TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO TECNOLÓG ICO DE ACAPULCO INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA MAESTRA; VELASCO MELCHOR MELANIE AURORA MATERIA; MATERIA; MECANICA DE MATERIALES MATERIALES FECHA; 26/09/16 TRABAJO: COMPENDIO DE IDEAS SISTEMAS HIPERESTÁTICOS INTEGRANTES DE EQUIPO: MARTÍNEZ SERNA ARMANDO RAMIRO CHA!EZ CHA!EZ GUTIERREZ JORGE ALBERTO CARMONA LUBATO LUBATO ESTEBAN DA!ID DA!ID
120612 1"20#$ 1$200#
1 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS HIPERESTÁTICOS 1.1 PLANTEO DEL PROBLEMA La forma de resolver cualquier tipo de estructuras es determinar un modelo que es necesariamente una simplificación la más aproximada a la realidad. En efecto las vigas y las columnas no son líneas ya que tienen no sólo longitud sino alto y ancho, las losas no son superficies planas sin espesor y así. Lo que se trata de hacer es una abstracción que permita predecir lo más aproximadamente el comportamiento de la estructura y que al mismo tiempo permita dimensionar con suficiente seguridad las secciones de hormigón y de acero necesarias para garantizar la estabilidad con buenas condiciones de servicio y durabilidad.En este sentido es necesario resaltar que el modelo se debe aproximar a la realidad y no a la inversa. La estructura real no tiene por qu recibir órdenes del proyectista, sino que es ste quien debe tratar de encontrar un modelo que se acerque a la realidad de la me!or manera posible.
"or ello, a#n en los casos en que se decida realizar el cálculo por computadora muchas veces resulta conveniente calcular las losas de cada planta por separado obteniendo las reacciones sobre las vigas. Entre otros aspectos porque aparecen esfuerzos de poca importancia como son las flexiones oblicuas y torsiones, esfuerzos que no se toman en cuenta pero que amplían las salidas. "or ello es que tradicionalmente se realizó una ulterior simplificación que consiste en subdividir el pórtico espacial en un con!unto de pórticos planos independientes ya que se considera que los esfuerzos provocados por cargas gravitatorias sólo
en forma muy leve se transmiten a los elementos transversales. $ % continuación y sobre el mismo modelo anterior se grafican un pórtico de fachada y otro longitudinal&
Pórtic !" #$c%$!$&
Pórtic tr$'()"r($*& 'n pórtico plano es un tipo estructural más familiar con el cual se han encontrado en el curso anterior y de los cuales obtenían las reacciones para un estado de cargas dado y confecciones diagramas de característica. (laro que se trataba de pórticos isostáticos y en realidad un pórtico de edificio como lo indicados precedentemente que no es de muchos pisos ya sea de dos pisos es un sistema hiperestático.
+. SISTEMAS HIPERESTÁTICOS $
'n sistema estático es una cadena de barras con un cierto n#mero de vínculos externos y una barra es un elemento estructural en el cual una dimensión predomina sobre las otras dos. Es decir, posee una longitud y una sección determinada.
Sistema Estático
'n sistema estático puede ser %i,(t-tic )tambin llamado mecanismo* cuando el n#mero de vínculos no es suficiente para garantizar el equilibrio y cuando se aplica una fuerza se produce una aceleración del sistema o de una fracción del +istema.
Sistema Hipostático
Sistema Hipostático
Vínculo aparente
En este caso, se pueden obtener las reacciones y determinar los esfuerzos característicos en cualquier punto del sistema a partir de las ecuaciones de la estática.
Sistema Isostático
+i en cambio, las reacciones de vínculo o la determinación de los esfuerzos característicos no pueden obtenerse a partir de ecuaciones estáticas, entonces se trata de sistemas %i,"r"(t-tic(.
Sistema Hiperestático
En el caso de los hiprestticos, el sistema tiene infinitas soluciones que cumplen con la estática por lo cual es necesario idear procedimientos para poder obtener el resultado, que siempre es #nico.
(omo e!emplo indicaremos una serie de posibles resoluciones, todas ellas falsas, pero que permiten garantizar el equilibrio.
%
E P=2 t
1.00
B
1.00
P=2 t
C
1.00
D
1.00
+ol $& -0 -( 1t -2 /t -E /t -% /t /t +ol 3& -0 -( 3t -2 $t -E /t -% /t $t +ol 4& -0 -E $t -% $t $t -( /t -2 $t +ol 1& -0 -( $t -2 $t -E /.5t -% /.5t $t En todos los casos, la suma de las proyecciones verticales de las acciones y las reacciones es nula, lo mismo ocurre cuando se toman momentos para cualquier punto del plano y no hay acciones horizontales. +in embargo, ninguna de estas soluciones es correcta ya que no cumplen con otras condiciones, por e!emplo, condiciones de deformación. En efecto, con estas reacciones los apoyos no tendrían descenso nulo que es su propia definición.
C*$(i#ic$ció' !" *( (i(t"$( %i,"r"(t-tic( %ntes de analizar la forma en que se resuelven los sistemas hiperestáticos, es necesario tener presente algunos conceptos que ya fueron definidos en cursos anteriores y que ahora recordamos. "ara clasificar los sistemas hiperestáticos es necesario recordar previamente el concepto de grados de libertad. Los grados de libertad de un sistema es el n#mero de movimientos independientes que admite. 6 entendemos por movimiento independiente a aquel que no viene ligado a ning#n otro. La cantidad de grados de libertad de una cadena abierta de chapas o de barras surge de la siguiente expresión&
Gr$!( !" Li/"rt$! 0 ' !" c%$,$( 2 +
7rado de 8iperestaticidad $
N !e c"apas = 2 V#nculos e$ternos = % &ra!os !e 'i(erta! = ) &ra!o !e Hiprestatici!a! = % * ) = 1
N !e c"apas = 1 V#nculos e$ternos = ) &ra!os !e 'i(erta! = + &ra!o !e Hiprestatici!a! = ) * + = 1
7rado de 8iperestaticidad 3
N !e c"apas = 1 V#nculos e$ternos = % &ra!os !e 'i(erta! = + &ra!o !e Hiprestatici!a! = % * + = 2
N !e c"apas = 2 V#nculos e$ternos = , &ra!os !e 'i(erta! = ) &ra!o !e Hiprestatici!a! = , * ) = 2
El e!emplo que se agrega a continuación es ilustrativo al respecto.
P = 2t
/
- = 1t
B -B = 1t
En este caso resulta muy sencillo obtener las reacciones de vínculo del sistema ya que se trata de una #nica chapa conformada por un n#mero dado de barras de una configuración especial, por eso, desde el punto de vista exterior es isostático de resolución sencilla. "ero obtener 9, : y ; para el punto < ya no resulta nada sencillo porque, en realidad, el sistema es hiperestático aunque no porque no se puedan obtener las reacciones sino porque lo que no se pueden obtener son los esfuerzos carácterísticos a partir de ecuaciones estáticas. "or lo tanto, cuando se trata de cadenas de barras que poseen excesiva cantidad de vínculos, hablamos de =hiperestaticidad externa>, en cambio cuando se trata de cadenas cerradas de barras, hablamos de =hiperestaticidad interna>.
R"(*3ció' !" Si(t"$( Hi,"r"(t-tic(. % partir de aquí nos centraremos en un caso particular de los sistemas hiperestáticos que son las vigas continuas, dada su importancia para el cálculo de una estructura de hormigón armado y que la resolución de pórticos hiperestáticos presenta mayores dificultades. Las vigas continuas, por lo general consisten en una barra con una serie de apoyos ya sean empotramientos, apoyos fi!os o móviles. ?al como se puede apreciar a continuación.
"or razones de simplicidad analizaremos el caso de una viga continua de dos tramos con un apoyo fi!o y dos móviles con una carga distribuida uniforme.
2e acuerdo a lo planteado anteriormente, retiramos en primer lugar el apoyo central y los reemplazamos por una fuerza < de dirección vertical.
+eguidamente determinamos la flecha que produce dicha fuerza < que se puede resolver por cualquier mtodo de obtención de flecha y que resulta&
f< & < 1@)3El4*A
2onde, f< es la flecha en el punto medio, l la luz de cada tramo de viga, E es el módulo de elasticidad del material )hormigón, acero, etc.* y A es el momento de inercia de la sección. % continuación determinamos la flecha para una viga sin el apoyo central y una carga distribuida uniforme en toda la luz. ?ambin hay muchos mtodos para resolver esta flecha cuyo resultado es&
fq & 4@15q )E A3l*1
"ara que se cumpla la condición de equilibrio nulo, se debe cumplir la siguiente condición& f
+i resolvemos la ecuación, se obtiene que la fuerza < resulta& < &
(on este valor intermedio se obtienen las reacciones& -a & 4ql @ -b & 4@ql
6 el momento en el apoyo resulta&
9ap & Cq l3
@
(on estos valores se pueden obtener los momentos máximos de los tr amos. 3 9tr & q
l $1.33
% este sistema se lo denomina #3'!$"'t$*. Los sistemas fundamentales pueden ser de diferente tipo seg#n sea qu tipo de vínculo eliminan y qu incógnita ponen en evidencia. En este sentido hay que seDalar que pueden ser vínculos internos, agregando articulaciones lo que permite colocar, por e!emplo, momentos flexores como incógnitas. % continuación se agregan un e!emplo de sistema fundamental de este tipo&
<$
<3
<4
4t! !" *$( #3"r5$(. En este caso hay que aclarar que se denomina fuerzas a lo que son en realidad fuerzas y momentos, de ahí que el primero de los nombres sea el más correcto.
%hora bien, este mtodo de resolución de hiperestáticos es conveniente cuando se trata de hiperestáticos de pequeDo grado de hiperestaticidad. "or e!emplo, el caso que hemos visto posee un grado de hiperestaticidad igual a $. (uando tenemos casos de mayor hiperestaticidad la dificultad matemática es creciente por lo cual se idearon otros mtodos para resolver hiperestáticos.
MÉTODO DE LAS DE6ORMACIONES En particular, la magnitud que nos interesa son los momentos en los apoyos. En forma anexa a la resolución del traba!o práctico incluiremos una tabla con muchos casos ya resueltos. Este mtodo de resolución traba!a tambin con un sistema fundamental. Es decir, con un sistema geomtricamente afín con diferentes condiciones de vínculo. +ólo que en este caso no se trata de un sistema isostático sino un sistema con mayor grado de hiperestaticidad, por ello es importante conocer los resultados de los sistemas hiperestáticos de una barra. ?omemos un hiperestático de grado 3, es decir que posee dos incógnitas para resolver.
En efecto, el sistema fundamental se obtiene adicionando un empotramiento en cada nudo interno del sistema hiperestático como se puede apreciar a continuación.
En primer lugar se procede a cargar este sistema con el estado de cargas del sistema hiperestático y se obtienen los momentos a ambos lados de los nudos internos. La venta!a de haber colocado empotramientos en cada nudo permite que traba!ar con un con!unto de barras aisladas de un #nico tramo.
% continuación se obtienen los momentos de apoyo de cada tramo para lo cual se deben conocer los resultados de los momentos de apoyo para el caso de vigas de un tramo. Estos son sistemas hiperestáticos por lo cual se deben haber resuelto previamente por otro mtodo como puede ser el mtodo de las fuerzas. (on el enunciado del traba!o práctico se incluye una tabla con la resolución de los casos más usuales. (omo e!emplo se agregan los casos correspondientes a este e!ercicio.
(on estos datos se obtienen los momentos en los nudos. "ara diferenciar los momentos agregaremos un primer subíndice que indica el nudo en el cual se encuentran y un segundo que indica el otro extremo de la barra y el mismo criterio utilizaremos con los momentos generados por las cargas en el sistema fundamental. "or #ltimo, agregaremos un superíndice que indica que se trata de los momentos en el sistema fundamental.
2ado que las cargas, las luces y las condiciones de vínculo )un borde empotrado, otro articulado o ambos empotrados* son diferentes los momentos en los nudos no suelen coincidir, tal como se puede apreciar en el gráfico siguiente donde se encuentran volcados, no sólo los momentos extremos sino los momentos en todo el tramo. %donde va la diferencia de momentosF "ues bien, la absorbe el empotramiento.
En forma amplificada se grafica el apoyo (.
(on respecto al signo de los momentos en el apoyo hay que tomar en cuenta que en el apoyo los momentos son negativos y que en el empotramiento tenemos reacciones por lo cual a la izquierda del apoyo existe un momento positivo y a la izquierda un momento negativo. %hora hay que tener en cuenta una idea conceptual más comple!a porque escapa a nuestra experiencia práctica. (iertamente, nos resulta claro que si aplico una fuerza o un momento a un elemento estructural, ste se desplaza o gira. %hora vamos a tener que aceptar la operación inversa. +i yo tengo un elemento estructural y le aplico una deformación o un giro, aparecerán fuerzas o momentos, sin importarme cuál fue el origen de la deformación impuesta. En general, cuando le impongo un giro a una barra, aparecen momentos. %hora bien, si le aplico un giro unitario y positivo )igual a G$, medido en radianes* aparecerán momentos a los cuales se denomina rigideces, 2icho de otra forma se denomina ri7i!"5 $'73*$r en el extremo de una barra al momento que aparece en la misma cuando se le impone un giro unitario y positivo.
Las rigideces angulares para los casos sencillos han sido calculadas y tabuladas, denominándose rigideces directas )H* a aquellas inducidas en el nudo donde se
OTROS MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE HIPERESTÁTICOS El 9todo de las Iuerzas o de las 2eformaciones son los mtodos troncales y tradicionales, pero existen un gran n#mero de mtodos de resolución de hiperestáticos. Entre los más populares podemos nombrar al 9todo de (ross que en realidad es un derivado del mtodo de las deformaciones y permite resolverlo en forma iterativa. ?ambin existen tablas para la resolución de hiperestáticos. Estas tablas brindan divisores que permiten obtener momentos y cortes. En el primer caso estos valores dividen a la carga multiplicada por la luz al cuadrado y en el segundo, la carga multiplicada por la luz. Lo que es necesario advertir es que su alcance está limitado al caso de cargas iguales y luces iguales aceptando muy leves variaciones. Jncluso la llamada adaptación del $5K corresponde a una reducción de los momentos de apoyo y el consiguiente aumento de los momentos de tramo. La venta!a que tienen es que en realidad son diagramas envolventes ya que si bien las cargas permanentes se aplican en todos los casos, las sobrecargas sólo se aplican alternadamente a fin de obtener los casos más desfavorables. "or eso se ingresa como dato la relación entre cargas permanentes y cargas totales, el esquema de cortes y momentos aparece quebrado. % ese diagrama que toma los casos más desfavorables de esfuerzos característicos, se los denomina !i$7r$$( "')*)"'t"(. "or #ltimo hay que hablar de la resolución de sistemas hiperestáticos por computadoras. En la actualidad existen gran n#mero de programas de resolución de pórticos no sólo planos sino tambin espaciales, que presentan muchas posibilidades de combinación de barras y tambin permiten intercalar articulaciones, etc. Jncluso la generación ha me!orado sensiblemente ya que se puede dibu!ar la estructura y el programa la interpreta, reduciendo engorrosos ingresos de datos. ?ambin permiten obtener los diagramas de esfuerzos característicos. En realidad, la utilización de estas poderosas herramientas de cálculo ha desplazado el problema de la resolución de estos sistemas. %nteriormente la dificultad se centraba en la resolución, hoy día, el problema es analizar la validez de las hipótesis y la interpretación de los resultados obtenidos.