RESPOSTA DE SISTEMAS VIBRACIONAIS DE 1 GDL NO SOFTWERE MATLAB:
MASSA MOLA AMORTECIDO E MASSA MOLA COM EXCITAÇÃO HARMÔNICA
MARÇO-2014
Exercício 1
Seja um sistema de 1GL projetado para absorver choques. Sabe-se que o amortecimento do sistema é menor do que o crítico e que dado uma condição inicial, a amplitude máxima atingida se reduziu a 1/3 após meio ciclo. A massa do sistema é de 450kg e que o período amortecido é de 1 seg. Determine a constante de amortecimento c, a rigidez do sistema k e a velocidade mínima para alcançar o final do curso sabendo-se que o curso é de 300mm.
Solução computacional:
Com as equações da resposta do sistema massa-mola-amortecido foi possível com o auxilio do Software MatLab, obter o gráfico da posição em função do tempo para o problema dado. O código do Programa: clear all clc fprintf('\n\n') % Exercício 1 % Resposta de um Sistema Massa Mola Amortecido (sub-amortecido)de 1 GDL fprintf(' Programa para cálcular a constante de rigidez, de amortecimento e a velocidade inicial para que a massa alcance 300 mm \n\n\n') % % % % %
Determinar a Constante de rigidez da mola (k) Determinar a Constante de amortecimento (c) Determinar a Velocidade para que a massa alcance 300 mm. Plotat gráficos de posição e velocidade -------------------------------------------------------------------------
% Variáveis conhecidas: m = 450; % Massa do Sistema td = 1; % Período amortecido x1_x2 = 9; % Decréscimo de amplitude. xt = 0.300; % Posição para determinar a velocidade. % variáveis calculadas: d = log(9); z = d/sqrt((2*pi)^2 + d^2); wd = (2*pi)/td; wn = wd/sqrt(1-z^2);
% % % %
Decréscimo logaritmico Fator de amortecimento(Zeta) Frequência amortecida Frequência natural do sistema
%-------------------------------------------------------------------------% Cálculo de constante de rigidez da mola (K) k = (wn^2)*m; % Constante de rigidez da mola if k > 0 fprintf(' A constante de rigidez da mola é %f N/m \n\n', k) end %-------------------------------------------------------------------------% Cálculo da constante de amortecimento (c) Cc = 2*wn*m; % Amortecimento crítico do sistema c = Cc*z; % Constante do amorteceddor if c ~= 0
fprintf(' A constante de amortecimento é %f Ns/m \n\n', c) end %-------------------------------------------------------------------------% Cálculo da velocidade inicial(V0) para que x(t)=0,300m. % Sabendo que sin(wd*t) = sqrt(1-z²)= sin(pi*t) % O instante em que sin(wd*t) é máximo é calculado por: T = asin(sqrt(1-z^2))/pi; % Substituindo na equação da resposta do sistema x(t)=X*exp(-z*wn*t) % Podemos entrotrar a constante X quando x(t)= 0,300m. X = xt*exp(z*wn*T)./sqrt(1-z^2); % A equação da velocidade é obtida difetenciando a equação: % x(t)=X*exp(-z*wn*t)sen(wd*t) % Equação da velocidade: % v(t)= wd*X*exp(-z*wn*t). % Aplicando as condições de contorno (t=0), obtemos: V0 = X*wd. v0 = X *wd; fprintf(' A velocidade inicial para que a massa alcance 300 mm é de %f m/s. \n\n', v0) %-------------------------------------------------------------------------% Equação do movimento: mx" + cx' + kx = 0 % A resposta do sistema Massa-Mola-Amortecedor é dado por: % x(t) = X*exp(-z*wn*t)*sin(wd*t) t=0:.001:7;
% Variação do tempo
%Resposta do sistema - Deslocamento(posição) x = X*exp(-z*wn*t).*sin(wd*t); %Resposta do sistema - Velocidade v = X*exp(-z*wn*t).*( -z*wn*sin(wd*t) + wd*cos(wd*t) );
%-------------------------------------------------------------------------% Plotagem de Gráficos subplot(211) plot(t,x, 'k'), grid, hold ylabel('Posição x(t)') xlabel('Tempo(s)') title('Resposta de um Sistema Massa-Mola com Sub-Amortecimento Viscoso') subplot(212) plot(t,v, 'k'), grid, hold ylabel('velocidade v(t)') xlabel('Tempo(s)')
Resposta do Programa:
Programa para calcular a constante de rigidez, de amortecimento e a velocidade inicial para que a massa alcance 300 mm
A constante de rigidez da mola é 19937.796051 N/m A constante de amortecimento é 1977.502120 Ns/m A velocidade inicial para que a massa alcance 300 mm é de 4.734706 m/s. A seguir está plotado o gráfico da resposta do sistema.
Exercício 2
Dado p sistema abaixo obtenha a resposta para o tempo de 50s e plote os gráficos de posição e velocidade, tendo os seguintes dados sobre o problema: X0 = 0,2 m V0 = 0,1 m/s m = 1,7 kg K = 22 N/m ω = 2,1 rad/s
Solução computacional:
Usando as formulas conhecidas da resposta de um sistema massa mola excitado por uma força harmônica e codificando-as no Software MatLab 2012, obtém se os gráficos da velocidade e a posição em função do tempo e a posição para 50 s, admitindo que a amplitude da força harmônica possui módulo igual a 10N. O código do Programa: clear all clc fprintf('\n\n') % Exemplo 2 fprintf(' Programa para calcular a resposta de um sistema massa mola, com exitação forçada para tempo igual a 50 segundos. \n\n\n')
% resposta de um Sistema de 1 GDL Massa Mola Com Excitação Forçada % sem amortecimento com w/wn < 1 % Determinar resposta do sistema para t = 50s % Plotar gráficos de posição e velocidade %-------------------------------------------------------------------------% Variavéis x0 = 0.2; v0 = 0.1; k = 22; m = 1.7; w= 2.1;
conhecidas: % Posição inicial % Velocidade inicial % Rigidez da mola % Massa do sistema % Frequência de excitação
%-------------------------------------------------------------------------% A Equação Diferencial do Movimento Vibracinal com Ercitação forçada % harmõnica é % mx" + kx = F(t) % Supondo valor da amplitude da força harmônica f=10 f = 10; % Cálulo para determinar a frequeência nataral não amortecida wn wn = (k/m)^.5; r = w/wn; if r < 1 fprintf('A frequência de excitação é menor que a frequência natural do sistema pois r é %f . \n\n\n', r) % Cálculo das constante da equação resposta do movimento
c1 = x0 - ((f/m)/(wn^2 - w^2)); c2 = v0/wn; X = (f/m)/(wn^2 - w^2); % Resposta do sistema for i=1:1001 t(i)=50*(i-1)/1000; tempo
% Variação do
x = c1*cos(wn*t) + c2*sin(wn*t) + X*cos(w*t);
% posição
v = -c1*wn*sin(wn*t) + c2*wn*cos(wn*t) - X*w*sin(w*t); % Velocidade end end %--------------------------------------------------------------------------
% Resposta do sistema quando T = 50;
t=50s
X = c1*cos(wn*T) + c2*sin(wn*T) + X*cos(w*T);
% posição
V = -c1*wn*sin(wn*T) + c2*wn*cos(wn*T) - X*w*sin(w*T); % Velocidade fprintf(' A Posição quando T = 50s é %f m. \n\n', X) fprintf(' A Velocidade quanto T = 50s é %f m/s. \n\n', V) %-------------------------------------------------------------------------% Plotagem de Gráficos subplot(211) plot(t,x,'k'), grid ylabel('Posição x(t)') xlabel('Tempo(s)') title('Vibração com excitação forçada harmônica (w/wn) < 1 ') subplot(212) plot(t,v,'k'), grid ylabel('Velocidade v(t)') xlabel('Tempo (s)')
Resposta do programa: Programa para calcular a resposta de um sistema massa mola, com exitação forçada para tempo igual a 50 segundos.
A frequência de excitação é menor que a frequência natural do sistema pois r é 0.583757 . A Posição quando T = 50s é 0.155534 m. A Velocidade quanto T = 50s é -1.014122 m/s. A seguir está plotado os gráficos da resposta do sistema
