatorios de / d@gitos, el resultado del error total es de %%.07. Aceptar@a la hipótesis de independencia con ni!el de aceptación de "5 por
cientoB n = 50 D=!
( Ei−Oi )2
ategor@a
8i
i
Aodos di4erentes (AD) %Bactamente un par (1P) Dos pares (2P)
F
Aercia (A)
D
P?er (P)
%
0.50!0 (50) =25.2 0.!320 (50) =21.# 0.020 (50) = 1.35 0.03#0 (50) = 1.$ 0.0010 (50) = 0.05 50
:uma
R
50
%l valor de la tabla /i cuadrada total de 11.0 por lo cual independencia.
2
X 0.05,4 =9,488
Ei
G S T U V
es menor ue el error
se aceptar@a la hipótesis de
Problema numero 1" >n mQtodo congruencial genera 35 500 nmeros de # dígitos de los cuales 1 500 se clasiNcan como 2 pares. alcule el error de este evento respecto de su 4recuencia esperada ba9o la prueba p?er.
n= 2p FA% 8MF 2p
35500 1500 P8RF. 0.10$
Oi
1500
%1 3$#10
( E
−
Oi
)
2
∕ E i
115!1.$$2"3
:e rec/aa la /iptesis de independencia
20.
i
2%. Ca siguiente ta4la muestra los resultados de la prue4a de series después de clasiDcar los números entre 0 %. "2 $$ "# 100
$5 "$ "1 $5
"0 "3 $# $!
"3 "0 $$ $1
a) alcule el error total eBistente () entre lo real 6 lo terico. b) O%Biste evidencia estadística de 4alta de independencia de la secuencia de nmeros con un nivel de "0@ de aceptacin
n = 1!!0 m = 1#
;nter!a lo
8i
i
( Ei−Oi )2 Ei
1
100
1440 16
= 9 1.11111
2 3 ! 5
$5 $! $1 "#
"0 "0 "0 "0
#
"1
"0
$#
"0
$
$$
"0
"
$$
"0
10 11 12
"$ "3 "0
"0 "0 "0
13
"2
"0
1! 15 1# :>WF
$5 "0 "3 1!!0
"0 "0 "0 1!!0
1
0.2 0.! 0." 0.! 0.01111 1 0.1 0.0!!!! ! 0.0!!!! ! 0.1111 1 0.1 0 0.0!!!! ! 0.2 0 0.1 /.1 16
F/ora /allamos el error o estadístico de prueba
2
∑
X 0 =
1
2
( E −O ) i
i
E i
=4.6
X si este valor del error es menor ue o igual al estadístico de tablas 2
X α , m− 1
no podemos rec/aar la /iptesis de independencia entre
nmeros consecutivos. 8eemplaando7 2
X α , m− 1
&ivel De Fceptacin7 "0@ entonces G= 10@=0.10 m1 = 1#1 = 15 2
%l valor de tablas X 0.1,15 =22,307 es ma6or ue el error estadístico total de !.# por lo cual se conclue Eue no podemos recha>ar la hipótesis de independencia.
22.
23. enere 100 nmeros pseudo aleatorios usando cualuier /o9a de cKlculo 6 realice las pruebas de corridas uni4ormidad e independencia. ORa9o este anKlisis es posible considerar ue el generador de nmeros aleatorios ue tiene la /o9a de cKlculo usada es conNable 0.5222 0.!##$ 0.#3!2 0.3"$" 0.5121 0.5#30 0.5012 0.$35! 0.2 0.053# 05!3 "0#" ""3 35$# 033 !"21 1#" 32 "$52 221 0.351! 0.13 0.!0# 0.05" 0.10 0.2"5# 0.03$! 0.55" 0.!313 0.0$!$ 101$ !213 0"1# 023 00#! 1"21 "!1 "0$3 3! $553 0.5$5! 0.3$# 0.200 0.52#3 0.5135 0.#5$ 0.#15 0.5013 0.1!#! 0.$0
111$ 0.3$ 2""! 0.!#22 33"3 0.0"!1 2#15 0.223# !$02 0.#011 "! 0.252 $55# 0."#$5 !2#
0!"! 0.$35 5505 0.!3$# 132 0.#2# 213" 0.!3#! 0$! 0.50!" 105 0.$$52 !5$ 0."30 "!"
1$"$ 0.315! 0!!3 0.220" 53"2 0."251 #$! 0.15# 1##1 0.2$#5 02#" 0.35! $3! 0.1!2" $!1
1$#2 0."## !1!2 0.$!35 533! 0.$"!2 "2! 0.2!#3 2"12 0."11$ 232! 0.0!"# 02! 0.$030 21$
2#! 0.2$ !2 0.53!$ 2!3 0.0#! 2"5" 0.0## 3!0# 0.#$!1 "3#5 0.1511 2!22 0.300$ 01"#
$!# 0.32!5 !!#$ 0.5$!5 00$3 0.#51 $1 0.3#0 10$3 0.5 $"# 0."12 "1! 0.$115 !53
Prueba de medias Co7Hri= o.5 C17HriY o.5
Prueba de uni4ormidad Co= ri es uni4orme C1= ri no es inter!al uni4orme 8i o F0,009 0,%0* F0,%09 0,20* F0,209 0,30* F0,309 0,/0* F0,/09 0,50* F0,509 0,10* F0,109
0.!"!#$" media= !#" 0.!!3!1" LM= #! 0.55#5$0 L:= 32# Co se acepta Prueba de i'n=m (i9 variana 8i*<=i " 10 0.1 Co7 I,ri=1*12 C17 I,riY1*12 10 0." varian 10 0.03#2# 0 10 a= 1#" 0.10$0"# 1# 10 3.# LM= 3$ 0.0#155 " 10 0.1 L:= 051 1! 10 Co se acepta 10
1.# 0."
3"!5 0.05"1 01$3 0.5!$! 3"1 0.3## ##05 0.!352 #"3 0.$12$ 2"21 0.$5! 132 0.!131 !5
15!$ 0.3!#3 5""" 0.3!20 #2#1 0.!$33 15!! 0.3#02 255$ 0.13"5 #!$ 0.00!" 052 0.3## 2#
$!5 0.250! 2!0# 0.100 202$ 0.$5#" $325 0."0# #1" 0."25" "#52 0.005 #533 0.5!!0 1$53
###2 0.0"3" 2!22 0.#$$$ 05#! 0.203 333# 0.333 0$0" 0.$531 5##5 0.332" 3005 0.$5"" $23
