SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MATRIKS DAN DETERMINAN diajukan untuk memenuhi salah satu tugas yang diberikan pada matakuliah aljabar linear yang di ampu oleh bapak Eka Fitrajaya Rahman, Drs., MT.
Disusun oleh : Anisha Yahdiani Mulyadi Muhammad Aziz Ashari Rahmaniansyah Dwi Putri
C2 – Ilmu Ilmu Komputer 2013 PROGRAM STUDI ILMU KOMPUTER DAN PENDIDIKAN ILMU I LMU KOMPUTER FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU I LMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2014
KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Wr.Wb Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu wata’ala,
karena berkat
rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan menyelesaikan makalah yang berjudul “Sistem Persamaan Linear dengan Matriks dan Determinan ”. Makalah ini merupakan rangkuman dari buku “ Aljabar
Linear Elementer” karya Howard Anton dan Chris Rorres. Makalah ini diajukan guna memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear Elementer. Kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga makalah ini dapat diselesaikan sesuai dengan waktunya. Makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu kami mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan makalah ini. Semoga makalah ini memberikan informasi bagi masyarakat dan bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan pengetahuan bagi kita semua.
Bandung, 10 Desember 2014
Penyusun
i
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. .........................i DAFTAR ISI............................................ .................................................................. ............................................ ............................................ ...................................... ................ii BAB I PENDAHULUAN ............................... ..................................................... ............................................. .............................................. .............................. ....... 1 1.1 Latar Belakang .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................. ........................... .... 1 1.2 Rumusan Masalah ............................................ ................................................................... ............................................. ......................................... ................... 1 1.3 Tujuan...................................... Tujuan............................................................ ............................................ ............................................ ............................................ ........................ 1 1.4 Metode Penulisan ............................................................ .................................................................................. ............................................. ........................... .... 1 BAB II ISI ......................................... ............................................................... ............................................ ............................................ ............................................. ....................... 2 2.1. HASIL LEBIH LANJUT PADA SISTEM PERSAMAAN DAN KETERBALIKAN . 2 2.1.1 Penyelesaian Sistem Linear dengan Inversi Matriks Ma triks ............................................. ................................................. .... 2 2.1.2 Sifat-Sifat Matriks Yang Dapat Dibalik .................................. ........................................................ .................................. ............ 3 2.2. MATRIKS DIAGONAL, MATRIKS SEGITIGA, DAN MATRIKS SIMETRIK ........ 5 2.2.1 Matriks Diagonal ............................................................. .................................................................................... .......................................... ................... 5 2.2.2 Matriks Segitiga .................................. ........................................................ ............................................ ............................................. ........................... .... 6 2.2.3 Matriks Simetrik ....................................................... ............................................................................. ............................................. ........................... .... 8 2.3. DETERMINAN ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................. ....................... 9 2.3.1 FUNGSI DETERMINAN ........................................... ................................................................. ............................................ ........................ 9 2.3.2 Menghitung Determinan Dengan Reduksi Baris .......................................... .................................................... .......... 12 2.3.3 Sifat-Sifat Fungsi Detereminan ......................................................... .............................................................................. ..................... 14 2.3.4 Ekspansi Kofaktor; Aturan Cramer ............................................ ................................................................... ............................ ..... 16 BAB III PENUTUP ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. ......................... .. 20 3.1 Kesimpulan.................. Kesimpulan......................................... ............................................. ............................................ ............................................ ................................ .......... 20 DAFTAR PUSTAKA ............................................. ................................................................... ............................................ ........................................ ..................XXI
ii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persamaan linear adalah sebuah persamaan sebuah persamaan aljabar, aljabar, yang yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel dengan variabel tunggal. Bentuk umum untuk persamaan linear adalah
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar. Sebagai contoh, kita ambil matriks A 2x2
A=
tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka, detA detA = ad – bc
1.2 Rumusan Masalah 1. Perhitungan Hasil Lebih lanjutan pada sistem persamaan dan keterbali kan? 2. Perhitungan dengan Matriks Diagonal, segitiga dan Simetrik? 3. Perhitungan Determinan? 1.3 Tujuan Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear Elementer, yang diberikan oleh dosen kami Bapak Eka Fitrajaya Rahman, Drs., MT. Dan
1. Mengetahui perhitungan Hasil Lebih lanjutan pada sistem persamaan dan keterbalikan? 2. Mengetahui perhitungan dengan Matriks Diagonal, segitiga dan Simetrik? 3. Mengetahui perhitungan Determinan? 1.4 Metode Penulisan Penulis menggunakan metode observasi dan kepusatakaan. Cara yang digunakan dalam penulisan adalah adalah Studi pustaka
1
BAB II ISI 2.1. HASIL LEBIH LANJUT PADA PADA SISTEM PERSAMAAN PERSAMAAN DAN KETERBALIKAN
Teorema Dasar : Bahwa setiap sistem linear mungkin tidak memiliki solusi, tepat satu
solusi, atau takterhingga banyaknya solusi. Teorema 1.6.1 : Sistem persamaan linear memiliki sakah satu dari tiga kemungkinan, yaitu ;
tidak memiliki solusi, tepat satu solusi, atau takterhingga banyak solusi. Takterhingga banyak nya solusi
Ax = b
misalkan matriks
=
-
dimana
dan
adalah dua solusi yang berbeda sehingga
adalah taknol; terlebih lagi. =
Jika kita misalkan k adalah skalar sembarang, maka
Di mana
adalah solusi dari Ax = b karena
adalah taknol, maka
persamaan Ax = b memiliki banyaknya banyaknya takterhingga solusi. 2.1.1 Penyelesaian Sistem Linear dengan Inversi Matriks
Teorema 1.6.2 : Jika A adalah suatu matriks n x n yang invertible (dapat dibalik/ memiliki
invers), maka untuk setiap matriks b, n x 1, sistem si stem persamaan Ax = b tepat mempunyai satu penyelesaian, yaitu x =
1 0 2 A = 2 1 3 4 1 8
b b
A-1 = . . . ?
Jawab :
2
A I=
=
=
=
=
I
Baris ke 2 dikurang 2 kali baris pertama dan baris ke 3 dikurang 4 kali baris pertama untuk mendapatkan nol.
Baris ke 2 ditukar baris Baris ke 3 dikalikan – baris ke 3, untuk mendapatkan 1 utama.
Baris ke 3 dikurangi mendapatkan mendapatkan nol.
baris
ke
2
untuk
A-1
2.1.2 Sifat-Sifat Matriks Yang Dapat Dibalik Teorema 1.6.3 : Misalkan A adalah matriks bujursangkar
(a) jika B adalah matriks bujursangkar yang memenuhi BA = I, maka B = A-1 (b) jika B adalah matriks bujursangkar yang memenuhi AB = I, maka B = A-1 Teorema 1.6.4 : Pernyataan-pernyataan yang Ekuivalen
Jika A adalah matriks n x n, (a) A dapat di balik. (b) Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial. (c) Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah
(d) A dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari matriks-matriks ementer (e) (f)
= b adalah konsisten untuk setiap matriks b, n x l memiliki tepat satu solusi unutk setiap matriks b, nx l.
Contoh Soal
Syarat-syarat apakah yang harus dipenuhi
agar sistem persamaan
3
konsisten? Penyelesaian Matriks yang diperbesar adalah sebagai berikut
yang dapat direduks menjadi bentuk eselon yang
-1 kali bariss pertama ditambahkan ke baris kedua dan-2 kali baris pertama
Baris kedua dikalikan denga -1
Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga
Dari baris ketiga pada matriks, tampak bahwa sistem memiliki solusi jika dan hanya jika ,
memenuhi syarat
Untuk menyatakan syarat ini dengan cara lain,
adalah konsisten jika dan hanya jika b
adalah matriks dengan bentuk
dimana dimana
dan
adalah sembarang.
4
2.2. MATRIKS DIAGONAL, MATRIKS SEGITIGA, DAN MATRIKS SIMETRIK 2.2.1 Matriks Diagonal Suatu matriks bujursangkar yang semua entrinya yang tidak terletak pada diagonal
utama adalah nol disebut matriks diagonal. Berikut ini beberapa contohnya:\
.
.
Suatu matriks diagonal umum D n n x n, dapat ditulis sebagai
D=
(1)
Matriks diagonal (1) dapat diinverskan menjadi
D-1=
Dibuktikan bahwa DD -1 = D-1 D = I, membuktikan bahwa jika D adalah matriks diagonal diagonal pada (1) dan k adalah integer positif, maka
Dk =
Contoh matriks diagonal :
Jika
Maka
5
= =
= =
Didefinisikan untuk mengalikan matriks A di sisi kiri dengan matriks diagonal D, dapat mengalikan baris-baris yang berurutan dari A dengan entri-entri diagonal yang berurutan dari D dan untuk mengalikan A pada sisi kanan dengan D dapat dilakukan dengan mengalikan kolom-kolom yang berurutan dari A dengan entri-entri diagonal yang berurutan dari D. 2.2.2 Matriks Segitiga
Matriks bujursangkar yang semua entri di atas diagonal utamanya adalah nol disebut matriks segitiga bawah dan matriks bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utamanya adalah nol disebut matriks segitiga atas. Suatu matriks, baik segitiga bawah atau segitiga atas disebut matriks segitiga.
Matriks segitiga atas umum 4 x 4
Empat karakteristik matriks segitiga yang berguna :
1. Suatu matriks bujursangkar A= [Aij] adalah matriks segitiga atas, jika dan hanya jika baris ke-I dimulai dengan paling tidak i – i – 1 1 nol. 2. Suatu matriks bujursangkar A= [Aij] adalah matriks segitiga bawah, jika dan hanya jika kolom ke-j dimulai dengan paling tidak j – l l nol. 6
3. Suatu matriks bujursangkar A= [Aij] adalah matriks segitiga atas, jika dan hanya jika a ij = 0 untuk i > j. 4. Suatu matriks bujursangkar A= [Aij] adalah matriks segitiga atas, jika dan hanya jika a ij = 0 untuk i < j. Teorema : 1. Transpos dari matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose dari matriks segitiga atas adalah matriks segitiga bawah. 2. Hasilkali dari matriks-matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan hasilkali dari matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas. 3. Suatu matriks segitiga dapat dibalik jika dan hanya jika entri-entri pada diagonalnya semuanya bilangan tak nol. 4. Invers dari matriks segitiga bawah yang dapat dibalik adalah matriks segitiga bawah, dan invers dari matriks segitiga atas yang dapat dibalik adalah matriks segitiga atas. Contoh :
A=
Keterangan :
B=
Matriks A dapat dibalik karena entri-entri diagonalnya tak nol, sedangkan matriks B tidak dapat dibalik. Diinverskan :
A-1 =
[ ]
(Invers matriks segitiga atas)
7
2.2.3 Matriks Simetrik adalah matriks bujursangkar A bujursangkar A,, jika
Contoh :
matriks-matr iks simetrik dengan ukuran yang sama, Teorema 1.7.2 : Jika A dan B adalah matriks-matriks
dan jika k adalah skalar sembarang, maka : (a)
adalah simetrik
(b) A + B dan A – A – B B adalah Simetrik (c) KA adalah simetrik Contoh Hasil Kali Matriks Simetriks
Teoreman 1.7.3 : Jika A adalah matriks simetrik yang dapat dibalik, maka
simetrik.
adalah
Contoh Hasilkali Matriks dan Transposenya adalah Simetrik
Misalkan A adalah matriks 2 x 3
Maka1
Perhatikanlah bahwa
dan
adalah simetrik
8
Teorema 1.7.4 : Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka
balik
juga dapat di
2.3. DETERMINAN 2.3.1 FUNGSI DETERMINAN
Dalam bagian ini kita memulai pengkajian fungsi bernilai rill dari sebuah peubah matriks, yakni fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan riil
dengan sebuah matriks
. Sebelum kita
mampu mendefinisikan fungsi determinan, maka kita perlu menetapkan beberapa hasil yang menyangkut menyangkut permutasi.
bilangan-bilangan bulat Defi Defi ni si : Permu Permu tasi tasi
*+
adalah a dalah susunan bilanganbilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghasilkan atau mengulangi bilangan-bilangan tersebut.
Contoh :
Ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan-bilangan bulat permutasi ini adalah adalah (1, 2, 3)
(2, 1, 3)
(3, 1, 2)
(1, 3, 2)
(2, 3, 1)
(3, 2, 1)
*+
. Permutasi-
Salah satu metode yang mudah secara sistematis mendaftarkan permutasi-permutasi adalah dengan menggunakan pohon permutasi permutasi (perm (perm utation tr ee). Contoh :
1
3
2
2
3
3
2
1
3
1
2
3
1
2
1
Untuk menyatakan permutasi umum dari himpunan
( ) . Disini,
*+ ( )
, maka kita akan menuliskan
adalah bilangan bulat pertama dalam permutasian,
adalah bilangan bulat
kedua, dan seterusnya. Sebuah in ver dikatakan terjadi dalam permutasi dikatakan ver s (in version) version)
jika
9
sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului sebuah bilangan bulat yang lebih kecil. Jumlah invers seluruhnya yang terjadi dalam permutasi dapat di peroleh sebagai berikut: 1) Carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari mutasi tersebut. 2) Carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari mutasi tersebut. Teruskanlah Teruskanlah proses penghitungan ini i ni untuk
dan yang membawa
dan yang membawa
dalam
dalam
. Jumlah bilangan-bilangan ini akan sama
dengan jumlah invers seluruhnya dalam permutasi tersebut. Contoh :
Tentukanlah banyaknya invers dalam permutasi-permutasi permutasi-permutasi berikut a) (3, 4, 1, 5, 2) b) (4, 2, 5, 3, 1) Jawab: a) Banyaknya invers adalah adalah 2 + 2 + 0 + 1 = 5 b) Banyaknya invers adalah adalah 3 + 1 + 2 + 1 = 7
permutasi dinamakan genap ( even) j umlah invers seluruhnya adalah Defi Defi nisi : sebuah permutasi ven) jika jumlah sebuah bilangan bulat yang genap dan dinamakan ganji jika jumlah invers ganji l (odd) (odd) seluruhnya adalah adalah sebuah bilangan bulat bulat yang ganjil.
Contoh :
Tabel berikut mengklasifikasikan berbagai permutasi dari Permutasi
*+
Banyaknya Invers
Klasifikasi
0
Genap
(1, 3, 2)
1
Ganjil
(2, 1, 3)
1
Ganjil
(2, 3, 1)
2
Genap
(3, 1, 2)
2
Genap
(1, 2, 3)
sebagai genap atau ganjil. sebagai
10
(3, 2, 1)
3
Ganjil
Fungsi Determinan Definisi : misalkan A adalah matriks kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan kita
definiskan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A jumlah det(A) kita namakan determinan A.
Contoh 5
det
det
= =
= =
Caranya sebagai berikut :
Dengan mengalikan entri-entri pada panah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan hasil kali entri-entri pada panah yang mengarah ke kiri.
Contoh 6
Hitunglah determinan-determinan determinan-determinan dari : A. = B. =
Dengan menggunakan cara dari contoh 5 maka : det(A) = (3)(-2) – (3)(-2) – (1)(4) (1)(4) = -10 dengan mnggunakan cara dari contoh 5 maka : det(A) = (45) + (84) + (96) – (96) – (105) – (105) – (-48) – (-48) – (-72) (-72) = 240 *Perhatian bahwa metode/cara metode/cara yang digunakan pada contoh 5 dan 6 tidak berlaku determinan matriks 4 x 4 atau untuk matriks yang lebih tinggi. 11
2.3.2 Menghitung Determinan Determinan Dengan Dengan Reduksi Baris Baris Teorema 1 : jika A adalah sembarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris bilangan nol, maka det (A) = 0
Matriks kuadrat kita namakan segiti ga atas jika semua entri di bawah atas (uppe (upper tri angular ) diagonal utama adalah nol. Begitu juga matriks kuadrat kita namakan segitiga bawah (lower , jika semua entri di atas diagonal utama adalah nol. Sebuah matriks baik yang merupakan triangular) segitiga atas maupun segitiga bawah kita namakan segiti ga (tr iangul ar). Contoh:
Sebuah matriks segitiga atas 4
4 yang umum mempunyai bentuk
Sebuah matriks segitiga bawah 4
4 yang umum mempunyai bentuk
Teorema 2 : jika A adalah matriks segitiga
entri-entri pada diagonal utama; yakni det (A) = Contoh:
, , maka det (A) adalah hasil kali .
= = 1 . 1 . 7 = 7
Teorema 3: 3: Misalkan A adalah adalah sembarang matriks matriks
.
Jika adalah adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det = = k det(A). Jika adalah adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan, dipertukarkan, maka det = = det(A). Jika adalah adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A ditambahkan pada baris lain, maka det = = det(A).
12
Contoh :
A=
= = - 2
¼
=
=4
Karena operasi perkalian maka kebalikannya dikali
= 4 . (-2) = -8
ditukar
=
=
Karena pertukaran antar baris maka dikali .
= - (-2) =2
=
=
Karena pertambahan antar baris maka tidak berpengaruh.
= -2
Contoh :
A=
Det (A) =
Kita tidak memerlukan reduksi selanjutnya karena dari Teorema 1 kita peroleh bahwa det (A) =
0. Dari contoh ini seharusnya sudah jelas bahwa bila matriks kuadrat mempunyai dua baris yang terdiri dari bilangan nol dengan menambahkan kelipatan yang sesuai dari salah satu baris ini pada baris yang satu lagi. Jadi, ji j i ka matr m atr i ks ku adrat adr at mempu nyai dua bari bar i s yang sebandi sebandi ng, m aka determi determi nann ya sama sama dengan dengan n ol.
13
Contoh :
Karena baris pertama dan kedua sebanding yaitu 1 : 2 maka det (A) = 0.
2.3.3 Sifat-Sifat Fungsi Detereminan
t Teorema 4. Juka 4. Juka A adalah sembarang matiks matiks kuadrat, maka maka det det (A ) =det (A ).
Pernyataan. Karena hasil ini, maka hampir tiap-tiap teorema mengenai determinan yang mengandung perkataan baris dalam pernyataannya akan benar juga bila perkataan “kolom” disubstitusikan untuk “baris”. Untuk membuktikan pernyataan kolom, kita hanya perlu mentranspos (memindahkan) matriks yang di tinjau untuk mengubah pernyataan kolom tersebut pada pernyataan baris, dan kemudian kemudian menerapkan menerapkan hasil yang bersesuaian yang yang sudah kita ketahui ketahui untuk baris. Contoh
Hitunglah determinan dari
A=
Determinan ini dapat di hitung seperti sebelumunya dengan menggunakan menggunakan operasi baris elementer untuk mereduksi mereduksi A pada bentuk eelon baris. Sebaliknya, kita dapat menaruh A pada bentuk segitiga bawah dalam satu langkah dengan menambahkan -3 kali kolom pertama pada kolom keempat untuk mendapatkan mendapatkan
Det (A) = det
=(1)(7)(3)(-26)= =(1)(7)(3)(-26)= -546
Contoh ini menunjukkan menunjukkan bahwa selalu merupakan hal yang bijaksana untuk memperhatikan operasi kolom yang tepat yang akan meringkaskan perhitungan tersebut. Misalkan A dan B adalah matriks-matriks n x n dan k adalah adalah sebarang skalar. Kita karang meninjau hubungan yang mungkin di antara det(A), det(B), dan
14
det(k det(k A), A), det(A + B), dan det(AB) karena sebuah faktor bersama dari sebarang baris matriks dapat dipindahkan melalui tanda det, dan karena setiap baris n baris dalam k A mempunyai factor bersama sebesr k, maka kita dapatkan det(kA) det(kA) = k n det(A) Teorema 5. Misalkan A, A, A’, dan A” adalah matiks n x n yang hanya berbeda dalam garis tunggal, katakanlah baris ke r, dan anggaplah bahwa baris ke r dari A” dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri entri -entri yang bersesuaian dalam baris ke r dari A dan dalam baris ke r dari dari A’. Maka det(A”) = det (A) + det (A’)
Hasil yang serupa berlaku untuk kolom-kolom itu.
Contoh
Dengan menghitung determinan, anda dapat memeriksa bahwa
7 5 1 1 7 5 1 7 5 2 det 2 0 3 det 2 0 3 0 3 det = + 1 0 4 1 7 ( 1) 1 4 7 0 1 1 Teorema 6. Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, maka det(AB) = det(A)det(B)
Contoh
Tinjaulah matriks-matriks matriks-matriks
A
3 2
1
1
B
1 3 5 8
AB
2 3
17
14
Kita peroleh det(A) det(B) = (1) (-23) = -23. Sebaliknya dengan perhitungan langsung maka det(AB) = -23, sehingga det(AB) = det(A) det(B).
Teorema 7. Sebuah matriks matriks A kuadrat dapat di balik jika dan dan hanya jika det(A) 0
15
Contoh
Karena baris pertama dan baris ketiga dari
1 2 3 A 1 0 1 2 4 6 Sebanding, maka det(A) = 0, jadi A tidak dapat dibalik
2.3.4 Ekspansi Kofaktor; Kofaktor; Aturan Cramer Cramer Pada bagian ini kita meninjau sebuah metode untuk mengitung determinan yang berguna untuk perhitungan yang menggunakan menggunakan tangan dan secara teoritis penting penggunaannya. penggunaannya. Sebagai konsekuensi dari kerja kita di sini, kita akan mendapatkan mendapatkan rumus untuk invers dari matriks yang dapat dibalik dan juga akan mendapatkan rumus untuk pemecahan sistem-sistem persamaan linear tertentu yang dinyatakan dalam determinan. Definisi : Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri a ij ij dinyatakan oleh M ij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke i dan kolom ke j ke j dicoret dicoret i dari A. Bilangan (-1) + j M ij dinyatakan oleh C entri a ij ij dan dinamakan kofaktor entri ij ij .
Contoh : Misalkan
Minor entri a11 adalah
Kofaktor a11 adalah
| | 1+1 C 11 M 11 = M 11 11 = (-1) 11 = M 11 = 16
Demikian juga, minor entri a32 adalah
16
Kofaktor a32 adalah
| | 3+2 C 32 M 32 = M 32 26 32 = (-1) 32 = M 32 = – 26
Perhatikan bahwa kofaktor dan minor elemen aij hanya berbeda dalam tandanya, yakni, C ijij = ± M ijij. Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaan tanda + atau tanda – merupakan merupakan kenyataan bahwa penggunaan tanda yang menghubungkan menghubungkan C ijij dan M ijij berada dalam baris ke i dan kolom ke j j dari susunan
Misalnya, C 11 = M 11, C 21 = – M M 21, C 12 = – M M 12 = M 22 seterusnya. 11 = M 21 = – 12 = – 12, C 22 22 = M 22, dan seterusnya. Tinjaulah matriks 3 x 3 umum
dapat kita tuliskan kembali menjadi
Karena pernyataan-pernyataan dalam kurung tidak lain adalah kofaktor-kofaktor C 11, C21 dan C31, maka kita peroleh
Persamaan di atas memperlihatkan bahwa determinan A determinan A dapat dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri pada kolom pertama A A dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil kalinya. Metode kspansi kofak tor sepanjang kolom pertama A menghitung det( A) A) ini dinamakan dinamakan ekspansi pertama A..
Contoh : Misalkan
17
Hitunglah det( A) A) dengan metode ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A pertama A..
Pemecahan .
Perhatikan bahwa dalam setiap persamaan semua entri dan kofaktor berasal dari baris atau kolom yang sama. Persamaan ini dinamakan ekspansi-eks A). kspansi-ekspans pansii kof aktor det( A). Hasil-hasil yang baru saja kita berikan untuk matriks 3 x 3 membentuk kasus khusus dari teorema umum berikut, yang kita nyatakan tanpa memberikan memberikan buktinya.
Teorema 8.
Determinan matriks A A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan; yakni untuk setiap 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n
kspansi kof aktor sepanj epanj ang kol om ke j Maka, ekspansi
kspansi k ofak tor sepanjan g bari s ke i dan ekspansi
18
Jika matriks A matriks A adalah adalah sebarang matriks n x n dan n dan C ijij adalah kofaktor aij, maka matriks
Dinamakan matriks kofaktor dinamakan adjoin kofaktor A . Transpos matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adj( A). A).
Teorema 9.
Jika A Jika A adalah adalah matriks yang dapat dibalik, maka
Cramer ) Teorema 10 (Atur an Cramer
Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linear dalam n bilangan takdiketahui sehingga det( A) A) ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yan unik. Pemecahan ini adalah
dimana Aj dimana Aj adalah adalah matriks yang kita dapatkan dengan mengganti entri-entri dalam kolom ke j dari A dari A dengan dengan entri-entri dalam matriks
19
BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Pada pemaparan di atas dapat ditarik kesimpulan, bahwa kesimpulan, bahwa setiap sistem linear mungkin tidak memiliki solusi, tepat satu solusi, atau takterhingga banyaknya solusi. Terdapat hal unik untuk membedakan setiap jenis matriks karena setiap matriks tertentu memiliki sifat. Sebuah permutasi dinamakan genap (even) jika jumlah j umlah invers seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang yang genap dan dinamaka dinamakan n ganjil (odd) jika jumlah invers seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang yang ganjil.
20
DAFTAR PUSTAKA
XXI
