Offering GG 2008 - Matematika - Universitas Negeri MalangDeskripsi lengkap
hiperbolaDeskripsi lengkap
msmnDeskripsi lengkap
Offering GG 2008 - Matematika - Universitas Negeri MalangFull description
Full description
Descripción: Presentación con los conceptos básicos de la hipérbola
Deskripsi lengkap
Ejercicios hipérbolaDescripción completa
wujud zatFull description
Deskripsi lengkap
Deskripsi lengkap
Soal Tryout Toutin 2016 kelas IXFull description
Soal Dan Pembahasan Stoikiometri
ssssDeskripsi lengkap
Contoh Soal
Penyelesaian soal-soal fisika termodinamika
ni adalah soal dn pembahasan kaulkulus ii, ya takseberpa si, tapi bole laa... semoga bsa bermanfaat ntuk kalian semuaaa :3Deskripsi lengkap
SOAL-SOAL HIPERBOLA
1. Dik Diketah etahui ui per persama samaan an hip hiperb erbola ola
4 x
a. Koo Koordi rdinat nat pus pusat at
2
– 9 y 2=36.
Tentukanlah :
e. Per Persam samaan aan gar garis is asim asimtot tot
b. Koordinat titik puncak
f. Panjang latus rectum
c. Koo Koordi rdinat nat tit titik ik foc focus us
g. eks eksent entrisi risitas tas
d. Pe Persa rsama maan an ga gari riss di direk rektr trik ikss
h. sk skets etsaa gr graf afik ikny nyaa
Penyelesaian: 4 x
2
2
– 9 y =36 ↔
x
2
9
−
y
2
4
=1
2 a = 9 ↔a =3
2 b = 4 ↔ b =2
a. koordinat titik pusatnya adalah ( 00 ! b. koordinat titik puncaknya (a0! dan dan ("a0! adalah (#0! dan ("#0! c.
2 2 13 c =√ a + b =√ 9 + 4 =√ 13
koordinat titik fokusnya $1 ( "c0! dan $% (c0! adalah $1 (
13 √ 13
0! dan $% (
d. Persamaan garis direktriksnya adalah 2
2
−a −9 9 9 a = √ 13 = √ 13 13 dan x = 13 x = = 13 c √ 13 c 13 13 persamaan garis asimtotnya adalah
−b − 2 2 b y = x = x dan y = x = x 3 3 a a e. pa panj njan ang g lat latus us re rect ctum um : 2
L=
2b
a
=
2.4 3
=
8 3
13 c √ 13 = = e f. nila nilaii eks eksen entr tris isit itas as : a 3
h. sketsa grafiknya adalah :
y
13 √ 13
0!
"#
"%
"1
0
1
%
#
&
%. Tentukan persamaan hiperbola yang titik"titik apinya terletak pada sumbu 'simetris terhadap dan yang memenuhi syarat jarak kedua titik apinya
2c
=4 √ 3 dan eksentrisitasnya e =√ 3
Penyelesaian: 2
x ¿
¿ y ¿2 Persamaan hiperbola ¿ ¿ ¿ ¿ 2 c =4 √ 3 →
e=
c =2 √ 3
c b
√ 3= 2 √ 3 → b =2 b
2 2 2 a + b =c
2√3¿
2
2 2 a + 2 =¿
2 a = 12−4
2 a =8
)adi persamaan *iperbola nya adalah:
x ¿2
¿ y ¿2 ¿ ¿ ¿ ¿
#. Tentukan garis singgung dengan gradient m melalui titik ("1 1! pada hiperbola Pembahasan:
*iperbola
4 x
2
2
− 8 y =32
→
x
2
8
−
y
2
4
=1
Persamaan garis dengan gradient m melalui titik ("1 1! adalah
4 x
2
− 8 y2 =32
y −1 =m ( x + 1 ) atau y =mx + m+ 1 x Persamaan garis singgung dengan gradient m pada hiperbola
2
8
−
y
2
4
=1 adalah
2 y =mx ± √ 8 m −4 2 mx + m+ 1= mx ± √ 8 m − 4
2 2 m + 2 m + 1= 8 m − 4
7m
2
− 2 m − 5= 0
( 7 m + 5 ) ( m −1 )= 0 m 1=
−5 7
, m2=1 y =
Persamaan garis singgungnya:
−5 7
x +
2 7
dan y = x + 2 x
+. Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola
2
64
−
y
2
36
=1 yang tegak lurus garis x −2 y + 3=0.
Penyelesaian : 1
m 1= − + = ,aris x 2 y 3 0 maka gradiennya 2 x Persamaan garis singgung hiperbola
2
64
−
y
2
36
=1 dengan gradien m - "% adalah
y =m x ± √ a m − b 2
2
2
2
−¿ ¿ 64 −¿ y =−2 x ± √ ¿ b y =−2 x ± √ 55 atau 2 x + y −√ 55 =0 dan
. Dari titik T
2 x + y + √ 55= 0
( 2,−5 ) ditarik garis"garis singgung pada hiperbola
x
2
8
−
y
2
4
=1 . Tentukan jarak T ke garis yang
menghubungkan titik"titik singgung. Penyelesaian : x Persamaan tali busur dari T (%"! terhadap hiperbola
2
8
−
y
2
4
=1 adalah :
x 1 x 2
a
−
y 1 y b
2
=1
−5 ¿ y ¿ ¿ 2 x 8
−¿
x ( 5 y ) 4
+
4
=1
x + 5 y −4 =0 )arak T (%"! ke tali busur singgung adalah:
¿− 27∨ ¿ =
27
√ 26 √ 26
; d=
27 √ 26 26
¿ 1.2 + 5. (−5 )− 4 ∨ 2¿ 2 =¿ √ 1 + 5 ¿ ax 1+ by1 + c ∨ 2¿ 2 =¿ √ a + b d =¿
/. Diketahui hiperbola dengan persamaan
( x −2 )2 ( y + 1 )2 − =1 16
9
Tentukanlah : a.
Koordinat titik pusat koordinat titik puncak koordinat titik ujung sumbu minor dan koordinat focus.
b.
Persamaan sumbu utama persamaan sumbu sekaan panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor.
c.
Persamaan garis asimtot nilai eksentrisitas dan persamaan garis direktris.
d.
Panjang latus rectum.
e.
,ambarkansketsa hiperbola tersebut.
Penyelesaian :
( x −2 )2 ( y + 1 )2 − =1 merupakan hiperbola horiontal 16 9 p - % 2 - "1 a% - 1/
↔ a - + dan b% - 3 ↔ b-#.
c% - a% 4 b% didapat: c% - 1/ 4 3 - % ↔ c - Koordinat titik pusatnya di 5( % "1 !
Koordinat titik puncak di ( % ± + "1 !
↔ 6 (/ "1 ! dan 67 ( "% "1 !. ↔
±
Koordinat titik ujung sumbu minor ( % "1 ±
Koordinat fokus ( %
↔
"1 !
# !
8(% "+ ! dan 87 ( % % !.
$1 ( "# "1 ! dan $ %( 9 "1 !
b. Persamaan sumbu utama atau sumbu nyata adalah y - "1 dan persamaan sumbu sekaan atau sumbu imajiner adalah & - %. Panjang sumbu mayor - %a - % (+! - dan panjang sumbu minor - %b - %(#! - /. 3 b y −q =± ( x − h ) ↔ ( y + 1 )=± ( x −2 ) c. Persamaan asimtotnya : 4 a
l 1 ≡ ( y + 1 ) =
−3 4
( x −2 ) danl 2 ≡ ( y + 1 )= 3 ( x −2) 4
→l1 ≡ 4 y + 4 =−3 x + 6 danl 2 ≡ 4 y + 4 =3 x −6 →l1 ≡ 3 x + 4 −2= 0 danl 2 ≡ 3 x − 4 y −10 =0 1 c 5 e = = =1 ;ilai eksentrisitas 4 a 4
a ± Persamaan direktriksnya : & - p e x =2 +
4 5
=2 +
16 5
=
46 5
danx =2 −
16 5
=
−6 5
4 2b
2
d. Panjang latus rectum ¿ a =
2(9) 4
=
9 2
( x −2 )2 ( y + 1 )2 − =1 Dengan menggunakan hasil"hasil di atas sketsa hiperbola 16 9 Diperlihatkan pada gambar berikut :
"# "% "1 $1
67
0 "1
1
% P
#
+
/ 6
9
%$ 2
x
y
2
9. Tentukan nilai a supaya garis +& 4 y 4 a - 0 menyinggung hiperbola 12 − 48 = 1 ! b! Tentukan pula koordinat titik singgungnya < Penyelesaian :
→ y - "+& " a=ubtitusikan y - "+& " a ke persamaan hiperboladidapat:
a! +& 4 y 4 a - 0 2
x
12
−
(−4 x − a )2 48
=1
% % % - +& " (1/& 4 a& 4 a ! - +
- 1%&% 4 a& 4 ( a % 4 + ! - 0 ;ilai diskriminan : D - (a!% > +(1%! (a% 4 + ! D - /+a% > +a% " %#0+ D - 1/a% >%#0+ =upaya garis menyinggung hiperbola maka nilai diskriminan D - 0 1/a% " %#0+ - 0 a% "1++ - 0 (a 4 1% ! ( a > 1% ! - 0 a - "1% atau a - 1% 2
x )adisupaya garis +& 4 y 4a - 0 menyinggung hiperbola
=ubtitusi a - "1% dan & - + ke garis y - "+& > a didapat y - "+ (+! > ( "1%! - "+ ?ntuk a - 1% subtitusi ke 1%& % 4 a& 4 (a % 4 + ! - 0 di dapat 1%&% 43/& 4(1++ 4 + ! - 0 ⇔
&% 4 & 4 1/ - 0 ⇔
( & 4 + !% - 0 ⇔
& - "+ =ubtitusi a - 1% dan & - "+ ke garis y - "+&"+ di dapat ⇒
y - "+("+! > 1% - +
titik singgung ("+ + !
titik singgung (+"+!
)adi koordinat titik"titik singgungnya adalah ( +"+ ! dan ("+ + !
2
x . Titik P(1+! terletak di luar hiperbola
12
−
y
2
3
=1 2
x Tentukan persamaan"persamaan garis singgung yang dapat ditarik melalui titik P(1+! ke hiperbola < Jawab: 5isalkan garis yang melalui titik P(1+! mempunyai gradien m persamaannya adalah y " + - m (& > 1! ⇒ y - m& > m 4 + 2
x
y
2
=ubtitusi y - m& > m 4 + ke persamaan hiperbola 12 − 3 x
2
12
−
( mx −m+ 4 )
=1 didapat
2
3
=1
2 2 2 2 2 ↔ x − 4 ( m x + m + 16− 2 m x + 8 mx −8 m )−12 =0
2
↔ ( 1− 4 m ) x
2
−4 ( −2 m + 8 m) x − 4 ( m −8 m+ 19) 2
2
;ilai diskriminan : 2 2 D=( −4 (−2 m + 8 m ) x −4 ( m −8 m ) + 19 )
2 D=−176 m −128 m+ 30 4
Karena garis menyinggung hiperbola haruslah D - 0 didapat: 2
−176 m −128 m + 30 4 =0 ↔ ( 11 m + 19 ) ( m −1 )= 0
↔ m=
−19 11
ataum =1
=ubtitusi nilai"nilai m ke persamaan y - m& > m 4 +
−19 ?ntuk m -
y =
−19 11
x +
11 19 11
didapat
+4
↔ 11 y =−19 x + 6 3 19 x + 11 y −63=0
untuk m - 1 didapat
y = x −1 + 4 ↔ y = x + 3
12
−
y
2
3
=1
↔ x − y + 3=0 2
x )adi persamaan"persamaan garis singgung yang ditarik melalui titik P(1+! ke hiperbola
12
−
y
2
3
=1 adalah
13& 4 11y > /# - 0 dan & > y 4 # - 0.
3. @intasan komet yang diilustrasikan oleh gambar di baah dapat dimodelkan oleh persamaan %.11/ x% > +00 y% +/.+00 seberapa dekatkah komet tersebut dengan matahariA 6nggap satuannya dalam jutaan mil. Pembahasan: Pada dasarnya dalam permasalahan ini kita diminta untuk menentukan jarak antara fokus dengan titik puncak hiperbola. Dengan menuliskan persamaan yang diberikan ke dalam bentuk standar 2.116 x
x
−
2
20
2
−
2
− 400 y =846.400
2
400
x
2
y
2
2.116
y
=1
2 2
46
=1
=ehingga kita peroleh p - %0 ( p% - +00! dan q - +/ (q% - %.11/!. Dengan menggunakan persamaan fokus untuk menentukan f dan f % kita mendapatkan 2 2 2 f = p + q
f 2=400 + 2.116 2 f =2.516
f ≈ −50 atauf ≈ 50 Karena p - %0 dan B f B - 0 jarak komet tersebut dengan matahari adalah 0 > %0 - #0 juta mil atau sekitar +# C 109 kilometer.
10. Dua orang ahli meteorologi melihat badai dari tempat mereka tinggal. Tempat tinggal dua orang ahli meteorologi tersebut berjarak + km (+.000 m!. 6hli meteorologi pertama yang jaraknya lebih jauh dari badai mendengar suara petir 3 detik setelah ahli meteorologi kedua. )ika kecepatan suara #+0 ms tentukan persamaan yang dapat memodelkan lokasi dari badai tersebut. Pembahasan: 5isalkan M 1 merupakan ahli meteorologi pertama dan M % merupakan ahli meteorologi kedua. Karena 51 mendengar petir 3 detik setelah M % maka lokasi M 1 3 E #+0 - #.0/0 m lebih jauh dari M 1 terhadap lokasi badai. 6tau apabila disimbolkan B M 1S B > B M %S B - #.0/0. *impunan semua titik S yang sesuai dengan persamaan ini akan membentuk suatu grafik hiperbola dan kita akan menggunakan fakta ini untuk membangun suatu persamaan yang memodelkan semua kemungkinan dari lokasi badai tersebut. =elanjutnya mari kita gambar informasi" informasi di atas pada koordinat Fartesius sehingga M 1 dan M % terletak pada sumbu" x dan titik asal (0 0! kita buat sebagai pusatnya.
Dengan selisih konstannya #.0/0 kita mendapatkan % p - #.0/0 sehingga p - 1.#0. Karena jarak antara M 1 dan M % adalah +.000 maka jarak antara pusat dengan M 1 atau M % adalah f - 1% E +.000 - %.000. Dengan menggunakan persamaan fokus kita mendapatkan: 2 2 2 f = p + q
2
2.000
=1.5302 + q 2
2 2 2 q =2.000 −1.530
2 q =1.659.100
2
2
q ≈ 1.288
=ehingga persamaan lokasi dari badai tersebut adalah x
2
1.530
2
−
y
2
1.288
2
=1
11. ?ntuk menguji kemampuannya sebagai pilot semua anggota dari klub penerbangan diminta untuk menjatuhkan karung pasir pada suatu target di lahan yang terbuka dengan menerbangkan pesaat yang lintasannya berbentuk hiperbola dengan fokusnya berada tepat di atas target. )ika lintasan yang digunakan oleh ketua klub untuk menerbangkan pesaatnya dapat dimodelkan oleh persamaan 3 y% > 1/ x% - 1+.+00 (satuan dalam meter! tentukan ketinggian minimum dari pesaat tersebut ketika leat di atas target. Pembahasan: @intasan yang digunakan oleh ketua klub dapat dimodelkan dengan persamaan 3 y% > 1/ x% - 1+.+00. =elanjutnya kita ubah persamaan tersebut menjadi bentuk standar. 9 y
2
−16 x 2=14.400
9 y
2
14.400
y
y
2 2
40
−
2
1.600
−
16 x
− x
14.400
x
2
900
2
=14.400
= 14.400
2
30
2
=1
14.400
Dari persamaan bentuk standar tersebut kita dapat mengetahui baha p - #0 yaitu jarak antara titik puncak dengan titik pusat hiperbola (target!. =ehingga ketinggian minimum pesaat ketua klub adalah #0 meter di atas target.
1%. 5enara pendingin pada pembangkit tenaga nuklir disebut sebagai hyperboloids of one sheet . )ika kita membelah menara ini tegak lurus lurus dengan tanah maka kita akan menghasilkan dua cabang dari hiperbola. 6ndaikan hiperbola pada menara ini dapat dimodelkan oleh persamaan 1./00 x% > +00( y > 0! % - /+0.000 (satuan dalam kaki! tentukan jarak minimum antara kedua sisi menara. Pembahasan: Diketahui persamaan suatu hiperbola adalah 1./00 x% > +00( y > 0! % - /+0.000. )arak minimum kedua sisi menara sama dengan jarak antara kedua titik puncak hiperbola. ?ntuk itu kita perlu mengubah persamaan hiperbola tersebut ke dalam bentuk standar. 2
y −50 ¿ = 640.000 2 1.600 x −400 ¿ y −50 ¿
2
¿
400 ¿ 2
1.600 x
640.000
−¿
y −50 ¿2 x 2
¿ ¿
400
−¿ 2
y −50 ¿ x
2
20
¿ ¿ 2
−¿
Dari persamaan bentuk standar di atas kita dapat mengetahui baha p - %0. =ehingga jarak kedua puncak hiperbola tersebut adalah % p - %(%0! - +0. )adi jarak minimum kedua sisi menara tersebut adalah +0 kaki atau sekitar 1%% meter.
1#. Dalam kondisi tertentu sifat"sifat dari hiperbola dapat digunakan untuk menentukan lokasi dari kapal laut yang sedang berlayar. 5isalkan dua pusat radio berjarak 100 km satu dengan yang lainnya dan keduanya dihubungkan oleh garis pantai yang berupa garis lurus. =uatu kapal laut yang sedang berlayar sejajar dengan garis pantai memiliki jarak /0 km dari garis pantai. Kapal laut tersebut mengirimkan pesan kepada kedua pusat radio tersebut dan pesan tersebut dapat diterima setelah 0+ milidetik (milidetikGseperseribu detik! oleh pusat radio pertama dan 0 milidetik oleh pusat radio yang berjarak lebih jauh terhadap kapal laut tersebut. Kecepatan perambatan gelombang radio adalah #00 kmmilidetik. ,unakan informasi"informasi tersebut untuk menentukan persamaan hiperbola yang dapat digunakan untuk menentukan posisi kapal laut kemudian tentukan koordinat dari kapal laut tersebut. Pembahasan:
5isalkan R1 dan R% secara berturut"turut merupakan posisi dari pusat radio pertama dan kedua yaitu pusat radio yang memiliki jarak lebih jauh terhadap kapal laut. )ika K adalah posisi dari kapal laut maka
| R K |=300 .0,4=120 1
| R K |=300 .0,5=150 2
=ehingga BR% K B > BR1 K B - 10 > 1%0 - #0. 6nggap garis pantainya sebagai sumbu" x dan titik tengah kedua pusat radio tersebut sebagai titik pusat hiperbola maka kita peroleh selisih konstannya tersebut sama dengan % p yaitu % p - #0 atau p - 1 dan p% - %%. Karena jarak antara kedua pusat radio tersebut 100 km maka jarak antara masing"masing pusat radio tersebut dengan titik pusatnya adalah f - 100% - 0 sehingga f % - %.00. Dengan menggunakan persamaan fokus hiperbola kita dapat menentukan nilai dari q dan q%. 2 2 2 f = p + q
2
2.500=225 + q 2 q =2.275
q ≈ 48
2
=ehingga kemungkinan posisi dari kapal laut tersebut dapat dimodelkan sebagai persamaan hiperbola berikut. x p
2 2
x
−
2
2
q
2
15
2
y
−
=1
y
2
48
2
=1
=ehingga grafik dari persamaan hiperbola tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.
=elanjutnya kita tentukan koordinat dari kapal laut tersebut. Karena jarak kapal laut tersebut dengan garis pantai adalah /0 km ( y - /0! maka x
2
15
2
x 2 15
2
−
y
2 2
48
=1
2
−
60 48
2
=1
x
2
15
x
2
=1 +
2
15
2
=
2 x =
60 48
2 2
5.904 2.304
1.328 .400 2.304
x≈ 24 ataux≈ −24
Karena pusat radio kedua R% memiliki jarak yang lebih jauh dari posisi kapal maka nilai x yang memenuhi adalah x - >%+. )adi koordinat kapal laut tersebut adalah (>%+ /0!.
