Tugas 2 Suku banyak Mata kuliah : Kapita selekta matematika II Nama Kelompok :
Hilman Nuha Ramadhan Ramadhan : 0902262 Asep Saeful ulum
: 0905793
Maulana Yusuf
: 0809627
Irfan Mufti Afrizal
: 0906976
Fery Ferdiansyah
: 0907226
1. Suku banyak , jika dibagi ( ) bersisa 16 dan jika dibagi ( ) bersisa 20 . Nilai . . . . Jawab : () ()
( ) , misal () () , maka () () () () 2. Diketahui suku banyak () habis dibagi . Jika () dibagi sisanya adalah . . . . . jawab : Habis dibagi berarti sisa = 0 , atau nilai () () () () () ()
Jadi , () Jika dibagi , sisanya berapa ? () () () () () () () () Bila () dibagi oleh , maka sisanya adalah = 0 3. koefisien x
49
pada hasil perkalian (x-1)(x-2)(x-3) . . . (x-50) adalah ...
Jawab : perkalian (x-b)(x-c)(x-d) . . . (x-n) menghasilkan sebuah polinom dengan bentuk umum n
n-1
n-2
0
P(x) =a1 x +a2x +a3x + . . . +a nx . n-1
n
Koef x =( x1 + x2+ ... + x n ) ( - koef x ) ; dimana x1, x2 , ... , x n adalah akar-akar dari sebuah polinom. Karena telah diketahui bahwa : x1 + x2+ ... + xn = maka koef x
49
= (x1 + x2+ ... + x 50) (-a1
= (1 + 2 + ... + 50) ( -1) ; =
( )
(-1)
)
= 25 ( 51 ) (-1) = - 1275
(D)
9
4. suku banyak x -x difaktorkan menjadi suku banyak dengan derajat sekecil-kecilnya dan koefisiennya bilangan bulat. Banyak faktor tersebut adalah ... 9
Jawab :
p(x) = x -x 0 0 0 0
9
= x -x 8 =(x -1)x 2 6 2 =x(x -1)(x +x +1) 6 2 =x(x+1)(x -1)(x +x +1) 9
faktor- faktor dari suku banyak x -x adalah x ( x + 1 ) ( x - 1 ) banyak faktor tersebut adalah 3 (D)
5. Nilai m+n yang mengakibatkan suku banyak - + - + n habis dibagi ( ) adalah... Jawab : P(x) = Q(x). H(x) + S(x)
- + - + n = (x – a). (x - a). H(x) + 0 Dengan metode Horner kita dapatkan 1 a 1 a 1
-6a a -5a a -4a
(-m+3) (-m+2) ....(**)
n (-m+3) (n-m+3) ... (*)
Dari persamaan (*) didapat (n-m+3) = 0 (karena suku banyak habis dibagi pembaginya) n-m+3 = 0 n = m – 3
Dari persamaan (**) didapat -m + 2 = 0 m=2
Maka n= 2 – 3 = -1
Jadi m+n = 2 + -1 = 1
6. Jika suku banyak - p + q + 6 dan + 3 - 4 – 1 mempunyai sisa sama apabila dibagi oleh x + 1, maka nilai p + q = Jawab : P(x) = Q(x). H(x) + S(x) (i)
+ 3 - 4 – 1 = x + 1. H(x) + S(x) Bila x diganti -1, maka S(x) = () + 3() – 4() – 1 = -2 +3 + 4 -1 = 4
(ii)
Karena sisanya sama, maka persmaan suku banyak yang pertama menjadi - p + q + 6 = x + 1. H(x) + 4 Jika x diganti -1, maka () - p() + q() + 6 = 4 Maka, -2 – p – q + 6 = -2 P+q=0
7. Bila f(x) = ax3 + bx + (a+b) dibagi oleh x2 – 3x + 2 bersisa x + 1, maka nilai a – b … Jawab : f(x) = (x2 – 3x + 2) . H(x) + (x + 1) f(x) = (x – 2)(x – 1). H(x) + (x + 1) terlihat bahwa (x – 2)(x – 1). H(x) akan bernilai nol saat x = 2 atau x = 1
f(2) = 0 + (2 + 1) = 3 f(1) = 0 + (1 + 1) = 2 dari f(x)=ax3 + bx + (a+b) sekarang kita peroleh f(2) = a(2)3 + b(2) + (a+b) = 3 8a + 2b + a + b
=3
8a + a + 2b + b
=3
9a + 3b
……………….. (i)
f(1) = a(1)3 + b(1) + (a+b)
=2
a+b+a+b
=2
a+a+b+b
=2
2a + 2b
…………………. (ii)
dari (i) & (ii) : 9a + 3b = 3 6a + 2b = 2 2a + 2b = 2 4a
=0
a
=0
dengan substitusi nilai a ke (ii), maka 2a + 2b
=2
2(0) + 2b = 2 0 + 2b
=2
2b = 2 b
=1
Sehingga a – b = 0 – 1 = -1 (e). 8. Diketahui () , dengan a dan b constant. Jika p(x) dibagi dengan (x-) bersisa , bila p(x) dibagi dengan (x) akan bersisa … Penyelesaian : P(x) dibagi (x-2006) bersisa 3, maka :
() () () () () …() Misalkan p(x) dibagi (x+2006) bersisa z, maka : () () () () () Substitusi dari persamaan (1), maka : () ( () ) () () 5 Jadi jawabannya adalah : d.-5
Tugas Tambahan Suku Banyak 1. Suku banyak f ( x) jika dibagi ( x – 2 ) sisa 1, dibagi ( x + 3 ) sisa – 8. Suku banyak g( x) jika dibagi (x – 2 ) sisa 9, dibagi ( x + 3 ) sisa 2. Jika h( x) = f ( x).g( x), maka sisa 2 pembagian h( x) dibagi x + x – 6 adalah ….
Pembahasan :
Ada suku banyak f(x). pernyataan f(x) ekuivalen dengan :
() ( ) ()
(1)
() ( ) ()
(2)
Ada suku banyak g(x). pernyataan g(x) ekuivalen dengan :
() ( ) ()
(3)
() ( ) ()
(4) 2
Diberikan suku banyak h( x) = f ( x).g( x) , misalkan sisa pembagian h(x) dengan x + x – 6 adalah ax+b. Maka pernyataan h(x) ekuivalen dengan :
() ( ) () ( )
(5)
2 2 dari x + x – 6 = ( x – 2 )( x + 3 ). Artinya, faktor dari x + x – 6 adalah x = 2 dan x = -
3. Dari persamaan (1) diperoleh
() Dari persamaan (2) diperoleh
() Dari persamaan (3) diperoleh
() Dari persamaan (4) diperoleh
() 2
Karena h( x) = f ( x).g( x) dan faktor dari x + x – 6 adalah x = 2 dan x = -3. Maka dipilih :
() () Dengan demikian untuk x = 2 dan x = -3 , persamaan (5) menjadi :
() ( )
() ( )
(6) (7)
dari persamaan (6) dan (7), dengan dilakukan eliminasi,
Diperoleh adalah
,
2
, dengan demikian sisa pembagian h( x) dibagi x + x – 6
.
2. Tentukan nilai a dan b agar pecahan
dapat disederhanakan Pembahasan :
Misal () , dan () .
() () () Apabila () difaktorkan adalah
() ( )( ) , ()
memiliki factor .
() ( ) ( ) () () ( ) ( ) () Misal :
(1)
(2)
Dari persamaan (1) dan (2) dengan menggunakan eliminasi,
Jadi :
3. Suatu suku banyak f ( x) jika dibagi dengan ( x – 1) bersisa 12, jika dibagi dengan ( x + 1) bersisa 4, dan jika dibagi dengan ( x – 3) bersisa 16. Tentukan sisanya jika suku 2
banyak itu dibagi dengan ( x
– 1)( x – 3).
Pembahasan :
Misalkan suatu suku banyak :
() ( ) ()
(1)
() ( ) ()
(2)
() ( ) ()
(3)
Berarti untuk () , () , dan () . 2
Misalkan f(x) dibagi dengan ( x
– 1)( x – 3)
mempunyai sisa , maka
pernyataan itu ekuivalen dengan :
() ( )( ) () ( )
(4)
Dengan demikian untuk , , , persamaan (4) menjadi
() (( ) () ) () (( ) () ) () (( ) () ) Akan dicari a,b,dan c :
(5)
(6)
(7)
Persamaan (5) dan (6) dikurangi, diperoleh .di substitusi dengan persamaan (7) diperoleh :
()
(8)
disubstitusi dengan persamaan (6), diperoleh
(9)
Persamaan (8) dan (9) dikurangi diperoleh , sehingga
2 Jadi sisa () dibagi dengan ( x – 1)( x – 3) adalah