SOAL-SOAL GARIS LURUS
Diketahui sebuah segitiga ABC siku-siku di C, dengan koordinat titik A(2,3) dan koordinat titik B(5,4). Tentukan panjang AB!
Penyelesaian:
AC=A1B1=x2-x1=5-2=3
BC=A2B2=y2-y1=4-3=1
AC=x2-x12+(y2-y1)2
AC=32+12
AC=10
Jadi panjang AB adalah 10 satuan.
Carilah jarak titik A(-2,9) dan C(1,2) dalam koordinat miring jika sudut koordinatnya 600 !
Penyelesaian:
AB=x2-x12+(y2-y1)2+2x2-x1y2-y1Cos θ
AB=1-(-2)2+(2-9)2+21-(-2)2-9Cos 60°
AB=32+(-7)2+2.3.-7Cos 60°
AB=37 satuan
Titik B terletak pada ruas garis AC, dengan koordinat titik A(4,7) dan C(8,1) sedemikian sehingga AB:BC=1:3. Tentukanlah koordinat titik B!
Penyelesaian:
Misal koordinat B adalah xb,yb, maka:
xb=bx1+ax2a+b
xb=3(4)+1(8)1+3
xb=12+84
xb=204
xb=5
yb=by1+ay2a+b
yb=3(7)+1(1)1+3
yb=21+14
yb=224
yb=112 . Jadi koordinat titik B adalah (5, 112).
Gambarlah grafik suatu garis lurus dengan persamaan 2x – 3y + 6 =0
Penyelesaian:
Jika dimisalkan x = 0, maka y = 2. Jadi perpotongan garis dengan sumbu y adalah titik (0,2). Demikian pula jika dimisalkan y = 0, maka x = -3, sehingga perpotongan antara garis dengan sumbu x adalah titik (-3,0). Selanjutnya garis yang melalui kedua titik (0,2) dan (-3,0) adalah grafik dari garis 2x – 3y + 6 = 0.
Garisnya diperlihatkan pada gambar berikut :
Gambarlah grafik suatu garis lurus dengan persamaan 2x – 3y = 12
Penyelesaian:
Untuk mengerjakan soal ini anda harus mencari nilai y dengan memasukan nilai x = 0 atau sebaliknya.
Untuk x = 0 maka
2x – 3y = 12
2.0 – 3y = 12
y = – 4 => (x,y) = (0, – 4)
Untuk y = 0 maka
2x – 3y = 12
2x – 3.0 = 12
x= 6 => (x,y) = (6, 0)
Jadi grafik persamaan garis lurus 2x – 3y = 12 adalah:
Tentukan persamaan garis lurus yang melaluititik (2,3) dan bergradien 3!
Penyelesaian:
Diketahui bahwa m =3, x1 = 2, yi = 3. Persamaan garis lurusnya adalah:
y - yi = m(x - x1)
y – 3 = 3(x – 2)
y – 3 = 3x – 6
y = 3x – 6 + 3
y = 3x – 3
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (1,6) dan menghimpit sudut 450 dengan sumbu x.
Penyelesaian:
Diketahui bahwa m = tg 450 = 1, x1 = 1, yi=6
y - yi = m(x - x1)
y – 6 = 1(x-1)
y – 6 = x – 1
y = x – 1 + 6
y = x + 5
Tentukan semua panjang garis tinggi dari segitiga dengan koordinat titik-titik sudutnya A(1, –1), B(4, 6), dan C(–1, 7).
Penyelesaian:
C
B
A
Kita cari persamaan masing-masing garis sisi segitiga ABC.
Persamaan garis AB adalah
y-y1y2-y1= x-x1x2-x1
y--16--1=x-14-1
7x-3y-10=0
Kemudian kita hitung jarak titik C(–1, 7) terhadap garis 7x – 3y – 10 = 0
Maka diperoleh
dC, AB=Ax1+By1+CA2+B2
=3858
Seorang satpam sedang mengawasi lalu litas kendaraan dari atap suatu gedung apartemen yang tingginya 80 m mengarah ke lapangan parker. Ia mengamati dua buah mobil yang sedang melaju berlainan arah. Terlihat mobil A sedang bergerak kea rah Utara dan mobil B bergerak kea rah Barat dengan sudut pandang masing-masing sebesar 60° dan 45°. Berapa jarak antar kedua mobil ketika sudah berhenti di setiap ujung arah?
Penyelesaian:
Diketahui : Misalkan : Mobil A= titik A, memiliki sudut pandang 60°
Mobil B = titik B, memiliki sudut pandang 45°
Tinggi gedung = 80 m
Ditanya : jarak antar kedua mobil sesudah berhenti?
Perhatikan ilustrasi masalah dalam gambar berikut.
T
80m
60°60°
60°
60°
A 45° O B
Dari gambar di atas perhatikan segitiga AOT dan segitiga BOT. pada segitiga TAO, panjang AO dapat ditentukan dengan menggunakan perbandingan tangent.
tg 45°=OTAO=80AO AO=OTtg 45°=801= 80 pada segitiga TOB,
tg 90°=OTBO=80AO BO=OTtg 60°=803=8033
sehingga diperoleh,
AB=AO2+BO2
AB=802+80332
AB=6400+2133
AB=8533
Carilah persamaan garis yang melalui titik (5, -1) dan titik terletak pada garis 3x-y=7 dengan ordinat 2.
Penyelesaian :
Diketahui titik (5, -1), garis 3x-y=7 dengan ordinat 2
3x-y = 7
3x-2 = 7
3x = 7+2
3x = 9
x = 9/3
x = 3
(3, 2)
y-y1 =m (x-x1)
y--1 =3(x-5)
y+1 =3x-15
y-3x+15+1=0
y-3x+16 =0
Jadi, persamaan garis yang melalaui titik (5, -1) dan titik yang terletak pada garis 3x-y=7 dengan ordinat 2 adalah y-3x+16=0
Gambarlah suatu grafik garis lurus dengan persamaan 2x-3y+6=0
Penyelesaian :
x(0,2)-3,0y2x-3y+6=0x(0,2)-3,0y2x-3y+6=0Jika dimisalkan x=0, maka y=2 jadi perpotongan garis dengan sumbu y adalah titik (0,2) demikian pula jika dimisalkan y=0, maka x=-3. Sehingga perpotongan antara garis dengan sumbu x adalah titik (-3,0), selanjutnya yang melalui titik (0,2) dan (-3,0) adalah grafik dari garis 2x-3y+6=0. Garisnya diperlihatkan pada gambar dibawah ini:
x
(0,2)
-3,0
y
2x-3y+6=0
x
(0,2)
-3,0
y
2x-3y+6=0
Tentukan persamaan garis yang melalui T(2,3) yang sejajar garis x + 2y – 3 = 0
Penyelesaian :
garis x + 2y – 3 = 0
x + 2y – 3 = 0
2y = -x+32
y = -12x + 32
m = -12
persamaan garis yang melalui T(2,3) dengan gradien m = -12 adalah :
y - y1= m (x - x1)
y – 3 = -12 (x – 2)
2y – 6 = -x +2
x + 2y – 8 = 0
Tentukan persamaan garis melaui titik B(6,2) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(2,-5) dan Q(-6,3)
Penyelesaiaan:
Gradien yang melalui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3) adalah:
m = y2 -y1x2-x1 = 3-(-5)-6-2 = 8-8 = -1
persamaan garis dengan gradien -1 dan melalui titik (6,2) adalah:
y - y1 = m (x - x1)
y – 2 = -1 (x - 6)
y = -x + 8
jadi persamaan garis melalui titik B(6,2) dan sejajar garis yang melalui titik
P(2,-5) dan Q(-6,3) adalah y = -x + 8.
Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan tetap 15 km/jam. Setelah 3 jam, mobil tersebut menempuh jarak 45 km. Berapa lama waktu yang diperlukan mobil tersebut untuk menempuh jarak 90 km?
Jawab :
Coba perhatikan gambar berikut!
xB(45,3)yA(15,1)xB(45,3)yA(15,1)
x
B(45,3)
y
A(15,1)
x
B(45,3)
y
A(15,1)
Gambar tersebut merupakan terjemahan dari soal kecepatan-jarak-waktu yang diberikan. Titik koordinat A (15, 1) merupakan kecepatan mobil, yaitu 15 km/jam. Titik koordinat B (45, 3) merupakan jarak dan waktu tempuh mobil yang diketahui, yaitu 45 km dalam waktu 3 jam. Dari titik A dan B dapat ditarik garis lurus sehingga diperoleh penyelesaian bahwa untuk menempuh jarak 90 km, mobil tersebut memerlukan waktu 6 jam.
Harga dua buah permen dan tiga buah cokelat adalah Rp800,00. Adapun harga sebuah permen dan lima buah cokelat adalah Rp1.100,00. Tentukan:
harga sebuah permen,
harga sebuah cokelat,
harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat.
Jawab :
Gunakan pemisalan untuk nama benda.
Misalkan: permen = x ; cokelat = y
Terjemahkan ke dalam model matematika.
2 permen + 3 cokelat = Rp800,00 berarti 2x + 3y = 800
1 permen + 5 cokelat = Rp1100,00 berarti x + 5y = 1.100
Ambil salah satu persamaan dan ketentuan salah satu variabelnya.
x + 5y = 1.100 maka x = 1.100 – 5y
Substitusikan nilai x ke dalam persamaan yang lain
2x + 3y = 800
2 (1.100 – 5y) + 3y = 800
2.200 – 10y + 3y = 800
2.200 – 7y = 800
–7y = 800 – 2.200
–7y = –1.400
y = 200
Substitusikan nilai y ke dalam salah satu persamaan.
x + 5y = 1.100
x + 5 (200) = 1.100
x + 1.000 = 1.100
x = 1.100 – 1.000
x = 100
Dengan demikian, diperoleh:
harga sebuah permen ; x = Rp 100,00
harga sebuah cokelat ; y= Rp 200,00
harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat; 4x + y = 4 Rp100,00+ 1Rp200,00= Rp600,00
Di kota Makassar terdapat vihara dharma agung yang terletak pada koordinat (-2,3) dan Jl. Sungai Kelara berupa garis lurus dengan persamaan 3x-4y-7=0 (satuan dalam meter). Berapa jarak antara vihara dengan jalan tersebut?
Jawab :
Untuk mengetahui berapa jaraknya kita dapat gunakan rumus jarak antara titik dan garis lurus
d="Ax+By+C"A2+B2
d="3-2+-43+-7"9+16
d=255
d=5
Jadi jarak antara vihara dengan jl. Sungai Kelara adalah 5 meter
Jika dimisalkan Pringsewu berada pada koordinat (4,5) dan Mekah berada pada koordinat (10,12). Maka berapakah jarak dari Pringsewu ke Mekkah?
Jawab :
r=(x2-x1)2+(y2-y1)2
r=(10-4)2+(12-5)2
r=62+72
r=85
Mirna akan menjemput anaknya yang baru pulang sekolah, ia berencana akan mengajak anaknya untuk makan siang disebuah rumah makan yang berada di titik koordinat (5,6) yang berjarak 3km dari sekolah anaknya tersebut. Setelah sampai di sekolah yang berada di titik koordinat (1,1), ternyata anaknya sudah pulang terlebih dahulu. Karna panik, Mirna langsung membuka google Map, dimana Mirna akan mencari keberadaan anaknya. Akhirnya Mirna mengetahui jika anaknya sedang berada 2km dari sekolah tersebut. Pada titik koordinat berapakah anak tersebut saat ini berada?
Jawab :
(p,q)(5,6)(1,1)2km3km(p,q)(5,6)(1,1)2km3km
(p,q)
(5,6)
(1,1)
2km
3km
(p,q)
(5,6)
(1,1)
2km
3km
Berdasarkan deskripsi tersebut kita dapat menggambarkan letak keberadaan anak tersebut dengan menggunakan koordinat titik yang terletak diantara dua titik.
p= bx1+ax2a+b
p=31+2(5)3+2
p=135
q=by1+ay2a+b
q=31+2(6)3+2
q=3
Jadi dapat disimpulkan bahwasannya anak tersebut berada pada titik koordinat 135, 3
