Bab 3 Vektor Bagian A 1. Sebuah benda dipindahkan 12 kaki ke barat dan 5 kaki ke utara. Berapa besar dan arah resultan perpindahan? Jawab: Perhatikan gambar berikut:
5 kaki ke utara
perpindahan
θ 5 kaki ke barat
Dari gambar didapatkan bahwa besar perpindahan = 122 + 52 = 13 kaki. tan θ = 5/12 Î θ = 22,620 diukur dari barat ke utara 2. tentukan resultan empat perpindahan berikut: 9 m ke timur, 13 m ke utara, 2 m ke barat, dan 11 mke selatan. Jawab: Perhatikan gambar berikut: 2m ke barat
11m ke selatan 13m ke utara
perpindahan 2m 7m 9m ke timur
Dari gambar kita peroleh resultan perpindahan =
7 2 + 22 = 53 m
3. tentukan besar dan arah resultan 3 perpindahan 5 mil ke barat, 3 mil keutara, dan 10 mil kearah barat laut.
Jawab: Perhatikan gambar! 10 mil ke barat laut
3 mil ke utara
5 mil ke barat
Kita gunakan koordinat Cartesian: Untuk 5 mil ke barat: Untuk 3 mil ke utara: Untuk 10 mil ke barat laut:
r1 = 5 i r2 = 3 j r3 = -5 2 i + 5 2 j
R = r1 + r2 + r3 R = (5-5 2 ) i + (3 + 5 2 ) j R = (5 − 5 2) 2 + (3 + 5 2) 2 = 10,281 mil
tan θ =
(3 + 5 2) Î θ = 101,620 dari barat ke utara (5 − 5 2)
4. sebuah pesawat terbang 200 mil dalam arah membentuk sudut 250 diukur dari selatan ke barat. Tentukan komponen peprindahan pesawat dalam arah selatan dan arah barat. Jawab: Perhatikan gambar berikut ini:
barat 25
0
selatan
Komponen ke barat = 200 sin 250 = 84,52 mil Komponen ke selatan = 200 cos 250 = 181,26 mil
5. carilah komponen horizontal dan vertical sebuah vektoryang panjangnya 40 N dan membentuk sudut 250 dengan aah horizontal. Jawab: Perhatikan gambar dibawah ini:
40 N 25
0
Komponen horizontal = 40 N cos 250 = 36,25 N Komponen vertikal = 40 N sin 250 = 16,9 N 6. sebuah mobil bergerak 30 km ke timur, kemudian 12 km keselatan dan selanjutnya 14 km ke barat dengan waktu total 40 menit. Tentukan jarak yang ditempuh, perpindahan,laju rata-rata dan kecepatan rata rata mobil tersebut. Jawab: Perhatikan gambar berikut ini:
30 km 16 km pepindahan
12 km
12 km
14 km
40 menit = 2/3 jam Perpindahannya adalah: 162 + 122 = 20 km Jarak yang di tempuh: 30 + 12 + 14 = 56 km
56 = 84 km/jam 23 20 = 30 km/jam Kecepatan rata-rata: perpindahan/waktu = 23
Kelajuan rata-rata: jarak/waktu =
7. seorang anak berjalan 2500 m ke barat selama 35 menit, 1000 m ke selatan selama 10 menit, kemudian 500 m ke timur selama 5 menit. Tentukan jarak tempuh anak tersebut, perpindahan, laju rata-rata, dan kecepatan rata-ratanya.
Jawab: Perhatikan gambar berikut ini:
2500m
1000m
perpindahan
2000m
500m
Jarak total = 2500 + 1000 + 500 = 4000 m Perpindahan = 10002 + 20002 = 2236 m Waktu total = 50 menit = 3000 s Kelajuan rata-rata = jarak total/waktu = 4000/3000 = 1,34 m/s Kecepatan rata-rata = perpindahan/waktu = 2236/3000 = 0,745 m/s 8. tiga orang pemain bola melakukakn tackling bola secara bersamaan dengan gaya masing masing 100 N ke utara, 120 N membentuk sudut 200 diukur dari timur keutara, dan 80 N membentuk sudut 350 diukur dari utara ke barat. Tentukan resultn ketiga gaya tersebut. y F3 = 80 N 350
F1 = 100N F2 = 120 N 200 x
Jawab: F1 = 100 N j F2 = (120 cos 200) N i + (120 sin 200) N j F2 = 112,76 N i + 41,04 N j F3 = -(80 cos 350) N i + (80 sin 350) N j F3 = -65,53 N i + 186,92 N j R = F1 + F2 + F3 R = 47,23 i + 186,92 j
R=
47, 232 + 186,922 = 192,79 N
9. tentukan resultan dari gaya berikut: 50 N dengan membentuk sudut 300 terhadap sumbu +X, gaya 80 N dengan membentuk sudut 1350 terhadap sumbu +X, dan 30 N dengan membentuk sudut 2400 terhadap sumbu +X. jawab: F1 = (50 cos 300) N i + (50 sin 300) N j = 25 3 N i + 25 N j F2 = (80 sin 1350) N i + (80 sin 1350) N j = 40 2 N i + 40 2 N j F3 = (30 cos 2400) N i + (30 sin 2400) N j = -15 N i - 15 3 N j R = F1 + F2 + F3 R = 84,87 N i + 55,58 N j
R=
84,87 2 + 55,582 = 101,45 N
10. dua helikopter lepas landas (take off) dari tempat pendaratan yang sama. Salah satu helicopter berada pada posisi 10 km dengan sudut 450 diukur dari barat ke selatan, sedangkan helikopte kedua berada pada posisi 6 km dengan membentuk sudut 450 diukur dari timur keselatan. Tentukan perpindahan helikopter kedua relatif tehadap helikopter pertama. Jawab: U
B
45
0
45
0
T
Perpindahan relatif S
Vector perpindahan relatif = {6 cos450 - (-10 cos 450)} i + {6 sin 450 – 10 sin 450}j
= 11,3 i - 2,83 j Perpindahan relatif = 11,32 + 2,832 = 11,6 km 11. sebuah motor Boat yang memiliki laju 9 mil/jam menyebrangi sungai yang mmiliki kecepatan arus 2 mil/jam. Arah mana ang harus diambil oleh motor boat agar lintasannya tegak lurus terhadap sungai? Dalam kondisi gerak tersebut, berapakah laju motor boat diukur dari daratan? Jawab:
vat vpa
vpt
Laju arus terhadap tanah, vat = 2 mil/jam Laju perahu terhadap arus, vpa = 9 mil/jam sin α =
vat 2 = 9 v pa
α = 12,84D Perahu harus diarahkan dalam arah 12,840 + 900 = 102,840 v pt = v 2pa + vat2 = 92 − 22 = 8, 77mil/jam
12. seorang pilot mengarahkan pesawatnya keselatan dengan laju 270 km/jam relatif terhadap udara. Setelah satu jam, pilot mendapatkan bahwa pesawat telah berada di atas bandara dengan posisi 240 km kearah selatan dan 70 km kearah timur, relatif terhadap posisi satu jam sebelumnya. Tentukan: (a). kecepatan angin; (b). arah yang harus dipilih agar pesawat tepat begerak kea rah selatan.
Jawab: Perhatikan gambar dibawah ini
vpt
vpa
va Jarak tempuh = 2402 + 702 = 250 km Kelajuan pesawat terhadap angin, vpa = 270 km/jam Kelajuan pesawat terhadap tanah vpt = 250 km/1 jam = 250 m/jam Kelajuan angin, va = ? va = v 2pt − v 2pa =
2502 − 2702 Î hasil imajiner, sepertinya data pada
soal salah
13. arus sungai mengalir kearah selatan dengan laju 1 mil/jam. Seorang laki-laki mengayuh sampan ke arah barat dengan laju 3 mil/jam relative terhadap air. Tentukan laju sampan relative terhadap tanah. Jawab:
va vpa
vpt
v pt = va2 + v 2pa = 12 + 32 = 10mil/jam 14. sebuah bola dilemparkan dari sebuah mobil yang sedang bergerak dengan kelajuan 14 m/s relatif terhadap mobil dalam arah tegak lurus terhadap arah gerak mobil. Jika laju mobil 20 m/s berapakah kecepatan bola terhadap tanah?
Jawab: Bola akan mempunyai komponen kecepatan pada arah vertical dan horizontal: vbt = 142 + 202 = 24,41 m/s
15. sebuah pesawat dengan laju terhadap udara 150 mil/jam bermaksud bergera ke timur. Angin memiliki kelajuan 40 mil/jam dengan membentuk sudut 300 diukr dari arah timur ke utara. Dalam arah mana peawat harus diarahkan agar gerakannya tepat kearah timur? Berapa laju pesawat erhadap tanah? Jawab: Soal dapat dilukiskan dengan gambar seperti dibawah ini:
va 30
0
vpt
θ
timur
vpa va = laju angin vpt = laju pesawat terhadap tanah vpa = laju pesawat terhadap angina
agar pesawat bergerak ke timur, komponen kecepatan va dan vpa pada harus saling menghilangkan, maka: va sin 300 = vpa sin θ sin θ =
1 va 1 40 = × = 0,13 2 v pa 2 150
θ = 7, 67D v pt = va2 + v 2pa + 2va v pa cos (30D + θ )
(
= 402 + 1502 + (2 × 40 × 150) cos 37, 67D = 183,3mil/jam
)
16. sebuah helikopter memiliki kecepatan terhadap udara 40 knot dengan membentuk sudut 350 diukur dari barat ke utara. Kecepatan angina adalah 20 knot ke arah timur. Tentukan kecepatan helikopter terhadap tanah. Jawab:
vht
vhu 350
vu vhu = kecepatan helikopter terhadap udara vht = kecepatan helikopter terhadap tanah vu = kecepatan udara
sudut antara vector vhu dan vu = θ = 1800 – 350 =1450 2 vht = vhu + vu2 + 2vhu vu cos145D
(
= 402 + 202 + (2 × 40 × 20) cos 145D
)
= 26, 25 knot 17. sebuah pesawat memiliki kecepatan 500 knot terhadap udara dengan arah membentuk sudut 200 diukur dar timur keselatan. Jika udara memiliki kecepatan 80 knot dengan arah membentuk sudut 600 diukur dari timur keutara, berapakah kecepatan pesawat terhadap tanah? Jawab:
vu 800
vpt vpu
Sudut apit antara vector vu dan vector vpu adalah 200 + 600 = 800
v pt = vu2 + v 2pu + 2vu v pu cos8D
( )
= 802 + 5002 + (2 × 80 × 500) cos 80D = 519,89 knot
18. sebuah kapal bergerak kearah timur dengan laju 30 km/jam relative terhadap tanah. Anngin bertiup dari arah utara ke selatan dengan laju 10 km/jam. Berapakah kecepatan asap yang keluar dari cerobong kapal relative terhadap kapal. Jawab: U B
T
V’uap
S
vuap
va
va = kecepatan angina vuap = kecepatan uap v’uap = kecepatan uap bila tidak ada angin ,2 vuap = vuap + va2
= 302 + 102 = 31, 63 km/jam 19. sebuah kapal bergerak kearah timur dengan laju 25 km/jam. Saat itu angin bertiup dengan laju 10 km/jam dengan arah membentuk sudut 450 diukur dari selatan ke barat. Berdasarkan pengamatan dikapal, kea rah manakah uap yang dihasilkan akan bergerak? Berapa laju uap tersebut terhadap kapal?
Jawab:
v’u vangin
vu
Sudut antara vector v’u dan vector vangin adalah 450 vu = kecepatan uap v’u = kecepatan uap bila tidak ada angina vu = vu,2 + va2 + vu va cos 45D = 252 + 102 + 2 × 25 × 10 cos 45D = 32,84 km/jam
20. seorang pilot mencoba mempertahankan arah pesawat ke sebuah bandara di sebelah barat. Laju pesawat terhadap udara 600 mil/jam. Jika angin bertiup dengan kecepatan 100 mil/jam dengan arah membentuk sudut 400 diukur dari selatan ke barat, kemanakah moncong pesawat harus diarahkan? Berapa laju pesawat relatif terhadap tanah? Jawab: Perhatikan gambar berikut: U
Vpt
Vpu
B
T S
Vpt
θ 50
θ Vpu
500
0
Vangin
Dengan Vpt = kecepatan pesawat terhadap tanah, Vpu = kecepatan pesawat terhadap udara
Vangin
Gunakan aturan sinus: v pu
=
vangin
sin 50D sin θ 600 100 = D sin 50 sin θ
θ = 7,33D Moncong pesawat harus diarahkan sebesar 7,330 diukur dari barat ke utara Laju pesawat relative erhadap tanah, vpt adalah: 2 v pt = v 2pu + vangin + 2v pu vangin cos (50D + θ )
v pt = 6002 + 1002 + 2 ⋅ 600 ⋅100 ⋅ cos (57,33)
v pt = 659,375 km/jam
Bagian B
1. besaran-besaran beikut merupakan besaran scalar, kecuali….. a. kelajuan b. jarak c. energi d. gaya e. volum jawab: jawabanya adalah gaya. Gaya merupakan besaran yang memiliki arah. Oleh karena itu gaya merupakan besaran vector jawaban: A 2. dua buah vektor masing-masing besarnya 6 satuan dan 8 satuan. Sudut antara kedua vektor tersebut 900 . Resultan vektor adalah….. a. 10 satuan b. 14 satuan c. 16 satuan d. 20 satuan e. 24 satuan Jawab: R = 62 + 82 + 2(6 × 8) cos 90D
R = 10 satuan Jawaban: A 3. vector A besarnya 6 satuan dan vector B besarnya 5 satuan. Bila sudut yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B adalah 600 , maka selisih antara kedua vektor adalah…. 45 satuan a. b. 41 satuan 30 satuan c. d. 21 satuan 11 satuan e. Jawab: R = A2 + B 2 − 2 AB cos θ R = 62 + 52 − 2(6 × 5) cos 60D R = 31 satuan Catatan: Jawaban tidak ada didalam pilihan
4. besar vektor A = 3 satuan dan besar vektor B = 4 satuan. Bila vektor satuan (A+B) = 5 satuan, maka sudut antara vektor A dan B adalah …… a. 30 0 b. 45 0 c. 60 0 d. 73 0 e. 90 0 Jawab: ( A + B) = A2 + B 2 + 2 AB cos θ 5 = 32 + 42 + 2(3 × 4) cos θ θ = 900 Jawaban: E 5. kelompok vektor satuan dibawah ini semuanya memiliki sudut apit 90 0 kecuali….. a. 3, 4, dan 5 b. 6, 8, dan 10 c. 4, 5, dan 8
d. 9, 12, dan 15 e. 12, 16, dan 20 Jawab: Kita dapat menggunakan persamaan berikut untuk menguji kelompok vector manakah yang memiliki sudut apit 900: R = A2 + B 2 dikarenakan cos 900 = 0 Uji semua nilai yang diberikan, dan kita dapatkan yang tidak memiliki sudut apit 900 adalah opsi (c) yakni, 4, 5, dan 8 Jawaban: C
6. dua buah vektor masing-masing 10 satuan kekanan dan 5 satuan kekiri bekerja pada sebuah benda. Supaya benda itu tidak bergerak, maka diperlukan vector….. a. 10 satuan ke kanan b. 15 satuan ke kiri c. 5 satuan ke kanan d. 5 satuan ke kiri e. Nol Jawab: Jika tidak ada gayatambahan, maka benda akan bergerak kearah kanan oleh karena gaya sebesar 5 satuan (hasil selisih dari dua vector gaya yang bekerja pada benda). Oleh karena itu, agar benda tidak bergerak, dibutuhkan gaya sebesar 5 satuan kearah kiri. Jawaban: D 7. perhatikan gambar dibawah ini. Besar komponen dalam arah sumbu X dan sumbu Y adalah..... y 6 satuan
4 satuan
450
300 x
( = (3 = (3
) ( ) 2 ) dan F = ( 3 2 + 2 2 ) 2 ) dan F = ( 3 + 2 2 )
a. Fx = 3 3 − 2 2 dan Fy = 3 + 2 2 b. Fx c. Fx
3−2 3+2
y
y
( = (3
) ( 2 ) dan F = ( 3
) 2)
d. Fx = 3 3 + 2 2 dan Fy = 3 2 + 2 2 e. Fx
3−2
y
3+2
Jawab: Komponen gaya pada sumbu x antara lain adalah: Fx1 = 4 cos 450 = 2 2 Fx2 = 6 cos 300 = 3 3 Komponen gaya pada sumbu y adalah: Fy1 = 4 sin 450 = 2 2 Fy2 = 6 sin 300 = 3 Komponen pada sumbu x mempunyai arah yang berlawanan Sedangkan komponen pada sumbu y akan saling menjumlahkan (karenan mempunyai arah yang sama), maka Fx = 3 3 − 2 2 dan Fy = 3 + 2 2
(
)
(
)
Jawaban: A
8. besar vector A adalah 20 satuan dan membentuk sudut 45 0 terhadap sumbu X positif. Besar komponen vector tersebut dalam sumbu X dan sumbu Y adalah…… a.
Ax = 20 satuan, Ay = 20 satuan
b. Ax = 20 2 satuan, Ay = 20 2 satuan c.
Ax = 10 satuan, Ay = 10 satuan
d. Ax = 10 2 satuan, Ay = 10 2 satuan e.
Ax = 10 3 satuan, Ay = 10 2 satuan
Jawab: Ax = 20 cos 450 = 10 2 satuan 0 A y = 20 sin 45 = 10 2 satuan
Jawaban: D
9. perhatikan gambar dibawah ini. Resultan dari ketiga vektor tesebut adalah……
y 10 N
30 N
30 N 600 300
x
a. b. c. d. e.
10 N 20 N 30 N 40 N 70 N
Jawab: F1 = 30 N Î -15 3 i +15 j F2 = 10 N Î 10 j F3 = 30 N Î 15 3 i +15 j R = F1 + F2 + F3 = 40 N j R = 40 N Jawaban : D
10. resultan dari tiga vektor dibawah ini adalah…… 10 satuan
y 300
5 satuan
600
x 5 satuan
a. b. c. d. e.
3,0 satuan 5,0 satuan 5 5 satuan 10 satuan 10 3
Jawab: Perhatikan gambar berikut: F2 = 10 satuan
y 300
0 F3 = 5 satuan 60
x F1 = 5 satuan
F1 = 5 cos 600 i – 5 sin 600 j = 2,5 i - 2,5 3 j F2 = 10 sin 300 i +10 cos 300 j = 5 i +5 3 j F3 = -5i R = F1 + F2 + F3 = 2,5 i +2,5 3 j
R=
(
2,52 + 2,5 3
)
2
= 5 satuan
Jawaban: B
11. dua buah vector yaitu F1 dan F2, membentuk sudut 105 0 satu sama lain. Resultan dari kedua vector tersebut membentuk sudut 60 0 terhadap vector F2. bila besar F2 = 8 satuan, maka besar vector F1 adalah….. a. 10 satuan b. 6 satuan c. 4 6 satuan d. 2 2 satuan 6 satuan e.
Jawab:
R
0 R 45
F1
F1
600
450 600
F2
F2
Gunakan aturan sinus: F1 F2 = D sin 60 sin 45D 1 3 F1 = 8 × 2 1 2 2 3 =8 2 =8
6 4
= 4 6 satuan
Jawaban: C 12. perhatikan gambar vektor disamping ini. Resultan dari dua vektor tersebut adalah….. 8
y
B
600
A 3
a. b. c. d.
3 satuan 6 satuan 8 satuan 10 satuan
x
e. 11 satuan Jawab: A=3i B = 3 i +8 j R = A + B = 6 i +8 j
R=
62 + 82 =10 satuan
Jawaban: D 13. sebuah benda berada diatas lantai yang licin. Benda terseut ditarik oleh seuah gaya sebesar 20 N yang membentuk sudut 600 terhadap permukaan lantai. Bila massa benda diabaikan, maka besar gaya yang harus diberikan agar benda tidak terangkat adalah….. a. 20 3 N b. 20 2 N c. 20 N d. 10 3 N e. 10 2 N Jawab: F = 20 N sin 600 = 10 3 N
Gaya yang diberikan harus sama dengan 10 3 N Jawaban: D 14. tiga buah vector A, B, dan C bekerja pada sebuah benda tak bermassa (lihat gambar). Besar vector resulta R dalamarah sumbu X dan sumbu Y adalah….. y A =10
C=5 1500 600 B = 5 satuan
300 x
a. b. c. d. e.
Rx = 5 3 satuan, Ry = 5 2 satuan Rx = 0 satuan, Ry = 5 satuan Rx = 5 3 satuan, Ry = -5 2 satuan Rx = 5 satuan, Ry = 10 satuan Rx = -5 3 satuan, Ry = 15 satuan
Jawab: A = 10 cos 300 i + 10 sin 300 j = 5 3 i + 5 j B = -5 sin 600 i -5cos 600 j = -2,5 3 i – 2,5 j C = 5 cos 1500 i + 5 sin 1500 j = -2,5 3 i + 2,5 j R=A+B+C=5j Rx = 0 satuan Ry = 5 satuan
Jawaban: B 15. tedapat vektor A, B, dan C. besar vektor A = 6 satuan dan besar vektor C = 5 satuan. Bila A + B = 2C dan sudut yang dibentuk antara vektor A dan B adalah 900, maka besar vektor B adalah….. a. 4 satuan b. 6 satuan c. 8 satuan d. 10 satuan e. 25 satuan Jawab: A + B = 2C A2 + B2 = 4C2 Î karena sudut antara A dan B adalah 900 36 + B2 = 4 × 25 B = 8 satuan Jawaban : C
16. tedapat vector A, B, dan C. besar vector B = 10 N dan besar vector C = 20 N. bila A + B = C dan sudut antara vector A dan C adalah 300, maka besar antara vector B dan C adalah…..
C
A
B 300
a. b. c. d. e.
θ
300 450 900 600 1200
Jawab: Ganbar diatas dapat diganbar ulang menjadi seperti dibawah ini:
300
A
C
1500-θ θ
B
Gunakan aturan cosinus: C B = D sin (150 − θ ) sin 30D C sin (150D − θ ) = sin 30D B 20 1 = × =1 10 2 D D 150 − θ = 90
θ = 60D Jawaban: D
17. sebuah benda ditarik ke kanan dengan gaya 30 N dan membentuk sudut 370 terhadap permukaan lantai. Besra dan arah vector yang harus diberikan agar benda tidak berherak adalah…. a. 24 N ke kanan b. 24 N kek kiri c. 18 N ke kanan d. 18 N kek kiri e. 18 N keatas Jawab: Gaya horizontal yang bekerja = 30 N cos 370 = 24 N ke kanan Maka gaya yang harus diberikan agar benda tidak bergerak adalah 24 N ke arah kiri Jawaban: B 18. spmb 2002 ditentukan dua buah vector yang sama besar, yaitu F. bila perbandingan antara jumalah dan selisih antara kedua vector sama dengan 3 , maka sudut yang dibentuk oleh kedua vector itu adalah….. a. 300 b. 370 c. 450 d. 600 e. 1200 Jawab: 2 F 2 + 2 F 2 cos θ 2 F 2 − 2 F 2 cos θ
= 3
1 + cos θ = 3(1 − cos θ ) = 3 − 3cos θ 4 cos θ = 2 1 cos θ = 2 D θ = 60 Jawaban: D 19. umptn 2000 kompas yang ada pada sebuah pesawat terbang menunujukan kea rah utara. Pesawat itu bergerak dengan kecepatan 240 km/jam. Bila ada angina yang bertiup dengan kecepatan 100 km/jam dari barat ke timur, maka laju pesawat relative terhadap bumi adalah…… a. 160 m/s b. 160.000 cm/jam
c. 340 km/jam d. 260 km/jam e. 140 km/jam Jawab:
vpu vpt vu vpu = kecepatan pesawat terhadap udara vpt = kecepatan pesawat terhadap tanah vu = kecepatan udara
v pt = v 2pu + vu2 = 2402 + 1002 = 260 km/jam Jawaban: D
20. sebuah perahu menyeberangi sungai selebar 180 m dan kecepatan arusnya 4 m/s. perahudiarahkan menyilang tegak lurus terhadap sungai dengan keepatan 3m/s. setelah tiba diseberang sungai, perahu tela menempuh jarak sejauh….. a. 180 m b. 240 m c. 300 m d. 320 m e. 360 m Jawab:
vpa
vpt va
vpa = kecepatan perahu terhadap arus vpt = kecepatan perahu terhadap tanah va = kecepatan arus v pt = va2 + v 2pa = 42 + 32 = 5 m/s
lebar sungai v pa = jarak tempuh v pt 5 jarak tempuh = 180 × = 300 m 3 Jawaban: C
